1、2021 年江苏省泰州市靖江市中考数学一模试卷年江苏省泰州市靖江市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 1 （3 分）若 ab，则下列各式中一定成立的是（ ） Aa2b2 Ba5b5 C2a2b D4a4b 2 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ） A B C D 4 （3 分）截止至 2020 年 4 月 7 日，海外新型冠状病毒肺炎疫情累计确诊人数超过 126 万人，126 万用科 学记数法表示
2、为（ ） A0.126106 B1.26106 C0.126107 D1.26107 5 （3 分）如图，在ABC 中，CAB65，在同一平面内，将ABC 绕点 A 逆时针旋转到ABC 的位置，使得 CCAB，则BAC 等于（ ） A30 B20 C10 D15 6 （3 分）如图，一次函数 y2x 与反比例函数 y= （k0）的图象交于 A，B 两点，点 P 在以 C（2，0） 为圆心，1 为半径的C 上，Q 是 AP 的中点，已知 OQ 长的最大值为3 2，则 k 的值为（ ） A49 32 B25 18 C32 25 D9 8 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每
3、小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7 （3 分）若二次根式 2有意义，则实数 x 的取值范围是 8 （3 分）分解因式：xy22xy+x 9 （3 分）若 = 2 3，则 : = 10（3分） 小丽计算数据方差时， 使用公式s2= 1 5 (5 )2+ (8 )2+ (13 )2+ (14 )2+ (5 )2， 则 公式中 = 11 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 mx22x+n30 有两个相等实数根，则 1 n 的值是 12 （3 分）如图，ABEF，设C90，那么 x，y，z 的关系是 13
4、（3 分）过ABC 的重心 G 作 GEBC 交 AC 于点 E，线段 BC12，线段 GE 长为 14 （3 分）如图，在ABC 中，AC4，将ABC 绕点 C 按逆时针旋转 30得到FGC，则图中阴影部分 的面积为 15 （3 分）如图，在正方形 ABCD 外侧作直线 AP，点 B 关于直线 AP 的对称点为 E，连接 BE，DE，其中 直线 DE 交直线 AP 于点 F，若ADE25，则FAB 16 （3 分）若关于 x 的方程 x22ax+a20 的一个实数根为 x11，另一个实数根 x21，则抛物线 y x2+2ax+2a 的顶点到 x 轴距离的最小值是 三、解答题（本大题共有三、解
5、答题（本大题共有 10 题，共题，共 102 分）分） 17 （10 分） （1）计算： （2020）0+|2 1|2sin45+（1 3） 1 （2）解方程： ;2 = 1 :1 + 1 18 （8 分）对某篮球运动员进行 3 分球投篮测试结果如下表： 投篮次数 n 10 50 100 150 200 命中次数 m 4 25 65 90 120 命中率 0.4 0.5 0.65 （1）计算、直接填写表中投篮 150 次、200 次相应的命中率 （2）这个运动员投篮命中的概率约是 （3）估计这个运动员 3 分球投篮 15 次能得多少分？ 19 （8 分）在某次疫情发生后，根据疾控部门发布的统计
6、数据，绘制出如图统计图：图为 A 地区累计确 诊人数的条形统计图，图为 B 地区新增确诊人数的折线统计图 （1）根据图中的数据，A 地区星期三累计确诊人数为 ，新增确诊人数为 ； （2）已知 A 地区星期一新增确诊人数为 14 人，在图中画出表示 A 地区新增确诊人数的折线统计图 （3）你对这两个地区的疫情做怎样的分析、推断 20 （10 分）如图，ABD 中，ABDADB （1）作点 A 关于 BD 的对称点 C； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接 BC，DC，连接 AC，交 BD 于点 O 求证：四边形 ABCD 是菱形； 取 BC 的中点 E，连
7、接 OE，若 OE= 13 2 ，BD10，求点 E 到 AD 的距离 21 （8 分）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个两位数；1h 后，看到里程碑上的两 位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过 lh，看到里程碑上的数是第一次看到的两 位数的两个数字之间添加一个 0 所得的三位数这 3 块里程碑上的数各是多少？ 22（10分） 有一种升降熨烫台如图1所示， 其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度 图 2 是这种升降熨烫台的平面示意图AB 和 CD 是两根相同长度的活动支撑杆，点 O 是它们的连接点，OA OC，h（cm）表示熨烫台的高度 （1
8、）如图 2若 AOCO80cm，AOC120，求 AC 的长（结果保留根号） ； （2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度 h 为 128cm 时，两根支撑杆的夹角AOC 是 74 （如图 3） 求该熨烫台支撑杆 AB 的长度（参考数据： sin370.6， cos370.8， sin530.8， cos53 0.6） 23 （10 分）如图，直线 y2x+6 与反比例函数 y= （k0）的图象交于点 A（m，8） ，与 x 轴交于点 B， 平行于 x 轴的直线 yn（0n6）交反比例函数的图象于点 M，交 AB 于点 N，连接 BM （1）求 m 的值和反比例函数的解析式； （2
9、）观察图象，直接写出当 x0 时不等式 2x+6 0 的解集； （3）直线 yn 沿 y 轴方向平移，当 n 为何值时，BMN 的面积最大？最大值是多少？ 24 （12 分）以 AB 为直径作半圆 O，AB10，点 C 是该半圆上一动点，连接 AC、BC，并延长 BC 至点 D， 使 DCBC，过点 D 作 DEAB 于点 E、交 AC 于点 F，连接 OF （1）如图，当点 E 与点 O 重合时，求BAC 的度数； （2）如图，当 DE8 时，求线段 EF 的长； （3）在点 C 运动过程中，若点 E 始终在线段 AB 上，是否存在以点 E、O、F 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请直
10、接写出此时线段 OE 的长；若不存在，请说明理由 25 （12 分）如图，抛物线 ymx24mx+n（m0）与 x 轴交于 A，B 两点，点 B 在点 A 的右侧，抛物线与 y 轴正半轴交于点 C，连接 CA、CB，已知 tanCAO3，sinCBO= 2 2 （1）求抛物线的对称轴与抛物线的解析式； （2）设 D 为抛物线对称轴上一点， 当BCD 的外接圆的圆心在BCD 的边上时，求点 D 的坐标； 若BCD 是锐角三角形，直接写出点 D 纵坐标的取值范围 26 （14 分）如图 1，P 为MON 平分线 OC 上一点，以 P 为顶点的APB 两边分别与射线 OM 和 ON 交于 A、 B
11、两点， 如果APB 在绕点 P 旋转时始终满足 OAOBOP2， 我们就把APB 叫做MON 的关联角 （1）如图 2，P 为MON 平分线 OC 上一点，过 P 作 PBON 于 B，APOC 于 P，那么APB MON 的关联角（填“是”或“不是” ） （2）如图 3，如果MON60，OP2，APB 是MON 的关联角，连接 AB，求AOB 的面积和 APB 的度数； 如果MON（090） ，OPm，APB 是MON 的关联角，直接用含有 和 m 的代 数式表示AOB 的面积 （3）如图 4，点 C 是函数 y= 2 （x0）图象上一个动点，过点 C 的直线 CD 分别交 x 轴和 y 轴
12、于 A，B 两点，且满足 BC2CA，直接写出AOB 的关联角APB 的顶点 P 的坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 1 （3 分）若 ab，则下列各式中一定成立的是（ ） Aa2b2 Ba5b5 C2a2b D4a4b 【解答】解：ab， a2b2，a5b5，2a2b，4a4b 故选：A 2 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； B既是轴对称图形，也是中心对称图形，
13、故本选项符合题意； C是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：B 3 （3 分）下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ） A B C D 【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，因此 A 不符合题意； 圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此 B 不符合题意； 正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项 C 符合题意； 三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此 D 不符合题意； 故选：C 4 （3 分）截止至 2020 年 4 月 7 日，海外新型冠状病毒肺炎疫情累计确诊人数超过 126 万人，126 万用科
14、 学记数法表示为（ ） A0.126106 B1.26106 C0.126107 D1.26107 【解答】解：126 万12600001.26106， 故选：B 5 （3 分）如图，在ABC 中，CAB65，在同一平面内，将ABC 绕点 A 逆时针旋转到ABC 的位置，使得 CCAB，则BAC 等于（ ） A30 B20 C10 D15 【解答】解：CCAB， CCACAB65， ABC 绕点 A 逆时针旋转到ABC的位置， ACAC，CABCAB65， 在ACC中，ACCCCA65， CAC18065250， BACCABCAC655015 故选：D 6 （3 分）如图，一次函数 y2x
15、与反比例函数 y= （k0）的图象交于 A，B 两点，点 P 在以 C（2，0） 为圆心，1 为半径的C 上，Q 是 AP 的中点，已知 OQ 长的最大值为3 2，则 k 的值为（ ） A49 32 B25 18 C32 25 D9 8 【解答】解：连接 BP， 由对称性得：OAOB， Q 是 AP 的中点， OQ= 1 2BP， OQ 长的最大值为3 2， BP 长的最大值为3 2 23， 如图，当 BP 过圆心 C 时，BP 最长，过 B 作 BDx 轴于 D， CP1， BC2， B 在直线 y2x 上， 设 B（t，2t） ，则 CDt（2）t+2，BD2t， 在 RtBCD 中，由勾
16、股定理得：BC2CD2+BD2， 22（t+2）2+（2t）2， t0（舍）或 4 5， B（ 4 5， 8 5） ， 点 B 在反比例函数 y= （k0）的图象上， k= 4 5 ( 8 5) = 32 25； 故选：C 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7 （3 分）若二次根式 2有意义，则实数 x 的取值范围是 x2 【解答】解：由题意得：x20， 解得：x2， 故答案为：x2 8 （3 分）分解因式：xy22xy+x x（y1）2 【解答
17、】解：xy22xy+x， x（y22y+1） ， x（y1）2 9 （3 分）若 = 2 3，则 : = 2 5 【解答】解：由 = 2 3，得 a= 2 3 ， : = 2 3 2 3: = 2 2:3 = 2 5 = 2 5 故答案为：2 5 10（3分） 小丽计算数据方差时， 使用公式s2= 1 5 (5 )2+ (8 )2+ (13 )2+ (14 )2+ (5 )2， 则 公式中 = 9 【解答】解：s2= 1 5 (5 )2+ (8 )2+ (13 )2+ (14 )2+ (5 )2， = 5+8+13+14+5 5 =9， 故答案为：9 11 （3 分）已知关于 x 的一元二次方
18、程 mx22x+n30 有两个相等实数根，则 1 n 的值是 3 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 mx22x+n30 有两个相等实数根， m0，（2）24m（n3）0， 解得：mn3m1， 除以 m 得：n3= 1 ， 1 n3， 故答案为：3 12 （3 分）如图，ABEF，设C90，那么 x，y，z 的关系是 x+yz90 【解答】解：过 C 作 CMAB，延长 CD 交 EF 于 N， 则CDEE+CNE， 即CNEyz CMAB，ABEF， CMABEF， ABCx1，2CNE， BCD90， 1+290， x+yz90， 故答案为：x+yz90 13 （3 分）过ABC 的重心
19、 G 作 GEBC 交 AC 于点 E，线段 BC12，线段 GE 长为 4 【解答】解：连接 AG 并延长，交 BC 于 D， 点 G 是ABC 的重心，BC12， DC= 1 2BC6， = 2 3， GEBC， AGEADC， = = 2 3， 6 = 2 3， 解得：GE4， 故答案为：4 14 （3 分）如图，在ABC 中，AC4，将ABC 绕点 C 按逆时针旋转 30得到FGC，则图中阴影部分 的面积为 4 3 【解答】解：由题意得，CAB 的面积CFG 的面积， 由图形可知，阴影部分的面积CFG 的面积+扇形 CAF 的面积CBA 的面积， 阴影部分的面积扇形 CAF 的面积=
20、3042 360 = 4 3， 故答案为：4 3 15 （3 分）如图，在正方形 ABCD 外侧作直线 AP，点 B 关于直线 AP 的对称点为 E，连接 BE，DE，其中 直线 DE 交直线 AP 于点 F，若ADE25，则FAB 20或 110 【解答】解：如下图所示：连接 AE 点 B 与点 E 关于 AP 对称， AEAB，EAFBAF AEAD ADE25， EAD130， EAB1309040 BAF= 1 2EAB20 如下图所示：连接 AE 点 B 与点 E 关于 AP 对称， AEAB，EAPBAP AEAD ADE25， EAD130， EAB36013090140 PAB
21、= 1 2EAB70， BAF180PAB18070110 综上所述，BAF 为 20或 110 故答案为：20或 110 16 （3 分）若关于 x 的方程 x22ax+a20 的一个实数根为 x11，另一个实数根 x21，则抛物线 y x2+2ax+2a 的顶点到 x 轴距离的最小值是 16 9 【解答】解：关于 x 的方程 x22ax+a20 的一个实数根为 x11，另一个实数根 x21， 1 + 2 + 2 0 1 2 + 2 0， 解得：1a 1 3 抛物线 yx2+2ax+2a 的顶点坐标为（a，a2a+2） ， a2a+2（a 1 2） 2+7 4， 当 a= 1 3时，a 2a
22、+2 取最小值16 9 故答案为：16 9 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 题，共题，共 102 分）分） 17 （10 分） （1）计算： （2020）0+|2 1|2sin45+（1 3） 1 （2）解方程： ;2 = 1 :1 + 1 【解答】解： （1） （2020）0+|2 1|2sin45+（1 3） 1 1+2 12 2 2 +3 = 2 2 +3 3； （2） ;2 = 1 :1 + 1， 两边同时乘以（x2） （x+1）去分母得： x（x+1）x2+（x2） （x+1） ， 解得：x4， 检验：当 x4 时， （x2） （x+1）0， 原分式方程的解为 x
23、4 18 （8 分）对某篮球运动员进行 3 分球投篮测试结果如下表： 投篮次数 n 10 50 100 150 200 命中次数 m 4 25 65 90 120 命中率 0.4 0.5 0.65 0.6 0.6 （1）计算、直接填写表中投篮 150 次、200 次相应的命中率 （2）这个运动员投篮命中的概率约是 0.6 （3）估计这个运动员 3 分球投篮 15 次能得多少分？ 【解答】解： （1）投篮 150 次、200 次相应的命中率分别为 90 150 =0.6，120 200 =0.6 故答案为 0.6，0.6； （2）这个运动员投篮 3 分球命中率约是 0.6； 故答案为：0.6；
24、（3）估计这个运动员 3 分球投篮 15 次，命中 150.69 次，能得 9327（分） 19 （8 分）在某次疫情发生后，根据疾控部门发布的统计数据，绘制出如图统计图：图为 A 地区累计确 诊人数的条形统计图，图为 B 地区新增确诊人数的折线统计图 （1）根据图中的数据，A 地区星期三累计确诊人数为 41 ，新增确诊人数为 13 ； （2）已知 A 地区星期一新增确诊人数为 14 人，在图中画出表示 A 地区新增确诊人数的折线统计图 （3）你对这两个地区的疫情做怎样的分析、推断 【解答】解： （1）412813（人） ， 故答案为：41，13； （2）分别计算 A 地区一周每一天的“新增确
25、诊人数”为 14，14，13，16，17，14，10； 绘制的折线统计图如图所示： （3）A 地区的累计确诊人数可能还会增加，防控形势十分严峻，并且每一天的新增确诊人数均在 10 人 以上，每天新增确诊的人数不断减少的变化趋势不明显，而 B 地区的“新增确诊人数”不断减少，疫情 防控向好的方向发展，说明防控措施落实的比较到位 20 （10 分）如图，ABD 中，ABDADB （1）作点 A 关于 BD 的对称点 C； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接 BC，DC，连接 AC，交 BD 于点 O 求证：四边形 ABCD 是菱形； 取 BC 的中点 E，连
26、接 OE，若 OE= 13 2 ，BD10，求点 E 到 AD 的距离 【解答】解： （1）如图所示：点 C 即为所求； （2）证明：ABDADB， ABAD， C 是点 A 关于 BD 的对称点， CBAB，CDAD， ABBCCDAD， 四边形 ABCD 是菱形； 过 B 点作 BFAD 于 F， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，OB= 1 2BD5， E 是 BC 的中点，OAOC， BC2OE13， OC= 2 2=12， OA12， 四边形 ABCD 是菱形， AD13， BF= 1 2 1252213= 120 13 ， 故点 E 到 AD 的距离是120 13 21 （8
27、分）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个两位数；1h 后，看到里程碑上的两 位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过 lh，看到里程碑上的数是第一次看到的两 位数的两个数字之间添加一个 0 所得的三位数这 3 块里程碑上的数各是多少？ 【解答】解：设小亮第一次看到的两位数，十位数为 x，个位数为 y，则 1h 后，看到里程碑上的两位数 个位数为 x，十位数为 y，再过 lh，看到里程碑上的数，百位数为 x，干位数字为 0，个位数为 y， 第一个里程碑上的数为（10 x+y） ， 第二个里程碑上的数为（10y+x） ， 第三个里程碑上的数为（100 x+y） ， 小
28、亮是匀速行驶， 第 1h 行驶的路程第 2h 行驶的路程， （10y+x）（10 x+y）（100 x+y）（10y+x） ， 化简得，yx11xy， y6x， x，y 都为整数，且 1x9，1y9， x1，y6， 这 3 块里程碑上的数各是 16，61，106 答：这 3 块里程碑上的数各是 16，61，106 22（10分） 有一种升降熨烫台如图1所示， 其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度 图 2 是这种升降熨烫台的平面示意图AB 和 CD 是两根相同长度的活动支撑杆，点 O 是它们的连接点，OA OC，h（cm）表示熨烫台的高度 （1）如图 2若 AOCO80cm，A
29、OC120，求 AC 的长（结果保留根号） ； （2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度 h 为 128cm 时，两根支撑杆的夹角AOC 是 74 （如图 3） 求该熨烫台支撑杆 AB 的长度（参考数据： sin370.6， cos370.8， sin530.8， cos53 0.6） 【解答】解： （1）如图 2，过点 O 作 OEAC，垂足为 E， AOCO， AOE= 1 2AOC= 1 2 12060，AC2AE 在 RtAEO 中，AEAOsinAOE80 3 2 =403， AC2AE803 答：AC 的长为 803cm. （2）如图 3，过点 B 作 BFAC，垂足为
30、 F，则 BF128cm AOCO，AOC74， OACOCA= 18074 2 =53 在 RtABF 中，AB= = 128 0.8 =160cm 答：支撑杆 AB 长 160cm 23 （10 分）如图，直线 y2x+6 与反比例函数 y= （k0）的图象交于点 A（m，8） ，与 x 轴交于点 B， 平行于 x 轴的直线 yn（0n6）交反比例函数的图象于点 M，交 AB 于点 N，连接 BM （1）求 m 的值和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当 x0 时不等式 2x+6 0 的解集； （3）直线 yn 沿 y 轴方向平移，当 n 为何值时，BMN 的面积最大？最大值是
31、多少？ 【解答】解： （1）直线 y2x+6 经过点 A（1，m） ， m21+68， A（1，8） ， 反比例函数经过点 A（1，8） ， k8， 反比例函数的解析式为 y= 8 （2）不等式 2x+6 0 的解集为 x1 （3）由题意，点 M，N 的坐标为 M（8 ，n） ，N（ ;6 2 ，n） ， 0n6， ;6 2 0， 8 ;6 2 0 SBMN= 1 2|MN|yM|= 1 2 （8 ;6 2 ）n= 1 4（n3） 2+25 4 ， n3 时，BMN 的面积最大，最大值为25 4 24 （12 分）以 AB 为直径作半圆 O，AB10，点 C 是该半圆上一动点，连接 AC、BC
32、，并延长 BC 至点 D， 使 DCBC，过点 D 作 DEAB 于点 E、交 AC 于点 F，连接 OF （1）如图，当点 E 与点 O 重合时，求BAC 的度数； （2）如图，当 DE8 时，求线段 EF 的长； （3）在点 C 运动过程中，若点 E 始终在线段 AB 上，是否存在以点 E、O、F 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请直接写出此时线段 OE 的长；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）连接 OC C 为 DB 中点， OCBCOB， OBC 是等边三角形， B60， AB 为直径， ACB90， BAC30； （2）连接 DA AC 垂直平分 BD， ABAD10，
33、 DE8，DEAB， AE6， BE4， FAE+AFE90，CFD+CDF90， CDFEAF， AEFDEB90， AEFDEB， = ， EF3； （3）当交点 E 在 O、A 之间时， 若EOFBAC，此时 = ， = ， = ， OEAE， 则 OE= 5 2； 若EOFABC，此时 = ， = ， 则 OE= 5 3； 当交点 E 在 O、B 之间时，OE= 15+517 4 综上所述，OE= 5 2或 5 3或 ;15:517 4 25 （12 分）如图，抛物线 ymx24mx+n（m0）与 x 轴交于 A，B 两点，点 B 在点 A 的右侧，抛物线与 y 轴正半轴交于点 C，连
34、接 CA、CB，已知 tanCAO3，sinCBO= 2 2 （1）求抛物线的对称轴与抛物线的解析式； （2）设 D 为抛物线对称轴上一点， 当BCD 的外接圆的圆心在BCD 的边上时，求点 D 的坐标； 若BCD 是锐角三角形，直接写出点 D 纵坐标的取值范围 【解答】解： （1）抛物线 ymx24mx+n， 根据对称轴公式，得对称轴为直线 x= 4 2 =2，点 C 坐标为（0，n） ， sinCBO= 2 2 CBO45， COBO， 在 RtCAO 中，tanCAO3， =3，即 CO3AOn， AO= 3，BOn， 由抛物线对称轴可得， 3: 2 =2， 解得，n3， 将 B（3，0
35、）代入 ymx24mx+3， 得 9m12m+30， m1， 抛物线的解析式为：yx24x+3； （2）当BCD 的外接圆的圆心在BCD 的边上时， DCB 是直角三角形， D 为抛物线对称轴上一点， 设点 D 坐标为（2，a） ， 点 C 坐标为（0，3） ，点 B 坐标为（3，0） ， CD2（02）2+（a3）2a26a+13； BD2（32）2+（a0）2a2+1； CB2（03）2+（03）218， 当点 C 为直角顶点，CD2+CB2DB2， a26a+13+18a2+1，解得 a5， 点 D 坐标为（2，5） ； 当点 B 为直角顶点，BD2+CB2DC2， 18+a2+1a26
36、a+13，解得 a1， 点 D 坐标为（2，1） ； 当点 C 为直角顶点，CD2+CB2DB2， a26a+13+a2+118，解得 a= 317 2 ， 点 D 坐标为（2，3:17 2 ） ， （2，3;17 2 ） 点 D 坐标为（2，5）或（2，1）或（2，3:17 2 ）或（2，3;17 2 ） ； 由图形可知，当点 D 在 D1、D3之间或在 D4、D2之间时，BCD 是锐角三角形， 设点 D 纵坐标为 n， 则3:17 2 n5 或1n 317 2 26 （14 分）如图 1，P 为MON 平分线 OC 上一点，以 P 为顶点的APB 两边分别与射线 OM 和 ON 交于 A、
37、 B 两点， 如果APB 在绕点 P 旋转时始终满足 OAOBOP2， 我们就把APB 叫做MON 的关联角 （1）如图 2， P 为MON 平分线 OC 上一点，过 P 作 PBON 于 B，APOC 于 P， 那么APB 是 MON 的关联角（填“是”或“不是” ） （2）如图 3，如果MON60，OP2，APB 是MON 的关联角，连接 AB，求AOB 的面积和 APB 的度数； 如果MON（090） ，OPm，APB 是MON 的关联角，直接用含有 和 m 的代 数式表示AOB 的面积 （3）如图 4，点 C 是函数 y= 2 （x0）图象上一个动点，过点 C 的直线 CD 分别交 x
38、 轴和 y 轴于 A，B 两点，且满足 BC2CA，直接写出AOB 的关联角APB 的顶点 P 的坐标 【解答】解： （1）P 为MON 平分线 OC 上一点， BOPAOP， PBON 于 B，APOC 于 P， OBPOPA， OBPOPA， = ， OP2OAOB， APB 是MON 的关联角 故答案为是 （2）如图 3，过点 A 作 AHOB， APB 是MON 的关联角，OP2， OAOBOP24， 在 RtAOH 中，AHO90， sinAOH= ， AHOAsinAOH， SAOB= 1 2OBAH= 1 2OBOAsin60= 1 2 OP2 3 2 = 3， OP2OAOB，
39、 = ， 点 P 为MON 的平分线上一点， AOPBOP= 1 2MON30， AOPPOB， OAPOPB， APBOPB+OPAOAP+OPA18030150， 由有，SAOB= 1 2OBOAMON= 1 2m 2sin； （3）过点 C 的直线 CD 分别交 x 轴和 y 轴于 A，B 两点，且满足 BC2CA， 只有点 A 在 x 轴正半轴， 当点 B 在 y 轴负半轴时，点 A 只能在 x 轴正半轴即：点 P 只能在第四象限， 设 A（m，0） ，B（0，n） （m0，n0） OAm，OBn， BC2CA， 点 A 是 BC 中点， 点 C（2m，n） ， 点 C 在双曲线 y=
40、 2 上， 2m（n）2， mn1， AOB 的关联角APB OP2OAOB|m|n|1， OP1， 点 P 在AOB 的平分线上，设 P（a，a） （a0） ， OP22a2， 2a21， a= 2 2 或 a= 2 2 （舍） ， 点 P（ 2 2 ， 2 2 ） 当点 B 在 y 轴正半轴，由于 BC2CA，所以，点 A 只能在 x 轴正半轴上， 设 A（m，0） ，B（0，n） （m0，n0） 点 C（2 3 ， 3） ， 2 3 3 =2， mn9， AOB 的关联角APB OP2OAOBmn9， OP3， 点 P 在AOB 的平分线上，即：点 P 在第一象限，设 P（a，a） ， （a0） OP22a2， 2a29， a= 32 2 或 a= 32 2 （舍） 即：点 P（32 2 ，32 2 ） ， 综上所述， （ 2 2 ， 2 2 ）或（32 2 ，32 2 ）
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