北师大版九年级数学上思维特训(一)含答案：正方形的旋转变换

1、思维特训(一) 正方形的旋转变换解决与正方形旋转有关的题目，需要将旋转的性质与正方形的性质相结合，通过借助特殊的三角形、全等三角形、相似三角形等知识寻找解题思路1如图 1S1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，且EAF45，将ABE 绕点 A 顺时针旋转 90，使点 E 落在点 E处，连接 EE，则下列判断不正确的是( )图 1S1AAEE 是等腰直角三角形BAF 垂直平分 EECEECAFDDAEF 是等腰三角形2如图 1S2，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 的边长分别为 a 和 b，正方形 CEFG绕点 C 旋转，给出下列结论： BE DG；BEDG；DE

2、2BG 22a 22b 2，其中正确的结论是_(填序号)图 1S23如图 1S3，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 O 又是正方形 A1B1C1O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等无论正方形 A1B1C1O 绕点 O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的 .想一想，这是为什么14图 1S34已知正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一个公共顶点 A，点 G，E 分别在线段AD，AB 上，若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转 ，连接 DG，如图 1S4，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段 DG 的长度始终相等？并说明理由图 1S45如图

3、 1S5，四边形 ABCD 是正方形，G 是 CD 边上的一个动点(点 G 与 C，D不重合) ，以 CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG，连接 BG，DE.我们探究图中线段 BG 和线段 DE 的长度关系及其所在直线的位置关系(1)猜想图中线段 BG 和线段 DE 的长度关系及其所在直线的位置关系；(2)将图中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针(或逆时针 )方向旋转任意角度 ，得到如图、如图的情形请你通过观察、测量等方法判断(1) 中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断图 1S56如图 1S6，已知 P 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点(不与点 A，C

4、 重合)，PE BC 于点 E，PFCD 于点 F.(1)求证：BPDP.(2)如图，若四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP DP？若是 ，请给予证明；若不是，请用反例加以说明(3)试选取正方形 ABCD 的两个顶点，分别与四边形 PECF 的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并给出证明图 1S67如图 1S7，正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转角度 n 后得到正方形 AEFG，边EF 与 CD 相交于点 O.(1)以图中已标有字母的点为端点连接两条线段( 正方形的对角线除外)，要求所连接的两

5、条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；(2)若正方形的边长为 2 cm，重叠部分( 四边形 AEOD)的面积为 cm2，求旋转的角4 33度 n.图 1S7详解详析1D 解析 将ABE 绕点 A 顺时针旋转 90，使点 E 落在点 E处，AE AE，EAE90 ，AEE 是等腰直角三角形，故 A 正确；将ABE 绕点 A 顺时针旋转 90，使点 E 落在点 E处，EADBAE.四边形 ABCD 是正方形，DAB90.EAF 45，BAE DAF45，EAD DAF45，EAFEAF.又AEAE，AF 垂直平分 EE，故 B 正确；AFEE，ADF90，FE E AFDAFDDA

6、F，FEE DAF，EECAFD，故 C正确；ADE F，但E AD 不一定等于 DAF ，AEF 不一定是等腰三角形，故 D 错误故选 D.2 解析 如图，设 BE，DG 相交于点 O，四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都为正方形，BCCD ，CECG，BCDECG90，BCDDCEECGDCE90DCE，即BCEDCG.在BCE 和DCG 中，BCCD，BCEDCG， CECG，BCEDCG(SAS)，BEDG，12.141390，2390，BOD90，BEDG，故正确；连接 BD，EG ，如图所示，DO 2BO 2 BD2BC 2CD 22a 2，EO 2OG 2EG 2CG 2CE

7、 22b 2，DE 2BG 2DO 2EO 2BO 2OG 22a 22b 2，故正确3解：在正方形 ABCD 中，OBOA ，AOB 90，OAEOBF45.在正方形 A1B1C1O 中，A 1OC190，AOEBOF.在AOE 和BOF 中，OAEOBF，OAOB ，AOEBOF，AOEBOF(ASA)，重叠部分的面积等于AOB 的面积，重叠部分的面积总等于一个正方形面积的 .144解析 观察 DG 的位置，找包含 DG 的三角形，要找两条线段相等，只要找到与之全等的三角形，即可找到与之相等的线段解：如图，连接 BE，则 BEDG.理由如下：四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形

8、，ABAD ，AEAG，BADEAG90，BADBAGEAG BAG，即DAGBAE.在BAE 和DAG 中，ABAD ，BAEDAG ， AEAG，BAE DAG(SAS)，BEDG.5解析 (1)根据正方形的性质，显然BCG 顺时针旋转 90即可得到DCE，从而判断两条直线之间的关系；(2)结合正方形的性质，根据 SAS 仍然能够判定BCGDCE，从而证明结论解：(1)BG DE，BGDE.理由如下：四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形，BCDC，CGCE，BCDECG90，BCGDCE.在BCG 和DCE 中，BCDC，BCGDCE， CGCE ，BCGDCE(SAS)，BG

9、DE .延长 BG 交 DE 于点 H，如图所示BCGDCE，CBGCDE.又CBGBGC90，BGCDGH，CDEDGH90，DHG90，BHDE ，即 BGDE.(2)BG DE，BGDE 仍然成立在题图中证明如下：四边形 ABCD、四边形 CEFG 都是正方形，BCCD，CGCE，BCDECG90，BCGDCE，BCGDCE(SAS)，BGDE ，CBGCDE.又BHCDHO，CBGBHC90，CDEDHO90，DOH90，BGDE .6解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，ABAD ，BAP DAP.在PAB 和PAD 中，AB AD，BAPDAP，AP AP，PAB PAD(S

10、AS)，BP DP .(2)不是反例：当四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转，点 P 旋转到 BC 边上时，DPDCBP， 此时 BPDP 不成立(3)连接 BE，DF，则 BE 与 DF 始终相等证明：在题图中，四边形 ABCD 是正方形，CA 平分BCD.PEBC，PFCD，PEPF.又BCD90，四边形 PECF 为正方形，ECFC，BEDF .在题图中，连接 DF，BE .易知DCFBCE .在BEC 和DFC 中，BCDC，BCEDCF，ECFC，BECDFC(SAS)，BEDF.7解：(1)答案不唯一，如连接 AO，DE，则 AODE .理由：如图所示，在 Rt ADO 和 RtAEO 中，AD AE，AOAO ，RtADORtAEO (HL)，DAO EAO(即 AO 平分DAE)，AODE (等腰三角形的三线合一) (2)四边形 AEOD 的面积为 cm2，4 33ADO 的面积 cm2.ADDO2 2 33AD2cm，DO cm.2 33在 Rt ADO 中，AO ，AD2 DO24 33DAO 30 ，EAD60，EAB 30，即 n30.