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    专题05 中考图形旋转问题-中考数学专题拓展提高讲练(解析版)

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    专题05 中考图形旋转问题-中考数学专题拓展提高讲练(解析版)

    1、 1.考点解析 旋转问题在近几年中考、竞赛试题中频频出现,这使得数学试题解题方法和技巧更加灵活多变。旋转变 换是几何变换中基本变换,由于旋转变换只改变图形的位置,而不改变其形状大小, 这使得原来分散的已知 条件和结论,通过旋转变换几何图形重新组合,产生新图形, 进而揭示条件与结论之间内在的联系,找出解题 的途径。 2.考点分类:考点分类见下表 考点分类 考点内容 考点解析与常见题型 常考热点 正三角形旋转与中心对称 选择题以及中心对称图形证明题,圆的旋转 一般考点 角度长度的计算, 坐标的变化 填空题中利用旋转求长度,三角函数 冷门考点 相似三角形 相似与旋转 1.旋转变换三要素有_旋转中心_

    2、旋转角_旋转方向_ 2.旋转的性质: 旋转前后的图形_形状大小不变_; 对应点到旋转中心的距离 _相等_; 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于_旋转角_; 3.中心对称的性质:关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过_对称中心_,而且被_平分 _;关于中心对称的两个图形是_全等的_ 4.中心对称图形:一个图形绕着定点_旋转 180 _后与_原图形_重合,这个图形成为中心对 称 图形。这个定点叫做该图形的_对称中心_。过该点的直线_平分_该图形的面积。 一、中考题型解析一、中考题型解析 中考图形旋转问题在近几年的中考中出现的频率还是非常高的,一般以填空题或者解答题的形式出现, 一般以角度的计

    3、算,或者求线段长度的问题为主,占 4-6 分左右,此类题目难度简单,在后面的解答题目的 小问中也有可能出现,一般与中心对称图形一起出现的比较多,占分 8 分左右,难度中等,需要学生对旋 转图形前后的变化有充分的认识与理解。 学¥#科网 二、典例精析二、典例精析 考点一:旋转后求角的度数考点一:旋转后求角的度数 典例一:典例一:如图,将ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50 后得到ABC若A=40 B=110,则BCA的度 数是【 】 A110 B80 C40 D30 【考点】【考点】旋转的性质,三角形内角和定理。 【总结】【总结】抓住旋转以后的旋转角相等,再根据三角形内角和 180 得出相应的数

    4、量关系 典例二:典例二:如图,将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45 后得到AOB ,若 AOB=15 ,则AOB的度数是【 】 A.25 B.30 C.35 D. 40 【考点】【考点】旋转的性质。 【解析】【解析】根据旋转的性质,旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角,从而得出答案: 将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45 后得到AOB, AOA=45 ,AOB=AOB=15, AOB=AOAAOB=45 15 =30 。故选 B。 典例三:典例三:如图,小红做了一个实验,将正六边形 ABCDEF 绕点 F 顺时针旋转后到达 ABCDEF的位置,所转过的度数是【 】 A60 B

    5、72 C108 D120 【考点】【考点】旋转的性质,多边形内角和定理。 考点二:旋转与坐标转换考点二:旋转与坐标转换 典例一:典例一:平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为(,1),将 OA 绕原点按逆时针方向旋转 30 得 OB,则点 B 的坐标为【 】 A.(1,) B.( 1,) C.(0,2) D.(2,0) 【考点】【考点】坐标与图形的旋转变换,勾股定理,特殊角的三角函数值,全等三角形的判定和性质。 【解析】【解析】如图,作 ACx 轴于 C 点,BDy 轴于 D 点, 点 A 的坐标为(,1) ,AC=1,OC=。 OA=。AOC=30 。 OA 绕原点按逆时针方向旋

    6、转 30 得 OB, AOB=30 ,OA=OB。BOD=30 。 RtOACRtOBD(AAS) 。 DB=AC=1,OD=OC=。B 点坐标为(1,) 。故选 A。 【总结】【总结】解决旋转坐标问题,第一先在平面直角坐标系中画出旋转前后的图形,然后抓住特殊的旋转角度 构造出直角三角形,利用直角三角形的定理,或者勾股定理来求出相关的线段长度,最终得出点坐标。 典例二:典例二:如图,A(,1),B(1,)将AOB 绕点 O 旋转 l500得到AOB, ,则此时点 A 的对应点 A 的坐标为【 】 A(,l) B(2,0) C(l,)或(2,0) D(,1)或(2,0) 【考点】【考点】坐标和图

    7、形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,关于原点对称的点的坐标特征。 来源:Z.xx.k.Com 考点三:网格中的图形旋转问题考点三:网格中的图形旋转问题 典例一:典例一:如图,在由边长为 1 的小正方形组成的网格中,三角形 ABC 的顶点均落在格点上 (1)将ABC 绕点 O 顺时针旋转 90 后,得到A1B1C1在网格中画出A1B1C1; (2)求线段 OA 在旋转过程中扫过的图形面积; (结果保留 ) (3)求BCC1的正切值 【考点】考点】网格问题,旋转变换作图,勾股定理,扇形面积,锐角三角函数的定义。 【答案】【答案】解: (1)画图如下: (2)由勾股定理得, 线段 OA 在旋转

    8、过程中扫过的图形为以 OA 为半径,为圆心角的扇形, 。 答:线段 OA 在旋转过程中扫过的图形面积为 (3)在 Rt中,。 答:BCC1的正切值是。 典例二:典例二: 如图, 在 4 4的正方形网格中, 若将ABC绕着点A 逆时针旋转得到ABC, 则的长为 【 】 来源:学科网 (A) (B) (C)7 (D)6 【考点】【考点】旋转的性质,弧长的计算。 【解析】【解析】根据图示知,BAB=45,的长为:。故选 A。 学#科网 考点四:旋转与等边三角形考点四:旋转与等边三角形 典例一:典例一:如图,O 是正ABC 内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针

    9、旋转 60 得到线段 BO, 下列结论: BOA 可以由BOC 绕点 B 逆时针旋转 60 得到; 点 O 与 O的距离为 4; AOB=150 ;其中正确的结论是【 】 A B C D 【考点】【考点】旋转的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理的逆定理。 点 O 旋转至 O点易知AOO是边长为 3 的等边三角形,COO是边长为 3、4、5 的 直角三角形。 则。 故结论正确。 综上所述,正确的结论为:。故选 A。 来源来源:Zxxk.Com 典例二:典例二:如图,在等边三角形 ABC 中,AB=6,D 是 BC 上一点,且 BC=3BD,ABD 绕点 A 旋转后得到

    10、 ACE,则 CE 的长度为 【考点】【考点】等边三角形的性质,旋转的性质。 【解析】【解析】由在等边三角形 ABC 中,AB=6,D 是 BC 上一点,且 BC=3BD,根据等边三角形三边相等的性质, 即可求得 BD=BC= AB =2。由旋转的性质,即可求得 CE=BD=2。 考点五:旋转过程中的路径问题考点五:旋转过程中的路径问题 典例一:典例一:如图,RtABC 的边 BC 位于直线 l 上,AC=,ACB=90 ,A=30 若 RtABC 由现在的 位置向右滑动地旋转,当点 A 第 3 次落在直线 l 上时,点 A 所经过的路线的长为 (结果用含有 的式子表示) 典例二:典例二: 如

    11、图, 将边长为cm 的正方形 ABCD 沿直线 l 向右翻动 (不滑动) , 当正方形连续翻动 6 次后, 正方形的中心 O 经过的路线长是 cm (结果保留 ) 【考点】【考点】正方形的性质,勾股定理,旋转的性质,弧长的计算。 学#2 科网来源:学#科#网 Z#X#X#K 考点六:旋转过程中的面积问题考点六:旋转过程中的面积问题 典例一:典例一:如图,在 RtABC 中,C=900,AC=6,BC=8,把ABC 绕 AB 边上的点 D 顺时针旋转 90 得到 ABC,AC交 AB 于点 E,若 AD=BE,则ADE 的面积为 【考点】【考点】旋转的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质。 【

    12、解析】【解析】 在RtABC中, 由勾股定理求得AB=10, 由旋转的性质可知AD=AD, 设AD=AD=BE=x, 则DE=10-2x, 根据旋转 90 可证ADEACB,利用相似比求 x,再求ADE 的面积: 在 RtABC 中,C=900,AC=6,BC=8,由勾股定理求 AB=。 由旋转的性质,设 AD=AD=BE=x,则 DE=10-2x。 ABC 绕 AB 边上的点 D 顺时针旋转 90 得到ABC,A=A,ADE=C=90 。 ADEACB,即,解得 x=3。 SADE=DE AD= (10-2 3) 3=6。 典例二:典例二: 如图, 把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板

    13、ABC绕直角顶点C顺时针旋转900到A1B1C, 则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】 A B C D 【考点】【考点】旋转的性质,勾股定理,等边三角形的性质,扇形面积。 【解析】【解析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形 ACA1、 BCD 和ACD 计算即可: 1. 如图,两个边长相等的正方形 ABCD 和 EFGH,正方形 EFGH 的顶点 E 固定在正方形 ABCD 的对称中心 位置,正方形 EFGH 绕点 E 顺时针方向旋转,设它们重叠部分的面积为 S,旋转的角度为 ,S 与 的函数 关系的大致图象是【 】 ABCD 【考点】【考点】旋转问题的函数图象

    14、,正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质。 2. 正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合,则这个角至少为 度 【考点】【考点】旋转对称图形,正方形的性质。 【解析】【解析】正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形, 顶点处的周角被分成四个相等的角,360 4=90 。 这个正方形绕着它的中心旋转 90 的整数倍后,就能与它自身重合。 这个角度至少是 90 。 3. 把二次函数 y=(x1)2+2 的图象绕原点旋转 180 后得到的图象的解析式为 【考点】【考点】二次函数图象与几何变换,旋转的性质。 【解析】【解析】二次函数 y=(x1)2+2 顶点坐标为(1,2) , 绕原点

    15、旋转 180 后得到的二次函数图象的顶点坐标为(1,2) 。 旋转后的新函数图象的解析式为 y=(x+1)22。 学#科网 4. 两块大小一样斜边为 4 且含有 30 角的三角板如图水平放置将CDE 绕 C 点按逆时针方向旋转,当 E 点恰好落在 AB 上时,CDE 旋转了 度,线段 CE 旋转过程中扫过的面积为 【考点】【考点】旋转的性质,含有 30 角的直角三角形的性质,等边三角形的判定和性质,扇形面积的计算。 5. 如图, 两块相同的三角板完全重合在一起, A=30 , AC=10, 把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到ABC 的位置,点 C在 AC 上,AC 与 AB 相交于点 D,则

    16、CD= . 【考点】【考点】旋转的性质,等边三角形的判定和性质,平行的判定,三角形中位线的判定和性质。 【解析】【解析】A=30 ,AC=10,ABC=90 ,C=60 ,BC=BC=AC=5。 BCC是等边三角形。CC=5。 ACB=CBC=60 ,CDBC。DC是ABC 的中位线。 DC=BC=。 6. 如图,在平面直角坐标系中,矩形 OEFG 的顶点 F 的坐标为(4,2),将矩形 OEFG来源:学科网ZXXK 绕点 O 逆时针旋转,使点 F 落在 y 轴上,得到矩形 OMNP,OM 与 GF 相交于点A若经过点 A 的反比例 函数的图象交 EF 于点 B,则点 B 的坐标为 . 7.

    17、如图,直线与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,把AOB 绕点 A 旋转 90 后得到AOB,则点 B的坐标是 【考点】【考点】坐标与图形的旋转变化。 8.如图, 在平面直角坐标系中, 点 A 在 x 上, ABO 是直角三角形, ABO=900, 点 B 的坐标为 (1, 2) , 将ABO 绕原点 O 顺时针旋转 900,得到Al BlO,则过 A1, B 两点的直线解析式为 。 【考点】【考点】勾股定理,旋转的性质, 待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。 学¥%科网 【解析】【解析】设 A(a,0) , 点 B 的坐标为(1,2) ,OA=a,OB2=1222=5,AB2=(1a)2+22= a2+2 a+5。 ABO=900,OA2= AB2OB2,即 a2= a2+2 a+5+5,解得 a=5。即 A(5,0) 。 ABO 绕原点 O 顺时针旋转 900,得到Al BlO,Al(0,5) 。


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