1、84 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 【教材梳理】 1直线与圆的位置关系 位置关系 图示 公共点 个数 几何特征 代数特征(解的个 数) 相离 无实数解 相切 dr 相交 2 2圆与圆的位置关系 位置关系 图示(Rr) 公共点个数 几何特征(O1O2 d) 代数特征(两个圆 的方程组成的方 程组的解的个数) 外离 0 无实数解 外切 1 两组相同实数解 相交 2 两组不同实数解 内切 1 两组相同实数解 内含 0 无实数解 【常用结论】 3与切线、切点弦有关结论 (1)已知 O1：x2y2r2； O2：(xa)2(yb)2r2； O3：x2y2DxEyF0 若点 M(x0
2、，y0)在圆上，则过 M 的切线方程分别为 x0 xy0yr2； (xa)(x0a)(yb)(y0b)r2； x0 xy0yD x0 x 2 E y0y 2 F0 若点 M(x0，y0)在圆外，过点 M 引圆的两条切线，切点为 M1，M2，则切点弦(两切点的连线段)所 在直线的方程分别为 x0 xy0yr2； (xa)(x0a)(yb)(y0b)r2； x0 xy0yD x0 x 2 Ey0y 2 F0 (2)圆 x2y2r2的斜率为 k 的两条切线方程分别为 ykx r 1k2 (3)过圆 x2y2DxEyF0 外一点 M(x0，y0)引圆的切线，T 为切点， 切线长公式为|MT x2 0y
3、 2 0Dx0Ey0F 【自查自纠】 10 dr 1 两组相同实数解 dRr dRr RrdRr dRr dRr 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交 ( ) (2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切 ( ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的 直线方程 ( ) (4)若两圆相切，则有且只有一条公切线 ( ) (5)若两圆外离，则公切线有 4 条 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 圆(x2)2y24 与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为 (
4、 ) A内切 B相交 C外切 D相离 解：两圆圆心分别为(2，0)，(2，1)，半径分别为 2 和 3，圆 心距 d 421 17因为 32d0)与圆x2y21和圆(x4)2y21 均相切，则 k_，b_ 解：由题意，C1，C2到直线 ykxb 的距离都等于半径，即 | |b k212 |4kb| k2121， 所以|b|4kb ，解得 k0(舍)或者 b2k，解得 k 3 3 ，b2 3 3 故填 3 3 ；2 3 3 考点一考点一 直线与圆的直线与圆的位置关系位置关系 命题角度 1 位置关系判断 (1)已知点 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，则直线 axby1 与圆 O 的位 置关系
5、是 ( ) A相切 B相交 C相离 D不确定 解：因为 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，所以 a2b21，而圆心 O 到直线 ax by1 的距离 d|a0b 01| a2b2 1 a2b21，所以直线与圆相交故选 B (2)圆 x2y22x4y0 与直线 2txy22t0(tR)的位置关系为( ) A相离 B相切 C相交 D以上都有可能 解：直线 2txy22t0 恒过点(1，2)， 因为 12(2)2214(2)50， 所以点(1，2)在圆 x2y22x4y0 内 所以直线与圆相交故选 C (3)直线 axby0 与圆 x2y2axby0 的位置关系是 ( ) A相交 B相切 C相离
6、 D不能确定 解：将圆的方程化为标准方程得 xa 2 2 yb 2 2 a 2b2 4 ， 所以圆心为 a 2， b 2 ，半径 r a2b2 2 ， 因为圆心到直线 axby0 的距离 d a2b2 2 a2b2 a2b2 2 r， 则圆与直线的位置关系是相切故选 B 【点拨】 判断直线与圆的位置关系常见的方法：几何法：利 用 d 与 r 的关系代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之 后利用 判断点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在 圆内，可判断直线与圆相交；若点在圆上，直线与圆可能相切，也 可能相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法更 适用于动直线问题 (1)若直线 l
7、：ykx1(k0)与圆 C：x24xy22y30 相切，则直线 l 与圆 D：(x2)2y23 的位置关系是 ( ) A相交 B相切 C相离 D不确定 解：因为圆 C 的标准方程为(x2)2(y1)22，所以其圆心坐标为(2，1)，半径 为 2因为直线 l 与圆 C 相切，所以|2k11| k21 2，解得 k 1，因为 k0，所以 k 1， 所以直线 l 的方程为 xy10圆心 D(2， 0)到直线 l 的距离 d|201| 2 2 2 3，所以直线 l 与圆 D 相交故选 A (2)直线 l：(a1)x(a1)y2a0(aR)与圆 C：x2y22x2y70 的 位置关系是 ( ) A相切
8、B相交 C相离 D不确定 解：把直线 l 的方程化为 xya(xy2)0，由 xy0， xy20，解得 x1， y1，即直 线 l 过定点(1，1)， 又(1)2(1)22(1)2(1)750， 则点(1，1)在圆 x2y22x2y70 的内部，则直线 l 与圆 C 相交故选 B (3)在ABC 中，若 asinAbsinBcsinC0，则圆 C：x2y21 与直线 l：axbyc0 的位置关系是( ) A相切 B相交 C相离 D不确定 解：因为 asinAbsinBcsinC0，所以由正弦定理得 a2b2c2 0故圆心 C(0，0)到直线 l：axbyc0 的距离 d |c| a2b21r，
9、 故圆 C：x2y21 与直线 l：axbyc0 相切故选 A 命题角度 2 已知位置关系求参数值(范围) 【多选题】若圆 C：x2y22x4y200 上有四个不同的点到直线 l：4x3y c0 的距离为 2，则 c 的取值可能是( ) A13 B13 C15 D18 解：圆 C：x2y22x4y200 化为(x1)2(y2)2 25，则圆心为 C(1，2)，半径为 r5， 若圆 C：x2y22x4y200 上有四个不同的点到直线 l：4x3yc0 的距离为 2，则圆心 C(1，2)到直线 l 的距离 d3， 如图，即|413（2）c| 5 |c2| 5 3， 所以13c17故选 BC 【点拨
10、】 已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时， 可根据数形结 合思想转化为直线与圆的位置关系问题，由此建立方程或不等式(组)求 解 (2019届福建龙岩市高三上期末)若直线 yxm 与曲线 y 1x2有且只 有一个公共点，则实数 m 的取值范围为( ) A(1，1 2 B 2， 2 C1，1) 2 D(1， 2 解：y 1x2表示半圆，如图所示， 因为直线 yxm 与曲线 y 1x2有且只有一个公共点， d |m| 12（1）21，解得 m 2，m 2(舍去)； 代入(1，0)可得 01m，m1，代入(1，0)可得 01m，m1 综上，结合图象可得1m0)相交于 A，B 两点若|AB|6，则
11、r 的值为_ 解：因为圆心()0，0 到直线 x 3y80 的距离 d 8 134，|AB|2 r 2d22 r2166，解得 r5故填 5 【点拨】 一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、 弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解；圆 O 内过点 A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦；圆锥曲 线的弦长公式为 1k2|x1x2，必要时考虑运用这一公式也可解题 过点(3，1)作圆(x2)2(y2)24 的弦，其中最短弦的 长为_ 解：易知点(3，1)在圆内设 P(3，1)，圆心 C(2，2)，则|PC| 2，半 径 r2，由题意知最短的弦过 P(3
12、，1)且与 PC 垂直，所以最短弦长为 222（ 2）22 2故填 2 2 (1)分别求当实数 k 为何值时，两圆 C1：x2y24x6y120， C2：x2y22x14yk0 相交、相切 解：将两圆的一般方程化为标准方程，得 C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k， 则圆 C1的圆心为 C1(2，3)，半径 r11； 圆 C2的圆心为 C2(1，7)，半径 r2 50k，k50 从而|C1C2|（21）2（37）25 当| 50k1|5 50k1，即 4 50k6， 即 14k0)截直线 xy0 所得线段的长度是 2 2，则 圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21
13、的位置关系是( ) A内切 B相交 C外切 D相离 解：由垂径定理得 a 2 2 ( 2)2a2，解得 a24，所以圆 M：x2(y2)24， 所以圆 M 与圆 N 的圆心距 d （01）2（21）2 2因为 21 221， 所以两圆相交故选 B 【点拨】 与判断直线与圆的位置关系一样， 利用几何方法判定两圆的位 置关系比用代数方法要简捷些其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离 公式求出两圆圆心距 d 和两圆的半径 R 和 r，再根据 d 与 Rr，d 与 Rr 的 大小关系来判定 (1)若圆 C1：x2y22axa290(aR)与圆 C2：x2y22byb21 0(bR)内切，则 ab 的最
14、大值为( ) A 2 B2 C4 D2 2 解：圆 C1：x2y22axa290(aR)， 化为(xa)2y29，圆心坐标为(a，0)，半径为 3 圆 C2：x2y22byb210(bR)， 化为 x2(yb)21，圆心坐标为(0，b)，半径为 1， 因为两圆内切，所以 a2b231，即 a2b24，ab1 2(a 2b2)2当且仅 当 ab 2时取“” 所以 ab 的最大值为 2故选 B (2)如果圆 C：x2y22ax2ay2a240 与圆 O：x2y24 相交，那么实 数 a 的取值范围是_ 解：圆 C 的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半 径为 2 依题意得 0
15、 a2a222，所以 0|a|0)其中 的 a，b 是定值，r 是参数半径相等的圆系方程：(xa)2(yb)2r2(r0)其 中 r 是定值，a，b 是参数过直线 AxByC0 与圆 x2y2DxEyF0 交点的圆系方程：x2y2DxEyF(AxByC)0(R)过圆 C1：x2 y2D1xE1yF10 和圆 C2：x2y2D2xE2yF20 交点的圆系方程：x2 y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)(其中不含圆 C2，因此 应用时注意检验 C2是否满足题意，以防丢解)当 1 时，圆系方程表示直线 l： (D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0若两圆相交， 则 l 为两圆相
16、交弦所在直线； 若两圆相切，则 l 为公切线 圆 x2y24x4y10 与圆 x2y22x130 相交于 P，Q 两点，则直线 PQ 的方程为_ 解：两个圆的方程两端相减，可得 2x4y120，即 x2y60故 填 x2y60 学科素养微专题 直线与圆综合问题中的数学运算 已知圆 C：x2(y1)25，直线 l：mxy1m0 (1)求证：对 mR，直线 l 与圆 C 总有两个不同交点； (2)设 l 与圆 C 交于不同两点 A，B，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程； (3)若定点 P(1，1)分弦 AB 为AP PB 1 2，求此时直线 l 的方程 解：(1)证法一：圆 C：x2(y1)25
17、 的圆心为 C(0，1)，半径为 5 所以圆心 C 到直线 l：mxy1m0 的距离 d |m m21 | |m | |m 10) 且（66）2（b7）2b5，解得 b1， 所以圆 N 的标准方程为(x6)2(y1)21 (2)因为 kOA2，所以可设 l 的方程为 y2xm，即 2xym0 又 BCOA 22422 5 由题意，圆 M 的圆心 M(6，7)到直线 l 的距离为 d52 BC 2 2 2552 5，即 |267m| 22（1）22 5，解得 m5 或 m15 所以直线 l 的方程为 y2x5 或 y2x15 (3)由TA TP TQ ，则四边形 AQPT 为平行四边形， 又因为 P，Q 为圆 M 上的两点，所以 PQ2r10 所以 TAPQ10，即 （t2）24210， 解得 22 21t22 21 故 t 的取值范围为22 21，22 21
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