1、必考部分 第九章第九章 计数计数原理、概率、随机变量及其分布原理、概率、随机变量及其分布 第七讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点一 离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为_，所有取值可以 一一列出的随机变量，称为_随机变量 随机变量 离散型 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 概率分布列 知识点二 离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地， 若
2、离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2， ， xi， ， xn，X 取每一个值 xi(i1,2，n)的概率 P(Xxi)pi，则表 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 称为离散型随机变量 X 的_，简称为 X 的分布列 (2)离散型随机变量的分布列的性质 pi0(i1,2，n)； n i1pi_1. p1p2pn 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 x1p1x2p2xipixnpn 知识点三 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 P(Xxi)pi，i1，2，n. (1)均值： 称 E(X)_
3、为随机变量 X 的均值或数学期望 (2)方差：称 D(X) n i1 (xiE(X) 2p i为随机变量 X 的方差，其算术平 方根 DX为随机变量 X 的_. 标准差 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 aE(X)b (3)均值与方差的性质 E(aXb)_. D(aXb)_. *D(X)E(X2)(E(X)2. 知识点四 常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量 X 服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P 1p p a2D(X) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 其中 pP(X1
4、)称为成功概率 若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p) (2)超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰 有 X 件次品，则 P(Xk)C k MC nk NM Cn N ，k0,1,2，m，其中 mminM， n，且 nN、MN，n、M、NN，称随机变量 X 服从超几何分布. X 0 1 m P C0 MC n0 NM Cn N C1 MC n1 NM Cn N Cm MC nm NM Cn N 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 1若X是随机变量，则YaXb(a，b是常数)也是随机变量 2随机变量所
5、取的值分别对应的事件是两两互斥的 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量 ( ) (2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可 以小于1. ( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (4)由下列给出的随机变量 X 的分布列服从二点分布 ( ) X 2 5 P 0.3 0.7 (5)从 4 名男演员和 3
6、名女演员中选出 4 人，其中女演员的人数 X 服 从超几何分布 ( ) (6)某人射击时命中的概率为 0.5， 此人射击三次命中的次数 X 服从两 点分布 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组二 走进教材 2 (P77A 组 T1 改编)(此题为更换后新题)设随机变量 X 的概率分布列 为 X 1 2 3 4 P 1 4 m 1 8 3 8 则 P(|X3|1)_. 5 8 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 由1 4m 1 8 3 81，解得 m 1 4， P(|X3|1)P(X
7、2)P(X4)1 4 3 8 5 8. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 2(P77A 组 T1 改编)(此题为发现的重题，更换新题见上题)设随机变 量 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 P 1 3 m 1 4 1 6 则 P(|X3|1)_. 5 12 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 由1 3m 1 4 1 61，解得 m 1 4， P(|X3|1)P(X2)P(X4)1 4 1 6 5 12. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
8、3(P49A组T1)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一 件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是_. 解析 因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X 的可能取值为0,1,2,3. 0,1,2,3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组三 走向高考 4(2020 浙江)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄 球从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止设此 过程中 取到黄球的个数为，则P(0)_，E()_. 1 1 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及
9、其分布 解析 由题意知，随机变量 的可能取值为 0,1,2； 计算 P(0)C 1 1 C1 4 C1 1 C 1 1 C1 4 C 1 3 1 3； P(1)C 1 2 C 1 1 A2 4 C 1 2C 1 1A 2 2C 1 1 A3 4 1 3； P(2)A 2 2 C 1 1 A3 4 C 2 2C 1 1A 3 3C 1 1 A4 4 1 3； 所以 E()01 31 1 32 1 31. 故答案为1 3，1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 5(2020 课标，3)在一组样本数据中，1,2,3,4 出现的频率分别为 p1，p2，
10、p3，p4，且 i1 4 pi1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大 的一组是 ( ) Ap1p40.1，p2p30.4 Bp1p40.4，p2p30.1 Cp1p40.2，p2p30.3 Dp1p40.3，p2p30.2 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 根据均值 E(X) i1 4 xipi，方差 D(X) i1 4 xiE(X)2 pi，标准差 最大即方差最大，由各选项对应的方差如下表 选项 均值 E(X) 方差 D(X) A 2.5 0.65 B 2.5 1.85 C 2.5 1.05 D 2.5 1.45 由此可知选项
11、B 对应样本的标准差最大，故选 B 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点一 离散型随机变量分布列的性质自主练透 D (1)(2021 河南南阳联考)随机变量 的概率分布规律为 P(X n) a nn1(n1,2,3,4)，其中 a 为常数，则 P( 5 4X 13 4 )的值为 ( ) A2 3 B3 4 C4 5 D 5 16 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 B (2)(2021 银川质检)若随机变量 的分布列如表所示，E()1.6，则 a b ( ) 0
12、1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A0.2 B0.2 C0.8 D0.8 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)P(Xn) a nn1(n1,2,3,4)， a 1 12 1 23 1 45 1，即 11 5 a1， a5 4，P 5 4X 13 4 P(X2)P(X3)5 4 1 6 5 4 1 12 5 16. (2)易知 a，b0,1，由 0.1ab0.11，得 ab0.8，由 E() 00.11a2b30.11.6，得 a2b1.3，所以 a0.3，b 0.5，则 ab0.2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第
13、九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，要注意检查每个概 率值均为非负数 (2)求随机变量在某个范围内的概率，根据分布列，将所求范围内随 机变量对应的概率值相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练 1 (2020 天津和平区期末)设随机变量 X 的概率分布列如下表，则随机 变量 X 的数学期望 E(X)_. X 1 2 3 4 P 1 3 m 1 4 1 6 9 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析
14、1 3m 1 4 1 61，所以 m 1 4. 所以 E(X)11 32 1 43 1 44 1 6 9 4. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点二 离散型随机变量的期望与方差多维探究 3.5 角度 1 期望、方差的简单计算 (1)设随机变量 X 的分布列为 P(Xk)1 6(k1,2,3,4,5,6)，则 E(X) _，E(2X3)_，D(X)_，D(3X1)_. 10 35 12 105 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 E(X)x1p1x2p2x3p3x6p63.5， E(2
15、X3)2E(X)310. D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(x6E(X)2p6 1 6(13.5) 2(23.5)2(63.5)217.51 6 35 12. D(3X1)9D(X)105 4 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 D 角度 2 期望、方差与函数性质 (2)(2019 浙江卷，7)设 0a1.随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 1 3 1 3 1 3 则当 a 在(0,1)内增大时， ( ) AD(X)增大 BD(X)减小 CD(X)先增大后减小 DD(X)先减小后增大 返回导航 高考一轮总复习 数学（
16、新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 随机变量 X 的期望 E(X)01 3a 1 31 1 3 a1 3 ， D(X) 0a1 3 2 aa1 3 2 1a1 3 2 1 3 2 9(a 2a1)2 9 a1 2 21 6， 当 a 0，1 2 时，D(X)单调递减，当 x 1 2，1 时，D(X)单调递增，故 选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 角度3 实际问题中的期望、方差问题 (3)(2021 天津红桥区期中)某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾 客进行奖励，袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其
17、余3个均 为10元，规定：每位顾客从袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面 值之和为该顾客所获的奖励额 求顾客所获的奖励额为60元的概率； 求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 设顾客所获取的奖励额为 X， 依题意，得 P (X60)C 1 1 C 1 3 C2 4 1 2， 即顾客所获得奖励额为 60 元的概率为1 2. 依题意得 X 得所有可能取值为 20,60， P(X60)1 2，P(X20) C2 3 C2 4 1 2， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量
18、及其分布 即 X 的分布列为 X 20 60 P 1 2 1 2 所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为 E(X)201 260 1 240. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (4)(入座问题)有编号为1,2,3，n的n个学生，入座编号为 1,2,3，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位 号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X2时，共有6种坐法 (1)求n的值； (2)求随机变量X的数学期望和方差 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)由题意知 C2 n6，解得 n4
19、. (2)X 所有可能取值为 0,2,3,4， 又 P(X0) 1 A4 4 1 24， P(X2)C 2 4 A4 4 6 24 1 4， P(X3) 8 A4 4 8 24 1 3， P(X4) 9 A4 4 9 24 3 8， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 随机变量 X 的分布列为 X 0 2 3 4 P 1 24 1 4 1 3 3 8 E(X)0 1 242 1 43 1 34 3 83， D(X)(30)2 1 24(32) 21 4(33) 21 3(34) 23 81. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数
20、原理、概率、随机变量及其分布 求离散型随机变量的分布列、期望与方差，应按下述步骤进行： (1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义； (2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率； (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证； (4)根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算 说明：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应 的概率，在求解时，要注意计数原理、排列组合及常见概率模型 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 13 变式训练 2 (1)(角度 1)(2021 江苏镇江调研)随机变量 的分布如下
21、表，则 E(5 4)_. 0 2 4 P 0.4 0.3 0.3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 D (2)(角度 2)(2021 广东深圳宝安区调研)设 0a1，离散型随机变量 X 的分布列如下，则当 a 在 0，2 3 内增大时 ( ) X 0 1 2 P 1a 2 1 2 a 2 AD(X)增大 BD(X)减小 CD(X)先减小后增大 DD(X)先增大后减小 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)如图，A、B 两点由 5 条连线并联，它们在单位时间内能通过的最 大信息量依次为 2,3,
22、4,3,2， 现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的 最大信息总量为 . 写出最大信息总量 的分布列； 求最大信息总量 的数学期望 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)由题意知 E()20.340.31.8， E(54)5E()413. (2)由题意： E(X)01a 2 11 22 a 2a 1 2， 所以 D(X)1a 2 0a1 2 21 2 1a1 2 2a 2 2a1 2 2a2a1 4 a1 2 21 2，因为 1 2 0，2 3 ，所以 D()先增后减，故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原
23、理、概率、随机变量及其分布 (3)由已知， 的取值为 7,8,9,10， P(7)C 2 2C 1 2 C3 5 1 5， P(8)C 2 2C 1 2C 2 2C 1 1 C3 5 3 10， P(9)C 1 2C 1 2C 1 1 C3 5 2 5， P(10)C 2 2C 1 1 C3 5 1 10. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 的概率分布列为 7 8 9 10 P 1 5 3 10 2 5 1 10 E()1 57 3 108 2 59 1 1010 42 5 8.4. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、
24、概率、随机变量及其分布 考点三 超几何分布师生共研 (2017 山东卷改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方 法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者 随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通 过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作 用，现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5，A6和 4 名女志愿者 B1，B2， B3， B4， 从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示， 另 5 人接受乙种心理暗示 (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的概率； (2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求
25、 X 的分布列 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含B1的事 件为 M， 则 P(M) C4 8 C5 10 5 18. (2)由题意知 X 可取的值为 0,1,2,3,4，则 P(X0) C5 6 C5 10 1 42，P(X1) C4 6C 1 4 C5 10 5 21， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 P(X2)C 3 6C 2 4 C5 10 10 21，P(X3) C2 6C 3 4 C5 10 5 21， P(X4)C 1 6
26、C 4 4 C5 10 1 42. 因此 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申1用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，则X的分布列为 _. 解析 由题意可知 X 的取值为 1,2,3,4,5， 则 P(X1)C 1 6C 4 4 C5 10 1 42，P(X2) C2 6C 3 4 C5 10 5 21， P(X3)C 3 6C 2 4 C5 10 10 21，P(X4) C4 6C 1 4 C5 10 5 21， P(X5) C5 6 C5 1
27、0 1 42. 因此 X 的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申2用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数 之差，则X的分布列为_. 解析 由题意知 X 可取的值为 3,1，1，3，5. 则 P(X3)C 4 4C 1 6 C5 10 1 42，P(X1) C3 4C 2 6 C5 10 5 21， P(X1)C 2 4C 3 6 C5 10 10 21，P(X3) C1 4C 4 6 C5 10 5 21， P(X5) C5 6 C5 10
28、 1 42， 因此 X 的分布列为 X 3 1 1 3 5 P 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 1超几何分布的两个特点： (1)超几何分布是不放回抽样问题； (2)随机变量为抽到的某类个体的个数 2超几何分布的应用：超几何分布属于古典概型，主要应用于抽 查产品、摸不同类别的小球等概率模型 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练3 (2021 安徽省淮北市模拟)有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市， 名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽
29、、籽粒饱满、晶莹剔 透、汁多味甘而享誉天下现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时 长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a、b、c表示石榴甜度与海拔、 日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示 良，2表示优，再用综合指标abc的值评定石榴的等级，若4则 为一级；若23则为二级；若01则为三级 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边 地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得 到如下结果： 种植园编号 A B C D E F (a，b，c) (1,0
30、,0) (2,2,1) (0,1,1) (2,0,2) (1,1,1) (1,1,2) 种植园编号 G H I J K L (a，b，c) (2,2,2) (0,0,1) (2,2,1) (0,2,1) (1,2,0) (0,0,2) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量； (2)在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，表示取到三级 石榴种植园的数量，求随机变量的分布列及数学期望 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)计算
31、12 个石榴种植园的综合指标，可得下表 编号 A B C D E F G H I J K L 综合指标 1 5 2 4 3 4 6 1 5 3 3 2 由上表可知等级为一级的有 5 个， 所以等级为一级的频率为 5 12， 所以 120 个石榴种植园中一级种植园约有 50 个 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)由题意 可以取 0、1、2， 其中 P(0)C 0 2C 2 5 C2 7 10 21， P(1)C 1 2C 1 5 C2 7 10 21， P(2)C 2 2C 0 5 C2 7 1 21， 的分布列为 故 E()010 211
32、 10 212 1 21 4 7. 0 1 2 P 10 21 10 21 1 21 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 离散型随机变量与统计综合 (2021 吉林长春实验中学期中)某学校为了解班级卫生教育 系列活动的成效，对全校 40 个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检 查(满分 100 分，最低分 20 分)根据检查结果：得分在80,100评定为 “优”，奖励 3 面小红旗；得分在60,80)评定为“良”，奖励 2 面小红 旗；得分在40,60)评定为“中”，奖励 1 面小红旗；得分在20,40)评定为 “
33、差”，不奖励小红旗 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 已知统计结果的部分频率分布直方图如图： 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查 得分的中位数； (2)学校用分层抽样的方法，从评定等级为“优”、“良”、 “中”、“差”的班级中抽取10个班级，再从这10个班级中随机抽取2 个班级进行抽样复核，记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和 为X，求X的分布列与数学期望E(X) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率
34、、随机变量及其分布 解析 (1)得分20,40)的频率为 0.005200.1；得分40,60)的频率 为0.010200.2； 得分80,100的频率为0.015200.3； 所以得分60,80) 的频率为 1(0.10.20.3)0.4. 设班级得分的中位数为 x 分，于是 0.10.2x60 20 0.40.5，解得 x70. 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为 70. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)由(1)知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为 0.3， 0.4,0.2,0.1.又班级总数为 40.于是“优”、“
35、良”、“中”、“差”的班 级个数分别为 12,16,8,4.分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、 “差”的班级个数分别为 3,4,2,1. 由题意可得 X 的所有可能取值为 1,2,3,4,5,6 P(X1)C 1 1C 1 2 C2 10 2 45，P(X2) C2 2C 1 1C 1 4 C2 10 1 9， P(X3)C 1 1C 1 3C 1 2C 1 4 C2 10 11 45，P(X4) C2 4C 1 2C 1 3 C2 10 4 15， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 P(X5)C 1 4C 1 3 C2 10 4 1
36、5，P(X6) C2 3 C2 10 1 15， 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P 2 45 1 9 11 45 4 15 4 15 1 15 E(X)1 2 452 1 93 11 454 4 155 4 156 1 15 171 45 19 5 . 所以 X 的数学期望 E(X)19 5 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练4 (2021 湖南湘潭模拟)为了解贵州省 某州2020届高三理科生的化学成绩的情 况，该州教育局组织高三理科生进行了 摸底考试，现从参加考试的学生中随机 抽取了100名理科生，将他们的化学
37、成绩 (满分为100分)分为40,50)，50,60)， 60,70)，70,80)，80,90)，90,1006组， 得到如图所示的频率分布直方图 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)求a的值； (2)记A表示事件“从参加考试的所有理科生中随机抽取一名学生， 该学生的化学成绩不低于70分”，试估计事件A发生的概率； (3)在抽取的100名理科生中，采用分层抽样的方法从成绩在60,80) 内的学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取4名，记这4名理科生 成绩在60,70)内的人数为X，求X的分布列与数学期望 返回导航 高考一轮总复习 数
38、学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)(0.0050.0100.0200.030a0.010)101， a0.025. (2)成绩不低于70分的频率为 (0.0300.0250.010)100.65， 事件A发生的概率约为0.65. (3)抽取的100名理科生中，成绩在60,70)内的有1000.0201020 人， 成绩在70,80)内的有1000.0301030人， 故采用分层抽样抽取的10名理科生中， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 成绩在60,70)内的有 4 人，在70,80)内的有 6 人，由题可知，
39、X 的可 能取值为 0,1,2,3,4， P(X0) C4 6 C4 10 15 210 1 14， P(X1)C 3 6 C 1 4 C4 10 80 210 8 21， P(X2)C 2 6 C 2 4 C4 10 90 210 3 7， P(X3)C 1 6 C 3 4 C4 10 24 210 4 35， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 P(X4) C4 4 C4 10 1 210. X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 14 8 21 3 7 4 35 1 210 E(X)0 1 141 8 212 3 73 4 354 1 210 8 5. 谢谢观看
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