1、7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明 北师北师大大版版 数学数学 八年级八年级 上册上册 a b c d 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 现实现实生活中，我们常用观察的方法来了解世界生活中，我们常用观察的方法来了解世界. . 数学学习中，我们也用观察、实验、归纳的方法得出数学学习中，我们也用观察、实验、归纳的方法得出 了很多了很多结论结论. .观察观察、实验、归纳的方法得到的结论一、实验、归纳的方法得到的结论一 定正确吗？如果不是，那么，用什么定正确吗？如果不是，那么，用什么方法证明方法证明它呢？它呢？ 导入导入新知新知 7.
2、1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 1.了解推理的意义，知道要判断一个数学结论了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否是否 正确正确，必须进行，必须进行推理推理 2. 会用会用实验验证、举出反例、推理实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证等方法简单地验证 一个数学结论是否正确一个数学结论是否正确 素养目标素养目标 3. 培养合作交流并探讨的学习品质培养合作交流并探讨的学习品质,培养用科学的态度培养用科学的态度 审视在数学活动中遇到的审视在数学活动中遇到的不确定结论不确定结论的习惯的习惯. 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 观察与思考观察与思考 两图中的中间圆大小一样吗
3、？两图中的中间圆大小一样吗？ 4 探究新知探究新知 知识点 1 数学的结论必须经过严格的论证数学的结论必须经过严格的论证 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 5 探究新知探究新知 线 是 直 还 是 曲 ？ 线 是 直 还 是 曲 ？ 观察与思考观察与思考 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 图中的四边形是正方形吗？图中的四边形是正方形吗？ 探究新知探究新知 观察与思考观察与思考 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 是 静 还 是 动 ？ 是 静 还 是 动 ？ 探究新知探究新知 观察与思考观察与思考 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 平行线:
4、不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线! 你觉得观察得到的结论正确吗？ 8 探究新知探究新知 观观 察察 与与 思思 考考 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、 实验还不够；实验还不够； 必须经过一步一步、必须经过一步一步、 有根有据有根有据的证明的证明. . 请举例说明，你用到过的推理请举例说明，你用到过的推理. . 探究新知探究新知 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 做做 一一 做做 如如图，假如用一根比地球的赤道长图，假如用一根比地球的赤道长1m的的铁丝铁丝 将地球赤道围起来
5、，那么铁丝与地球赤道之将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之 间的间隙能有多大？（地球看成球形）能放间的间隙能有多大？（地球看成球形）能放 进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？ 解：解：设赤道周长设赤道周长为为C，铁丝与地球赤道铁丝与地球赤道 之间的间隙为之间的间隙为 ： 它们它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也的间隙不仅能放进一个红枣，而且也 能放进一个拳头能放进一个拳头. . 探究新知探究新知 11 (m) 222 0.16 CC 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 费 马 对于对于所有自所有自 然数然数n， 的值都是质数的值都是质数. . 122
6、n 当当n=0，1，2，3，4时，时， 122 n = 3，5，17，257，65 537 都是都是质数质数. . 欧 拉 当当n=5时，时， = 4 294 967 297= 6416 700 417 举出反例是检验错误数学结举出反例是检验错误数学结 论的有效方法论的有效方法. . 大数学家也有失误大数学家也有失误 探究新知探究新知 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 这个故事告诉我们：这个故事告诉我们： 1. 学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度. 2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、没有严格的推理，仅由若干特例归纳、 猜测的结论可能潜藏着错误
7、，未必正确猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确. 3.要证明一个结论是错误的，举反例就要证明一个结论是错误的，举反例就 是一种常用方法是一种常用方法. 探究新知探究新知 归纳总结归纳总结 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 例例1 先先观察再验证观察再验证 (1)图图中实线是直的还是弯曲的？中实线是直的还是弯曲的？ (2)图图中两条线段中两条线段a与与b哪一条更长？哪一条更长？ (3)图图中的直线中的直线AB与直线与直线CD平行吗？平行吗？ 2021/9/9 13 知识点知识点 2 检验数学检验数学结论结论的常用方法的常用方法 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 实验验证法实验验
8、证法 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 解：解：观察可能得出的结论是：观察可能得出的结论是： 实线实线是弯曲的；是弯曲的； a更长一些；更长一些； AB与与DC不平行不平行 而我们用科学的方法验证后发现：而我们用科学的方法验证后发现： 实线实线是直的；是直的； a与与b一样长；一样长； AB平行于平行于CD. 14 探究新知探究新知 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 归纳总结归纳总结 有时视觉受周围环境的影响，往往误有时视觉受周围环境的影响，往往误 导我们，让我们得出错误的结论，所以导我们，让我们得出错误的结论，所以仅仅 靠经验、观察是不够的靠经验、观察是不够的，只
9、有通过科学的，只有通过科学的 实验进行严格的推理，才能得出最准确的实验进行严格的推理，才能得出最准确的 结论结论 15 探究新知探究新知 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / a = b 巩固练习巩固练习 图中两条线段图中两条线段a与与b的长度相等吗的长度相等吗? ? 变式训练变式训练 变式训练变式训练 a b 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / a b 线段线段a与线段与线段b哪个哪个 比较长？比较长？ a b c d 谁谁与线段与线段d在在 一条直线上？一条直线上？ 17 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / a b a
10、b c d a=b 18 巩固练习巩固练习 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 例例2 当当n为正整数时，代数式为正整数时，代数式(n25n5)2的值都等于的值都等于1吗？吗？ 解：解：当当n1时，时，(n25n5)2121； 当当n2时，时，(n25n5)2(1)21； 当当n3时，时，(n25n5)2(1)21； 当当n4时，时，(n25n5)2121； 当当n5时，时，(n25n5)252251. 所以当所以当n为正整数时，为正整数时，(n25n5)2的值的值不一定不一定等于等于1. 探究新知探究新知 方法总结方法总结:验证特例验证特例是判断一个结论错误的最好方法是判断一个结
11、论错误的最好方法 素养考点素养考点 2 推理证明法推理证明法 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 当当n=0，1，2，3，4，5时，代数式时，代数式n2 -n+11的值是质数吗？的值是质数吗？ 你能否得到结论：对于所有自然数你能否得到结论：对于所有自然数n，代数式，代数式n2-n+11的值都是的值都是 质数？质数？ n 0 1 2 3 4 5 n2 -n+11 11 11 13 17 23 31 代数式代数式n2-n+11的值都是的值都是质数质数吗吗？ 巩固练习巩固练习 n 6 7 8 9 10 11 n2 -n+11 41 53 67 83 101 121 对于所有自然数对于所有
12、自然数n，代数式，代数式n2-n+11的值的值不一定不一定都是都是 质数质数. 变式训练变式训练 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 例例3 如如图，从点图，从点O出发作出四条射线出发作出四条射线OA，OB，OC，OD， 已知已知OAOC，OBOD. . (1)若若BOC30，求，求AOB和和COD的的度数度数. . (2)若若BOC54，求，求AOB和和COD的的度数度数. . (3)由由(1)、(2)你发现了什么？你发现了什么？ (4)你能肯定上述的发现吗？你能肯定上述的发现吗？ 分析：分析：图中图中AOB，COD均与均与BOC 互余，根据角的和、差关系，可求得互余，根据角的和
13、、差关系，可求得 AOB与与COD的度数通过计算发现的度数通过计算发现 AOBCOD，于是可以归纳，于是可以归纳AOB COD. 探究新知探究新知 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 解：解：(1)因为因为OAOC，OBOD， 所以所以AOCBOD90. 因为因为BOC30， 所以所以AOBAOCBOC 90-3060， CODBODBOC 90-3060. 例例3 如如图，从点图，从点O出发作出四条射线出发作出四条射线OA，OB，OC，OD， 已知已知OAOC，OBOD. . (1)若若BOC30，求，求AOB和和COD的度数；的度数； 探究新知探究新知 7.1 7.1 为什么要
14、证明为什么要证明/ / 解：解：(2)AOBAOCBOC 905436， CODBODBOC 905436. 例例3 如如图，从点图，从点O出发作出四条射线出发作出四条射线OA，OB，OC，OD， 已知已知OAOC，OBOD. . (2)若若BOC54，求，求AOB和和COD的度数；的度数； 探究新知探究新知 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 解：解：(3)由由(1)、(2)可发现：可发现： AOBCOD. 例例3 如如图，从点图，从点O出发作出四条射线出发作出四条射线OA，OB，OC，OD， 已知已知OAOC，OBOD. . (3)由由(1)、(2)你发现了什么？你发现了什么？
15、 (4)你能肯定上述的发现吗？你能肯定上述的发现吗？ 探究新知探究新知 (4)因为因为 AOBBOCAOC90， BOCCODBOD90 所以所以AOBBOCBOCCOD. 所以所以AOBCOD. 方法总结方法总结: :检验数学结论具体经历的过程是：检验数学结论具体经历的过程是： 观察、度量、实验观察、度量、实验猜想归纳猜想归纳结论结论推理推理正确结论正确结论 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 如如图图，在，在ABC中，点中，点D，E分别是分别是AB，AC的的中点连中点连 接接DE，DE与与BC有怎样的位置关系？有怎样的数量关系？有怎样的位置关系？有怎样的数量关系？ 先猜一猜，再
16、设法检验你的猜想先猜一猜，再设法检验你的猜想.你能肯定你的结论对所你能肯定你的结论对所 有有ABC都成立吗？与同伴进行交流都成立吗？与同伴进行交流. 解：解：DE与与BC平行，平行，DE的长度等于的长度等于BC 的一半的一半.通过测量检验这个结论通过测量检验这个结论是正确是正确的的. 这个结论对所有三角形都成立这个结论对所有三角形都成立. 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 1. 甲甲、乙、丙、丁、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场）， 结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场次相同
17、，则丁胜的场次是结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场次相同，则丁胜的场次是（ ） A 3 B 2 C 1 D0 连接中考连接中考 D 2. 为了从为了从2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这些金枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这些金 蛋按蛋按12018的顺序进行标号第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中的顺序进行标号第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中 没有有奖金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置上又按没有有奖金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置上又按11009编了号（即原编了号（即原 来的来的2号变为号变为1号，原来的号，原来的4号变为号变为2号号原来的原来的2018
18、号变为号变为1009号），又号），又 从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋如此如此 下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是 _. 1024 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 1.下列结论中你能肯定的是（下列结论中你能肯定的是（ ） A.今天下雨，明天必然还下雨今天下雨，明天必然还下雨 B.三个连续整数的积一定能被三个连续整数的积一定能被6整除整除 C.小明在数学竞赛中一定能获奖小明在数学竞赛中一定能获奖 D.两张相片
19、看起来佷像，则肯定照的是同一个人两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人 2.顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是（顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是（ ） A.平行四边形平行四边形 B.矩形矩形 C.正方形正方形 D.菱形菱形 B D 2021/9/9 27 课堂课堂检测检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 3.下列问题用到推理的是（下列问题用到推理的是（ ） A.根据根据a=10，b=10,得到得到a=b B.观察得到三角形有三个角观察得到三角形有三个角 C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘
20、 D.由经验可知过两点有且只有一条直线由经验可知过两点有且只有一条直线 A 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂课堂检测检测 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 4.当当x为任意实数时为任意实数时, ,x2+4x+5的值都大于零吗的值都大于零吗? ? 解：解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1. 因为因为(x+2)20,所以所以(x+2)2+10. 所以当所以当x为任意实数时为任意实数时,x2+4x+5的值都大于零的值都大于零. . 29 课堂课堂检测检测 5.当当n为正整数时，为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？的值一定是质数吗？ 解：解：不是不是
21、，当，当n=6时，时， n2+3n+1=55不是不是质数质数. . 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 6. 如图，有如图，有A，B，C，D，E，F六个人坐在一张圆桌周围共六个人坐在一张圆桌周围共 进午餐进午餐.已知已知C坐在坐在号位，号位，E和和C相隔一人且坐在相隔一人且坐在C的右边，的右边， D坐在坐在A的对面，的对面，B与与F相隔一人且坐在相隔一人且坐在F的右边，的右边，F与与A不相不相 邻邻.请问请问A，B，C，D，E，F各坐在哪个位置？各坐在哪个位置？ C E A F D B 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂课堂检测检测 7
22、.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 如图如图,在在ABC中中,已知已知ACB=90,CA=CB,ADCE于点于点 D,BECE于点于点E.求证求证:AD=CE. 解：解：因为因为ACB=90, 所以所以BCE+ACD=90(互余的定义互余的定义). 因为因为ADCE, 所以所以ADC=90(垂直的定义垂直的定义). 所以所以ACD+CAD=90(直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余). 所以所以CAD=BCE(同角的余角相等同角的余角相等). 因为因为BECE,所以所以CEB=ADC=90(垂直的定义垂直的定义). 因为因为CA=CB,所以所以ACDCBE(AAS). 所以所以A
23、D=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等). 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂课堂检测检测 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 从从2开始开始,连续的偶数相加连续的偶数相加,和的情况如下和的情况如下: 2+4=6=23; 2+4+6=12=34; 2+4+6+8=20=45; (1)请推测从请推测从2开始开始,n个连续偶数相加个连续偶数相加,和是多少和是多少. (2)取取n=6,验证验证(1)的结论是否正确的结论是否正确. 32 课堂课堂检测检测 解解:(1)2+4+6+2n=n(n+1). (2)当当n=6时时,按规律应是按规律应是2+4+6+8+10+12=42=67,按按(1) 的结论是的结论是n(n+1)=6(6+1),所以所以(1)的结论是正确的的结论是正确的. 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 为什么为什么 要证明要证明 数学结论必须经过数学结论必须经过 严格的论证严格的论证 实验验证实验验证 举出反例举出反例 推理证明推理证明 论证论证 方法方法 33 课堂小结课堂小结 7.1 7.1 为什么要证明为什么要证明/ / 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
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