2022版新高考数学人教版一轮课件：第3章 第3讲 第1课时 三角函数公式的基本应用

1、必考部分 第三章第三章 三角函数、解三角形三角函数、解三角形 第三讲 两角和与差的三角函数 二倍角公式 第一课时 三角函数公式的基本应用 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 知识点一 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2_； (2)cos 2_11_； (3)tan 2_ (k 2 4且 k 2，kZ) 2sin cos cos2sin2

2、2cos2 2sin2 2tan 1tan2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 知识点三 半角公式(不要求记忆) (1)sin 2 1cos 2 ； (2)cos 2 1cos 2 ； (3)tan 2 1cos 1cos sin 1cos 1cos sin . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 1降幂公式：cos21cos 2 2 ，sin21cos 2 2 . 2升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2. 3公式变形：tan tan tan( )(1tan tan ) 1tan 1tan tan 4 ；

3、 1tan 1tan tan 4 cos sin 2 2sin ，sin 2 2tan 1tan2，cos 2 1tan2 1tan2，1 sin 2(sin cos )2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 4辅助角(“二合一”)公式： asin bcos a2b2sin()， 其中 cos _，sin _. a a2b2 b a2b2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 题组一 走出误区 1判断正误(正确的打“”错误的打“”) (1)存在实数 ， 使等式 sin ()sin sin 成立 ( ) (2)在锐角ABC 中，

4、sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定 ( ) (3)对任意角 都有 1sin sin 2cos 2 2. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (4)y3sin x4cos x 的最大值是 7. ( ) (5)公式 tan () tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan ( )(1tan tan )，且对任意角 ， 都成立 ( ) 解析 根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知(2)(4)(5)是错误 的，(1)(3)是正确的 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 题组二 走

5、进教材 2(必修 4P131T5 改编)计算 sin 43 cos 13 sin 47 cos 103 的结果等 于 ( ) A.1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 原式sin 43 cos 13 cos 43 sin 13 sin(43 13 )sin 30 1 2.故选 A. 另解：原式cos 47 cos 13 sin 47 sin 13 cos(47 13 )cos 60 1 2.故选 A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 3(必修 4P135T5 改编)cos

6、2 8sin 2 8 ( ) A.1 2 B 2 2 C 3 2 D 2 2 B 解析 cos2 8sin 2 8cos 4 2 2 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 4(必修4P146A组T4改编)(1tan 17)(1tan 28)的值为 ( ) A1 B0 C1 D2 解析 原式1tan 17tan 28tan 17 tan 281tan 45(1tan 17 tan 28)tan 17 tan 28112.故选D. D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 6(2020 江苏，8,5 分)已知 sin2 4 2 3

7、，则 sin 2 的值是_. 题组三 走向高考 5(2020 课标，13,5 分)若 sin x2 3，则 cos 2x_. 解析 sin x2 3，cos 2x12sin 2x12 2 3 21 9. 解析 sin2 4 1cos 22 2 1sin 2 2 2 3，sin 2 1 3. 1 9 1 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 7(2020 浙江，13,6 分)已知 tan 2，则 cos 2_， tan 4 _. 解析 因为 tan 2，所以 cos 2cos2sin2cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 14 14 3

8、 5，tan 4 tan tan 4 1tan tan 4 21 12 1 3. 3 5 1 3 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (1)若 cos 4 5， 是第三象限的角，则 sin 4 ( ) A 2 10 B 2 10 C7 2 10 D7 2 10 考点一 三角函数公式的直接应用自主练透 例 1 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)(2020 全国 9)已知 2tan tan 4 7，则 tan ( ) A2 B1 C1 D2 (3)(2020 甘肃兰州一中高三上期中)若

9、cos 4 3 5，则 sin 2 ( ) A. 7 25 B1 5 C1 5 D 7 25 D D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (4)(2020 吉林百校联盟 9 月联考)已知 tan B2tan A，且 cos Asin B 4 5，则 cos AB3 2 ( ) A4 5 B4 5 C2 5 D2 5 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)因为 cos 4 5， 是第三象限的角，所以 sin 1cos23 5，所以 sin 4 sin cos 4cos sin 4 3 5 2 2 4 5 2 2 7

10、 2 10 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)本题考查两角和的正切公式的应用2tan tan 4 7， 2tan 1tan 1tan 7，2tan 2tan 2 1tan 77tan ，即 tan2 4tan 40，解得 tan 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (3)由三角函数的诱导公式得 cos 22 sin 2，所以 sin 2 cos 22 cos 2 4 ，由二倍角公式可得 sin 2cos 2 4 2cos2 4 12 3 5 2118 25 25 25 7 25.故选 D. 返回导航 高考一轮

11、总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (4)由 tan B2tan A，可得 cos Asin B2sin Acos B 又 cos Asin B4 5，sin Acos B 2 5， 则 cos AB3 2 sin(AB)sin Acos Bcos Asin B2 5.故选 D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征 (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 角度 1 公式的逆用 (1)在ABC

12、中，若 tan Atan Btan Atan B1，则 cos C _. (2)cos 9cos 2 9 cos 3 9 cos 4 9 _. (3) sin 10 1 3tan 10 _. (4)化简 sin235 1 2 cos 10 cos 80 _. 考点二 三角函数公式的逆用与变形用多维探究 例 2 1 2 2 1 16 1 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)tan(AB) tan Atan B 1tan Atan B tan Atan B1 1tan Atan B1， tan C1，又 C(0，)，C 4，cos C 2 2 .

13、返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)解法一：cos 9cos 2 9 cos 3 9 cos 4 9 1 2cos 9cos 2 9 cos4 9 1 2 8sin 9cos 9cos 2 9 cos 4 9 8sin 9 1 2 4sin 2 9 cos 2 9 cos 4 9 8sin 9 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 1 2 2sin 4 9 cos 4 9 8sin 9 1 2 sin 8 9 8sin 9 1 2 sin 9 8sin 9 1 2 sin 9 8sin 9 1 16. 返回导航 高考一轮总

14、复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解法二：由 sin 22sin cos ，得 cos sin 2 2sin ， 原式 sin 2 9 2sin 9 sin 4 9 2sin 2 9 1 2 sin 8 9 2sin 4 9 1 16. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (3) sin 10 1 3tan 10 sin 10 cos 10 cos 10 3sin 10 2sin 10 cos 10 4 1 2cos 10 3 2 sin 10 sin 20 4sin30 10 1 4. (4) sin235 1 2 cos 10 cos 80

15、 1cos 70 2 1 2 cos 10 sin 10 1 2cos 70 1 2sin 20 1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 角度 2 公式的变形应用 (1)(2020 天津耀华中学模拟)已知 sin()1 2，sin() 1 3，则 log 5 ( tan tan ) 2 ( ) A5 B4 C3 D2 例 3 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)(2020 陕西吴起高级中学模拟)已知 sin 22 3，则 cos 2 4 ( ) A.1 6 B1 6 C1 2 D2 3 A 返回导航 高考一轮总复习

16、 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)sin()1 2，sin() 1 3， sin cos cos sin 1 2，sin cos cos sin 1 3， sin cos 5 12，cos sin 1 12， tan tan 5，log 5 tan tan 2log 55 24，故选 B. (2)sin 22 3，cos 2 4 1cos 2 4 2 1sin 2 2 12 3 2 1 6， 故选 A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (1)注意三角函数公式逆用和变形用的 2 个问题 公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系

17、 注意特殊角的应用，当式子中出现1 2，1， 3 2 ， 3等这些数值时， 一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)熟记三角函数公式的 2 类变式 和差角公式变形： sin sin cos()cos cos ， cos sin sin()sin cos . tan tan tan( ) (1tan tan ) 倍角公式变形： 降幂公式 cos21cos 2 2 ，sin21cos 2 2 ， 配方变形：1 sin sin 2 cos 2 2,1cos 2cos2 2，1cos 2sin2 2. 返回导航

18、高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 变式训练 1 (1)(角度 1)(多选题)(2020 河北武邑中学调研)下列式子的运算结果为 3的是 ( ) Atan 25 tan 35 3tan 25 tan 35 B2(sin 35 cos 25 cos 35 cos 65 ) C1tan 15 1tan 15 D. tan 6 1tan2 6 ABC 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)(角度2)(2018 课标，15)已知sin cos 1，cos sin 0， 则sin()_. 解析 (1)对于 A，tan 25 tan 35 3t

19、an 25 tan 35 tan(25 35 )(1tan 25 tan 35 ) 3tan 25 tan 35 3 3tan 25 tan 35 3tan 25 tan 35 3. 1 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 对于 B,2(sin 35 cos 25 cos 35 cos 65 ) 2(sin 35 cos 25 cos 35 sin 25 )2sin 60 3. 对于 C，1tan 15 1tan 15 tan 45 tan 15 1tan 45 tan 15 tan 60 3. 对于 D， tan 6 1tan2 6 1 2 2tan 6

20、 1tan2 6 1 2tan 3 3 2 . 综上，式子的运算结果为 3的是 ABC.故选 A、B、C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)本题主要考查同角三角函数的平方关系与两角和的正弦公式 由 sin cos 1，cos sin 0， 两式平方相加，得 22sin cos 2cos sin 1，整理得 sin() 1 2. 利用平方关系：sin2cos21，进行整体运算是求解三角函数问题 时常用的技巧，应熟练掌握. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (1)(2018 课标全国，15)已知 tan 5 4 1 5

21、，则 tan _. (2)已知 、 0， 2 ， 且 cos 1 7， cos() 11 14， 则 sin _. 考点三 角的变换与名的变换师生共研 例 4 3 2 3 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (3)(2018 课标全国，15)设 为锐角，若 cos 6 1 3 ，则 sin 2 12 的值为 ( ) A. 7 25 B7 28 18 C17 2 50 D 2 5 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)本题主要考查两角差的正切公式 解法一：tan tan 5 4 5 4 tan 5 4 tan

22、5 4 1tan 5 4 tan 5 4 3 2. 解法二：tan 5 4 tan tan 5 4 1tan tan 5 4 tan 1 1tan 1 5， 解得 tan 3 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)因为已知 0， 2 ， 0， 2 ， 且 cos 1 7，cos() 11 14， 所以 sin 1cos24 3 7 ， sin() 1cos25 3 14 ， 则 sin sin () sin()cos cos()sin 5 3 14 1 7 11 14 4 3 7 3 2 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数

23、、解三角形 (3) 为锐角，0 2， 6 6 2 3 ，设 6，由 cos 6 1 3，得 sin 2 2 3 ，sin 22sin cos 4 2 9 ，cos 22cos21 7 9， sin 2 12 sin 2 3 4 sin 2 4 sin 2cos 4cos 2sin 4 4 2 9 2 2 7 9 2 2 7 28 18 .故选 B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知 角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如： 2()()， ()()， 40 60 20

24、， 4 4 2， 22 4等 (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关 系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 变式训练 2 (1)(2020 全国，5)已知 sin sin 3 1，则 sin 6 ( ) A.1 2 B 3 3 C2 3 D 2 2 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)已知 tan 4 3 4，则 cos 2 4 ( ) A. 7 25 B 9 25 C16 25 D24 25 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高

25、考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)解法一： 本题考查两角和的正弦公式以及辅助角公式 因 为 sin sin 3 sin 1 2sin 3 2 cos 3 2sin 3 2 cos 3 sin 6 1，所以 sin 6 3 3 .故选 B. 解法二： 由已知得 sin 6 6 sin 6 6 1， 3sin 6 1，sin 6 3 3 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)由 tan 4 1tan 1tan 3 4， 解得 tan 1 7， 所以 cos2 4 1cos 22 2 1sin 2 2 1 2sin cos ， 又 sin cos

26、 sin cos sin2cos2 tan tan21 7 50， 故1 2sin cos 9 25. 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 应用 1 求值 (2020 届安徽江淮十校联考)已知 cos x 6 3 3 ，则 cos x cos x 3 ( ) A2 3 3 B 2 3 3 C1 D 1 例 5 C 辅助角公式的应用 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 cos x 6 3 3 ， cos xcos x 3 cos xcos xcos 3 sin xsin 3 3 2 cos

27、x 3 2 sin x 3 3 2 cos x1 2sin x 3cos x 6 3 3 3 1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 应用 2 求最值 (2017 全国)函数 f(x)2cos xsin x 的最大值为_. (2)函数 f(x)2 3sin x cos x2sin2x 的值域为_. 分析 (1)直接利用辅助角公式化为Asin(x)； (2)高次的先用二倍角余弦公式降次，然后再用辅助角公式化为 Asin(x) 例 6 3,1 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)f(x) 5 cos x 2 5

28、5 sin x 5 5 5sin(x)(其中 cos 5 5 ，sin 2 5 5 )， 显然 f(x)的最大值为 5. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)f(x) 3sin 2xcos 2x1 2 3 2 sin 2x1 2cos 2x 1 2sin 2x 6 1. 显然 f(x)max1，f(x)min3. 故 f(x)的值域为3,1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 应用 3 求单调区间 函数 f(x)cos2x 3sin xcos x(x0，)的单调递减区间为 ( ) A. 0， 3 B 6， 2 3 C 3

29、， 5 6 D 5 6 ， B 例 7 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 函数 f(x)cos2x 3sin xcos x1 2 1 2cos 2x 3 2 sin 2x sin 2x 6 1 2.由 2k 22x 6 3 2 2k，kZ，得 k 6x 2 3 k， kZ.x0，当 k0 时，可得单调递减区间为 6， 2 3 ，故选 B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 用辅助角公式变形三角函数式时： (1)遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组； (2)遇高次时，要先降幂； (3)熟记以下常用结论： sin co

30、s 2sin 4 ； 3sin cos 2sin 6 ； sin 3cos 2sin 3 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 变式训练 3 (1)(2020 湖南浏阳一中期中)已知sin 6 cos 3 3 ， 则cos 6 ( ) A2 2 3 B2 2 3 C1 3 D1 3 (2)(2020 北京，14)若函数 f(x)sin(x)cos x 的最大值为 2，则常 数 的一个取值为_. C 2(取值满足 22k(kZ)即可) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (3)已知函数 f(x)sin 2x sin x 3co

31、s 2x，则 f(x)在 6， 2 3 上的增区 间为 ( ) A. 5 12， 2 3 B 6， 5 12 C 6， 2 D 2， 2 3 B 分析 (1)将 sin 6 展开后重组再用辅助角公式化简 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)sin 6 cos 3 3 ， 1 2cos 3 2 sin cos 3 3 ， 即 3 2 sin 3 2cos 3 3 1 2sin 3 2 cos 1 3，即 sin 3 1 3， cos 6 cos 2 3 sin 3 1 3，故选 C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角

32、形 (2)本题考查三角恒等变换及辅助角公式的应用 f(x)sin(x)cos xsin xcos cos xsin cos xcos sin x (sin 1)cos x cos2sin 12 sin(x)(其中 tan sin 1 cos )，由 f(x)的最大值为 2，所以 cos2sin122，化简可得 sin 1，则 可为 2，其取值满足 22k(kZ)即可 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (3)f(x)sin 2x sin x 3cos 2xcos xsin x 3 2 (1cos 2x)1 2sin 2x 3 2 cos 2x 3 2 sin 2x 3 3 2 ，当 x 6， 2 3 时，有 02x 3，从 而当 02x 3 2时， 即 6x 5 12时， f(x)单调递增； 综上可知， f(x)在 6， 5 12 上单调递增，故选 B. 谢谢观看