1、常考易错题汇编常考易错题汇编-几何图形问题几何图形问题-体积的等积变形问题体积的等积变形问题 【知识点归纳】【知识点归纳】 体积的等积变形主要是用排水法，主要有以下几种情形： 1当物体浸没于容器中时，要根据物体的体积等于容器内下降（升高）部分水的体积这一隐含条件 来解题； 2当物体仍有部分露于水面时，要根据水的体积未变，只是底面积变了，且体积=底面积高这一隐 含条件来解题； 3要使得高相等，要记得把物质的体积看做一个整体，然后根据总体积未变，只是底面积变了，且 体积=底面积高这一隐含条件来解题 一选择题一选择题 1如图 1 是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）
2、将它们拼 成如图 2 的新几何体，则该新几何体的体积用 表示，应为（ ） A64cm3 B60cm3 C56cm3 D40cm3 2 把一个高为 24cm 的圆锥形容器装满水， 将这些水全部倒入等底的圆柱形容器里， 水的高度是 （ ） A72cm B24cm C16cm D8cm 3如图，甲（底面直径 8 厘米），乙（底面直径 10 厘米），两个圆柱形容量中的水深都是 6 厘米， 分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出）后，甲乙两个容器水面高 度是（ ） A甲高 B乙高 C一样高 D无法判断 4把一个长方体木块，截成两段完全一样的正方体，这两个正方体的棱长之和比原长方体增
3、加 40 厘 米，每个正方体的体积是（ ）立方厘米 A240 B1000 C125 D400 二填空题二填空题 5一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图所示它的容积为 26.4 立方厘米当瓶 子正放时，瓶内的酒精的液面高为 6 厘米，瓶子倒放时，空余部分的高为 2 厘米，则瓶内酒精体 积是 立方厘米 6一个棱长是 6dm 的正方体容器装满了水后，倒入一个底面积是 18dm2的圆锥形容器正好装满，这 个圆锥的高是 7把一个长方体木块，截成两段完全一样的正方体，这两个正方体的棱长之和比原长方体增加 40 厘 米，每个正方体的体积是 立方厘米 8一炉铁水凝成铁块，它的体积缩小了 ；那么，这
4、样铁块又融化成铁 水（不计损耗），它 的体积增加了 9雨哗哗地下个不停，如果在雨地里放一个 A 那样容器，雨水下满要 1 个小时，那么雨水下满 B 容 器要 小时，下满 C 容器要 小时 10如图是由同样大小的小方块堆积起来的，每个小方块体积是 1 立方分米，这堆小方块的总体积是 立方分米，露在外面的面积是 11一个量筒，盛有 280 毫升的水放入 1 颗玻璃弹珠后，水面上升到刻度是 300 毫升的地方这颗 玻璃弹珠的体积是 12小悦用一块体积为 216 立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积 是 立方厘米，圆锥的体积是 立方厘米 13一个棱长为 30cm 的正方体铁
5、块，在 8 个角上各切下一个棱长为 10cm 的小正方体，如图所示， 将其投入底面积为为 2500cm2，高为 50cm 的圆柱形容器内，已知原来容器内水面高度为 20cm， 那么，放入铁块后水面高度变为 cm 14一个下面是圆柱体、上面是圆锥体的容器（如图），圆柱体的高是 10 厘米，圆锥体的高是 6 厘 米，容器内的液面高 7 厘米当将这个容器倒过来放时，从圆锥的尖到液面的高是 厘米 15一个圆锥钢坯，体积是 18.84 立方厘米，高是 4.5 厘米，把 2 个这样的钢坯改铸成一个圆柱形钢 坯，如果底面积不变，改铸后的圆柱形钢坯的高应是 三计算题三计算题 16观察下面的三幅图，在装水的杯子
6、中放入大球和小球，小球的体积是多少立方厘米？ 四应用题四应用题 17有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是 18 厘米、12 厘米，杯中盛有适量的水甲杯中沉 没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了 2 厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中 的水未外溢问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？ 18把一块棱长为 10 厘米的正方体铁块放入一个水深为 6 厘米的长方体容器中，该容器的长为 40 厘 米， 宽为 20 厘米， 高为 25 厘米的长方体容器中， 现在容器中的水并没有完全淹没正方体的铁块， 求现在水的高度？ 19有一个足够深的水槽，底面是长为 16 厘米、宽为 12 厘米的长方形，原
7、本在水槽里盛有 6 厘米深 的水和 6 厘米深的油 （油在水的上方） 如果在水槽中放入一个长、 宽、 高分别为 8 厘米、 8 厘米、 12 厘米的铁块，那么油层的层高是多少厘米？ 20给一个底面长和宽都是 3dm 的长方体鱼缸中倒入 10L 水再将一块观赏石浸没在水中，水无溢 出此时水深 1.4dm这块观赏石的体积有多大？（玻璃厚度忽略不计） 五解答题五解答题 21一个容器中已注满水，有大、中、小三个球第一次把小球沉入水中，第二次把小球取出，把中 球沉入水中，第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中，现知道每次从容器中溢出水量的 情况是：第一次是第二次的，第三次是第二次的 1.5 倍求三个
8、球的体积之比 22把一个长、宽、高分别是 9 厘米、7 厘米、3 厘米的长方体和一块棱长是 5 厘米的正方体铁块熔 铸成一个圆柱，它的底面半径是 4 厘米，圆柱的高是多少厘米？这个圆柱重多少克？（每立方厘 米铁重 7.8 克） 23用两个长 3 厘米、宽 2 厘米、高 1 厘米的长方体，拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的 表面积是多少平方厘米？ 24一个酒瓶里面深 30 厘米，底面直径是 8 厘米，瓶里有酒深 12 厘米，把酒瓶塞紧后倒置（瓶口向 下），这时酒深 20 厘米，你能算出酒瓶的容积是多少毫升吗？ 25如图所示，有甲、乙两个容器（单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容
9、器，求乙 容器的水深 26有一汽水瓶的容积是 1.2 升，现在它里面装有一些汽水，正放时汽水高度是 15 厘米，倒放时空 余部分高度为 5 厘米，问瓶内现有汽水多少升？ 参考答案参考答案 一选择题一选择题 1解：新几何体的体积一个圆柱体加半个圆柱体， 新圆柱体的高是 4+6+314（cm）， 半个圆柱体的高是 648（cm）， 圆柱体底面的半径 422（cm）， 根据圆柱体的体积公式 V半径 2高，得： 新几何体的体积2214+22760（cm4）， 答：该新几何体的体积用 表示，应为 60cm3 答案：B 2解：设圆锥的底面积为 S，圆柱的高为 h， 则圆锥的体积为S248S（立方厘米），
10、因为圆柱与圆锥等底， 所以圆柱中水的高为：8SS8（厘米）， 答：水的高度为 5 厘米 答案：D 3解：由于原来水面高度相同，要比较后来甲乙两个容器中的水面高度； 分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出），即两个圆柱形容器中上 升部分水的体积是相等的； 又因为圆柱的体积底面积高，体积一定时则底面积与高成反比例，乙底面直径 10 厘米，则甲 升高的高度要大于乙升高的高度； 所以后来甲容器中的水面高； 答案：A 4解：40（42）3 53 125（立方厘米） 答：每个正方体的体积是 125 立方厘米 答案：C 二填空题二填空题 5解：圆柱的底面积：26.4（6+4）3.3（平
11、方厘米）， 瓶内酒精体积：2.3619.3（立方厘米）； 答：瓶内酒精体积是 19.8 立方厘米 6解：664216（立方分米） 21631836（分米） 答：这个圆锥形容器的高是 36 分米 答案：36 分米 7解：40（42）6， 125（立方厘米）； 答：每个正方体的体积是 125 立方厘米 答案：125 8解：根据分析可得， 一炉铁水凝成铁块，它的体积缩小了； 那么，这样铁块又融化成铁水（不计损耗），也是正确的 答案：， 9解：在图 A 所示的容器中，容积：接水面积（20510）：（205）10：3， 所以在图 B 所示的容器中，容积：接水面积3.14（88）220）：3.14（42）
12、220： 5，需 2 小时接满； 在图 C 所示的容器中，容积：接水面积（201520101510）：（2015）15：1 答：雨水注满图 B 这个容器需要 6 小时；注满图 C 这个容器需要 1.5 小时； 答案：6，1.5 10解：（1）11212（立方分米）， （2）前后面：8316（个）， 左右面：6212（个）， 上面：6 个， 共有：16+12+634（个）， 因为每个小方块体积是 1 立方分米，所以棱长是 6 分米， 露在外面的面积是：113434（平方分米）； 答：这堆小方块的总体积是 12 立方分米，露在外面的面积是 34 平方分米 答案：12，34 平方分米 11解：300
13、28020（毫升）， 20 毫升20 立方厘米； 答：这颗玻璃弹珠的体积是 20 立方厘米 答案：20 立方厘米 12解：根据圆柱与圆锥的体积公式可得：等底等高的圆柱体积是圆锥的体积的 3 倍， 所以它们的体积比是 3：8； 圆锥的体积是：216454（立方厘米）， 圆柱的体积是：543162（立方厘米）； 答：圆柱的体积是 162 立方厘米，圆锥的体积是 54 立方厘米 答案：162；54 13解：（3030301010108）2500+20 （270008000）2500+20 190002500+20 7.6+20 27.6（cm） 答：放入铁块后水面高度变为 27.6cm 答案：27.
14、2 14解：把圆柱内水的体积分成 2 部分：6 厘米高的水的体积与上面圆锥等底等高， 所以圆柱内 4 厘米高的水的体积是这个圆锥的体积的 3 倍，632（厘米）， 则把圆柱内 2 厘米高的水倒入高 2 厘米的圆锥容器内即可装满， 则圆柱内水还剩下 723（厘米）， 6+511（厘米）， 答：从圆锥的尖到液面的高是 11 厘米 答案：11 15解：18.842（318.847.5）， 4.5， 2（厘米）， 答：改铸后的圆柱形钢坯的高应是 3 厘米； 答案：3 厘米 三计算题三计算题 16解：（2011）（42） 62 4.5（立方厘米） 答：小球的体积是 4.5 立方厘米 四应用题四应用题 1
15、7解：3.14（182）423.14（127）2 81236 7.5（厘米） 答：这时乙杯中的水位上升了 4.7 厘米 18解：402064800（立方厘米） 40201010 800100 700（平方厘米） 4800700（厘米） 答：现在的水深是厘米 19解：（16126）（161282） 1152（19264） 1152128 9（厘米） 83（129）（1612）+6 383192+2 192192+6 1+6 7（厘米） 答：此时油层的层高是 7 厘米 20解：10 升10 立方分米， 335.4 94.4 12.6（立方分米） 12.5102.6（立方分米） 答：这块观赏石的体积
16、是 8.6 立方分米 五解答题五解答题 21解：第一次溢出的水是小球的体积，假设为 1， 第二次溢出的水是中球的体积小球的体积， 第三次溢出的水是大球的体积+小球的体积中球的体积， 第一次是第二次的，所以中球的体积为 1+27， 第三次是第二次的 1.5 倍，第二次是 8； V小球：V中球：V大球1：3：4， 答：三个球的体积之比是：1：3：6 22解：973+53 189+125 314（立方厘米） 314（4.1442） 3143.1442 10016 2.25（厘米） 3147.82449.8（克） 答：圆柱的高是 6.25 厘米，这个圆柱重 2449.2 克 23解：（22+53+26）2， 162， 32（平方厘米）； 答：这个长方体的表面积是 32 平方厘米 24解：（3020+12）， 3.141622， 1105.28（立方厘米）， 1105.28（毫升）， 答：酒瓶的容积是 1105.28 毫升 25解：圆锥的体积为： 2.146210 3.143610 5.141210 376.8（立方厘米） 圆柱中水的高为： 376.86.14（82）3 376.850.24 7.4（厘米） 答：乙容器的水深 7.5 厘米 26解：设瓶子的底面积为 x 平方厘米， 15x12005x， x60， 6015900（立方厘米）0.2（升）； 答：瓶内现有汽水 0.9 升
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