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    初三上册数学直升班培优讲 义:第6讲 二次函数的图像性质和解析式(教师版)

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    初三上册数学直升班培优讲 义:第6讲 二次函数的图像性质和解析式(教师版)

    1、第第 6 6 讲讲 二次函数的图像性质和解析式二次函数的图像性质和解析式 模块模块一:二次函数的定义一:二次函数的定义 1定义:一般地,形如 2 yaxbxc(a,b,c是常数,0a )的函数,叫做二次函数其中x是自变 量,a,b,c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项 注意:注意:二次函数的二次项系数0a ,而b、c可以为零 模块模块二:二次函数的图象和性质二:二次函数的图象和性质 1二次函数的图象为抛物线,图象注意以下几点:开口方向,对称轴,顶点 2二次函数 2 yax(0)a 的性质: (1)函数 2 yax的图象与a的符号关系 当0a 时抛物线开口向上顶点为其最低点; 当0a

    2、 时抛物线开口向下顶点为其最高点; |a决定抛物线的开口大小:|a越大,抛物线开口越小;|a越小,抛物线开口越大 (2)抛物线 2 yax的顶点是坐标原点(0, 0),对称轴是0 x (y轴) a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 0a 向上 (0, 0) y轴 0 x 时,y随x的增大而增大;0 x 时,y随 x的增大而减小;0 x 时,y有最小值 0 0a 向下 (0, 0) y轴 0 x 时,y随x的增大而减小;0 x 时,y随 x的增大而增大;0 x 时,y有最大值 0 3二次函数 2 (0)yaxc a的性质: a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 0a

    3、向上 (0, c) y轴 0 x 时,y随x的增大而增大;0 x 时,y随 x的增大而减小;0 x 时,y有最小值c 0a 向下 (0, c) y轴 0 x 时,y随x的增大而减小;0 x 时,y随 x的增大而增大;0 x 时,y有最大值c 4二次函数 2 ()ya xhk(0a )的性质: a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 0a 向上 (h,k) x=h xh时,y随x的增大而增大;xh时,y随 x的增大而减小;xh时,y有最小值k 0a 向下 (h,k) x=h xh时,y随x的增大而减小;xh时,y随 x的增大而增大;xh时,y有最大值k 5二次函数 2 yaxbxc

    4、(0a 的性质: 配方:二次函数 2 22 4 () 24 bacb yaxbxca x aa a的 符号 开口 方向 顶点坐标 对称轴 增减性 0a 向上 ( 2 b a , 2 4 4 acb a ) 2 b x a 2 b x a 时,y随x的增大而增大; 2 b x a 时,y随x的增大而减小; 2 b x a 时,y有最小值 2 4 4 acb a 0a 向下 ( 2 b a , 2 4 4 acb a ) 2 b x a 2 b x a 时,y随x的增大而减小; 2 b x a 时,y随x的增大而增大; 2 b x a 时,y有最大值 2 4 4 acb a 注意:注意:二次函数

    5、2 yaxbxc与坐标轴的交点: (1)与y轴的交点:(0, ) c; (2)与x轴的交点:使方程 2 0axbxc成立的x值 模块三模块三:二次函数的:二次函数的解析式解析式 1一般式: 2 (0)yaxbxc a 已知图象上三点 11 ()x y,、 22 ()xy,、 33 ()xy,可用一般式求解二次函数解析式 2顶点式: 2 ()(0)ya xhk a 已知抛物线的顶点或对称轴,可用顶点式求解二次函数解析式 3交点式: 12 ()()(0)ya xxxxa 已知抛物线与x轴的两个交点坐标,可用交点式求解二次函数解析式 4对称式: 12 ()()(0)ya xxxxk a 已知抛物线经

    6、过点 1 (, )xk、 2 (, )xk时,可以用对称式来求二次函数的解析式 注意:注意: (1)二次函数的解析式求解,最后结果一般写成一般式或顶点式,不写成交点式; (2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有 抛物线与x轴有交点,即 2 40bac时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式 可以互化 模块一 二次函数的定义 (1)在函数 2 1 31 2 yxx; 2 (32)(43)12yxxx; 2 yaxbxc(a、b、c是常数) ; 2 20yxkx(k为常数) ; 2 2 5 6yx x 中,y关于x的二次函

    7、数是_ (填写序号) (2)当m _时,函数 2 24 (4)3 mm ymxx 是二次函数 (3)下列函数关系中,可以看作二次函数 2 yaxbxc(0)a 模型的是( ) A圆的周长与半径之间的关系 B在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 C矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系 D我国人口的自然增长率为 1%,这样我国总人口数随年份变化的关系 【解析】【解析】(1); (2)3; (3)C 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的定义,判断是否是二次函数满足以下三点: (1)函数解析式在等号两边都是整式; (2)含有一个自变量,且自变量的最高次数时 2;

    8、(3)二次项系数不等于零 模块二 二次函数的图象和性质 例题 1 (1)若二次函数 22 2yaxbxa(a,b为常数)的图象如图 2-1,则a的值为_ (2)如图 2-2,抛物线对应的解析式为 2 1 ya x, 2 2 ya x, 2 3 ya x, 2 4 ya x,将 1 a、 2 a、 3 a、 4 a从 小到大排列为_ 图 2-1 图 2-2 【解析】【解析】(1)2; (2) 4321 aaaa 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数中a的作用: (1)a的正负性决定抛物线的开口方向;0a ,开口向上;0a ,开口向下 (2)| |a决定抛物线的开口大小:|a越大

    9、,开口越小;|a越小,开口越大 (1)抛物线 2 23yxbx的对称轴是直线2x ,则b的值为_,顶点坐标为_ (2)抛物线 2 23 (0)yaxaxa a的对称轴是直线_,与x轴的交点为_和_ (3)二次函数 2 2(1)4yxkx的顶点在y轴上,则k _,若顶点在x轴上,则k _ 【解析】【解析】(1)8,( 2, 5); (2)1x ,( 1,0),(3,0); (3)1,1 或3 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的对称轴和顶点的求解: (1)对称轴 2 b x a ,顶点( 2 b a , 2 4 4 acb a ) ,记住套用; x y O x y O 例题

    10、2 例题 3 (2)配方求解 (1) 若点 1 (2,)Ay, 2 ( 3,)By, 3 (5,)Cy三点在抛物线 2 4yxxm的图象上, 则 1 y、 2 y、 3 y的大小关系是 ( ) A 123 yyy B 213 yyy C 231 yyy D 321 yyy (2)已知二次函数 2 4(0)yaxaxc a,当自变量x分别取2,3,0 时,对应的值分别为 1 y, 2 y, 3 y, 则 1 y, 2 y, 3 y的大小关系正确的是( ) A 321 yyy B 123 yyy C 213 yyy D 312 yyy (3)已知二次函数 2 (1)1yxmx,当1x 时,y随x的

    11、增大而增大,则m的取值范围是_ 【解析】【解析】(1)C; (2)A; (3)1m 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的增减性,增减性和抛物线的对称轴、开口方向有关 (1)已知抛物线经过点( 2,7)A ,(6,7)B,(3,8)C,8D m ,则m _ (2)已知抛物线 2 21yxx经过点( , )A m n,(6, )B mn,则n _ (3)已知点 1 ( ,5)A x, 2 (,5)B x是函数 2 3yxmx上两点,则当 12 xxx和x _时的函数值相等 【解析】【解析】(1)1; (2)9; (3)0 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的

    12、对称性,纵坐标相同的点关于对称轴对称 (1)已知二次函数 2 (3)1yx下列说法:其图象的开口向下;其图象的对称轴为直线3x ;其图 象顶点坐标为(3, 1);当3x 时,y随x的增大而减小则其中说法正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 (2)对于二次函数 2 23(0)yxmxm,有下列说法: 例题 4 例题 5 例题 6 如果2m ,则y有最小值1; 如果当1x 时,y随x的增大而减小,则1m ; 如果当1x 时的函数值与2015x 时的函数值相等,则当2016x 时的函数值为 3 其中正确的说法是_ (把你认为正确的结论的序号都填上) (3) 在同一直角坐标系中, 函

    13、数ymxm和函数 2 22ymxx(m是常数, 且0m ) 的图象可能 是 ( ) A B C D 【解析】【解析】(1)B; (2); (3)D 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要是二次函数的综合考查,相对综合,锻炼孩子们的综合能力 模块三 二次函数的解析式 (1)已知一个二次函数的图象经过(1,0)A、(2,3)B、(3,28)C三点,求此二次函数的解析式 (2)已知一个二次函数的图象经过(0, 1)A、(1,5)B、( 1, 3)C 三点,求此二次函数的解析式并把二次函数转 化成顶点式 【解析】【解析】(1)设二次函数的解析式为 2 yaxbxc, 则由题意得, 0 423 93

    14、28 abc abc abc ,解得 11 30 19 a b c , 二次函数的解析式为 2 113019yxx (2)设二次函数的解析式为 2 yaxbxc, 则由题意得, 1 5 3 c abc abc ,解得 2 4 1 a b c , 二次函数的解析式为 2 241yxx 22 2412(1)3yxxx 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查利用一般式求解析式 DCBA x y O x y O x y OO y x 例题 7 (1)已知二次函数过点(0,1),且顶点为( 1, 2),求二次函数的解析式 (2)已知二次函数的顶点坐标为(2,2),且其图象经过点(3,1),求此二

    15、次函数的解析式,并求出该函数图象 与x轴的交点坐标 【解析】【解析】(1)设二次函数的解析式为: 2 (1)2ya x, 二次函数过点(0,1), 2 1(0 1)2a ,即:12a 3a 二次函数的解析式为 2 3(1)2yx (2)设二次函数的解析式为: 2 (2)2ya x, 则由题意得,21a ,解得3a ,二次函数的解析式为 2 3(2)2yx 令0y ,则 2 3(2)20 x,解得 1 6 2 3 x , 2 6 2 3 x , 与x轴的交点坐标为 6 2,0 3 和 6 2,0 3 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查利用顶点式求二次函数的解析式 (1)若抛物线过(

    16、3,0),(1,0),且与y轴交点为0 4(, ),求二次函数的解析式 (2)已知二次函数 2 yaxbxc的对称轴为2x ,且经过点(1,4)、(5,0),求二次函数的解析式 【解析】【解析】(1)设二次函数的解析式为:(3)(1)ya xx, 由题意得,34a,解得 4 3 a , 二次函数的解析式为 4 (3)(1) 3 yxx 2 48 4 33 xx (2)二次函数的对称轴为2x ,且经过点(5,0), 二次函数与x轴的另一个交点坐标是( 1 0) , 设二次函数的解析式为:(1)(5)ya xx, 例题 8 例题 9 又图象经过点(1,4),4(1 1)(1 5)a, 1 2 a

    17、二次函数的解析式为 1 (1)(5) 2 yxx 2 15 2 22 xx 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查利用交点式求二次函数的解析式 (1)已知二次函数图象经过点(1,3)A、(0,2)B、(5,3)C三点,求此二次函数解析式 (2)已知函数 2 | | 12yxx的图象与x轴交于相异两点A、B,另一抛物线 2 yaxbxc过A、B,顶点为P, 且APB是等腰直角三角形,求a、b、c 【解析】【解析】(1)解法一:设对称点式 抛物线经过 (1,3)A 、 (5,3)C , 设抛物线的解析式为: (1)(5)3ya xx 将 (0,2)B 代入得:532a ,解得 1 5 a

    18、, 抛物线的解析式为 1 (1)(5)3 5 yxx ,化为一般式得 2 16 2 55 yxx 解法二:设顶点式 抛物线经过 (1,3)A 、 (5,3)C , 抛物线的对称轴为3x 设抛物线的解析式为: 2 (3)ya xh, 将 (1,3)A 、 (0,2)B 代入得: 43 92 ah ah ,解得 1 5 19 5 a h , 抛物线的解析式为 2 119 (3) 55 yx ,化为一般式为: 2 16 2 55 yxx 解法三:设一般式 设此二次函数解析式为: 2 yaxbxc, 由已知得: 3 2 2553 abc c abc ,解得 1 5 6 5 2 a b c 例题 10

    19、此二次函数的解析式为 2 16 2 55 yxx (2)由已知得(4,0)A、( 4,0)B ,故设另一抛物线为(4)(4)ya xx 又APB是等腰直角三角形,则P点坐标为(0, 4)或(0, 4) , 1 4 0 4 a b c , , , 或 1 4 0 4. a b c , , 模块一 二次函数的定义 (1)下列函数: 2 1 y x ;(1 )(3 )yxx; 2 yxbx c(b、c是常数) ; 2+3 yaxx(a为常数) ; 2 (1)(1)(1)yxxx,其中是二次函数的是_ (填序号) (2)当m _时,函数 2 56 (4)3 mm ymxx 是关于x的二次函数 (3)已

    20、知函数 2 222 ()(32)2 mm ymm xmmxmm 是二次函数,则函数为_ 【解析】【解析】(1); (2)1; (3) 2 6128yxx 模块二 二次函数的图象和性质 (1)如图所示,在同一平面直角坐标系中,作出 2 3yx, 2 1 2 yx , 2 yx的图象,则从里到外的 三条抛物线对应的函数依次是_ (填序号) (2)抛物线2(1)(3)yxx的顶点坐标是_ 演练 1 演练 2 (3)抛物线 2 2yxx的对称轴是_,顶点坐标为_,当x _时,y有最_值是 _ (4) 已知抛物线 2 (2)320yxmxm经过点(1,3), 则抛物线与x轴交点的坐标为_和_ 【解析】【

    21、解析】(1); (2)(1, 8); (3) 1 2 x , 19 24 , 1 2 ,小, 9 4 ; (4)(2 0),(4,0) (1)已知二次函数 2 2yxmx的对称轴为直线 9 4 x ,则m _ (2)已知抛物线 2 2(1)16yxkx的顶点在x轴上,则k的值是_ (3)抛物经 2 (0)yxxp p与x轴相交,其中一个交点的横坐标是p,则该抛物线的顶点的坐标是 _ 【解析】【解析】(1) 9 2 ; (2)5或 3; (3) 19 24 , (1)已知点 1 (1,)Ay, 2 (2)By,, 3 ( 2,)Cy在函数 2 1 2(1) 2 yx上,则 1 y, 2 y, 3

    22、 y的大小关系是( ) A 123 yyy B 132 yyy C 312 yyy D 213 yyy (2)已知二次函数 2 422yxmx,当2x 时,y的值随x值的增大而增大,则实数m的取值范围是 _ 【解析】【解析】(1)B; (2)8m (1)已知 2 2934yxx,当x取不同的值 1 x, 2 x时函数值相等,则当 12 xxx时的值( ) A与1x 的函数相等 B与0 x 的函数相等 演练 3 演练 4 演练 5 C与 1 4 x 的函数相等 D与 9 4 x 的函数相等 (2)已知抛物线 2 16yxbx经过点(1, )An,(7, )Bn,则n _ (3)在同一坐标系中,一

    23、次函数yaxb与二次函数 2 ybxa的图象可能是( ) A B C D 【解析】【解析】(1)B; (2)9; (3)C 模块三 二次函数的解析式 (1)已知二次函数的图像经过( 1,1)A 、(0,2)B、(1,3)C,求二次函数的解析式 (2)已知抛物线经过点(2,3),且顶点坐标为(1,1),求这条抛物线的解析式 (3)已知二次函数的对称轴是直线1x ,且图像过点(3,0)A和( 2,5)B ,求此函数的解析式 (4)设二次函数 2 yaxbxc,当3x 时取得最大值为 10,并且它的图象在x轴上截得的线段长为 4求二 次函数的解析式 【解析】【解析】(1) 2 22yxx; (2) 2 243yxx; (3) 2 23yxx (4)因为对称轴为3x ,且在x轴上截得的线段长为 4, 则图象可知,与x轴的交点的横坐标为 1、5, 可设(1)(5)ya xx, 410a,解得 5 2 a 2 525 15 22 yxx DC BA y O y xx O x y O y O x 演练 6


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