1、第2章 特殊三角形 章末检测卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2021山西中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）A统计思想B分类思想C数形结合思想D函数思想2（2021江苏九年级二模）如图的四个图案中，具有一个共有的性质，那么在下列各数中也满足上述性质的是（ ）A212B444C535D8083（2021四川石室初中
2、八年级期中）如图，ABC与ABC关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A不共线），下列结论中错误的是（ ）AAAP是等腰三角形BMN垂直平分AA、CCCABC与ABC面积相等D直线AB，AB的交点不一定在直线MN上4（2021四川八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，则S7的值为（ ）ABCD5（2021武汉外国语学校初二期中）在ABC中，ABAC5，P是BC上异于B，C的一点，则AP2+BPPC的值是（）A15B25C30D206（2021辽
3、宁九年级一模）如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则（ ）A100B105C110D1157（2021广西钦州市八年级期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（ ）ABCD8（2021河南八年级期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ） A厘米B10厘米C厘米D8厘米9（2021广西八年级期末）如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为（ ）
4、ABCD210（2021重庆八年级期末）如图，在中，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接则的最小值是（ ）AB1CD11（2021江苏西附初中八年级月考）如图，中，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为（ ）ABCD12（2021湖南八年级期末）如图，在中，点D，E为BC上两点，F为外一点，且，则下列结论：；，其中正确的是 ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13（2021江苏九年级二
5、模）顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_13（2020浙江省开化县第三初级中学八年级期中）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积若， ，则 的值为 _ 15（2021四川）如图，已知，点、在射线上，点、在射线上，、均为等边三角形，若，则的边长为_16（2020四川龙泉驿初二期末）如图a是长方形纸带，DEF15，将纸带沿EF折叠成图b，则AEG的度数_度，再沿BF折叠成图c则图中的CFE的度数是_度17（2021重庆南开中学八年级期末）如图，在等边ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，AD=CE，连接BD，
6、AE，点M、N分别在线段BE、BD上，满足BM=BN，MN=ME，若DBC：BEN=8：7，则AEN的度数为_18（2021陕西交大附中分校九年级其他模拟）如图，在四边形ABCD中，AB6，ADBC3，E为AB边中点，且CED120，则边DC长度的最大值为_三、解答题（本大题共8小题，共46分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2021湖北）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，ABC为格点三角形（1）如图，图1，图2，图3都是66的正方形网格，点M，点N都是格点，请分别按要求在网格中
7、作图：在图1中作MNP，使它与ABC全等；在图2中作MDE，使MDE由ABC平移而得；在图3中作NFG，使NFG与ABC关于某条直线对称；（2）如图4，是一个44的正方形网格，图中与ABC关于某条直线轴对称的格点三角形有个 20.（2021西湖区校级月考）如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1l2，现要在这条河上建一座桥桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由 21（2021浙江八年级月考）台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球的方向，因此，台球既复杂又有趣，台球运动被称为智慧和
8、技能的较量问题1：如图（1），如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹击中相邻另一条桌边，再次反弹，那么母球P经过的路线BC与PA平行吗？证明你的判断问题2：在一张简易球桌ABCD上，如图（2）所示，目标球F、母球E之间有一个G球阻挡，击球者想通过击打母球E先撞球台的CD边，过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到CD边上的哪一点？请用尺规作图在图（2）中作出这一点问题3：如图（3），在简易球台ABCD上，已知AB=4，BC=3母球P从角落A以45角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入 （填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了 次；若AB=100，BC=99，母球P还
9、终将会落入某个角落的球袋，则它在落入球袋之前，在桌子边缘总共回弹了 次 22（2021福建八年级期末）如图，在中，是上一点，（1）求证：；（2）求的长 23（2020江西八年级期中）如图，地面上放着一个小凳子，点距离墙面，在图中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点处，在图中，木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上点处（1）求小凳子的高度；（2）若，木杆的长度比长，求木杆的长度和小凳子坐板的宽 24（2021四川成都市八年级期末）如图，已知ABC是等边三角形，AB8，M为AC中点，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60得到AE，连接CE、DE、ME（1）求证：CDCECA；（2）求出点
10、M到CE所在直线的距离；（3）当ME时，求CE的值25（2021浙江八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，（1）如图1，点、都在外部，连结和相交于点判断与的位置关系和数量关系，并说明理由；若，求的值（2）如图2，当点在内部，点在外部时，连结、，当，时，求的值 26（2020河南宛城初二期末）（问题背景）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90，点E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF60，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GDBE，连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 （探
11、索延伸）如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，点E、F分别是边BC、CD上的点，且EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由（学以致用）如图3，在四边形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC6，E是边AB上一点，当DCE45，BE2时，则DE的长为 第2章 特殊三角形 章末检测卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2021山西中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”实际上它也可用于验
12、证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）A统计思想B分类思想C数形结合思想D函数思想【答案】C【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，故选：C【点睛】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键2（2021江苏九年级二模）如图的四个图案中，具有一个共有的性质，那么在下列各数中也满足上述性质的是（ ）A212B444C535D808【答案】D【分析】先确定每个
13、图形的性质，然后找出他们的共同性质，再判断四个选项中是轴对称的即可【详解】解：五角星是轴对称和旋转对称图形，三圆两辆相切图形是轴对称图形和旋转对称图形，心形是轴对称图形，箭头是轴对称图形，他们的共有性质是轴对称性质，在四个选项中只有D是轴对称图形故选择D【点睛】本题考查图形的性质，共同性质，掌握轴对称性质是解题关键3（2021四川石室初中八年级期中）如图，ABC与ABC关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A不共线），下列结论中错误的是（ ）AAAP是等腰三角形BMN垂直平分AA、CCCABC与ABC面积相等D直线AB，AB的交点不一定在直线MN上【答案】D【分析】据对称轴的定义，ABC
14、与ABC关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系【详解】解：ABC与ABC关于直线MN对称，P为MN上任意一点，AAP是等腰三角形，MN垂直平分AA，CC，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确，直线AB，AB关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误，故选：D【点睛】本题主要考查了轴对称性质的理解和应用，准确分析判断是解题的关键4（2021四川八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，则S7的值为（ ）ABC
15、D【答案】A【分析】根据题意求出面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长，得到S2，同理求出S3，根据规律解答【详解】解：正方形ABCD的边长为1，面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长的平方为，则，面积标记为S3的等腰直角三角形的直角边长的平方为，则，.则S7的值为：，故选：A【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质等能通过计算找出一般性规律是解题关键5（2021武汉外国语学校初二期中）在ABC中，ABAC5，P是BC上异于B，C的一点，则AP2+BPPC的值是（）A15B25C30D20【答案】B【分析】首先过点A作ADBC于D，可得ADPADB90，又由ABAC，根据三线合一的性
16、质，可得BDCD，由勾股定理可得PA2PD2+AD2，AD2+BD2AB2，然后由AP2+PBPCAP2+（BD+PD）（CDPD），即可求得答案【解析】解：过点A作ADBC于D，ABAC5，ADPADB90，BDCD，PA2PD2+AD2，AD2+BD2AB2，AP2+PBPCAP2+（BD+PD）（CDPD）AP2+（BD+PD）（BDPD）AP2+BD2PD2AP2PD2+BD2AD2+BD2AB225故选：B【点睛】本题考查了勾股定理与等腰三角形的性质的正确及灵活运用注意得到AP2+PBPC=AP2+（BD+PD）（CD-PD）是解此题的关键6（2021辽宁九年级一模）如图，是等边三角
17、形，是边上的中线，点在上，且，则（ ）A100B105C110D115【答案】B【分析】由是等边三角形，可得B=60，由是边上的中线，可得BD=CD=，ADBC，由，ED=CD，可求ECD=45，由三角形外角性质可求AFC=105【详解】解：是等边三角形，B=60，AB=AC，是边上的中线，BD=CD=，ADBC，ED=CD，EDC=90，ECD=DEC=45，AFC是FBC的外角，AFC=B+FCD=60+45=105故选择：B【点睛】本题考查等边三角形性质，等式性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，掌握等边三角形性质，等式性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质是解题关键7（202
18、1广西钦州市八年级期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（ ）ABCD【答案】D【分析】因为ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有ADBCDB90，且ABDCBD30，ACBCDEDEC60，又CDCE，可得CDECED30，所以就有CBDDEC，即DEBD，BDECDBCDE120.由此得出答案解决问题【详解】解：ABC是等边三角形，ABC=ACB60，BD是AC上的中线，ADBCDB90，ABDCBD30，ACBCDEDEC60，又CDCE，CDECED30，CBDDEC，DE=BD，BDECDBCDE120，故ABC均正确故选：D【点睛】此题考查等边
19、三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用8（2021河南八年级期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ） A厘米B10厘米C厘米D8厘米【答案】B【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.【
20、点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.9（2021广西八年级期末）如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为（ ）ABCD2【答案】C【分析】过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可【详解】解：过作交于，是等边三角形，是等边三角形，在和中，故选：C【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好
21、，难度适中10（2021重庆八年级期末）如图，在中，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接则的最小值是（ ）AB1CD【答案】B【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得PDC=QDE，PD=QD，进而可得PCDQED，则有PCD=QED=90，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQQE时，最后问题可求解【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：是等边三角形，CDQ是公共角，PDC=QDE，PCDQED（SAS），点D是边的中点，PCD=QED=90，点Q是在QE所在直线上运动，当CQQE时，CQ取的最
22、小值，；故选B【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键11（2021江苏西附初中八年级月考）如图，中，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据折叠的性质可知AC=CD，A=CDE，CEAB，RtABC中根据勾股定理求得AB=5，再根据三角形的面积可求得BF的长【详解】解：RtABC中，ACB90，AC3，BC4，AB5，根据折叠的性质可知ACC
23、D，ACDE，CEAB，BDBCCD431，DCE+BCFACE+BCF，ACB90，ECF45，ECF是等腰直角三角形，EFCE，EFC45，BFCBFC135，BFD90，SABCACBCABCE，ACBCABCE，CE，EF，EDAE，DFEFED BF选：A【点睛】此题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键12（2021湖南八年级期末）如图，在中，点D，E为BC上两点，F为外一点，且，则下列结论：；，其中正确的是 ABCD【答案】A【分析】利用全等三角形的判定得，再利用全等三角形的性质得结论；利用全等三角形的判定和全等三角形的性质得，再利用勾股定理
24、得结论；利用等腰三角形的性质得，再利用三角形的面积计算 结论；利用勾股定理和等腰直角三角形的性质计算得结论【详解】解：如图：对于，因为，所以，因此又因为，所以又因为，所以因此，所以故正确对于，由知，所以又因为，所以，连接FD，因此所以在中，因为，所以故正确对于，设EF与AD交于G因为，所以因此故正确对于，因为，又在中，又是以EF为斜边的等腰直角三角形，所以因此，故正确故选A【点睛】本题考查全等三角形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的面积二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13（2021江苏九年级二模）顶角是的等
25、腰三角形叫做黄金三角形如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_【答案】【分析】根据正五边形的内角和和黄金三角形的定义进行判断即可【详解】解：设BE与AC、AD交于M、N，ABCDE是正五边形，内角和为，每一个内角为，ABCBAEAEDBCDCDE108，ABBCAEED，BACBCA36，EADADE36，CAD36，ACDADC72，ACAD，ACD是黄金三角形，同理可求：BANANBAMEEAM72，CBMBMCDNEDEN72，AMN、DEN、EAM、CMB，ABN也是黄金三角形则图中黄金三角形个数有6个故答案：6【点睛】此题考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义注意：此图
26、中所有顶角是锐角的等腰三角形都是黄金三角形13（2020浙江省开化县第三初级中学八年级期中）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积若， ，则 的值为 _ 【答案】12【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得的值【详解】解：设RtABC的三边分别为a、b、c，则，观察图形可得：，即，=，=4+8=12，故答案为：12【点睛】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键15（2021四川）如图，已知，点、在射线上，点、在射线上，、均为等边三角形，若，则的边长为_【答案】22019【分析】根据等腰三角形的性质以及含30度
27、角的直角三角形得出，得出，进而得出答案【详解】解：是等边三角形，、是等边三角形，同理可得：，则的边长为故答案为：22019【点睛】本题主要考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型16（2020四川龙泉驿初二期末）如图a是长方形纸带，DEF15，将纸带沿EF折叠成图b，则AEG的度数_度，再沿BF折叠成图c则图中的CFE的度数是_度【答案】150 135 【分析】根据长方形纸条的对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出2EFG，继而求出图b中GFC的度数，再减掉GFE即可得图c中CFE的度数【
28、解析】解：如图，延长AE到H，由于纸条是长方形，EHGF，1EFG，根据翻折不变性得1215，2EFG，AEG180215150，又DEF15，2EFG15，FGD15+1530在梯形FCDG中，GFC18030150，根据翻折不变性，CFEGFCGFE15015135故答案为：150；135【点睛】此题主要考查了平行线的性质和图形的折叠，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，折叠前后角的度数不变17（2021重庆南开中学八年级期末）如图，在等边ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，AD=CE，连接BD，AE，点M、N分别在线段BE、BD上，满足BM=BN，MN=ME，若DBC：BEN=8：7
29、，则AEN的度数为_【答案】45【分析】由三角形ABC为等边三角形，得到AB=AC=BC，BAC=ABC=C=60，再由AD=CE，利用SAS得出三角形ACE与三角形BAD全等，得到EAC=ABD，由BGE为三角形ABG的外角，利用外角性质得到BGE=60，设DBC=8x，BEN=7x，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得出14x+14x+8x=180，得出x的值，利用三角形外角的性质即可得出答案；【详解】解：ABC为等边三角形，AB=AC=BC，BAC=ABC=C=60，在ACE和BAD中，ACEBAD（SAS），CAE=ABD；BGE=ABD+BAE=EAC+BAE=BAC=60，D
30、BC：BEN=8：7，设DBC=8x，BEN=7x，MN=ME，MNE=BEN=7x，BMN=14x，BM=BN，BMN=BNM =14x，在BMN中，14x+14x+8x=180，x=5BNE=BGE+AEN=BNM+MNE=21x=105，AEN=105-60=45；故答案为：45【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出BEG=60和利用方程的数学思想18（2021陕西交大附中分校九年级其他模拟）如图，在四边形ABCD中，AB6，ADBC3，E为AB边中点，且CED120，则边DC长度的最大值为_【答案】9【分析】将沿D
31、E翻折到的位置，将沿EC翻折到的位置，连接，证明是等边三角形，得，再根据两点之间线段最短可得结论【详解】解：将沿DE翻折到的位置，将沿EC翻折到的位置，连接，如图，由翻折知， ，CED120， 是等边三角形， 由两点之间线段最短得，当在同一条直线时，取最大值为：3+3+3=9，故答案为：9【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定以及两点之间线段最短的应用，证明是等边三角形是解答此题的关键三、解答题（本大题共8小题，共46分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2021湖北）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的
32、三角形称为格点三角形，ABC为格点三角形（1）如图，图1，图2，图3都是66的正方形网格，点M，点N都是格点，请分别按要求在网格中作图：在图1中作MNP，使它与ABC全等；在图2中作MDE，使MDE由ABC平移而得；在图3中作NFG，使NFG与ABC关于某条直线对称；（2）如图4，是一个44的正方形网格，图中与ABC关于某条直线轴对称的格点三角形有个【答案】（1）见解析；见解析；见解析；（2）5【分析】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；根据平移的性质画出图形即可；根据轴对称的性质画出图形即可；（2）根据轴对称的性质画出图形即可解决问题【详解】解：（1）如图1中，MNP即为所求作如图2中，
33、MDE即为所求作如图3中，NFG即为所求作 （2）如图4中，有5个三角形故答案为：5【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、作图轴对称变换、作图平移变换，解题的关键是综合运用相关知识解题20.（2021西湖区校级月考）如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1l2，现要在这条河上建一座桥桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由【分析】先确定AA与河等宽，且AA河岸，连接BA，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，即可得出答案【答案】解：如图，先确定AA与河等宽，且AA河岸，连接BA，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于
34、点D，CD就是所求的桥的位置理由：由作图过程可知，四边形ACDA为平行四边形，AD平移至AC即可得到线段AB，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥【点睛】本题考查的是作图平移变换以及利用轴对称解决最短路径问题，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键21（2021浙江八年级月考）台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球的方向，因此，台球既复杂又有趣，台球运动被称为智慧和技能的较量问题1：如图（1），如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹击中相邻另一条桌边，再次反弹，那么母球P经过的路线BC与PA平行吗？证明你的判
35、断问题2：在一张简易球桌ABCD上，如图（2）所示，目标球F、母球E之间有一个G球阻挡，击球者想通过击打母球E先撞球台的CD边，过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到CD边上的哪一点？请用尺规作图在图（2）中作出这一点问题3：如图（3），在简易球台ABCD上，已知AB=4，BC=3母球P从角落A以45角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入 （填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了 次；若AB=100，BC=99，母球P还终将会落入某个角落的球袋，则它在落入球袋之前，在桌子边缘总共回弹了 次【答案】问题1 BCPA；问题2见解析；问题3比前一次的位置下移2格，所
36、以要撞击边的次数为100+992=197次【详解】（1）类似于光线的反射问题，可通过计算同旁内角互补，得出平行的结论；（2）入射角等于反射角，找出E点关于AB的对称点E1，连接E1F交AB于H根据对称图形的特点及对顶角相等得出BHF=E1HA=EHA，求出E1N及NF的长运用勾股定理求出E1F的长，因对应边EH=E1H，E1H即为所求；（3）根据当AB=4，AD=3时的例图及弹子的运行规律：每一条运行轨迹都是一个正方形的对角线，画出图形，即可得出结论解：（1）如图，PAD=BAE，PAB=180PADBAE，PAB=1802BAE同理，ABC=1802ABEBAE+ABE=90，PAB+ABC
37、=3602（BAE+ABE）=180BCPA（2）可作点E关于直线AB的对称点E1，连接E1F，E1F与AB交于点H，球E的运动路线就是EHHF，过点F作AB的平行线交E1E的延长线于点N，； （3）如图，母球P从角落A以45角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入B（填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了5次；设由DC边反弹，弹子撞击BC边的位置距离C点为K格，从BC边反弹后，弹子撞击AB边的位置距离B点为（99k）格，距离A点为（k+1）格经过AB边反弹后，弹子撞击AD边的位置距离A点为（k+1）格，距离D点为99（K+1）格，经AD反弹，弹子撞击DC边的位
38、置距离D点为99（k+1）格，距离C点为10099（K+1）=K+2格再撞击BC边的位置距离C点为k+2格，即比前一次的位置下移2格，所以要撞击边的次数为100+992=197次22（2021福建八年级期末）如图，在中，是上一点，（1）求证：；（2）求的长【答案】（1）见解析；（2）的长为【分析】(1)计算BCD各边的平方，看是否满足勾股定理的逆定理，依此判断直线的位置关系；(2)用方程思想，表达勾股定理计算即可.【详解】（1）证明：，；（2）设，则，在中，解得，的长为【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理，逆定理并灵活运用是解题的关键.23（2020江西八年级期中）如图，地
39、面上放着一个小凳子，点距离墙面，在图中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点处，在图中，木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上点处（1）求小凳子的高度；（2）若，木杆的长度比长，求木杆的长度和小凳子坐板的宽【答案】（1）30cm；（2）木杆长100cm，AB=40 cm【分析】（1）如图，过作垂直于墙面，垂足于点，由，利用勾股定理在中，即可；（2）如图，延长交墙面于点，可得，利用勾股定理在中，构造方程求解即可【详解】解：（1）如图，过作垂直于墙面，垂足于点，根据题意可得：，在中，即凳子的高度为；（2）如图，延长交墙面于点，可得，设，则，在中，【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理应用的条
40、件与结论，关键是构造出符合条件的图形是解题关键24（2021四川成都市八年级期末）如图，已知ABC是等边三角形，AB8，M为AC中点，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60得到AE，连接CE、DE、ME（1）求证：CDCECA；（2）求出点M到CE所在直线的距离；（3）当ME时，求CE的值【答案】（1）见解析；（2） ；（3）或；【分析】（1）依据可证明，可得，即可； （2）过点作，由（1）知，利用直角三角形的性质，即可求解；（3）过点作，讨论点，在线段上还是的延长线上，通过直角三角形的性质，即可求解；【详解】（1）由题知，为等边三角形，；又，逆时针旋转；由旋转的性质可知：；，；在和中
41、， ，；（2）过点作，由（1）知，又为的中点，；在中， ； ； ；到所在直线的距离为；（3）过点作，由（2）知，；在中，； ；当点落在线段上时，；当点落在线段的延长线时，；的值为或；【点睛】本题主要考查全等三角形证明、等边三角形和直角三角形的性质，关键在寻找相关条件作辅助线；25（2021浙江八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，（1）如图1，点、都在外部，连结和相交于点判断与的位置关系和数量关系，并说明理由；若，求的值（2）如图2，当点在内部，点在外部时，连结、，当，时，求的值【答案】（1）BDCE且BDCE，理由见详解；14；（2）22【分析】（1）证明ABDACE，根据全等三角形的性质得到BDCE，ABDACE，根据三角形内角和定理得到CFGBAG90，根据垂直的定义解答；由，可得BC2=2AB2=8，DE2=2AD2=6，进而即可求解；（2）延长BD，分别交AC、CE于F、G，同理可证： BDCE且BDCE，设DG=x，CG=y，EG=z，利用勾股定理可得= DE2+ BC2，进而即可求解【详解】（1）BDCE且BDCE，理由如下：设BD与AC交于点G，如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABAC，ADAE，BAC
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