1、第二节第二节 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 【知识重温】【知识重温】 一、必记 2 个知识点 1函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数 f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自 变量的值 x1，x2 当 x1x2时，都有_，那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是增函数； 当 x1x2时， 都有_， 那么就说函数f(x)在区间D上 是减函数 图象描述 自左向右看图象是_ 自左向右看图象是 _ 注：定义的两种形式 设 x1，x2D 且 x10(x1x2) f(x1)f(x2)0，则 f(x)为增函数；若 fx1fx2 x1x2
2、 0(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数 f(x) 在区间 D 上是增函数( ) (5)已知函数 yf(x)在 R 上是增函数，则函数 yf(x)在 R 上是减函数( ) 二、教材改编 2已知函数 f(x) 2 x1，x2,6，则 f(x)的最大值为( ) A3 B1 C2 D4 3已知函数 f(x)4x2kx8 在5,20上具有单调性，则实数 k 的取值范围是 _ 三、易错易混 4函数 f(x)1x 1x的单调减区间为( ) A(，1) B(1，) C(，1)，(1，) D(，1)(1，) 5若函数 f(x)x22(a1)x2 的单调递减区间是(，4，则实数 a 的值是_ 四、走进高考
3、 62019 北京卷下列函数中，在区间(0，)上单调递增的是( ) Ay 1 2 x By2 x Cy 1 2 log x Dy1 x 考点一 确定函数的单调性(区间) 分层深化型 考向一：判断函数的单调性 1判断函数 y2x 23 x 的单调性 考向二：利用函数图象求函数的单调区间 2求函数 f(x)x22|x|1 的单调区间 考向三：求复合函数的单调区间 3函数 f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是( ) A(，2) B(，1) C(1，) D(4，) 悟 技法 1.确定函数单调性(区间)的三种常用方法 (1)定义法：一般步骤：任取 x1，x2D，且 x10，则 kf(x)与 f(x
4、)单调性相同；若 k0，1sin x1 等)确定函数的值域 (5)分离常数法：形如求 ycxd axb(ac0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解 另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法. 考点三 函数单调性的应用分层深化型 考向一：比较函数值的大小 例 1 2021 郑州模拟已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)， 且函数 f(x)在(， 0)上是减函数，若 af(1)，bf log21 4 ，cf(20.3)，则 a，b，c 的大小关系为( ) Acba Bacb Cbca Dabc 考向二：解不等式 例 2 已知函数 f(x) x21，x0， 1，xf
5、(2x)的 x 的取值范围是( ) A(0， 21) B(1， 21) C(0， 21) D(1， 21) 考向三：求参数的值或取值范围 例 3 2021 黑龙江哈工大附中月考若函数 f(x) ax，x1， 4a 2 x2，x1 在其定义域上为 增函数，则实数 a 的取值范围是( ) A(4,8) B4,8) C(1，) D(1,8) 听课笔记： 悟 技法 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小 (2)解不等式利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的 定义域 (3)利用单调性求参数 依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较
6、； 需注意：若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 同类练(着眼于触类旁通) 1已知 f(x)2x2 x，a 1 4 7 ( ) 9 ，b 1 5 9 ( ) 7 ，clog27 9，则 f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序 为( ) Af(b)f(a)f(c) Bf(c)f(b)f(a) Cf(c)f(a)f(b) Df(b)f(c)f(a) 2已知函数 f(x)x|x|，x(1,1)，则不等式 f(1m)1， 对于任意 x1x2都有fx1fx2 x1x2 0 成立，则实数 a 的取值范围是(
7、) A(1,3 B(1,3) C(1,2 D(1,2) 42021 广州模拟已知函数 f(x)在(，)上单调递减，且当 x2,1时，f(x)x2 2x4，则关于 x 的不等式 f(x)1 的解集为( ) A(，1) B(，3) C(1,3) D(1，) 拓展练(着眼于迁移应用) 52021 贵阳市高三摸底函数 y x5 xa2在(1，)上单调递增，则 a 的取值范围是 ( ) Aa3 Bax11 时，f(x2) f(x1) (x2x1)ab Bcba Cacb Dbac 第二节第二节 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 【知识重温】【知识重温】 f(x1)f(x2) 上升的 下降的 增函数
8、减函数 单调区间 f(x)0 f(x)0，所以幂函数 y 1 2 x 在(0，)上单调递增 B 选项，指数函数 y2 x(1 2) x在(0，)上单调递减 C 选项，因为 01 21，所以对数函数 y 1 2 log x 在(0，)上单调递减 D 选项，反比例函数 y1 x在(0，)上单调递减 答案：A 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：因为 f(x)2x 23 x 2x3 x，且函数的定义域为(，0)(0，)，而函数 y 2x 和 y3 x在区间(，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得 f(x)2x 3 x在 区间(，0)上为增函数 同理，可得 f(x)2x3 x在区间(0
9、，)上也是增函数 故函数 f(x)2x 23 x 在区间(，0)和(0，)上均为增函数 2解析：f(x) x22x1，x0， x22x1，x0 x122，x0， x122，x0，得 x4 或 x2. 设 tx22x8，则 yln t 为增函数 要求函数 f(x)的单调递增区间，即求函数 tx22x8 在定义域内的单调递增区间 函数 tx22x8 在(，2)上单调递减，在(4，)上单调递增，函数 f(x)的单 调递增区间为(4，) 答案：D 考点二 4解析：因为函数 f(x)x1 x在 2，1 3 上是减函数，所以 f(x)maxf(2)21 2 3 2. 答案：A 5解析：令 t x1，则 t
10、0 且 xt21， 所以 yt21t t1 2 23 4，t0， 所以当 t1 2时，ymin 3 4. 答案：3 4 6解析：y3x1 x2 3x27 x2 3 7 x2， 因为 7 x20，所以 3 7 x23，所以函数 y 3x1 x2 的值域为y|yR 且 y3 答案：y|yR 且 y3 考点三 例 1 解析：函数 f(x)满足 f(x)f(x)，cf(20.3)f(20.3) 120.320.32，即120.3log21 4. 函数 f(x)在(，0)上是减函数， f(1)f(20.3)f log21 4 ，即 acf(2x)等价于 1x20， 2x0 或 1x20， 2x0， 1x
11、22x， 解得1x1， 4a 20， a6a 2， 解得 4a 1 5 9 ( ) 7 1， clog27 90， 所以 cba.因为 f(x)2 x2x2x 1 2 x在 R 上单调递增，所以 f(c)f(b)f(a) 答案：B 2解析：由已知得 f(x) x2，1x0， x2，0 x1， 则 f(x)在(1,1)上单调递减， 所以 11m1， 1m211， m211m， 解得 0m1， 所以所求解集为(0,1) 答案：(0,1) 变式练 3解析：根据题意，由fx1fx2 x1x2 0，易知函数 f(x)为 R 上的单调递减函数，则 a31， a352a， 解得 1a2.故选 C. 答案：C 4解析：因为 f(1)1，所以 f(x)1，等价于 f(x)1，所以关于 x 的不等式 f(x)1 的解集为(1，) 答案：D 拓展练 5解析：y x5 xa2 xa2a3 xa2 1 a3 xa2，所以当 a3x11时， f(x2)f(x1)(x2x1)ac.故选 D 项 答案： D
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