1、第四章 指数函数与对数函数 4.24.2 指数函数指数函数 第第1 1课时课时 指数函数的概念、图象与性质指数函数的概念、图象与性质 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解指数函数的概念与意义，掌 握指数函数的定义域、值域的求 法(重点、难点) 2能画出具体指数函数的图象，并 能根据指数函数的图象说明指数函 数的性质(重点) 1.通过学习指数函数的图象，培养 直观想象的数学素养 2借助指数函数的定义域、值域的 求法，培养逻辑推理素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航
2、4 1指数函数的概念 一般地， 函数 (a0， 且 a1)叫做指数函数， 其中 是自变量， 函数的定义域是_. yax x R 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 2指数函数的图象和性质 a 的范围 a1 0a1 图象 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 定义域 R 值域 _ 过定点 ，即当 x0 时，y 单调性 在 R 上是 在 R 上是 奇偶性 非奇非偶函数 性 质 对称性 函数 yax与 ya x 的图象关于 对称 (0，) (0,1) 1 增函数 减函数 y 轴 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 思考1：指数函数yax(a0且a1)的图象“升”“降”主要取决于 什么？ 提
3、示：指数函数yax(a0且a1)的图象“升”“降”主要取决于字 母a.当a1时，图象具有上升趋势；当0a0 且 a1)， 则 由 f(3)8 得 a38，a2，f(x) 2x，故选 B. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 4函数yax(a0且a1)在R上 是增函数，则a的取值范围是 _ (1，) 结合指数函数的性 质可知，若yax(a 0且a1)在R上 是增函数，则a 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 【例1】 (1)下列函数中，是指数函数的个数是( ) y(8)x；y2x 21；yax；
4、 y2 3x. A1 B2 C3 D0 (2)已知函数f(x)为指数函数，且f 3 2 3 9 ，则f(2)_. 指数函数的概念 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 (1)D (2)1 9 (1)中底数80 且 a1 时，才是指数函数； 中 3x前的系数是 2，而不是 1，所以不是指数函数，故选 D. (2)设 f(x)ax(a0 且 a1)，由 f 3 2 3 9 得 a 3 2 3 9 ，所以 a3，又 f(2)a 2，所以 f(2)321 9. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 1判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数
5、函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)ax的系数必须为1. 2求指数函数的解析式常用待定系数法 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 1已知函数f(x)(2a1)x是指 数函数，则实数a的取值范围是 _ 1 2，1 (1，) 由题意可 知 2a10， 2a11， 解得a1 2，且a1， 所以实数a的取值范围是 1 2，1 (1，) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 【例2】 (1)函数f(x)ax b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下 列结论正确的是( ) Aa1，b1，b0 C0a0 D0a1，b0，且a1)的图象过定点_ 指数函数的图象的应用 栏目导航栏目导航 栏目导航
6、栏目导航 18 (1)D (2)(3,4) (1)由于f(x)的图象单调递减，所以0a1， 又0f(0)1，所以0a b0，b0，且a1)的 图象过定点(3,4) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 指数函数图象问题的处理技巧 1抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点. 2利用图象变换，如函数图象的平移变换左右平移、上下平移. 3利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性 决定函数图象的走势. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 2已知f(x)2x的图象，指出下列函数的图象是由yf(x)的图象通过 怎样的变化得到： (1)y2x 1；(2)y2x1；(3)y2x
7、1； (4)y2 x；(5)y2|x|. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 解 (1)y2x 1的图象是由y2x的图象向左平移1个单位得到 (2)y2x 1的图象是由y2x的图象向右平移1个单位得到 (3)y2x1的图象是由y2x的图象向上平移1个单位得到 (4)y2 x与y2x的图象关于y轴对称，作y2x的图象关于y轴的 对称图形便可得到y2 x的图象 (5)y2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x0时，y 2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y2|x|的图象 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 探究问题 1函数y2x21的定义域与f(x)x21的定义域什
8、么关系？ 提示：定义域相同 2如何求y2x21的值域？ 提示：可先令 tx21，则易求得 t 的取值范围为1，)，又 y 2t在1，)上是单调递增函数，故 2t2，所以 y2x21 的值域为2， ) 指数函数的定义域、值域问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 【例 3】 求下列函数的定义域和值域： (1)y 13x； (2)y 1 2 x22x3； (3)y4x2x 12. 思路点拨 函数式有意义原函数的定义域 指数函数 的值域 原函数的值域 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 解 (1)要使函数式有意义，则 13x0，即 3x130，因为函数 y 3x在 R 上是增函数，所以
9、 x0，故函数 y 13x的定义域为(， 0 因为 x0，所以 03x1，所以 013x0， 函数y 1 2 x22x3的值域为(0,16 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 (3)因为对于任意的xR，函数y4x2x 12都有意义，所以函数y 4x2x 12的定义域为R.因为2x0，所以4x2x12(2x)222x2 (2x1)21112， 即函数y4x2x 12的值域为(2，) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 1若本例(1)的函数换为“y 1 3 x1”，求其定义域 解 由 1 3 x10得 1 3 x 1 3 0，x0，即函数的定义域为(， 0 栏目导航栏目导航 栏目导航栏
10、目导航 28 2若本例(3)的函数增加条件“0 x2”，再求函数的值域 解 0 x2，12x4，y4x2x 12(2x)222x2 (2x1)21. 令2xt，则t1,4，且f(t)(t1)21， 易知f(t)在1,4上单调递增， f(1)f(t)f(4)，即5f(t)26， 即函数y4x2x 12的值域为5,26 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 1函数yaf(x)的定义域与yf(x)的定义域相同 2函数yaf(x)的值域的求解方法如下： (1)换元，令tf(x)； (2)求tf(x)的定义域xD； (3)求tf(x)的值域tM； (4)利用yat的单调性求yat，tM的值域 3形如
11、yf(ax)的值域，要先求出uax的值域，再结合yf(u)确定 出yf(ax)的值域 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 1判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y ax(a0且a1)这一结构形式 2指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关 系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象 从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆 时针方向变大 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 3由于指数函数yax(a0且a1)的定义域为R，所以函数y af(x)(a0且a1)与函数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的
12、值 域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调 性 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 1思考辨析 (1)yx2是指数函数( ) (2)函数y2 x不是指数函 数( ) (3)指数函数的图象一定在x轴的 上方( ) 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 2如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则 a，b，c，d与1的大小关系是( ) Aab1cd Bba1dc C1abcd Dab1dc 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 B 作直线
13、x1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1， a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知ba1dc，故选B. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 3函数y1 1 2 x的定义域 是_ 0，) 由1 1 2 x0得 1 2 x1 1 2 0，x0， 函数y1 1 2 x的定义域为 0，) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 4设f(x)3x，g(x) 1 3 x. (1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象； (2)计算f(1)与g(1)，f()与g()，f(m)与g(m)的值，从中你能得 到什么结论？ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 解 (1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示： (2)f(1)313，g(1) 1 3 13， f()3，g() 1 3 3， f(m)3m，g(m) 1 3 m3m. 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函 数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
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