1、专练 16 函数中线段的定值与最值问题 1.如图 1，抛物线 y=mx23mx+n(m0)与 x 轴交于点(1，0)与 y 轴交于点 B(0，3)，在线段 OA 上有一动点 E(不与 O、A 重合)，过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N ， 交抛物线于点 P (1)分别求出抛物线和直线 AB 的函数表达式； (2)连接 PA、PB，求 PAB 面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标 (3)如图 2， 点 E(2， 0)， 将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转的到 OE， 旋转角为 (0 90 )， 连接 EA、 EB ， 求 EA+ EB 的最小值 【答案】 (1)解：抛物线 (m0
2、)与 x 轴交于点(-1，0)与 y 轴交于点 B(0，3)， 则有 ， 解得： ， 抛物线的解析式为： ， 令 ，得到 ， 解得： 或 ， A(4，0)，B(0，3)， 设直线 AB 解析式为 ，则 ， 解得 ， 直线 AB 解析式为 ； (2)解：如图， 设点 P 的坐标为( ， )， PEOA 交直线 AB 于点 N，交 x 轴于 E， 点 N 的坐标为( ， )， ， ， ， 当 时， 有最大值，最大值为 6， 此时点 P 的坐标为( ， )； (3)解：如图中，在 轴上 取一点 M使得 OM= ，连接 AM，在 AM上取一点 E使得 OE=OE OE=2，OMOB= ， OE2=OM
3、OB， ， BOE=MOE， MOEEOB， ， ME= BE， EA+ EB=AE+EM=AM，此时 EA+ EB 最小(两点间线段最短，A、M、E共线时)， 最小值=AM= 2.在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A(8，0)，点 B(0，6)，把 ABO 绕点 B 逆时针旋转得 ABO，点 A、O 旋转后的对应点为 A、O，记旋转角为 (1)如图 1，若 =90 ，则 AB=_，并求 AA的长_； (2)如图 2，若 =120 ，求点 O的坐标； (3)在(2)的条件下，边 OA 上的一点 P 旋转后的对应点为 P，当 OP+BP取得最小值时，直接写出点 P的坐 标 【答案】 (1)10
4、； (2)作 OHy 轴于 H，如图， ABO 绕点 B 逆时针旋转 120 ，得 ABO， BO=BO=3，OBO=120， HBO=60， 在 Rt BHO中，BOH=90HBO=30， BH= BO= ，OH= BH= ， OH=OB+BH=3+ = ， O点的坐标为( ， ) (3)ABO 绕点 B 逆时针旋转 120 ，得 ABO，点 P 的对应点为 P， BP=BP， OP+BP=OP+BP， 作 B 点关于 x 轴的对称点 C，连结 OC 交 x 轴于 P 点，如图， 则 OP+BP=OP+PC=OC，此时 OP+BP 的值最小， 点 C 与点 B 关于 x 轴对称， C(0，3
5、)， 设直线 OC 的解析式为 y=kx+b， 把 O( ， )，C(0，3)代入得 ，解得 ， 直线 OC 的解析式为 y= 3， 当 y=0 时， 3=0，解得 x= ， 则 P( ，0)， OP= ，OP=OP= ， 作 PDOH 于 D， BOA=BOA=90 ，BOH=30， DPO=30， OD= OP= ，PD= ， DH=OHOD= ， P点的坐标为( ， ) 【解析】(1)如图，点 A(4，0)，点 B(0，3)， OA=4，OB=3， AB= =5， ABO 绕点 B 逆时针旋转 90 ，得 ABO， BA=BA，ABA=90， ABA为等腰直角三角形， AA=BA=5 3
6、.如图， 已知直线 : 与 轴， 轴的交点分别为点 ， ， 直线 交 于 点 备用图 (1)求点 的坐标及直线 的解析式 (2)将 沿边 翻折， 得到 ， 过点 作直线 垂直 轴于点 ， 是轴 上点， 是直线 上任意一点， ， 两点关于 轴对称，当 最大时，求 点的坐标；并求 的最小值 (3)若 M 是直线 上一点，且 ，在(2)的条件下，在平面直角坐标系中，是否存在点 ，使 得以， ， ， ， 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请求出点 的坐标， 若不存在， 请说明理由 【答案】 (1)解：由题意 ( ，0)， (0， )， 直线 : ， ， 线 的解析式为 ， 令 ，解得 ， (6
7、，0). 故答案为： (6，0)， (2)解： 关于 边翻折，得到 ， 可得 (3， )， 当 最大时，点 在直线 上， 此时 (3， )， ， 关于 轴对称， (3， ) 在 中， ， ， 如图，作 于 ，交 y 轴于 . 则 ， 根据重线段最短可知， 的最小值为线段 的长， 在 中， ， ， 的最小值为 . 故答案为： (3， )， (3)解：由(2)可知： (0， )， ， (3， )或(3， )， 当 (3， )时，如图， 以 ， ， ， 四点为顶点的四边形是平行四边形， 可得满足条件的点 坐标为(6， )或(0， )或(0， )， 当 为(3， )时，同法可得满足条件的点 坐标为(6
8、， )或(0， )或(0， ) 4.在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P(x，y)，若点 Q 的坐标为(x，|xy|)，则称点 Q 为点 P 的“关联点” (1)请直接写出点(2，2)的“关联点”的坐标； (2)如果点 P 在函数 yx1 的图象上，其“关联点”Q 与点 P 重合，求点 P 的坐标； (3)如果点 M(m，n)的“关联点”N 在函数 yx2的图象上，当 0m2 时，求线段 MN 的最大值 【答案】 (1)解：|22|0， 点(2，2)的“关联点”的坐标为(2，0) (2)解：点 P 在函数 yx1 的图象上， P(x，x1)，则点 Q 的坐标为(x，1)， 点 Q 与点 P
9、 重合， x11，解得：x2， 点 P 的坐标为(2，1) (3)解：点 M(m，n)， 点 N(m，|mn|) 点 N 在函数 yx2 的图象上， |mn|m2 (i)当 mn 时，mnm2 ， nm2+m， M(m，m2+m)，N(m，m2) 0m2， MN|yMyN|m2+mm2|m|2m1| 当 0m 时，MN2m2+m2(m )2+ ， 当 m 时，MN 取最大值，最大值为 当 m2 时，MN2m2m2(m )2+ ， 当 m2 时，MN 取最大值，最大值为 6 (ii)当 mn 时，nmm2 ， nm2+m， M(m，m2+m)，N(m，m2) 0m2， MN|yMyN|m2+mm
10、2|m， 当 m2 时，MN 取最大值 2 综上所述：当 0m2 时，线段 MN 的最大值为 6 5.已知直线 l：y=2，抛物线 C：y=ax21 经过点(2，0) (1)求 a 的值； (2)如图，点 P 是抛物线 C 上任意一点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q求证：PO=PQ； (3)请你参考(2)中的结论解决下列问题： 如图，过原点作直线交抛物线 C 于 A，B 两点，过此两点作直线 l 的垂线，垂足分别为 M，N，连接 ON，OM，求证：OMON； 如图，点 D(1，1)，探究在抛物线 C 上是否存在点 F，使得 FD+FO 取得最小值？若存在，求出点 F 的 坐标，若不存
11、在，请说明理由 【答案】 (1)解：抛物线 C：y=ax21 经过点(2，0) 0=4a1， a= (2)解：a= ， 抛物线解析式：y= x21， 设点 P(m， m21)， PO= = m2+1，PQ= m21(2)= m2+1， PO=PQ (3)解：由(2)可得 OA=AM，OB=BN BON=BNO，AOM=AMO AMMN，BNMN AMBN ABN+BAM=180 ABN+BON+BNO=180 ，AOM+AMO+BAM=180 ABN+BON+BNO+AOM+AMO+BAM=360 BON+AOM=90 MON=90 OMON 如图：过点 F 作 EF直线 l， 由(2)可得
12、OF=EF， OF+DF=EF+DF 当点 D，点 F，点 E 三点共线时，OF+DF 的值最小即此时 DE直线 l， 直线 l：y=2， OF+DF 的最小值为 DE=1+2=3 6.如图，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点 (1)求 A 点和点 B 的坐标； (2)判断 ABC 的形状，证明你的结论； (3)点 M 是 x 轴上的一个动点，当 MD+MC 的值最小时，求点 M 的坐标 【答案】 (1)解：当 y=0 时， ， x1=-1，A(-1,0) 则 B(4,0)， A(1, 0 ) (2) ABC 是直角三角形 证明：B(4,0),A(-1,0) OA=1
13、.OB=4， AB=5. y= x2- x-2， C(0,-2) OC=2 AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20， AC2+BC2=AB2 ， ABC 是直角三角形 (3)解：作点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接 CD，交 x 轴于点 M， MC=MC MD+MC=MC+MD=CD 此时 MD+MC 的值最小 C(2，0) ( ) 点 D( ， ) 设直线 CD 的函数解析式为 y=kx+b ) 解之： ) 当 y=0 时 解之： . 点 M( ， ) 当 MD+MC 的值最小时，点 M ( ， ). 7.函数 的图象如图，那么 (1)方程 的根是 _；
14、(2)不等式 的解集是_； (3)若方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围_； (4)在 轴上有一点 E，使 AE+PE 最短，求 E 点坐标. 【答案】 (1)x=3 或 x=-1 (2)x-1 或 x3 (3)k-2 (4)解：如图，设点 C(-3，0)，则点 A 和点 C 关于 y 轴对称， 连接 PC，与 y 轴交于点 E，连接 AE， 则 CE=AE， AE+PE=CE+PE， 此时 CE+PE 最短，即 PC 的长， 点 P(1，-2)， PC= = . 【解析】解：(1)由图可知：抛物线的对称轴为直线 x=1，且与 x 轴交于(3，0)， 方程 的根是 x=3 或 x=-
15、1；(2)由图可知： 函数 的图象在 x 轴上方时， x-1 或 x3， 不等式 的解集是 x-1 或 x3；(3)由图可知：P(1，-2)， 若方程 有两个不相等的实数根， 即函数 与直线 y=k 有两个不同的交点， 则 k 的取值范围是 ； 8.如图所示，一元二次方程 x2+2x-3=0 的两根 x1 ， x2(x1x2)是抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点 C， B 的横坐标，且此抛物线过点 A(3，6) (1)求此抛物线的函数解析式； (2)设此抛物线的顶点为 P，对称轴与线段 AC 交于点 Q，求点 P，Q 的坐标. (3)在 x 轴上是否存在以动点 M，使 MQ+M
16、A 有最小值，若存在求出点 M 的坐标和最小值，若不存在，请 说明理由. 【答案】 (1)解方程 x2+2x-3=0，得 x1=3，x2=1， 交点 C(3,0)，B(1,0)， 设抛物线解析式为 y=a(x+3)(x1)， 点 A(3，6)在抛物线上， 解得 a= ， 则抛物线的函数解析式为 ； (2) ， 顶点 P 的坐标为(1，2)，对称轴为直线 x=1， 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b， A(3,6)，C(3,0)在直线 AC 上， ， 解得：k=1，b=3， 直线 AC 的解析式为：y=x+3， 当 x=1 时，y=1+3=2， Q 点坐标为(1，2)； (3)存在，理由如下
17、， 点 P 与点 Q 横坐标相等，纵坐标互为相反数， 点 P，Q 关于 x 轴对称， 连接 AP，与 x 轴的交点即为所求点 M，连接 QM， QM=PM， QM+AM=PM+AM， 设直线 AP 的解析式为 y=ax+c， 将 A(3，6)，P(1，2)代入 y=ax+c 得： ， 解得得 a=2，c=0， y=2x， 令 y=0，则 x=0， 点 M 的坐标为(0，0)， 过点 A 向 PQ 作垂线，垂足为 H， 则 AH=4，PH=8， 在 Rt AHP 中， ， MQ+MA= . 9.已知，二次函数 y =x2-4x+c 的图象与 x 轴的一个交点为 O(0,0),点 P(m，0)是
18、x 轴正半轴上的一个动点. (1)如图 1，求二次函数的图象与 x 轴另一个交点的坐标: (2)如图 2，过点 作 x 轴的垂线交直线 y=x 与点 C，交二次函数图象于点 D 当 PD=2PC 时，求 m 的值; 如图 3，已知 A(3，-3)在二次函数图象上，连结 AP，求 AP+OP 的最小值; (3)如图 4，在第(2)小题的基础上，作直线 OD，作点 C 关于直线 OD 的对称点 C，当 C 落在坐标轴上时， 请直接写出 m 的值: 【答案】 (1)解：将 O(0，0)代入解析式，解得 c=0； 分从而解析式为 y=x2-4x； 因式分解得 x2-4x=x(x-4)，所以，二次函数图
19、象与 x 轴的另一个交点为(4，0) (2)解：根据题意，由 P(m，0)，易得 C ， 当点 D 在 x 轴下方时， 解之得 当点 D 在 x 轴上方时， 解之得 过点 P 作直线 OC 的垂线，垂足为 E，则 OP=PE，所以 过点 A 作，AH 垂直 OC，则 AH 即为 AP+OP 的最小值 经计算得 (可用等面积法) (3)解： (点 C在 x 轴负半轴) (点 C在 y 轴负半轴) (点 C在 x 轴正半轴) (点 C在 y 轴正半轴) 【解析】解：(3)设点 P(m，0)，则点 C ， ， 点 D(m，m24m)， 当点 C在 y 轴上时， 如图，当点 C在 y 轴的负半轴时，
20、设 CC交 OD 于点 H，COB30 ，点 C、C关于 OD 对称， OD 是COC的角平分线， COD COC (30 90 )60 ， POD30 COB， PDPC，则 4mm2 ， 解之： ， m=0(舍去) 当点 C在 y 轴正半轴时， 同理可知COHHOCCOB30 ，则HDC906030 ， 则 HCPC CD， 即：CP CD， ， 解之： ; 当点 C在 x 轴上时， 同理可得：点 C在 x 轴负半轴时， ， 点 C在 x 轴正半轴时， ； m 的值为 或 或 或 . 10.如图，抛物线 的图象经过点 ，交 x 轴于点 、 (点 A 在点 B 左侧)，连 接 直线 与 轴交
21、于点 D,与 上方的抛物线交于点 E,与 交于点 F (1)求抛物线的解析式及点 、 的坐标； (2) 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 (1)解：把 代入 ，即 ，解得 抛物线的解析式为 令 可得: ； (2)解：存在， 如图，由题意，点 E 在 y 轴的右侧，作 轴，交 于点 G 直线 与 轴交于点 ， 设 所在直线的解析式为 ， 将 代入上述解析式得： 解得: 的解析式为 设 则 ，其中 . 抛物线开口方向朝下 当 时，有最大值，最大值为 . 将 t=2 代入 =-2+3+2=3 点 的坐标为 11.如图，抛物线 与 轴交于点 和
22、点 ，与y轴交于点C，连接 ， 点 P 是线段 上的动点(与点 不重合)，连接 并延长 交抛物线于点 Q，连接 ，设 点 Q 的横坐标为 m (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标； (2)当 的面积等于 2 时，求 m 的值； (3)在点 P 运动过程中， 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 【答案】 (1)解：抛物线经过 A(-1，0)，B(4，0)，可得： ，解得： ， 抛物线的解析式为： ， 令 x=0，则 y=2， 点 C 的坐标为(0，2)； (2)解：连接 OQ， 点 Q 的横坐标为 m， Q(m， )， S=S OCQ+S OBQ-S OBC= = ， 令
23、 S=2， 解得：m= 或 ； (3)解：如图，过点 Q 作 QHBC 于 H， AC= ，BC= ，AB=5， 满足 AC2+BC2=AB2 ， ACB=90 ，又QHP=90 ，APC=QPH， APCQPH， ， S BCQ= BCQH= QH， QH= ， ， 当 m=2 时， 存在最大值 12.已知点 是抛物线 ( 为常数， )与 x 轴的一个交点 (1)当 时，求该抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线与 x 轴的另一个交点为 ，与 y 轴的交点为 C ， 过点 C 作直线 l 平行于 x 轴，E 是直 线 l 上的动点，F 是 y 轴上的动点， 当点 E 落在抛物线上(不与点 C 重
24、合)，且 时，求点 F 的坐标； 取 的中点 N ， 当 m 为何值时， 的最小值是 ？ 【答案】 (1)解：当 ， 时，抛物线的解析式为 抛物线经过点 ， 解得 抛物线的解析式为 ， 抛物线的顶点坐标为 (2)解：抛物线 经过点 和 ， ， ， ，即 ， 抛物线的解析式为 根据题意，得点 ，点 过点 A 作 于点 H 由点 ，得点 在 Rt 中， ， ， ， 解得 此时，点 ，点 ，有 点 F 在 y 轴上， 在 Rt 中， 点 F 的坐标为 或 由 N 是 EF 的中点，得 根据题意，点 N 在以点 C 为圆心、 为半径的圆上 由点 ，点 ，得 ， 在 中， 当 ，即 时，满足条件的点 N 落在线段 MC 上， MN 的最小值为 ，解得 ； 当 ， 时，满足条件的点 N 落在线段 CM 的延长线上， MN 的最小值为 ，解得 当 m 的值为 或 时，MN 的最小值是
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