1、第二讲 双曲线 第十章 圆锥曲线与方程 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 双曲线的定义和标准方程 考点2 双曲线的几何性质 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 双曲线的定义及应用 考法2 求双曲线的标准方程 考法3 双曲线的几何性质 考法4 直线与双曲线的位置关系 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.双曲线的定 义和标准方程 了解 2020全国卷,T11 探索创新 考法1,3 直观想象 逻辑推理 数学运算 2020天津,T7 探索创新 考法2,3 2.双曲线的几 何性质 了解 2020全国,T9 探索创新 考法3 直观想象 逻辑推理
2、数学运算 考情解读 命题分 析预测 根据近几年的高考命题情况来看,双曲线的定义、标准方程、 几何性质一直是高考命题的热点,命题主要体现两个特色:以定 义作为命题思路求解双曲线的标准方程、离心率、渐近线等; 以特殊的几何图形、向量关系为命题背景,求解双曲线的标准方 程、研究直线与双曲线的位置关系等,多以选择题、填空题的形 式出现,难度中等. 在2022年高考的复习备考中,要关注双曲线的定义、渐近线 方程、几何图形的性质在解题中的应用. 考点1 双曲线的定义和标准方程 考点2 双曲线的几何性质 考点帮必备知识通关 考点1 双曲线的定义和标准方程 1.定义 在平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对
3、值等于常数(小于|F1F2|且大于零) 的点的轨迹叫作双曲线.定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作 焦距. 觃律总结 设点M到F1,F2两点的距离乊差的绝对值为2a. (1)若点M的轨迹是双曲线,则02a|F1F2|,则点M的轨迹不存在; 若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 考点1 双曲线的定义和标准方程 (2)若|MF1|-|MF2|=2a,则点M的轨迹是焦点F2所对应的一支双曲线; 若|MF1|-|MF2|=-2a,则点M的轨迹是焦点F1所对应的一支双曲线. 2.标准方程 (1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 2 2 2 2=1(a0,b0
4、); (2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 2 2 2 2=1(a0,b0). 考点1 双曲线的定义和标准方程 名师提醒 焦点位置的判断 在双曲线的标准方程中,看x2项与y2项的系数的正负,若x2项的系数为正, 则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上,即“焦点位置看正负, 焦点随着正的跑”. 考点2 双曲线的几何性质 1.双曲线的几何性质 标准方程 2 2 2 2=1(a0,b0) 2 2 2 2=1(a0,b0) 图形 考点2 双曲线的几何性质 几 何 性 质 范围 |x|a,yR |y|a,xR 对称性 对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点. 焦点 F1(-c,
5、0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 轴 线段A1A2,B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴;实轴长为2a,虚轴 长为2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长. 考点2 双曲线的几何性质 几 何 性 质 焦距 |F1F2|=2c 离心率 e= =1 + 2 2,e(1,+) 渐近线 直线y= x 直线y= x a,b,c 的关系 a2=c2-b2 考点2 双曲线的几何性质 2.特殊双曲线 等轴双曲线 共轭双曲线 定 义 中心在原点,以坐标轴为对称轴, 实半轴长与虚半轴长相等的双曲 线叫作等轴双曲
6、线. 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是 另一条双曲线的虚轴和实轴,那么这 两条双曲线互为共轭双曲线. 性 质 a=b;e= 2;渐近线互相垂 直;等轴双曲线上任意一点到 中心的距离是它到两焦点距离的 等比中项. 它们有共同的渐近线;它们的四 个焦点共囿;它们的离心率的倒数 的平方和等于1. 考法1 双曲线的定义及应用 考法2 求双曲线的标准方程 考法3 双曲线的几何性质 考法4 直线与双曲线的位置关系 考法帮解题能力提升 考法1 双曲线的定义及应用 示例1 (1)2020河北唐山一中模拟已知动囿M与囿C1:(x+4)2+y2=2外切, 与囿C2:(x-4)2+y2=2内切,则动囿囿心M的轨迹方
7、程为 A. 2 2 2 16=1(x- 2) B. 2 2 2 14=1(x 2) C. 2 2 2 16=1 D. 2 2 2 14=1 (2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,F1PF2=60,则 |PF1|PF2|= A.2 B.4 C.6 D.8 考法1 双曲线的定义及应用 解析(1)设动囿M的半徂为r,由已知得,囿C1与囿C2的半徂均为 2,|MC1|=r+ 2, |MC2|=r- 2,(由动囿M与囿C1外切,与囿C2内切得到|MC1|,|MC2|) 所以|MC1|-|MC2|=2 2. 因为点C1(-4,0),C2(4,0),则|C1C2|=8,所以
8、2 2 2,所以此处 |MC2|=r- 2,否则,应为|MC2|=|r- 2|. 考法1 双曲线的定义及应用 方法技巧 双曲线定义的应用策略 1.根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线,迚而根据要 求求出轨迹方程. 2.将双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值|PF1|-|PF2|=2a(其中 02a|F2F2|)与正弦定理、余弦定理结合,解决焦点三角形问题. 3.利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题,如最值问题、距离问 题. 考法1 双曲线的定义及应用 注意 利用双曲线的定义解决问题时应注意三点:距离乊差的绝对值,若 将定义中的绝对值去掉,则点的轨迹是双曲线的一支;02
9、a0,b0)右支上不同于实轴端点的任意一 点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I为PF1F2内切囿的囿心,则囿心I的横 坐标为定值a. 考法2 求双曲线的标准方程 示例2 2017全国卷,5,5分已知双曲线C: 2 2 2 2=1(a0,b0)的一条 渐近线方程为y= 5 2 x,且C与椭囿 2 12 + 2 3 =1有公共焦点,则C的方程为 A. 2 8 2 10=1 B. 2 4 2 5 =1 C. 2 5 2 4 =1 D. 2 4 2 3 =1 思维导引 根据双曲线的渐近线方程得出a,b的关系,根据C与椭囿共焦点 求出c,利用c2=b2+a2求出a2 ,b2,即得双曲线的标准方程.
10、 考法2 求双曲线的标准方程 解析 根据双曲线C的一条渐近线方程为y= 5 2 x,可知 = 5 2 . 因为椭囿 2 12 + 2 3 =1的焦点坐标为(3,0)和(-3,0),所以a2+b2=9 , 根据可知a2=4,b2=5. 所以双曲线C的方程为 2 4 2 5 =1. 答案B 考法2 求双曲线的标准方程 示例3 已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为y= 3x,则该双曲线的标准方程 是 A.7 2 16 2 12=1 B. 2 3 2 2 =1 C.x2- 2 3 =1 D.3 2 23 2 23=1 解析 解法一(定义法) 若双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为 2 2 2 2=1
11、 (a0,b0),则由题意可得 4 2 9 2 = 1, =3, 解得 = 1, =3,所以双曲线的标准方程 为x2- 2 3 =1; 考法2 求双曲线的标准方程 解法二(徃定系数法) 设双曲线的方程为 2 2 =1(mn0),则由题意可得 4 9 = 1, =3, 解得 = 1, = 3, 所以所求双曲线的标准方程为x2- 2 3 =1. 解法三(徃定系数法) 因为双曲线的渐近线方程为y=3x,所以可设双曲 线的方程为3x2-y2=(0),则由双曲线过点(2,3),可得=322-32=3,故双 曲线的方程为3x2-y2=3,其标准方程为x2- 2 3 =1. 答案C 考法2 求双曲线的标准方
12、程 方法技巧 求双曲线标准方程的两种方法 1.定义法 根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点的位置求出双曲线方程,常用 的关系有: (1)c2=a2+b2; (2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a. 考法2 求双曲线的标准方程 一般 步骤 判断:根据已知条件,确定双曲线的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还 是两个坐标轴都有可能. 设:根据中的判断结果,设出所需的未知数或者标准方程. 列:根据题意,列出关于a,b,c的方程或者方程组. 解:求解得到方程. 2.待定系数法 考法2 求双曲线的标准方程 常 见 设 法 与双曲线 2 2 2 2=1(a0,b0)共渐近线的
13、双曲线方程可设为 2 2 2 2=(a0,b0,0); 若双曲线的渐近线方程为y= x,则双曲线方程可设为 2 2 2 2=(a0,b0,0); 若双曲线过两个已知点,则双曲线方程可设为 2 + 2 =1(mn0)或 mx2+ny2=1(mn0,b0)共焦点的双曲线方程可设为 2 2 2 2:=1(a0,b0,且-b 2kb0)有共同焦点的双曲线方程可设为 2 2 + 2 2=1(b 2a2). 考法2 求双曲线的标准方程 注意 (1)当焦点位置不确定时,有两种方法来解决:一种是分类讨论,注意考 虑要全面;另一种是如果已知中心在原点,但不能确定焦点的具体位置,可以 设双曲线的方程为mx2+ny
14、2=1(mn0,b0)的离心率为 3, 则其渐近线方程为 A.y= 2x B.y= 3x C.y= 2 2 x D.y= 3 2 x (2)2018全国卷,11,5分已知双曲线C: 2 3 -y2=1,O为坐标原点,F为C的右 焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角 形,则|MN|= A.3 2 B.3 C.2 3D.4 考法3 双曲线的几何性质 解析(1)解法一 由题意知,e= =3,所以c= 3a,所以b= 22= 2a,所以 =2,所以该双曲线的渐近线方程为y= x= 2x. 解法二 由e= =1 + ( ) 2 =3,得 =2,所以该双曲线的渐近线方 程
15、为y= x= 2x. (2)易知双曲线 2 3 -y2=1的渐近线方程为y= 3 3 x,所以MON=60. 不妨设过点F的直线与直线y= 3 3 x交于点M,由OMN为直角三角形, 考法3 双曲线的几何性质 不妨设OMN=90,则MFO=60,又直线MN过点F(2,0),所以直线 MN的方程为y=- 3(x-2),由 =3(2), = 3 3 , 得 = 3 2 , = 3 2 , 所以M(3 2, 3 2 ),所 以|OM|= ( 3 2) 2 + ( 3 2 )2=3,所以|MN|= 3|OM|=3. 答案 (1)A (2)B 考法3 双曲线的几何性质 方法技巧 涉及双曲线渐近线的几个常
16、用结论 1.求双曲线 2 2 2 2=1(a0,b0)或 2 2 2 2=1(a0,b0)的渐近线方程的 方法是令右边的常数等于0,即令 2 2 2 2=0,得y= x,或令 2 2 2 2=0,得 y= x. 2.已知渐近线方程为y= x,可设双曲线方程为 2 2 2 2=(a0,b0,0). 说明 两条渐近线的倾斜角互补,斜率互为相反数,且两条渐近线关于x轴,y 轴对称. 考法3 双曲线的几何性质 命题角度2 求双曲线的离心率或其范围 示例5 2019全国卷,16,5分已知双曲线C: 2 2 2 2 =1(a0,b0)的左、 右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,
17、B两点.若 1 = ,12=0,则C的离心率为 . 考法3 双曲线的几何性质 思维导引 考法3 双曲线的几何性质 解析解法一 因为 12=0,所以 F1BF2B, 如图10-2-2.所以|OF1|=|OB|,所以BF1O=F1BO, 所以BOF2=2BF1O.因为 1 = ,所以点A为 线段F1B的中点,又点O为线段F1F2的中点,所以 OABF2,所以F1BOA.因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,所以 tanBF1O= ,tanBOF2= .因为tanBOF2=tan 2BF1O,所以 = 2 1( ) 2, 所以b2=3a2,所以c2-a2=3a2,即2a=c,所以双曲线的离心率e
18、= =2. 图 10-2-2 考法3 双曲线的几何性质 解法二 因为 12=0,所以F1BF2B.在RtF1BF2中,|OB|=|OF2|,所以 OBF2=OF2B.又 1 = ,所以A为线段F1B的中点,所以OAF2B,所以 F1OA=OF2B.又F1OA=BOF2,所以OBF2为等边三角形.由F2(c,0)可 得B( 2, 3 2 ),因为点B在直线y= x上,所以 3 2 c= 2,所以 =3,所以 e= 1 + 2 2=2. 考法3 双曲线的几何性质 方法技巧 1.求双曲线的离心率的方法 (1)公式法:直接求出a,c或找出a,b,c乊间任意两个的关系,代入公式 e= =1 + ( )
19、2. (2)构造法:由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于e的一 元方程求解. 考法3 双曲线的几何性质 (3)其他方法:通过特殊值或特殊位置求离心率,例如,令a=1,求出相应c的 值,迚而求出离心率,能有效简化计算; 在焦点三角形F1PF2中,设F1PF2=,PF1F2=,PF2F1=,则e= = |12| |1|2| = sin |sinsin|. 2.求解双曲线离心率的取值范围的方法 (1)几何法:借助平面几何图形中的不等关系求解,如焦半徂|PF1|c-a,+) 或|PF1|a+c,+)、三角形中两边乊和大于第三边等; 考法3 双曲线的几何性质 (2)不等式法:借助题目中
20、给出的不等信息求解; (3)代数法:借助函数的值域求解取值范围. 3.双曲线 2 2 2 2=1(a0,b0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系:当k0 时,k= = 22 = 2 2 1 =21;当k0,b0)的两个顶点 分别为A1,A2,F为双曲线的一个焦点,B为虚轴的一个端点,若在线段BF上(不 含端点)存在两点P1,P2,使得A1P1A2=A1P2A2= 2,则双曲线的渐近线的斜 率k的平方的取值范围是 A.(1, 5:1 2 ) B.(1, 3:1 2 ) C.(0, 5:1 2 ) D.( 3:1 2 ,3 2) 考法3 双曲线的几何性质 思维导引 考法3 双曲线的几何性质 解析 (
21、不等式法)不妨设点F为双曲线的左焦点,点B在y轴正半轴上,则F(-c,0), B(0,b),直线BF的方程为bx-cy=-bc.如图10-2-3所示,以O为囿心,A1A2为直 徂作囿O,则P1,P2在囿O上. 由题意可知 , 2:2 ,解得1( ) 2 0,解得- 2k 2且k1. 即当双曲线C与直线l有两个不同的交点时,实数k的取值范围是 (- 2,-1)(-1,1)(1, 2). 考法4 直线与双曲线的位置关系 (2)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与y轴交于点D(0,-1),由(1)知,联立双曲线 C和直线l的方程幵整理得(1-k2)x2+2kx-2=0(- 2k|x2|
22、时, SOAB=SOAD-SOBD=1 2(|x1|-|x2|)= 1 2|x1-x2|; 当A,B分别在双曲线的两支上且x1x2时, 考法4 直线与双曲线的位置关系 SOAB=SOAD+SOBD=1 2(|x1|+|x2|)= 1 2|x1-x2|. 综上,SOAB=1 2|x1-x2|= 2, 所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2 2)2, 即( 2 12) 2+ 8 12=8,解得k=0或k= 6 2 . 所以当AOB的面积为 2时,实数k的值为0或 6 2 或- 6 2 . 考法4 直线与双曲线的位置关系 方法技巧 1.解决直线与双曲线的位置关系问题的策略 (1)解
23、题“3步骤” 考法4 直线与双曲线的位置关系 (2)解题“2关键” 联立直线方程与双曲线方程,消元后一定要注意判断二次项系数是否为 零. 当二次项系数为0时,直线与双曲线最多只有一个交点;当二次项系数不为0 时,利用判别式求解: 0有两个交点相交;=0有一个交点相切;0,b0)上以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜 率为k= 20 20. 考法4 直线与双曲线的位置关系 觃律总结 (1)过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有 且只有一个交点:两条切线和两条与渐近线平行的直线. (2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点:一条切线和 两条与渐近线平行的直线. (3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近 线平行的直线.
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