2021年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷（含答案解析）

1、2021 年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷 一一.选择题（共选择题（共 8 小题）小题）. 12021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 2一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（ ） A三棱柱 B三棱锥 C四棱柱 D四棱锥 35G 是第五代移动通信技术，5G 网络理论下载速度可以达到每秒 1300000KB 以上，这意味着下载一部高 清电影只需要 1 秒将 1300000 用科学记数法表示应为（ ） A13105 B1.3105 C1.3106 D1.3107 4下列图案中是轴对称图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个

2、 5孙子算经中有一道题：“今有木，不知长短引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺问木 长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条，木条剩 余 1 尺，问木条长多少尺”如果设木条长为 x 尺，绳子长为 y 尺，根据题意列方程组正确的是（ ） A B C D 6如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比为 1：，坝高 BC4m，则 AB 的长度为（ ） A2m B4m C4m D6m 7若函数的图象与一次函数 ykx+2 的图象有公共点，则 k 的取值范围是（ ） Ak Bk，且 k0 Ck，且 k0 Dk 8 如图， 正方形 ABCD 中， E、 F 分

3、别为 BC、 CD 边上的点， EAF45， 则下列结论中正确的有 （ ） BE+DFEF； tanAMD； BM2+DN2MN2； 若 EF1.5，AEF 的面积是 3，则正方形 ABCD 的面积为 4 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（本题满分二填空题（本题满分 18 分，共有分，共有 6 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9计算： 10儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有 6 个红球和若干白球（每个球除颜色外，其 它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有 300 人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票 60

4、 张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 个 11若一个 n 边形的内角和是其外角和的 4 倍，则 n 12如图，反比例函数 y的图象上有一点 A，过点 A 作 ABx 轴于 B，SAOB2，则 k 13如图，在扇形 AOB 中，AOB90，OA4，以 OB 为直径作半圆，圆心为点 C，过点 C 作 OA 的 平行线分别交两弧点 D、E，则阴影部分的面积为 14老师用 10 个 1cm1cm1cm 的小正方体摆出一个立体图形，它的主视图如图所示，且图中任意两 个相邻的小正方体至少有一条棱（1cm）共享，或有一面（1cm1cm）共享老师拿出一张 3cm4cm 的方格纸（如图），请小亮将此 10 个

5、小正方体依主视图摆放在方格纸中的方格内，小亮摆放后的几何 体表面积最大为 cm2（小正方体摆放时不得悬空，每一小正方体的棱均与水平线垂直或平行） 三作图题（本题满分三作图题（本题满分 4 分）请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹分）请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15青岛地铁 8 号线是青岛第六条建成运营的线路，地铁沿线的两个商场 A、B 与两条道路 MF 和 ME 的位 置如图所示，其中 ME 是东西方向的道路，现需要修建一个地铁口（用点 O 表示），要求点 O 到两个商 场 A、B 的距离相等，到两条道路 MF 和 ME 的距离也相等，且在FME 的内部请在示意图

6、中作出一 个符合条件的点 O 四四.解答题（本题共解答题（本题共 9 道小题，满分道小题，满分 26 分）分） 16（1）化简：； （2）若关于 x 的方程 2x2+4xc0 有两个相等的实数根，求方程的解 17元旦联欢会上，明明和磊磊玩掷骰子的游戏现有一枚均匀的正方体骰子，每个面上分别标上数字 1、 2、3、4、5、6游戏规则是：明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是 3 的倍数，则明明获 胜，否则磊磊获胜 （1）用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果； （2）你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由 18近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛如图，无人机从 A 处观测某建

7、筑物至高点 O 时，俯角为 37；继续水平前行 10 米到达 B 处，观测点 O，此时的俯角为 45，已知无人机的水平飞行高度为 45 米求这栋楼的高度是多少米（结果精确到 0.1）（参考数据：sin370.60，cos370.79，tan37 0.75，1.41） 19为贯彻关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见，各学校都在深入开展劳动教育某校为了 解七、八年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：小时）的情况，从该校七、八年级中各随机抽查了 20 名学生进行问卷调查，并将调查结果进行整理，描述和分析（A：0t20，B：20t40，C：40 t60，D：60t80，E：80t100），下面给出

8、了部分信息 七年级抽取的学生在 C 组的课外劳动时间为：40，40，50，55 八年级抽取的 20 名学生的课外劳动时间为：10，15，20，25，30，35，40，40，45，50，50，50，55， 60，60，75，75，80，90，95 七、八年级抽取的学生的课外劳动时间的统计量 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 50 35 a 580 八年级 50 b 50 560 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出 a，b，m 的值； （2）根据以上数据，在该校七、八年级中，你认为哪个年级参加课外劳动的情况较好？请说明理由（一 条理由即可）； （3）若该校七、八年级分别有学生 4

9、00 人，试估计该校七、八年级学生一学期课外劳动时间不少于 60 小时的人数之和 20某古代石桥有 17 个大小相同的桥洞，桥面平直，其中三个桥洞图案如下左图所示每个桥洞均可抽象 成抛物线形状，其最大高度为 4.5m，宽度为 6m将桥墩的宽度、厚度忽略不计，以水平方向为横轴， 建立如下右图所示的平面直角坐标系，OM6 （1）求 OAM 这条抛物线的函数关系式； （2）如图所示，若想在桥洞距水平面 3 米高的内壁处，安装照明灯，请计算两盏灯 P、H 之间的水平距 离为多少米？ （3）若想在每个桥洞距水平面 3 米高的内壁处都安装照明灯，则这三个桥洞最左端的灯与最右端灯 P、 Q 之间的水平距离为

10、 米（请直接给出答案，无需提供求解过 程） 21如图，已知四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OAOC，OBOD，过 O 点的线段 EF， 分别交 AD，BC 于点 E，F （1）求证：AOECOF； （2）如果EBDCBD，请判断并证明四边形 BEDF 的形状 22六一前夕，某商场采购 A、B 两种品牌的卡通笔袋，已知每个 A 品牌笔袋的进价，比每个 B 品牌笔袋 的进价多 2 元；若用 3000 元购进 A 品牌笔袋的数量，与用 2400 元购进 B 品牌笔袋的数量相同 （1）求每个 A 品牌笔袋和每个 B 品牌笔袋的进价分别是多少元； （2）该商场计划用不超过 7

11、220 元采购 A、B 两种品牌的笔袋共 800 个，且其中 B 品牌笔袋的数量不超 过 400 个，求该商场共有几种进货方式； （3）若每个 A 品牌笔袋售价 16 元，每个 B 品牌笔袋售价 12 元，在第（1）（2）问的前提下，不计其 他因素，将所采购的 A、B 两种笔袋全部售出，求该商场可以获得的最大利润为多少元 23【学习方法】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建 立相等关系，我们把这一思想称为“算两次” “算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想 例如： 图 1，将 n 行 n 列的棋子排成一个正方形，我们用两种不同的方

12、法计算棋子的个数： 算法： 类比正方形面积的计算，图形可以看作 n 行棋子，每行都有 n 枚，因此棋子的总数是： nnn2 算法： 沿虚线将图案分割，可以发现： 第一层虚线内有 1 枚棋子， 第二层虚线内有 3 枚棋子， 第三层虚线内有 5 枚棋子 第 n 层虚线内有（2n1）枚棋子， 则棋子总数为 1+3+5+7+2n1 由此可得：1+3+5+7+2n1n2 【类比尝试】 如图 2，两个边长分别为 a、b、c 的直角三角形和一个两条直角边都是 c 的直角三角形拼成一个梯形请 用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论 算法： 算法： 你发现的结论是 经过整理，这个结论恰好可以证明我们

13、学过的重要定理 【拓展探究】 富比尼原理给我们重要的启发： 从同一个问题的不同角度展开探究，往往会有惊喜地发现 问题： n 边形有 n 个顶点，在它的内部再画 m 个点，以这（m+n）个点为顶点，把 n 边形剪成若干个三角形， 设最多可以剪得 y 个这样的三角形可以用含 m、n 的代数式表示 y 吗？ 问题探究： 为了解决这个问题，我们先从简单的情况入手： （一）研究最简单的多边形三角形 三角形有 3 个顶点，在它的内部再画 m 个点，把三角形剪成若干个三角形，设最多可以剪得 y 个这样的 三角形，那么可以用含有 m 的代数式来表示 y 吗？ 方法：关注要素三角形内部每增加一个点，与最多可以剪

14、得多少个三角形之间的关系 从 n3，m1 开始研究： 当 n3，m1 时，最多可以把原三角形剪成 3 个三角形； 当 n3，m2 时，最多可以把原三角形剪成（3+2）个三角形； 当 n3，m3 时，最多可以把原三角形剪成（5+2）个三角形； 进行从特殊到一般的归纳： 对于一般的情形，在三角形内画 m 个点，第一个点将三角形分成了 3 个三角形，三角形内部每增加一个 点，可增加 个三角形 故 n3 时，用含有 m 的代数式表示 y： y ； 方法：关注要素顶点数对组成三角形的作用 三角形的三个顶点和它内部的 1 个点，共 4 个点，以这 4 个点为顶点，最多可以组成 3 个互不重叠的小 三角形

15、三角形的三个顶点和它内部的 2 个点，共 5 个点，以这 5 个点为顶点，最多可以组成 5 个互不重叠的小 三角形 三角形的三个顶点和它内部的 3 个点，共 6 个点，以这 6 个点为顶点，最多可以组成 7 个互不重叠的小 三角形 进行从特殊到一般的归纳： 三角形的三个顶点和它内部的 m 个点，共（m+3）个点，以这（m+3）个点为顶点，最多可以组成 个互不重叠的小三角形 以三角形的三个顶点和它内部的 m 个点，可把三角形最多剪成 个互不重叠的小 三角形 （二）在四边形中研究类似的问题 四边形有 4 个顶点， 在它的内部再画 m 个点， 把四边形剪成若干个三角形， 设最多可以剪得 y 个三角形

16、， 那么可以用含有 m 的代数式来表示 y 吗？ 方法： 对于一般的情形，在四边形内画 m 个点，第一个点将四边形分成了 4 个三角形；四边形内部每增加一个 点，可增加 个三角形 故 n4 时，用含有 m 的代数式来表示 y：y 方法： 四边形的四个顶点和它内部的 m 个点，共（m+4）个点，以这（m+4）个点为顶点，最多可以组成 个互不重叠的小三角形 问题解决： 对于一般的情形，在 n 边形内画 m 个点，通过多角度探究、归纳猜想和算两遍方法的验证，可得 y （用含 m、n 的代数式表示） 24已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB8cm，BC6cm点 P 从点 B 出发，沿 BC 方向匀速

17、运动，速度 为 1cm/s；点 Q 从点 C 出发，沿 CD 方向匀速运动，速度为 2cm/s；点 E 从点 D 出发，沿 DA 方向匀速 运动，速度为 0.5cm/s；点 P、Q、E 同时出发对角线 AC 的中点为 O，连接 AP、PQ、QE设运动时 间为 t（s）（0t4），解答下列问题： （1）是否存在某一时刻 t，使 EQAP？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 （2）连接 OP、OE，设四边形 OPQE 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 的函数关系式； （3） 在直线 AD 上作点 E 关于 CD 的轴对称点 F， 是否存在某一时刻 t， 使 P、 Q、 F 三点共线

18、？若存在， 直接写出 t 的值（不需提供解答过程）；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一一.选择题（本题满分选择题（本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）下列每小题都给出标号为分）下列每小题都给出标号为 A、B、C、D 的四个的四个 结论，其中只有一个是正确的每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分结论，其中只有一个是正确的每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分 12021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可 解：2021 的相反数是

19、2021 故选：A 2一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（ ） A三棱柱 B三棱锥 C四棱柱 D四棱锥 【分析】通过图片可以想象出该物体由三个长方形侧面组成，底面是三角形，符合这个条件的几何体是 三棱柱 解：如图，考生可以发挥空间想象力可得出该几何体底面为一个三角形，由三个长方形侧面组成，故该 几何体为三棱柱 故选：A 35G 是第五代移动通信技术，5G 网络理论下载速度可以达到每秒 1300000KB 以上，这意味着下载一部高 清电影只需要 1 秒将 1300000 用科学记数法表示应为（ ） A13105 B1.3105 C1.3106 D1.3107 【分析】科学记数法的表示形式为

20、 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：将 1300000 用科学记数法表示为：1.3106 故选：C 4下列图案中是轴对称图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可 解：从左到右，第一、三、四个图形是轴对称图形，第二个图形不是轴对称图形， 所以轴对称图形的个数为 3 个 故选：C 5孙子算经中有一道题：“今有木，不知长短引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺问木

21、长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条，木条剩 余 1 尺，问木条长多少尺”如果设木条长为 x 尺，绳子长为 y 尺，根据题意列方程组正确的是（ ） A B C D 【分析】本题的等量关系是：木长+4.5绳长；绳长+1木长，据此可列方程组即可 解：设木条长为 x 尺，绳子长为 y 尺，根据题意可得， ， 故选：A 6如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比为 1：，坝高 BC4m，则 AB 的长度为（ ） A2m B4m C4m D6m 【分析】直接利用坡度的定义得出 AC 的长，再利用勾股定理得出 AB 的长 解：河坝横断面迎水坡 AB 的坡比为

22、 1：，坝高 BC4m， ， 则 AC4（m）， 故 AB4（m） 故选：C 7若函数的图象与一次函数 ykx+2 的图象有公共点，则 k 的取值范围是（ ） Ak Bk，且 k0 Ck，且 k0 Dk 【分析】先由两解析式组成方程组，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 kx2+2x40，根据题意得到此 方程有两个不相等的实数根，则22+16k0，然后解不等式即可求解 解：由得 kx+2， 整理得 kx2+2x40， 图象有公共点， 22+4k40， k k 的取值范围是 k且 k0， 故选：B 8 如图， 正方形 ABCD 中， E、 F 分别为 BC、 CD 边上的点， EAF45，

23、则下列结论中正确的有 （ ） BE+DFEF； tanAMD； BM2+DN2MN2； 若 EF1.5，AEF 的面积是 3，则正方形 ABCD 的面积为 4 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90使 AD 与 AB 重合，得ABQ，根据正方形的性质及会等三 角形的性质可得答案；根据三角形的外角性质及三角函数可得答案；在 AQ 上取一点 H，使 AH AN连接 BH，利用全等三角形的性质及勾股定理可得答案；过点 A 作 AREF 于点 R，根据全等三 角形的性质、角平分线的性质可得 ARAB，然后由三角形面积公式及正方形的面积公式可得答案 解：将A

24、DF 绕点 A 顺时针旋转 90使 AD 与 AB 重合，得ABQ， ABQADF， QABDAF，AQAF，ABQADF，BQDF， 四边形 ABCD 是正方形， BADABCC90，ABBCCDAD， EAB+DAF+EAFBAD90，且EAF45， DAF+EAB45， QAB+EAB45， QAEFAE45， ABQ+ABE90+90180， 点 Q、B、E 共线， 在AEQ 和AEF 中， ， AEQAEF（SAS） EQEF， EQBE+BQBE+DF， EFBE+DF，故正确； ANDEAF+AMDBDC+AFD AMDAFD， tanAMDtanAFD， 在 RtAFD 中，

25、tanAFD， tanAMD，故正确； 在 AQ 上取一点 H，使 AHAN连接 BH， 在AMH 和AMN 中， ， AMHAMN（SAS）， MHMN， 同理，ABHADN（SAS）， BHDN，ABHADN45， HBMABH+ABD90， 在 RtBMH 中，MH2BH2+BM2， MN2DN2+BM2，故正确； 过点 A 作 AREF 于点 R， AERAEF， AEBAEF， ABBC，AREF， ARAB， SAEFEFAR， 31.5AR， AR4， S正方形ABCD4216， 故错误， 正确， 故选：C 二填空题（本题满分二填空题（本题满分 18 分，共有分，共有 6 道小题

26、，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9计算： 2 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计 算得出答案 解：原式31 2 故答案为：2 10儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有 6 个红球和若干白球（每个球除颜色外，其 它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有 300 人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票 60 张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 24 个 【分析】设袋中共有 m 个球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答 解：设袋中共有 m 个红球，则摸到红球的概率 P（红球

27、）， 解得 m24， 故答案为：24 11若一个 n 边形的内角和是其外角和的 4 倍，则 n 10 【分析】利用多边形的内角和公式和外角和公式，根据一个 n 边形的内角和是其外角和的 4 倍列出方程 求解即可 解：多边形的外角和是 360，根据题意得： 180（n2）3604， 解得 n10 故答案为：10 12如图，反比例函数 y的图象上有一点 A，过点 A 作 ABx 轴于 B，SAOB2，则 k 4 【分析】根据反比例函数 y（k0）中比例系数 k 的几何意义得到 SAOB|k|2，然后根据反比例 函数性质确定 k 得值 解：ABx 轴， SAOB|k|2， k0， k4 故答案是：4

28、 13如图，在扇形 AOB 中，AOB90，OA4，以 OB 为直径作半圆，圆心为点 C，过点 C 作 OA 的 平行线分别交两弧点 D、E，则阴影部分的面积为 2 【分析】连接 OE，如图，利用 OE4，OC2 得到CEO30，BOE60，CEOC2， 然后根据扇形面积公式，利用 S阴影部分S扇形BOESOCES扇形BCD进行计算 解：连接 OE，如图， CEOA， BCE90， OE4，OC2， CEOC2， CEO30，BOE60， S阴影部分S 扇形BOESOCES扇形BCD222 故答案为2 14老师用 10 个 1cm1cm1cm 的小正方体摆出一个立体图形，它的主视图如图所示，且

29、图中任意两 个相邻的小正方体至少有一条棱（1cm）共享，或有一面（1cm1cm）共享老师拿出一张 3cm4cm 的方格纸（如图），请小亮将此 10 个小正方体依主视图摆放在方格纸中的方格内，小亮摆放后的几何 体表面积最大为 52 cm2（小正方体摆放时不得悬空，每一小正方体的棱均与水平线垂直或平行） 【分析】如图，10 个小正方体像俯视图中这样摆放时，几何体的表面积最大 解：如图，10 个小正方体像俯视图中这样摆放时，几何体的表面积最大， 最大值36+210+1452（cm2）， 故答案为：52 三作图题（本题满分三作图题（本题满分 4 分）请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹分）请

30、用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15青岛地铁 8 号线是青岛第六条建成运营的线路，地铁沿线的两个商场 A、B 与两条道路 MF 和 ME 的位 置如图所示，其中 ME 是东西方向的道路，现需要修建一个地铁口（用点 O 表示），要求点 O 到两个商 场 A、B 的距离相等，到两条道路 MF 和 ME 的距离也相等，且在FME 的内部请在示意图中作出一 个符合条件的点 O 【分析】连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线 GH，作EMF 的角平分线 MP，MP 交直线 GH 于点 O，点 O 即为所求 解：如图，点 P 即为所求 四四.解答题（本题共解答题（本题共 9 道小题，满分道小

31、题，满分 26 分）分） 16（1）化简：； （2）若关于 x 的方程 2x2+4xc0 有两个相等的实数根，求方程的解 【分析】（1）先算括号里面减法，再将括号外面的除法变为乘法，因式分解后约分计算即可求解； （2）先根据关于 x 的方程 2x2+4xc0 有两个相等的实数根可知0，由0 求出 c 的值，再把 c 的值代入即可求出方程的根 解：（1）原式 ； （2）b24ac16+8c0， 解得 c2， 则 2x2+4x+20， 解得：x1x21 17元旦联欢会上，明明和磊磊玩掷骰子的游戏现有一枚均匀的正方体骰子，每个面上分别标上数字 1、 2、3、4、5、6游戏规则是：明明和磊磊各掷一次骰

32、子，若两次朝上的点数之和是 3 的倍数，则明明获 胜，否则磊磊获胜 （1）用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果； （2）你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由 【分析】（1）列表即可得出所有等可能结果； （2） 从表格中得出所有等可能结果， 从中找到点数之和等于3的倍数的结果数和不是3的倍数的结果数， 求出两者的概率即可判断 解：（1）列表得： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3）

33、 （6，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （2）不公平，理由如下： 由表可知共有 36 种等可能结果，其中两次朝上的点数之和是 3 的倍数有 12 种结果，不是 3 的倍数的有 24 种结果， P（明明获胜） ，P（磊磊获胜）， ， 不公平 18近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛如图，无人机从 A 处观测某建筑物至高点 O 时，俯角为 37；继续水平前行 10 米到达 B 处，观测点 O，此时

34、的俯角为 45，已知无人机的水平飞行高度为 45 米求这栋楼的高度是多少米（结果精确到 0.1）（参考数据：sin370.60，cos370.79，tan37 0.75，1.41） 【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出至高点 O 到直线 AB 的距离 OC， 进而求出答案即可 解：过点 O，作 OCAB，交 AB 的延长线于点 C， 由题意可知，OAC37，OBC45，AB10m，AD45m， 设 OCx 米， 在 RtBOC 中， OBC45， BCOCxm， 在 RtAOC 中，ACAB+BC（10+x）m，OAC37， tan370.75， 解得 x30.0，

35、即 OC30.0 米， OECEOC4530.015.0（m）， 答：这栋楼的高度约是 15.0 米 19为贯彻关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见，各学校都在深入开展劳动教育某校为了 解七、八年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：小时）的情况，从该校七、八年级中各随机抽查了 20 名学生进行问卷调查，并将调查结果进行整理，描述和分析（A：0t20，B：20t40，C：40 t60，D：60t80，E：80t100），下面给出了部分信息 七年级抽取的学生在 C 组的课外劳动时间为：40，40，50，55 八年级抽取的 20 名学生的课外劳动时间为：10，15，20，25，30，35，40，

36、40，45，50，50，50，55， 60，60，75，75，80，90，95 七、八年级抽取的学生的课外劳动时间的统计量 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 50 35 a 580 八年级 50 b 50 560 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出 a，b，m 的值； （2）根据以上数据，在该校七、八年级中，你认为哪个年级参加课外劳动的情况较好？请说明理由（一 条理由即可）； （3）若该校七、八年级分别有学生 400 人，试估计该校七、八年级学生一学期课外劳动时间不少于 60 小时的人数之和 解：（1）m%1（10%+20%+25%+15%）30%，即 m30， A、B 时间

37、段的人数为 20（10%+30%）8（人）、C 时间段人数为 4 人， 七年级中位数 a45， 八年级劳动时间的众数 b50； （2）八年级参加课外劳动的情况较好， 理由：八年级劳动时间的方差小，劳动时间更加稳定（答案不唯一）； （3） 该校七、 八年级学生一学期课外劳动时间不少于 60 小时的人数之和为 800 300（人） 20某古代石桥有 17 个大小相同的桥洞，桥面平直，其中三个桥洞图案如下左图所示每个桥洞均可抽象 成抛物线形状，其最大高度为 4.5m，宽度为 6m将桥墩的宽度、厚度忽略不计，以水平方向为横轴， 建立如下右图所示的平面直角坐标系，OM6 （1）求 OAM 这条抛物线的函

38、数关系式； （2）如图所示，若想在桥洞距水平面 3 米高的内壁处，安装照明灯，请计算两盏灯 P、H 之间的水平距 离为多少米？ （3）若想在每个桥洞距水平面 3 米高的内壁处都安装照明灯，则这三个桥洞最左端的灯与最右端灯 P、 Q之 间 的 水 平 距 离 为 （ 12+2） 米 （ 请 直 接 给 出 答 案 ， 无 需 提 供 求 解 过 程） 【分析】（1）设 ya（xh）2+k，把顶点坐标为（3，4.5）代入可得解析式； （2）将 y3 代入解出 x 的值可得答案； （3）根据抛物线的平移求出以 C 为顶点的抛物线的解析式，把 y3 代入可得 Q 的坐标，根据 P、Q 的 横坐标可得答

39、案 解：（1）设 ya（xh）2+k， 由题意得顶点坐标为（3，4.5）， ya（x3）2+4.5， 又函数图像经过点（6，0）， 0a（63）2+4.5， a0.5， y0.5（x3）2+4.5； （2）当 y3 时， 30.5（x3）2+4.5， 解得：x13+，x23 ； PH（ ）2m； （3）OM6m， 以 C 为顶点的抛物线的解析式为 y0.5（x15）2+4.5， 把 y3 代入可得 x115+，x215； 所以点 Q 的横坐标为 15+ PQ（15+）（3）12+2 （米） 故答案为：（12+2） 21如图，已知四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OAO

40、C，OBOD，过 O 点的线段 EF， 分别交 AD，BC 于点 E，F （1）求证：AOECOF； （2）如果EBDCBD，请判断并证明四边形 BEDF 的形状 【分析】（1）首先证明四边形 ABCD 是平行四边形，再利用 ASA 证明AOECOF； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明 【解答】（1）证明：OAOC，OBOD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， EAOFCO， 在AOE 和COF 中， ， AOECOF（ASA）； （2）解：四边形 BEDF 是菱形， 证明：AOECOF， OEOF， OBOD， 四边形 BFDE 是平行四边形， 又ADBC， EDBD

41、BC， EBDDBC， EDBEBD， BEED， 平行四边形 BFDE 是菱形 22六一前夕，某商场采购 A、B 两种品牌的卡通笔袋，已知每个 A 品牌笔袋的进价，比每个 B 品牌笔袋 的进价多 2 元；若用 3000 元购进 A 品牌笔袋的数量，与用 2400 元购进 B 品牌笔袋的数量相同 （1）求每个 A 品牌笔袋和每个 B 品牌笔袋的进价分别是多少元； （2）该商场计划用不超过 7220 元采购 A、B 两种品牌的笔袋共 800 个，且其中 B 品牌笔袋的数量不超 过 400 个，求该商场共有几种进货方式； （3）若每个 A 品牌笔袋售价 16 元，每个 B 品牌笔袋售价 12 元，

42、在第（1）（2）问的前提下，不计其 他因素，将所采购的 A、B 两种笔袋全部售出，求该商场可以获得的最大利润为多少元 【分析】（1）根据用 3000 元购进 A 品牌笔袋的数量，与用 2400 元购进 B 品牌笔袋的数量相同，可以 列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； （2）根据该商场计划用不超过 7220 元采购 A、B 两种品牌的笔袋共 800 个，可以得到相应的不等式， 再根据 B 品牌笔袋的数量不超过 400 个，即可得到该商场共有几种进货方式； （3）根据题意，可以得到利润和 A 种笔袋数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到该 商场可以获得的最大利润为多

43、少元 解：（1）设每个 B 品牌笔袋进价为 x 元，则每个 A 品牌笔袋进价为（x+2）元， 由题意可得， 解得：x8， 经检验：x8 是原方程的解 x+210， 答：每个 A 品牌笔袋和每个 B 品牌笔袋的进价分别是 10 元、8 元； （2）设购买 A 品牌笔袋 m 个，则购买 B 品牌笔袋（800m）个， 由题意可得 10m+8（800m）7220， 解得：m410， 又B 品牌笔袋的数量不超过 400 个， 800m400， 解得 m400， 400m410， m 是整数， m400，401，402，410， 即该商场共有 11 种进货方式， 答：该商场共有 11 种进货方式； （3）

44、设商场可获得利润 W 元， W（1610）m+（128）（800m）2m+3200， k20， W 随 m 的增大而增大， 又400m410， 当 m410 时，W 最大，此时 W2410+3200820+32004020， 答：该商场可以获得的最大利润为 4020 元 23【学习方法】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建 立相等关系，我们把这一思想称为“算两次” “算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想 例如： 图 1，将 n 行 n 列的棋子排成一个正方形，我们用两种不同的方法计算棋子的个数： 算法： 类比正方形面积的计算，图

45、形可以看作 n 行棋子，每行都有 n 枚，因此棋子的总数是： nnn2 算法： 沿虚线将图案分割，可以发现： 第一层虚线内有 1 枚棋子， 第二层虚线内有 3 枚棋子， 第三层虚线内有 5 枚棋子 第 n 层虚线内有（2n1）枚棋子， 则棋子总数为 1+3+5+7+2n1 由此可得：1+3+5+7+2n1n2 【类比尝试】 如图 2，两个边长分别为 a、b、c 的直角三角形和一个两条直角边都是 c 的直角三角形拼成一个梯形请 用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论 算法： 算法： 你发现的结论是 经过整理，这个结论恰好可以证明我们学过的重要定理 a2+b2c2 【拓展探究】 富比尼

46、原理给我们重要的启发： 从同一个问题的不同角度展开探究，往往会有惊喜地发现 问题： n 边形有 n 个顶点，在它的内部再画 m 个点，以这（m+n）个点为顶点，把 n 边形剪成若干个三角形， 设最多可以剪得 y 个这样的三角形可以用含 m、n 的代数式表示 y 吗？ 问题探究： 为了解决这个问题，我们先从简单的情况入手： （一）研究最简单的多边形三角形 三角形有 3 个顶点，在它的内部再画 m 个点，把三角形剪成若干个三角形，设最多可以剪得 y 个这样的 三角形，那么可以用含有 m 的代数式来表示 y 吗？ 方法：关注要素三角形内部每增加一个点，与最多可以剪得多少个三角形之间的关系 从 n3，

47、m1 开始研究： 当 n3，m1 时，最多可以把原三角形剪成 3 个三角形； 当 n3，m2 时，最多可以把原三角形剪成（3+2）个三角形； 当 n3，m3 时，最多可以把原三角形剪成（5+2）个三角形； 进行从特殊到一般的归纳： 对于一般的情形，在三角形内画 m 个点，第一个点将三角形分成了 3 个三角形，三角形内部每增加一个 点，可增加 2 个三角形 故 n3 时，用含有 m 的代数式表示 y： y 3+2（m1） ； 方法：关注要素顶点数对组成三角形的作用 三角形的三个顶点和它内部的 1 个点，共 4 个点，以这 4 个点为顶点，最多可以组成 3 个互不重叠的小 三角形 三角形的三个顶点

48、和它内部的 2 个点，共 5 个点，以这 5 个点为顶点，最多可以组成 5 个互不重叠的小 三角形 三角形的三个顶点和它内部的 3 个点，共 6 个点，以这 6 个点为顶点，最多可以组成 7 个互不重叠的小 三角形 进行从特殊到一般的归纳： 三角形的三个顶点和它内部的 m 个点，共（m+3）个点，以这（m+3）个点为顶点，最多可以组成 （2m+1） 个互不重叠的小三角形 以三角形的三个顶点和它内部的 m 个点，可把三角形最多剪成 （2m+1） 个互不重叠的小三角形 （二）在四边形中研究类似的问题 四边形有 4 个顶点， 在它的内部再画 m 个点， 把四边形剪成若干个三角形， 设最多可以剪得 y

49、 个三角形， 那么可以用含有 m 的代数式来表示 y 吗？ 方法： 对于一般的情形，在四边形内画 m 个点，第一个点将四边形分成了 4 个三角形；四边形内部每增加一个 点，可增加 2 个三角形 故 n4 时，用含有 m 的代数式来表示 y：y 4+2（m1） 方法： 四边形的四个顶点和它内部的 m 个点， 共 （m+4） 个点， 以这 （m+4） 个点为顶点， 最多可以组成 2m+2 个互不重叠的小三角形 问题解决： 对于一般的情形， 在 n 边形内画 m 个点， 通过多角度探究、 归纳猜想和算两遍方法的验证， 可得 y n+2 （m1） （用含 m、n 的代数式表示） 【分析】类比探究：用两

50、种方法，构建关系式，可得结论 问题探究：（一）用两种方法，从特殊到一般的归纳解决问题即可 （二）用两种方法，从特殊到一般的归纳解决问题即可 问题解决：用两种方法，构建关系式求解即可 解：类比尝试：算法：直角梯形的面积， 算法：直角梯形的面积， 发现的结论：， 学过的重要定理：a2+b2c2 故答案为：，a2+b2c2 问题探究：（一）对于一般的情形，在三角形内画 m 个点，第一个点将三角形分成了 3 个三角形，三角 形内部每增加一个点，可增加 2 个三角形 故 n3 时，用含有 m 的代数式表示 y3+2（m1） 方法：关注要素顶点数对组成三角形的作用 三角形的三个顶点和它内部的 1 个点，共