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    初一上册数学直升班培优讲义教师版一元一次方程的应用(教师版)

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    初一上册数学直升班培优讲义教师版一元一次方程的应用(教师版)

    1、 1 一元一次方程的应用一元一次方程的应用 一元一次方程的应用专题 1 知识框架 2 一、基础知识点 2 知识点 1 列方程解应用题的合理性 2 知识点 2 建立书写模型常见的数量关系 3 知识点 3 分析数量关系的常用方法 3 二、典型题型 6 题型 1 和差倍分问题 . 6 题型 2 总(分)量问题 . 6 题型 3 调配问题 . 7 题型 4 配套问题 . 7 题型 5 分段计费问题 . 8 题型 6 方案优化问题 . 9 题型 7 利润问题、打折问题、盈亏问题 9 题型 8 储蓄问题 . 10 题型 9 行程问题 . 11 题型 10 工程问题 . 12 题型 11 等积问题 . 13

    2、 题型 12 数字问题 . 13 题型 13 积分问题 . 14 三、培优题型 16 题型 1 设辅助未知数 . 16 题型 2 商品销售问题(复杂) 16 题型 3 行程问题(复杂) . 17 题型 4 工程问题(多个未知数) 19 题型 5 浓度问题 . 20 2 知识框架知识框架 一一、基础知识点基础知识点 知识点知识点 1 列方程解应用题的合理性列方程解应用题的合理性 列方程解实际问题,对于方程的解转为为实际问题的解答,一定要注意检验它是否符合实际情况。若不 符合,必须舍去。有时,要根据实际问题与数学问题的区别,对实际问题的解进行修正。同时,在设与答 时,单位要同一。 例例 1.一队学

    3、生去校外进行军事训练,他们以 5 千米/小时的速度行进,走了 18 分钟,学校要将一紧急通知传 达给队长,通讯员从学校出发,骑自行车以 14 千米每小时的速度按原路追上去,通讯员用多少分钟可以追 上学生队伍? 【答案】设经过 x 小时可以追上学生队伍 18 分=0.3h 依据题意,等量关系式为:学生走的路程=通讯员走的路程 方程为:5(0.3+x)=14x 3 解得:x= =10min 答:需要 10 分钟追上队伍。 本题中,时间单位不统一,需要先换算成相同的时间单位,在进行计算。 知识点知识点 2 建立书写模型常见的数量关系建立书写模型常见的数量关系 1)公式形数量关系 生活中许多数学应用情

    4、景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时,必须通过情景中的信息, 准确联想有关的公式,利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长宽 长方形周长=2(长+宽) 正方形面积=边长边长 正方形周长=4 边长 2)约定型数量关系 利息问题,利润问题,质量分数问题,比例尺问题等涉及的数量关系,像数学中的公式,但常常又不算 数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 3)基本数量关系 在简单应用情景中,与其他数量关系没有什么差别,但在较复杂的应用情景中,应用方法就不同了。我 么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价数量=总价 速度时间=路程 工作效率时间=总工作量等。 例例 1.一只船在逆水中

    5、航行,船上一只救生圈掉入水中,5 分钟后船员发现救生圈落水,船掉头追赶救生圈, 几分钟能够追上救生圈(调转船头时间不计)? 【答案】设 x 分钟能够追上救生圈,船静水的速度为 v1,水流速度为 v2 依据题意,等量关系式为:救生圈走的路程=船走的路程 v2 (5+x)=x 解得:x=5 答:需要 5 分钟追上救生圈。 常见的几种等量关系公式,我们需要熟练掌握 4 知识点知识点 3 分析数量关系的常用方法分析数量关系的常用方法 1)译式法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式,并找出没有公国的等量关系,翻译成含有 未知数的等式。 例例 1. 一个三位数,百位上的数字比十

    6、位上的数字大 1,个位上的数字比十位上的数字的 3 倍少 2,若将个 位与百位数字调换位置后,所得的三位数与原来三位数的和是 1171,求这个三位数。 【答案】设原十位数字为 x,则百位数字为 x+1,个位数字为 3x2 依据题意,等量关系式为:原来三位数+变换后的三位数=1171 100(x+1)+10x+(3x2)+100(3x2)+10x+(x+1)=1171 解得:x=3 故原数百位数为:3+1=4,十位数为:3,个位数为 332=7 三位数为:437 译式法时最常见的列写等式方程的方法之一 2)列表分析数量关系 当题目中条件较多,关系较复杂时,要列出表格,把已知量和未知量填入表格,利

    7、用表格进行分析。 这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座” ,便于正确理解各数量之间的关系。 例例 2.超市以每支 4 元的价格购进 100 支钢笔,卖出时每支的标价为 6 元,当卖出一部分钢笔后,剩余的以 9 折出售,卖完时超市盈利 188 元,其中打 9 折的钢笔有几支? 【答案】题干中数量比较多,利用列表法分析数量关系 售价(元) 数量(支) 售出总价(元) 按标价出售 6 100x 6(100x) 打折出售 690% x 690%x 设有 x 支钢笔打 9 折,则不打折的钢笔为(100x)支 依据题意,等量关系式为:售出的费用进货费用=利润 6(100x)+6 90%100=18

    8、8 解得:x=20 答:有 20 支钢笔打折出售。 5 3)图解法分析数量关系 用图形表示题目中的数量关系,这种方法能帮助我们透彻地理解题意,并可直观形象的体会题意。在 行程问题中,我们常常用此类方法。 例例 3.甲、乙两人相距 285m,相向而行,甲从 A 地除法每秒走 8 米,乙从 B 地出发每秒走 6 米。如果甲先走 12 米,那么甲出发几秒后与乙相遇? 【答案】在行程问题当中,我们往往利用图解法来分析题干中的等量关系 设甲出发 x 秒后与乙相遇 依据题意,等量关系为:甲走的距离+乙走的距离=285 8x+6(x)=285 解得:x=21 答:甲出发 21 秒后与乙相遇 6 二、典型题型

    9、二、典型题型 题型题型 1 和差倍分问题和差倍分问题 解题技巧:解题技巧:此类题型,需要弄清楚“倍数” “多” “少”等关系。 (1)甲是乙的 a 倍:甲=乙a (2)甲比乙多 :甲=乙 (1+ ) (3)甲比乙少 :甲=乙 (1 ) 例例 1.今年收入比去年提高 20%,今年人均收入比去年的 1.5 倍少 1200 元,求去年的人均收入是多少? 【答案】设去年的人均收入为 x 元,则今年收入为(1+20%)x 元 依据题意,等量关系式为:今年收入=去年收入1.51200 (1+20%)x=1.5x1200 解得:x=4000 答:去年人均收入为 4000 元。 例例 2.把一根长 100cm

    10、 的木棍据成两段,使其中一段长比另一段的 2 倍少 5cm,求分成的两段木棍的长度。 【答案】设一根长为 xcm,则另一根长为(100x)cm 依据题意,等量关系式为:一根长=另一根长25 x=2(100x)5 解得:x=65 则另一根木棍长为:10065=35cm 答:一根木棍长为 65cm,另一根木棍长为 35cm。 题型题型 2 总(分)量问题总(分)量问题 解题技巧:解题技巧:此类题型,总量始终是不变的量,类似与工程问题,多利用这个不变量来列写等式方程。 例例 1.把一批图书分给同学,若每人分 3 本,则剩下 20 本;若每人分 4 本,则还差 25 本。问有多少同学? 【答案】无论如

    11、何分,同学数量不变,图书数量始终不变。 则等量关系式为:第一种方法分书时书本数量=第二种方法分书时书本数量 设有 x 名同学。 7 3x+20=4x25 解得:x=45 答:有 45 名同学。 例例 2.用 A 型机器和 B 型机器生产同样的产品,5 台 A 型机器生产一天的产品装满 8 箱后还剩 4 个;7 台 B 型机器生产一天的产品装满 11 箱后还剩 1 个, 每台 A 型机器比 B 型机器一天多生产 1 个产品, 求每箱产品 有多少个产品? 【答案】每箱产品的数量始终是不变的,利用这个不变的关系,可以求解出 A 型机器和 B 型机器生产的产 品数量。然后利用 A 型机器比 B 型机器

    12、多生产 1 个产品列等量关系是。 依据题意,等量关系是为:1 台 A 型机器每天生产产品数量=1 台 B 型机器每天生产产品数量+1 设每箱产品有 x 个 (8x+4)= (11x+1)+1 解得:x=12 答:每箱产品的数量为 12 个。 题型题型 3 调配问题调配问题 解题解题技巧:技巧:调配问题中,调配前后总量始终保持不变,可利用这个关系列写等式方程,有时又在调配前后 的变化中找等量关系。 调出者的数量=原有的数量调出的数量 调进者的数量=原有的数量+调入的数量 例例 1.第一组有 36 人,第二组有 24 人。因工作需要,从第二组调了几个人到第一组,结果第一组的人数是 第二组的 2 倍

    13、,求从第二组调了几人到第一组。 【答案】调动前后,第一组人数增加,第二组人数对应减少。 依据题意,等量关系式为:调动后第一组人数=调动后第二中人数2 设从第二种调动了 x 人到第一组,则第一组人数为(36+x)人,第二组人数为(24x)人 36+x=2(24x) 解得:x=4 答:从第二组调 4 人到第一组 8 例例 2.第二组比第一组人数的 少 30 人,从第二组调出 10 人到第一组,那么第一组的人数比第二组多 60 人, 求第一组原来有多少人? 【答案】调动前后,第一组人数增加 10 人,第二组人数对应减少 10 人。 依据题意,等量关系式为:调动后第一组人数=调动后第二中人数+60 设

    14、原来第一组有 x 人,则第二组原来有( x30)人。 x+10=( x30)10+60 解得:x=50 答:第一组原来有 50 人。 题型题型 4 配套问题配套问题 解题技巧:解题技巧:因工艺上的特点,某几个工序之间存在比例关系,需这几道工序的成对应比例才能完全配套完 成,这类题型为配套问题。配套问题,主要利用配套的比例来列写等式方程。 例例 1.某水利工程派 35 人去挖土和运土,如果每人每天挖 2 方或运 3 方土,那么应该怎么安排人员,正好使 挖出的土能及时运走? 【答案】挖土与运土之间的比例为 2:3,要能够刚好把挖出的土运走,则挖出的土和运走的土相同 依据题意,等量关系式为:挖出的土

    15、=运走的土 设 x 人挖土,则(35x)人运土 2x=3(35x) 解得:x=21 则运土人数为:3521=14 答:挖土 21 人,运土 14 人。 例例 2.某车间有工人 68 人,平均每人每天可以加工大齿轮 8 个或小齿轮 10 个,又知一个大齿轮和三个小齿 轮配为一套,问应该如何安排劳力使生产的产品刚好配套? 【答案】大齿轮和小齿轮的数量比为 1:3 依据题意,等量关系式为:大齿轮生产数量:小齿轮生产数量=1:3 设分配 x 人生产大齿轮,则(68x)人生产小齿轮 8x:10(68x)=1:3 9 解得:x=20 则生产小齿轮人数为:6820=48 人 答:生产大齿轮 20 人,小齿轮

    16、 48 人。 题型题型 5 分段计费问题分段计费问题 解题技巧:解题技巧:此类题型,收费往往因为不同的分段,标准会不一样。因此,在列写此类问题的等式方程时, 需要先依据题意将路程进行合理分段,然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。 例例 1. 某种出租车的收费标准是:起步价 7 元(即行驶距离不超过 3 千米需付 7 元车费) ,超过 3 千米后, 每增加 1 千米加收 2.4 元 (不足 1 千米按 1 千米计算) , 某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费 19 元, 则此人从甲地到乙地经过的路程是多少千米? 【答案】设他乘此出租车从甲地到乙地行驶的路程是 x 千米,依题意: 7+

    17、2.4(x-3)=19, 解得: x=8 答:他乘此出租车从甲地到乙地行驶路程不超过 8 千米 例例2. 一出租车起步价是 5 元, 8公里内按起步价收费, 8公里以上20公里以内按每增加1公里另收费0.5 ; 20 公里以上按每增加 1 公里另收费 1 元,一乘客付出车费 21 元,问他乘坐多少公里? 【答案】设他乘此出租车从甲地到乙地行驶的路程是 x 千米,依题意: 5+(20-8)*0.5+(x-20)*1=21 解得:x=30 例例 3.某市居民用电基本价格为每度 0.4 元,若每月用电量超过 a 度,超过部分按基本电价的 70收费。 (1)某户 5 月份用电 84 度,共交电费 30

    18、.72 元,求 a. (2)若该户 6 月份的电费平均每度 0.36 元,求 6 月份共用电多少度?应交电费多少元? 【答案】 (1)0.4a+(84-a)*0.4*0.7=30.72 解得:a=60 (2)设共用电 x 度 0.4*60+(x60)*0.4*0.7=0.36x 解得:x=90 10 应交费: 90*0.36=32.4 元 题型题型 6 方案优化问题方案优化问题 解题技巧:解题技巧:此类题型,一般会提供多种方案供选择,要求我们选出最合算的方案。解此类题型,有 2 种思 路。 思路 1:分别求解出每种方案的最终费用,在比较优劣 思路 2:求解出每种方案费用相同时的临界点,在根据临

    19、界点进行讨论分析。 例例 1. 某单位急需用车,但又不需买车,他们准备和一个个体车主或一国营出租公司中的一家签定月租车合 同,个体车主的收费是 3 元/千米,国营出租公司的月租费为 2000 元,另外每行驶 1 千米收 2 元, (1) 这个单位若每月平均跑 1500 千米,租用哪个公司的车比较合算? (2) 每月跑多少千米两家公司的费用一样 ? 【答案】设当路程为 x 时,两种方案的费用一样 3x=2000+2x 解得:x=2000 所以当 x2000 时,个体合算 当 x2000 时,公司合算 例例 2 运送一批木材,甲公司收费是 3000 元起步,每公里另收 5 元;乙公司起步价位 10

    20、00 元,每公里另收 8 元。 (1)当路程为 100 千米时,选用哪家公司? (2)什么情况下,两家公司的收费一样? 【答案】 (1)甲公司费用为:3000+5100=3500 元 乙公司费用为:1000+8100=1800 元 (2)设当路程为 x 千米时,两家公司收费一样 依据题意,等量关系式为:甲公司费用=乙公司费用 3000+5x=1000+8x 解得:x= 答:当路程为千米时,两家公司的收费一样。 11 题型题型 7 利润问题、打折问题、盈亏问题(利润问题、打折问题、盈亏问题(P77;P90) 解题技巧:解题技巧:此类题型,需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。 利润=

    21、售价进价 利润率= 售价=标价销售折扣 例例 1.七年级社会实践小组调查发现, 某衬衫进价为 80 元, 购进了 500 件, 并以每件 120 元的价格销售了 400 件。剩下衬衫,准备降价销售。请你帮忙计算一下,每件衬衫降价多少元时,销售完这批衬衫正好盈利 45% 的预期目标? 【答案】等量关系式为:=45% 设每件降价 x 元 =45% 解得:x=20 答:每件降价 20 元刚好盈利 45%。 例例 2.书店举行购书优惠活动: (1)一次性购书不超过 100 元,不享受优惠; (2)一次性购书超过 100 元,但不超过 200 元,一律九折; (3)一次性购书 200 元或以上,一律七折

    22、 小林在这次活动中,两次购书总共付费 229.4 元,第二次购书原价是第一次购书原价的 3 倍,那么小林两次 购书原价的总和是多少? 【答案】设第一次购书原价为 x 元,则第二次购书原价为 3x 元 假设 x100,当 x 最小为 100,则 3x 为 300 时,优惠后的价格为:1000.9+3000.7=300229.4 所以 x 必定小于 100 假设 3x100,则 x100,则两次的费用不足 200 元 所以 3x 必定大于 100 情况一: 12 则方程为:x+3x 解得:x=62 则第一次够书原价为 62 元,第二次购书原价为 186 元,成立 情况二: 则方程为:x+3x 解得

    23、:x=74 则第一次购书原价为 74 元,第二次购书原价为 222 元,成立。 综上得:第一次购书和第二次购书原价为 62 元、186 元或 74 元、222 元。 题型题型 8 储蓄问题储蓄问题 解题技巧:解题技巧:本金、利息、年利率、利息税税率和实得本利和之间的相等关系: 本金 利率=利息 利息 税率=利息税 本金+利息利息税=实得本利和 例例 1. 小明把压岁钱按定期一年存入银行。当时一年期存款的年利率为 1.98,利息税的税率为 20.到期 支取时,扣除利息税后小明实得本利和为 507.92 元。问小明存入银行的压岁钱有多少元? 【答案】设小明存入银行的压岁钱为 x 元。 依据题意,等

    24、量关系式为:本金+利息利息税=实得本利和 x+1.98%x=507.92 解得:x=500 答:小明存入银行的压岁钱为 500 元。 例例 2.老王把 5000 元按一年期的定期储蓄存入银行。到期支取时,扣去利息税后实得本利和为 5080 元。已 知利息税税率为 20,问当时一年期定期储蓄的年利率为多少? 【答案】设老王存入银行的年利率为 x%。 依据题意,等量关系式为:本金+利息利息税=实得本利和 5000+5000x=5080 13 解得:x=2 答:利率为 2%。 题型题型 9 行程问题行程问题 解题技巧:解题技巧:行程问题总公式为:路程=速度时间。行程问题可分为 3 大类,不同类型的问

    25、题,在求解速度 时有所不同,具体如下: (1)相遇问题: 总速度=甲的速度+乙的速度 (2)追击问题: 总速度=追击者速度被追击者速度(快慢) (3)航行问题: 顺水(风)速度=静水(风)速度+水(风)速 逆水(风)速度=静水(风)速度水(风)速 例例 1.甲、乙两地相距 100 千米,小张与小王分别从甲、乙两地同时出发,相向而行,小张的速度比小王的 速度每小时快 10 千米,经过 2 小时相遇,小张和小王的速度分别是多少? 【答案】设小王的速度为 xkm/h,则小张的速度为(x+10)km/h。 依据题意,等量关系式为:小张走的路程+小王走的路程=总路程 2x+2(x+10)=100 解得:

    26、x=20 则小王的速度为 20km/h,小张的速度为 20+10=30km/h。 答:小王的速度为 20km/h,小张的速度为 20+10=30km/h。 例例 2.一列火车匀速行驶,完全通过一条长 300 米的隧道需要 20 秒的时间,隧道的顶上有一盏灯,垂直向下 发光,灯光照在火车上的时间是 10 秒,求火车的速度。 【答案】设火车的速度为 xm/s 依据题意,等量关系式为:火车速度时间=隧道长度+火车长度 20x=300+10x 解得:x=30 答:火车的速度为 30m/s。 例例 3.一辆慢车从 A 地开往 300 千米的 B 地,一辆快车同时从 B 地开往 A 地,若慢车速度为 40

    27、 千米每小时, 快车速度是慢车速度的 1.5 倍,他们出发多久后相距 100 千米? 14 【答案】出发后相距 100 千米,有 2 种情况。一种为还未相遇,距离为 100 千米;另一种为相遇后,再次 相距 100 千米。 情况一:两车还未相遇,之间的距离为 100 千米 设出发时间为 xh 依据题意,等量关系式为:快车走的距离+慢车走的距离=300100 40x+1.5=300100 解得:x=2 情况二:两车相遇后,之间的距离再次为 100 千米 设出发时间为 xh 依据题意,等量关系式为:快车走的距离+慢车走的距离=300+100 40x+1.5=300+100 解得:x=4 综上得:出

    28、发 2 小时和出发 4 小时时,相距 100 千米。 题型题型 10 工程问题工程问题 解题技巧:解题技巧:我们常常把工作总量看做单位“1” ,工作效率则用几分之几表示。在工程问题中,常常用“不 同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。 例例 1.一件工程单独甲做 20 小时,乙要 12 小时,现由甲先单独做 4 小时,然后乙加入合做,一共需要合做 几个小时? 【答案】设一共需要 x 个小时,工程量为单位“1” 依据题意,等量关系式为:甲独做的工程量+甲乙合作的工程量=1 解得:x=6 答:合作一共需要做 6 小时。 例例 2.加工一批零件,由一人做需要 100 小时,

    29、现在计划先由若干人做 2 小时,再增加 5 人做 9 小时,恰好 完成任务,先安排多少人做 2 小时? 【答案】先安排 x 人做 2 小时,工程量为单位“1” ,一个人的工作效率为 15 依据题意,等量关系式为:先做 2 小时的工程量+增加 5 人的完成的工作量=1 解得:x=5 答:先安排 5 人做 2 小时。 题型题型 11 等积问题等积问题 解题技巧:解题技巧:图形无论如何切割或边形,其面积或体积始终不变,利用这个不变的特点,列写等式方程。 例例 1.某工厂锻造直径为 60 毫米,高 20 毫米的圆柱形零件毛坯,需要截取直径 40 毫米的圆钢多长? 【答案】构造成零件,虽然形状改变,但是

    30、总体积始终不变,依次来列写等量方程。 依据题意,等量关系式为:零件的体积=圆钢的体积 设圆钢长度为 x 毫米 解得:x=45 答:需要截取 40mm 的圆钢 45mm。 例例 2. 如图一个铁片长 30cm,宽 20cm,打算从四个角各截去一个小正方形,然后把四边折起来做一个无盖的 铁盒,铁盒的底面周长为 60cm,问铁盒的高是多少? 【答案】设铁盒的高为 xcm 依据题意,等量关系式为:铁盒的底面周长+截取正方形边长=铁片周长 60+2=2(30+20) 解得:x=5 答:铁盒的高是 5cm 题型题型 12 数字问题数字问题 30cm 20cm 16 解题技巧:解题技巧:任何一个正数 N=都

    31、可以表示为 +。利用这个特点和题干中的关系,寻找等式方程。 例例 1.一个两位数,它的十位上的数字比个位上的数字大 5,并且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的 8 倍还要大 5,求这个两位数。 【答案】设这个两位数的个位数字为 x,则十位数字为(x+5) 依据题意,等量关系式为:这个两位数=各位数字之和8+5 10(x+5)+x=8(x+5+x)+5 解得:x=1 所以这个数个位数字为 1,十位数字为 1+5=6 所以这个两位数为 61 答:这个两位数为 61 例例 2.一个两位数,十位上的数与个位上的数字之和为 11,如果十位上的数字与个位上的数字对调,则所得 的新数比原来的数大 63,

    32、求原来的两位数。 【答案】设个位数字为 x,则十位数字为(11x) 依据题意,等量关系式为:新的两位数=原两位数+63 10x+(11x)=10(11x)+x+63 解得:x=9 所以原数个位数为:9,十位数为:119=2 所以原来的两位数为 29 答:原来的两位数为 29. 题型题型 13 积分问题积分问题 解题技巧:解题技巧:此类问题,主要是通过积分来列写等式方程。需要注意,有些比赛结果只有胜负;有的比赛结 果又胜负和平局。 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分 例例 1.足球赛 8 轮,胜一场记 3 分,平一场记 1 分,输一场不得分。在这次足球比赛

    33、中,猛虎队平的场次是 负的场次的 2 倍,且 8 场比赛共得 17 分,该队共胜多少场? 17 【答案】设该队共负 x 场,则平 2x 场,胜(83x)场 依据题意,等量关系式为:平场分数+胜场分数=总得分 2x+3(83x)=17 解得:x=1 所以负 1 场,平 2 场,胜 83=5 场 答:该队共胜 5 场。 例例 2.足球比赛,胜一场记 3 分,平一场记 1 分,输一场不得分。一支足球队在某个赛季中共比赛 14 场,现 在已比 8 场,输了 1 场,共得 17 分。问: (1)前 8 场比赛中,这支球队共胜多少场? (2)打满 14 场,最高能得多少分? (3)通过比赛分析,到比赛结束

    34、,得分不低于 29 分,则后面的 6 场比赛至少要胜几场才能达到预期目标? 【答案】 (1)设前 8 场比赛,该队共胜 x 场,则平(7x)场 依据题意,等量关系式为:平场分数+胜场分数=总得分 3x+(7x)=17 解得:x=5 答:这支球队共胜 5 场 (2)打满 14 场,还剩下 148=6 场,要想得到最高分,则剩下的比赛全胜。 得分为:17+63=35 分 (3)要求最少的胜场,则未胜的场次为平局。设至少要胜 y 场,则平(6y)场 依据题意,等量关系式为:胜场分数+平局分数=2917 3y+(6y)=2917 解得:y=3 答:至少需要胜 3 场。 18 三、难点题型三、难点题型

    35、题型题型 1 设辅助未知数设辅助未知数 解题技巧:解题技巧:我们解决数学问题时,除了应设的未知数外,增设一些辅助未知数,其目的不是要具体地求出 它们的值,而是以此作为桥梁,沟通数量之间的关系,架起连接以质量和未知量。 例例 1.从下午 3 点步行到晚上 8 点,先走平路,然后上山,到达山顶后就按原路下山,再走平路返回出发地。 若他走平路每小时 4 千米,上山每小时 3 小时,下山每小时 6 千米,问这个人一共走了多少千米? 【答案】设全程为 x 千米,山路长为 y 千米,则他上山需要 小时,下山需要 小时,走平路来回需要小 时 依据题意,等量关系式为:平路时间+上山时间+下山时间=总时间 通过

    36、化简计算,发现未知数 y 在化简中会被抵消掉 解得:x=20 答:这个人一共走了 20 千米。 例例 2.一个水池,底部装有一个常开的排水管,上部装有若干粗细相同的进水管,打开 4 个进水管时,需要 5 小时注满水池。打开 2 个进水管时,需要 15 小时才能注满水池。现在要在 2 小时内将水池注满,至少要打 开多少个进水管? 【答案】设水池容量为 w,进水每根水管每小时为 x,出水为 y。 依据题意,等量关系式为:进水出水=水池容量 化简得: 虽然无法解出未知数具体得数,但可以得到未知数之间的数量关系 设至少打开 z 个进水管,可以在 2 小时注满水 依据题意,等量关系式为:进水出水=水池容

    37、量 2zx2y=w 将 y,z 都用 x 表示出来,求解过程中,x 也会抵消掉 19 解得:z=8.5 所以至少需要 9 个进水管 答:至少需要 9 个进水管。 题型题型 2 商品销售问题(复杂)商品销售问题(复杂) 解题技巧:解题技巧:在解决复杂商品销售问题时,通常会多设原价为 a 这个未知数,虽然在解题过程中,这个未知 数会被消掉。但是,若不设这个未知数,许多关系就不好表达了。 例例 1.某商品的标价比成本高 p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,售价的折扣(即降价的百分数) 不得超过 d%,试用 p 表示 d。 【答案】设商品成本为 x 依据题意,等量关系式为:利润=售价折扣成本 x

    38、(1+p%) (1d%)x=0 求解过程中,发现 x 会抵消掉 解得:d= 答:d 和 p 的关系式为: 例例 2.商店一种商品的进价降低了 8%, 而售价保持不变, 可使得商品的利润提高 10%, 问原来的利润是多少? 【答案】设原来的进价为 a 元,原利润率为 x%。 依据题意,等量关系式为:原利润率+10%= 化简过程中发现,a 可以抵消掉 解得:x=15 答:原来的利润率为 15%。 例例 3.某商场经销一种商品,由于进货时价格比原价降低了 6.4%,使得利润增加了 8%,求经销这种商品原来 的利润率。 【答案】设原进价为 x 元,售价为 y 元 20 依据题意,等量关系式为:原利润率

    39、+8%= 化简得:100y=117x 题干要求求解原利润率,即 答:商品原来的利润率为 17%。 题型题型 3 行程问题(复杂)行程问题(复杂) 解题技巧:解题技巧:行程问题时基本的数学模型,我们需要找到合适的数学模型,建立等量关系。在行程问题中, 最常见的方式是通过对速度的叠加与分解来建立等量关系。 例例 1.甲、乙分别从 A、B 两地出发相向而行,若同时出发,经过 36 分钟相遇;若甲比乙提前 15 分钟出发, 乙出发后 30 分钟相遇,求甲由 A 地到 B 地、乙由 B 地到 A 地所用的时间。 【答案】设甲从 A 到 B 所用的时间为 x 分钟,总路程为单位“1” ,则甲的速度为 ,乙

    40、的速度为(). 依据题意,等量关系式为:甲走的路程+乙走的路程=总路程 30()=1 解得:x=90 所以甲从 A 到 B 的时间为 90 分钟 乙从 B 到 A 的时间为=60 分钟 答:甲从 A 地到 B 地需要 90 分钟,乙从 B 到 A 需要 60 分钟。 例例 2.某商场有一部自动扶梯匀速由下至上运动,甲、乙都急于上楼办事,因此在乘自动扶梯的同时匀速登 楼,甲登 55 级后达到楼上,乙登楼速度是甲的 2 倍,他登了 60 级后到达楼上,那么,由楼下到楼上自动 扶梯级数为多少级? 【答案】设甲的速度为 x,则乙的速度为 2x,设楼梯的速度为 y 此题为流水模型,依据题意,等量关系式为

    41、: (甲的速度+楼梯速度)甲上楼梯的时间=楼梯长度=(乙的速度+楼梯速度)乙上楼梯的时间 甲上楼的时间为:,乙上楼的时间为: 21 (x+y)= 化简可以求得 x 与 y 之间的等量关系:x=5y 楼梯长度=(x+y) ,将 x=5y 代入可求得为:66 答:楼梯长度为 66 级。 例例 3.某人匀速走在马路上,马路的前后两端都有公共汽车站,每间隔相同时间发出一辆公共汽车,他发现 每隔 15 分钟有一辆汽车追上他;每隔 10 分钟有一辆公共汽车迎面驶来。问公共汽车每隔多少分钟发车一 辆(设每辆公共汽车速度相同) 。 【答案】设人的速度为 x,车的速度为 y,发车间距时间为 z。 当第一辆车与人

    42、相遇后,第二辆车距人的距离为 yz。 从后追上人的车,为追击模型,即 yz 这段距离,车需要 15 分钟追上 迎面的车,为相遇模型,即 yz 这段距离,车需要 10 分钟相遇 化简可抵消 z,求得 x 与 y 之间的数量关系:y=5x 代入可求得:z=12 答:每个 12 分钟发一辆车。 题型题型 4 工程问题(多个未工程问题(多个未知数)知数) 解题技巧:解题技巧:工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1” ,工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复 杂的工程问题,往往需要设多个未知数,不要担心,在求解过程中,有一些未知数是可以约掉的。 例例 1.一项工程,甲单独做 24 小时完成,乙单独做

    43、 36 小时完成。先要求 20 小时完成,并且两人合作的时间 尽可能短,那么,甲乙合作多长时间? 【答案】设甲乙合作 x 小时,工程量为单位“1” 因为要求尽量少合作,则合作完成后,后续的工作给完成得快的单位完成,即合作完成后,剩下的工作 交给甲完成。 依据题意,等量关系为:合作的工程量+甲后续完成的工程量=1 ()x+ 22 化简求得:x=6 答:甲乙合作 6 小时。 例例 2.现有男、女工人 1100 人,其中全体男工和全体女工可用同样的天数完成同样的工作。若将男工人数和 女工人数对调一下,则全体男工 25 天能完成工作,让女工做 36 天才能完成。问男、女工人数各是多少? 【答案】设男工

    44、人 x 人,则女工人有(1100x)人;设男工人的工作效率为 y,女工人的工作效率为 z,工 程量为单位“1” 。 依据题意,等量关系式为: 男工人数男工人工作效率男工人工作时间=1=女工人数女工人工作效率女工人工作时间 在化简过程中,可以抵消掉 z,求得 x=500 所以男工人有 500 人,女工人有:1100500=600 人 答:男工人有 500 人,女工人有 600 人。 例例 3.某项工程,如果由甲、乙两队承包,2 天完成,需付 180000 元;由乙、丙两队承包,3 天完成,需付 150000 元;由甲、丙队承包,2 天完成,需付 160000 元。先在工程由一个对独承包,在保证一

    45、周完成的前 提下,那个承包队费用最少? 【答案】设甲需要 x 天完成,乙需要 y 天,丙需要 z 天;甲每天的费用为 a 元,乙每天的费用为 b 元,丙每 天的费用为 c 元;工程量为单位“1” 。 依据题意,等量关系式为: 合作的工作效率工作时间=1 等量关系 1 合作时每天的费用工作时间=总费用 等量关系 2 利用等量关系 1 可得: 化简可求得:x=4,y=6,z=10 23 利用等量关系式 2 可得: 化简求得:a=45500,b=29500,c=10500 因为 x=4,y=6,z=10,所以,甲和乙可以在一周内完成 甲单独做的费用为:455004=182000 元 乙单独做的费用为

    46、:295006=177000 元 因此,应该选择乙对完成工程。 答:选择乙队费用最低。 题型题型 5 浓度问题浓度问题 解题技巧:解题技巧:糖与糖水总量的的比值叫作糖水的溶度。列写等式方程,需要分别算清溶质和溶液的质量,在 利用溶度问题的一些等量关系列写方程。 溶液=溶质+溶剂 溶度= 例例 1.设有甲、乙两个杯子。甲杯装有 10 升 A 溶液,乙杯中装有 10 升 B 溶液。先在从甲杯中取出一定量的 A 溶液,倒入乙杯中并搅拌均匀。再从乙杯中取出等量的混合溶液倒入甲杯中。测得甲杯 A 溶液和 B 溶液 的比为 5:1,求第一次从甲杯中取出的 A 溶液是多少升? 【答案】设从甲杯中取出 x 升

    47、 A 溶液倒入乙杯中,则乙杯中 A 溶液和 B 溶液的比为 x:10.从这混合液中取 出 x 升,其中含 A 溶液为:升,B 溶液为升 依据题意,等量关系式为:甲杯中 A 溶液:B 溶液=5:1 (10x)+:=5:1 解得:x=2 答:第一次从甲杯中取出的 A 溶液是 2 升。 例例 2.130 克含盐 5%的盐水,与含盐 9%的盐水混合,配成含盐 6.4%的盐水,这样配成的 6.4%的盐水有多少 24 个? 【答案】设配成 6.4%的盐水需要 x 克 9%的盐水。 依据题意,等量关系式为:=6.4% 化简求得:x=70 所以需要 70 克 9%的盐水,配成后的盐水重量为:130+70=200 克。 答:配成后的盐水重量为 200 克。 例例 3.在某种溶度的糖水中加入一杯水后,得到新糖水,它的溶度为 20%;又在新糖水中加入与前一杯水质 量相同的纯糖后,糖水的溶度变为 33。求原来糖水的溶度。 【答案】设原来糖的重量为 x,原来杯中的水的重量为 y,一杯水杯的重量为 z。 依据题意,等量关系式为: 化简可求得等量关系:z=4xy 继续化简可求得:y=3x 所以原来水的溶度为: 答:原来水的溶度为 25%。


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