1、2021-2022学年度高二年级第一次调研测试模拟演练数学试题一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在平面直角坐标系中，下列四个结论：每一条直线都有点斜式和斜截式方程；倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；方程与方程可表示一条直线；直线过点，倾斜角为，则其方程为.其中正确的个数为A 1B. 2C. 3D. 42. 已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线和上，且AB线段的中点为，则线段AB的长为（ ）A. 11B. 10C. 9D. 83. 以下四种表述不正确的是（ ）A. 已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PAPB
2、，AB为切点，则直线AB经过定点B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则D. 直线恒过定点4. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一如图，给出下列三个结论：曲线C所围成“心形”区域的面积大于3曲线C恰好经过8个整点即横纵坐标均为整数的点曲线C上任意一点到原点的距离都不超过其中，所有正确结论序号是（ ）A. B. C. D. 5. 给出下列四个关于圆锥曲线的命题，真命题的有（ ）设为两个定点，k为非零常数，则动点P轨迹为双曲线过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，则弦AB的中点P的轨迹为椭圆方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率双曲线与椭
3、圆有相同的焦点A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 已知点在以为圆心的圆C外，且圆C上的动点到点P距离的最小值为2，直线OP与圆C交于A，B两点其中O为坐标原点，点在劣弧AB上运动，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 7. 历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点到圆锥顶点的距离为，对于所得截口曲线给出如下命题：曲线形状为椭圆；点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；该曲线上任意两点间的最长距离为，最短距离为；该曲线的离心率为其中正确命题的序号为 A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点
4、，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是（ ）A. B. 6C. 8D. 二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9. 双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素曲线C：是双纽线，则下列结论正确的是（ ）A. 曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）B. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2C. 曲线C关于直线y
5、x对称的曲线方程为D. 若直线ykx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为10. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”如图，已知椭圆：， 分别为左、右顶点， 分别为上、下顶点， 分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）A. B. C. 轴，且D. 四边形的内切圆过焦点 ， 11. 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样， 笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点F
6、1(-1，0)和F2(1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是（ ）A. 曲线C过坐标原点B. 曲线C关于坐标原点对称C. 曲线C关于坐标轴对称D. 若点在曲线C上，则 的面积不大于12. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC，ABAC4，点B(1，3)，点C(4，2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（ ）A. 圆M上点到直线的最小距离为2B. 圆M上点到直线的最大距离为3C. 若点（x，y）在圆M上，则的最小值是D. 圆与圆M有公共点，则a的取值范围是
7、三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13. 已知直线与平行，则实数_.14. 当k变化时，直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是_15. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为_16. 抛物线的光学性质：平行于抛物线的对称轴的光线经抛物线反射后经过抛物线的焦点双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上这些性质可以应用在天文望远镜的设计等方面卡塞格林式望远镜是由两块反射镜组成的望远镜，如图中心截面示意图所示反射镜
8、中大的称为主镜，小的称为副镜，通常在主镜的中央开孔，成像于主镜后面.主镜是凹抛物面镜中心截面是抛物线，当来自天体平行对称轴的光线投射到主镜上，经过主镜反射，将会汇聚到卡塞格林焦点F处，但光线尚未完全汇聚时，又受到以F为焦点的凸双面镜中心截面是双曲线D的一支的反射，穿过主镜中心孔后汇聚于另一个焦点处以的中点为原点，为x轴，建立平面直角坐标系若单位：米，则抛物线C的方程为_凹抛物面镜的口径MN为，凸双面镜的口径ST为，若所有被凹抛物面镜汇聚的光线恰好都能被凸双曲面镜反射，则双曲线D的离心率为_.四解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.17
9、. 已知ABC的顶点A(4，1)，AB边上的高所在直线平行于直线3x+5y-1=0，角B的平分线所在直线方程为2x-y-5=0.（1）求点B坐标；（2）求BC边所在直线方程.18. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在y轴上的圆C经过两点和，直线l的方程为.（1）求圆C的方程（2）过点作圆C切线，求切线方程（3）当时，Q为直线l上点，若圆C上存在唯一点P满足，求点Q的坐标19. 已知椭圆 的离心率为，长轴长为，直线与椭圆交于、两点且为直角，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）求的长度.20. 已知圆：，圆，其中.（1）若，判断圆与的位置关系，并求两圆公切线方程（2）设圆与圆的公共弦所在直线为
10、l，且圆的圆心到直线l的距离为，求直线l的方程以及公共弦长21. 已知椭圆（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论.22. 已知动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数.（1）求点的轨迹.（2）若为轨迹与轴左侧的交点，直线交轨迹于两点不与重合，连接，并延长交直线于两点，且，问：直线是否经过定点
11、？若是，请求出该定点；若不是，试说明理由（3）在（2）的条件下，若直线斜率的取值范围是，求面积的取值范围2021-2022学年度高二年级第一次调研测试模拟演练数学试题一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在平面直角坐标系中，下列四个结论：每一条直线都有点斜式和斜截式方程；倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；方程与方程可表示一条直线；直线过点，倾斜角为，则其方程为.其中正确的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【详解】对于，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为
12、负数，直线斜率为负数，正确；对于，方程表示直线去掉点 与方程不表示同一直线，故错；对于，直线过点，倾斜角为，则其方程为，正确，正确的个数为，故选B.2. 已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线和上，且AB线段的中点为，则线段AB的长为（ ）A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】B【解析】【分析】由题意可知，得，可得线段AB的中点为，设，利用中点坐标公式可得，求出，再利用两点间的距离公式可求得结果【详解】因为直线和互相垂直，所以，解得，所以线段AB的中点为，所以设，则，解得，所以，所以，故选：C3. 以下四种表述不正确的是（ ）A. 已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PAP
13、B，AB为切点，则直线AB经过定点B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则D. 直线恒过定点【答案】D【解析】【分析】A.设，得到以OP为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减得到直线AB的方程，消去n求解判断； B. 根据圆的圆心到直线的距离为1和圆的半径为2判断；C.根据若两圆恰有三条公切线，则两圆相外切判断；D.将直线可化为求解判断.【详解】A.设，则 ，以OP为直径的圆的方程为 ，两圆方程相减得直线AB的方程为 ，消去n得 ，令 ，解得 ，所以直线AB经过定点，故正确；B. 因为圆的圆心到直线的距离为1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，所以圆上由三个
14、点到直线的距离等于1，故正确；C.曲线化为标准方程为，曲线，若两圆恰有三条公切线，则两圆相外切，即，解得，故正确；D. 直线可化为，令，解得，所以直线恒过定点，故错误；故选：D4. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一如图，给出下列三个结论：曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3曲线C恰好经过8个整点即横纵坐标均为整数的点曲线C上任意一点到原点的距离都不超过其中，所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据曲线特征，分别令，分x轴上方，x轴下方，转化为与矩形和等腰三角形的面积比较；将x换成-x，由方程不变，得到图形关于y轴对称，先得到，
15、时，曲线经过的点即可；由时，利用基本不等式求解.【详解】由方程，令，得，令，得，如图所示：由图象可知：x轴上方，曲线C所围成的面积大于矩形ABCD的面积，x轴下方，曲线C所围成的面积大于等腰三角形ABE的面积， ，所以曲线C所围成的 “心形”区域的面积大于2+2=3，故正确；由方程，将x换成-x，方程不变，所以图形关于y轴对称，令，得，即曲线C经过，当时，方程变为，由，解得，所以，此时，解得或，则曲线经过，再由对称性知，曲线经过，所以曲线一共经过6个整点，故错误；当时，方程为，则，即（当且仅当时等号成立），所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，故正确.故选：B5. 给出下列四个关于圆锥曲线
16、的命题，真命题的有（ ）设为两个定点，k为非零常数，则动点P的轨迹为双曲线过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，则弦AB的中点P的轨迹为椭圆方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率双曲线与椭圆有相同的焦点A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的定义可判断的正误，根据垂径定理可判断的正误，求出方程的根后可得的正误，求出焦点坐标后可判断的正误.【详解】若，则动点的轨迹为两条射线，故错误.连接，则，故的轨迹为为直径的圆（除去），故错误.方程的两根分别为，它们可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故正确.双曲线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，两者相同，故正确.故选：B.6.
17、 已知点在以为圆心的圆C外，且圆C上的动点到点P距离的最小值为2，直线OP与圆C交于A，B两点其中O为坐标原点，点在劣弧AB上运动，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意求得圆半径，作出圆及直线，交点，作直线，判断出劣弧上点的坐标代入有，可化简求值式为，再作直线，判断出在此直线上方有，下方有，因此得出要取得最小值，点在直线上方，求得与之平行的圆的切线方程可得结论.【详解】，因为圆C上的动点到点P距离的最小值为2，所以圆半径为，圆方程为，直线方程为，如图，作出圆，直线与圆交于点，作直线，劣弧位于直线的上方，因此点在劣弧AB上运动时，所以，作直线，在直线上方，有
18、，在直线下方，有，设直线与圆相切，则，直线上方取，即有，所以为最小值.故选：B.7. 历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点到圆锥顶点的距离为，对于所得截口曲线给出如下命题：曲线形状为椭圆；点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；该曲线上任意两点间的最长距离为，最短距离为；该曲线的离心率为其中正确命题的序号为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出轴截面的图像.根据选项可判断出正确.解直角三角形计算出的长以及长轴的长，由此可判断出正确，排除D选项.由于曲线是连续不断的，故任意两点间没有最短距离，故错误
19、，排除B,C选项.由此得出正确结论.【详解】根据选项可知正确，即曲线形状为椭圆. 画出轴截面的图像如下图所示，由于，所以,，即，所以，而曲线上任意两点最长距离为，故点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点，由此可判断出正确，排除D选项.由于曲线是连续不断的，故任意两点间没有最短距离，故错误，排除B,C选项.综上所述，本小题选A.【点睛】本小题主要考查圆锥的截面问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是（ ）A. B. 6C. 8D. 【答案】C【解析】【分析】由在上的
20、投影等于可知PF1PF2， 利用椭圆与双曲线的焦距相同找到和的关系，最后构建函数利用导数求出的最小值.【详解】如图，设半焦距为点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，PF1PF2设，则，在中，由勾股定理可得：.两边同除以c2，得2， 所以，当即时取等号，因此9e12+e22的最小值是8故选：C.【点睛】求最值题目一般分为三步：写表达式；消元；求值域.二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9. 双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，
21、是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素曲线C：是双纽线，则下列结论正确的是（ ）A. 曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）B. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2C. 曲线C关于直线yx对称的曲线方程为D. 若直线ykx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】令，求出整点的坐标，可判断选项A；利用已知和两点距离公式可判断选项B；由曲线C上关于对称的两点都满足方程，可判断选项C；联立直线ykx与曲线C解出方程的根，可得实数k的取值范围【详解】时，或2或，三个整点，无解，共有3个整点，A错误，曲线C上往取一点到原点
22、的距离B正确；曲线C上往取一点M关于的对称点为N，设，则，M在曲线C上，C正确与曲线C一定有公共点，与曲线C只有一个公共点，则，或，D正确故选：BCD10. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”如图，已知椭圆：， 分别为左、右顶点， 分别为上、下顶点， 分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）A B. C. 轴，且D. 四边形的内切圆过焦点 ， 【答案】BD【解析】【分析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，对于A，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A；对于B，根据勾股定理以及离心率公式判断B；根据结合斜率公式以及离心率公式判断C；由四边形的内切圆过焦点得出内
23、切圆的半径为c，进一步得出，结合离心率公式判断D.【详解】椭圆对于A，若，则，不满足条件，故A不符合条件；对于B，解得或（舍去），故B符合条件；对于C，轴，且，解得，不满足题意，故C不符合条件；对于D，四边形的内切圆过焦点即四边形的内切圆的半径为c，解得（舍去）或，故D符合条件故选：BD【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的应用，属于中档题.11. 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样， 笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的
24、距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是（ ）A. 曲线C过坐标原点B. 曲线C关于坐标原点对称C. 曲线C关于坐标轴对称D. 若点在曲线C上，则 的面积不大于【答案】BCD【解析】【分析】动点坐标为，根据题意可得曲线的方程为，对各个选项逐一验证，即可得出结论【详解】由题意设动点坐标为，则，即，若曲线C过坐标原点，将点代入曲线C的方程中可得与已知矛盾，故曲线C不过坐标原点，故A错误；把方程中的x被代换，y被代换，方程不变，故曲线C关于坐标原点对称，故B正确；因为把方程中的x被代换，方程不变，故此曲线关于y轴
25、对称，把方程中的y被代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称，故曲线C关于坐标轴对称，故C正确；若点P在曲线C上，则，当且仅当时等号成立，故的面积不大于，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥曲线新定义，轨迹方程的求法，关键是读懂题意，并能正确运用新定义是解题的关键，属于中档题型.12. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC，ABAC4，点B(1，3)，点C(4，2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（ ）A. 圆M上点到直线的最小距离为2B. 圆M上点到直线
26、的最大距离为3C. 若点（x，y）在圆M上，则的最小值是D. 圆与圆M有公共点，则a的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】由题意结合“欧拉线”概念可得ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，结合直线方程的知识可得线段BC的垂直平分线的方程，由直线与圆相切可得圆M的方程；由圆心到直线的距离可判断A、B；令，由直线与圆相切可得z的最值，即可判断C；由圆与圆的位置关系即可判断D；即可得解.【详解】由ABAC可得ABC外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，由点B(1,3)，点C(4,2)可得线段BC的中点为，且直线的BC的斜率，所以线段BC的
27、垂直平分线的斜率，所以线段BC的垂直平分线的方程为即，又圆M：的圆心为，半径为，所以点到直线的距离为，所以圆M：，对于A、B，圆M的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故A正确，B错误；对于C，令即，当直线与圆M相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故C正确；对于D，圆圆心为，半径为，若该圆与圆M有公共点，则即，解得，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了直线方程的求解及直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13. 已知直线与平行，
28、则实数_.【答案】.【解析】【详解】分析：利用平行线的充要条件列出方程求解即可.详解：直线与平行，可得，解得或，当时，两条直线重合，不满足题意，故答案为.点睛：本题考查平行线充要条件的应用，意在考查基本性质的掌握情况以及计算能力.14. 当k变化时，直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是_【答案】且，【解析】【分析】先求得直线过的定点坐标，再根据直线与椭圆总有公共点，由点P在椭圆上或在椭圆的内部求解.【详解】直线过定点，因为直线与椭圆总有公共点，所以点P在椭圆上或在椭圆内部，即，且，解得且，故答案为：且15. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆
29、与圆有公共点，则的最大值为_【答案】【解析】【详解】圆C方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需圆C：（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，即3k24k，0k，故可知参数k的最大值为.16. 抛物线的光学性质：平行于抛物线的对称轴的光线经抛物线反射后经过抛物线的焦点双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上这些性质可
30、以应用在天文望远镜的设计等方面卡塞格林式望远镜是由两块反射镜组成的望远镜，如图中心截面示意图所示反射镜中大的称为主镜，小的称为副镜，通常在主镜的中央开孔，成像于主镜后面.主镜是凹抛物面镜中心截面是抛物线，当来自天体平行对称轴的光线投射到主镜上，经过主镜反射，将会汇聚到卡塞格林焦点F处，但光线尚未完全汇聚时，又受到以F为焦点的凸双面镜中心截面是双曲线D的一支的反射，穿过主镜中心孔后汇聚于另一个焦点处以的中点为原点，为x轴，建立平面直角坐标系若单位：米，则抛物线C的方程为_凹抛物面镜的口径MN为，凸双面镜的口径ST为，若所有被凹抛物面镜汇聚的光线恰好都能被凸双曲面镜反射，则双曲线D的离心率为_.【
31、答案】 . . 【解析】【分析】根据抛物线C的焦点坐标为，求得其方程；根据，求得M的坐标，由ST=，求得S的纵坐标，再根据，求得其横坐标，再根据双曲线的焦点为F，设双曲线方程为，将S的坐标代入求解.【详解】因为曲线C的焦点坐标为，所以，则抛物线C的方程为，因为，所以 ，则，设，因为ST=，则，易知，则，解得，又双曲线的焦点为F，则，所以双曲线方程为，将，代入上式，解得或，又，则，所以，故答案为：，四解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知ABC的顶点A(4，1)，AB边上的高所在直线平行于直线3x+5y-1=0，角B的平分线
32、所在直线方程为2x-y-5=0.（1）求点B坐标；（2）求BC边所在直线方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意，设出，由直线的斜率公式和两直线垂直的性质，求出，即可得出的坐标；（2）由题可得点关于的对称点在直线BC上，求出即可求出BC方程.【详解】（1）设，故直线AB的斜率为， AB边上的高所在直线平行于直线，解得，；（2）由题可得点关于的对称点在直线BC上，设，则，解得，即，则直线BC的方程为，即.【点睛】方法点睛：关于轴对称问题：（1）点关于直线的对称点，则有；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.18. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在y轴上的
33、圆C经过两点和，直线l的方程为.（1）求圆C的方程（2）过点作圆C切线，求切线方程（3）当时，Q为直线l上的点，若圆C上存在唯一点P满足，求点Q的坐标【答案】（1）；（2）或；（3）或.【解析】【分析】（1）根据圆心在y轴上，设圆的方程为，然后将M，N坐标代入求解； （2）分切线斜率不存在和切线斜率存在两种情况，由圆心到直线的距离等于半径求解；设，根据，得到点P的轨迹方程，由其轨迹与圆C相切求解.【详解】（1）设圆的方程为，将M，N坐标代入，得：解得所以圆的方程为（2）当切线斜率不存在时，直线与圆相切；当切线斜率存在时，设直线方程为，即，由圆心到直线的距离，解得，故切线方程为，综上，切线方程为
34、或.设，则，化简得，此圆与圆C相切，所以有，解得，所以或.19. 已知椭圆 的离心率为，长轴长为，直线与椭圆交于、两点且为直角，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）求的长度.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设椭圆的焦半距为c，利用离心率为，椭圆C的长轴长为4列出方程组求解c，推出b，即可得到椭圆的方程（2）直线与椭圆交于、两点且为直角，转化为 x1x2+y1y2=0再利用弦长公式求解即可【详解】（1）由题意， ， 所以.椭圆方程为（2）设，把代人，得.因为为直角，所以，得，所以， .的长度为【点睛】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查计算能力
35、以及转化思想的应用20. 已知圆：，圆，其中.（1）若，判断圆与的位置关系，并求两圆公切线方程（2）设圆与圆的公共弦所在直线为l，且圆的圆心到直线l的距离为，求直线l的方程以及公共弦长【答案】（1）两圆内切，；（2）直线l的方程为，公共弦长为.【解析】【分析】（1）由，分别得到圆和圆的圆心，半径，然后利用圆圆的位置关系判断，再由两圆方程相减得到公切线； （2）先得到两圆公共弦所在直线l的方程，再利用弦长公式求解.【详解】（1）当时，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，圆心距，所以两圆内切；因为两圆内切，所以公切线只有一条，两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到：；（2）两圆公共弦所在直线l的方程为：
36、，圆的圆心到直线l的距离，于是，或舍，所以直线l的方程为；因为圆半径，弦心距，由勾股定理可得半弦长为，所以公共弦长为.21. 已知椭圆（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论.【答案】（1）是；（2）；（3）是，证明见解析.【解析】【分析】（1）直接判断即可，（2）由（1）的方法判断，可得y2
37、时，函数值达到最大，分别讨论二次项系数的正负，是否满足条件得出a的取值范围；（3）设参数方程满足以MN为直径的圆过原点，使数量积为零得出定点（0，2）【详解】（1）由题意得椭圆方程：1，所以A（0，2），设P（x，y）则|PA|2x2+（y2）25（1）+（y2）2y24y+9，y2，2，二次函数开口向下，对称轴y8，y2，2上函数单调递减，所以y2时，函数值最大，此时P为椭圆的短轴的另一个端点，椭圆是“圆椭圆”；（2）由（1）的方法：椭圆方程：1，A（0，2）设P（x，y），则|PA|2x2+（y2）2a2（1）+（y2）2（1）y24y+4+a2，y2，2，由题意得，当且仅当y2时，函数值
38、达到最大，讨论：当开口向上时，满足：2a2（与矛盾，舍）；当开口向下时，满足2a2，综上a的范围：（2，2（3）a2，椭圆方程：1，由题意：设P（2cos，sin），0，2，且，则Q（2cos，sin），则直线AP：yx+2M（，0）则直线AQ：y2N（，0），MN为直径的圆过定点C，由对称性知C在y轴上，设C（0，n）则，且0， ,（n），,所以得定点（0，2）【点睛】考查新定义圆椭圆的定义，以及圆过定点问题，涉及到二次函数最值问题的考查，考查了分类讨论及转化的数学思想，属于中档题22. 已知动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数.（1）求点的轨迹.（2）若为轨迹与轴左侧的交点，直线交轨迹
39、于两点不与重合，连接，并延长交直线于两点，且，问：直线是否经过定点？若是，请求出该定点；若不是，试说明理由（3）在（2）的条件下，若直线斜率的取值范围是，求面积的取值范围【答案】（1）；（2）过定点，定点为；（3）.【解析】【分析】（1）、由点到直线距离公式和两点间距离公式列出方程，化简即可求出点的轨迹；（2）、分析可知直线的斜率存在，故设直线方程为，将与轨迹的方程联立，得到关于的一元二次方程根据韦达定理写出根与系数的关系，结合题意求得两点坐标，计算、，由计算得到与的关系，验证即可得出直线经过的定点坐标；（3）、结合（2）中条件写出表达式，根据取值范围是即可求出面积的取值范围.【详解】解：（1）、动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数，化简得：，即点的轨迹为；（2）、由已知得：直线的斜率存在，设，联立得：，设，则由韦达定理得：，因为,则直线，则直线，延长线交直线于两点，则，由得，代入化简得：，解得或当时，直线，直线经过直线,不成立.当时，直线，检验满足，故经过定点；（3）、由（2）得，将，代入化简得：，又，所以，即，故.
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