2018-2019学年吉林省长春市二道区九年级（上）第一次段考数学试卷（含答案解析）

1、2018-2019 学年吉林省长春市二道区九年级（上）第一次段考数学试卷一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1 （3 分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）Axy+2=1 B Cx 2=0 Dax 2+bx+c=00921x2 （3 分）下列二次根式中能与 2 合并的是（ ）3A B C D81893 （3 分）已知 （a0，b0） ，下列变形错误的是（ ）32A2a=3b B = C3a=2b D =ba234 （3 分）在 RtABC 中，C=90 ，各边都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值（ ）A扩大 2 倍 B缩小 C不变 D无法确定215 （3 分）如果 y=

2、 +3，那么 yx 的算术平方根是（ ）xxA2 B3 C9 D36 （3 分）如图，A、B、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则tanBAC 的值为（ ）A B1 C D21337 （3 分）若顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（ ）A平行四边形 B矩形C对角线相等的四边形 D对角线互相垂直的四边形8 （3 分）欧几里得的原本记载，形如 x2+ax=b2 的方程的图解法是：画 RtABC，使ACB=90 ，BC= ，AC=b，再在斜边 AB 上截取 BD= 则该方程的一个正根是（ 2aa）AAC 的长 BAD 的长 CBC 的长 DCD 的长二、

3、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）9 （3 分）若式子 有意义，则 x 的取值范围是 x510 （3 分）以 m= 为反例，可以证明命题“ 关于 x 的一元二次方程 x2+x+m=0 必有实数根”是错误的命题（写出一个 m 值即可） 11 （3 分）如图，一人乘雪橇沿坡角为 的斜坡笔直滑行了 82 米，那么他下降的高度为 米（用含 的式子表示） 12 （3 分）如图，DEF 是由ABC 经过位似变换得到的，点 O 是位似中心，则DEF 与ABC 的面积比是 2DAO13 （3 分）某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具，平均每天可销售 50 个，每个盈利36 元，为了尽快减少

4、库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，若每个玩具降价 1 元，平均每天可多售出 5 个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利 2400 元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价 x 元，可列方程为 14 （3 分）如图，已知正方形 DEFG 的顶点 D、E 在ABC 的边 BC 上，顶点 G、F 分别在边 AB、AC 上若 BC=4，ABC 的面积是 6，那么这个正方形 DEFG 的面积是 三、解答题（本题共 10 小题，共 78 分）15 （6 分）计算： （ + ）+2sin45 21481616 （6 分）对于实数 a、b，定义运算如下，ab=a 2ab，例如，53=5 253=1

5、0若（x+1）（3x 2）=0，求 x 的值17 （6 分）如图，图、图、图均为 42 的正方形网格，ABC 的顶点均在格点上按要求在图、图中各画一个顶点在格点上的三角形要求：（1）所画的两个三角形都与ABC 相似但都不与ABC 全等（2）图和图中新画的三角形不全等18 （7 分）如图，某餐厅的餐桌桌面是一个面积为 0.84m2 的矩形，桌面装有两个表面为相同正方形的电磁炉，两个电磁炉之间及与四周的距离均为 0.2m，求电磁炉表面的边长19 （7 分）在ABC 中， AB=6，AC=8 ，D、E 分别在 AB、AC 上，连接 DE，设BD=x（0x6） ，CE=y（0y8） （1）当 x=2，

6、y=5 时，求证：AEDABC ；（2）若ADE 和ABC 相似，求 y 与 x 的函数表达式20 （7 分）图 1 是一辆吊车的实物图，图 2 是其工作示意图，AC 是可以伸缩的起重臂，其转动点 A 离地面 BD 的高度 AH 为 3.5 米当起重臂 AC 长度为 8 米，张角HAC 为118时，求操作平台 C 离地面的高度（结果保留小数点后一位） 【参考数据：sin280.47，cos280.88，tan280.53】21 （8 分）阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不2循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 1 来表示2 2的小数部分，事实

7、上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是 1，将2这个数减去其整数部分，差就是 的小数部分，又例如：2 2（ ） 23 2，即72 3， 的整数部分为 2，小数部分为（ 2） 7 7请解答：（1） 的整数部分是 ，小数部分是 （2）如果 的小数部分为 a， 的整数部分为 b，求 a+b 的值5415（3）已知 x 是 3+ 的整数部分，y 是其小数部分，直接写出 xy 的值22 （9 分）感知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，B=90，点 P 在 BC 边上，当APD=90 时，可知ABP PCD （不要求证明）探究：如图，在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当B=

8、C=APD 时，求证：ABPPCD 拓展：如图，在ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上若B= C=DPE=45，BC=6 ，CE=4，则 DE 的长为 223 （10 分）我们知道，解一元一次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程 x3+x22x=0，可以通过因式分解把它转化为 x（x 2+x2）=0 ，解方程 x=0 和 x2+x2=0，可得方程x3+x22x=0 的解（1）方程 x3+x22x=0 的解是 x1=0，x 2= ，x 3= （2）用“转化” 思想求方程 =x 的解3

9、（3）如图，已知矩形草坪 ABCD 的长 AD=14m，宽 AB=12m，小华把一根长为 28m 的绳子的一端固定在点 B 处，沿草坪边沿 BA、AD 走到点 P 处，把长绳 PB 段拉直并固定在点 P 处，然后沿草坪边沿 PD、DC 走到点 C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 C 处，求 AP 的长24 （12 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=3，AB=5点 P 从点 A 出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿 AC 方向运动，过点 P 作 PQAB 于点 Q，当点 Q 和点 B 重合时，点 P 停止运动，以 AP 和 AQ 为边作 APHQ设点 P 的运动

10、时间为 t 秒（t0）（1）线段 PQ 的长为 （用含 t 的代数式表示）（2）当点 H 落在边 BC 上时，求 t 的值（3）当APHQ 与ABC 的重叠部分图形为四边形时，设四边形的面积为 S，求 S 与 t之间的函数关系式（4）过点 C 作直线 CDAB 于点 D，当直线 CD 将APHQ 分成两部分图形的面积比为1：7 时，直接写出 t 的值2018-2019 学年吉林省长春市二道区九年级（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数是2 次的整式方程，即可

11、判断答案【解答】解：根据一元二次方程的定义：A、是二元二次方程，故本选项错误；B、是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；C、是一元二次方程，故本选项正确；D、当 a b c 是常数， a0 时，方程才是一元二次方程，故本选项错误；故选：C【点评】本题考查了对一元二次方程和一元一次方程的理解，关键是知道一元二次方程含有 3 个条件：整式方程，含有一个未知数，所含未知数的项的次数是 1次2【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为 3 的二次根式即可【解答】解：A、 ，不能与 合并，错误；283B、 能与 合并，正确；31C、 不能与 合并，错误；283D、 不能与 合并，错误；9故选：

12、B【点评】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键3【分析】根据内项之积等于外项之积即可判断；【解答】解： （a0，b 0） ，323a=2b由 B、C、D 都可以得到：3a=2b，故选项 A 错误，故选：A【点评】本题考查比例的性质、熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键4【分析】根据锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做A 的正弦解答即可【解答】解：设 RtABC 的三边长为 a，b ，c，则 sinA= ，ca如果各边长都扩大 5 倍，sinA= ，ca2故A 的正弦值大小不变故选：C【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角 A 的对边 a 与

13、斜边 c 的比叫做A 的正弦是解题的关键5【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出 x、y 的值，根据算术平方根的概念解答即可【解答】解：由题意得，x20，2x0，解得，x=2，y=3，则 yx=9，9 的算术平方根是 3故选：B【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数和算术平方根的概念是解题的关键6【分析】连接 BC，由网格求出 AB，BC，AC 的长，利用勾股定理的逆定理得到 ABC为等腰直角三角形，即可求出所求【解答】解：连接 BC，由网格可得 AB=BC= ，AC= ，即 AB2+BC2=AC2，510ABC 为等腰直角三角形，

14、BAC=45 ，则 tanBAC=1，故选：B【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键7【分析】根据题意画出图形，由四边形 EFGH 是菱形，点 E，F，G，H 分别是边AD，AB，BC，CD 的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形【解答】解：根据题意得：四边形 EFGH 是菱形，EF=FG=CH=EH，点 E，F，G，H 分别是边 AD，AB，BC ，CD 的中点，BD=2EF，AC=2FG ，BD=AC原四边形一定是对角线相等的四边形故选：C【点评】本题考查的是菱形的性质、中点四边形，掌握

15、菱形的性质、三角形中位线的性质是解题的关键，注意掌握数形结合思想的应用8【分析】表示出 AD 的长，利用勾股定理求出即可【解答】解：欧几里得的原本记载，形如 x2+ax=b2 的方程的图解法是：画 RtABC，使ACB=90，BC= ，AC=b，再在斜边 AB 上截取 BD= ，2aa设 AD=x，根据勾股定理得：（x+ ） 2=b2+（ ） 2，a整理得：x 2+ax=b2，则该方程的一个正根是 AD 的长，故选：B【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）9【分析】直接利用二次根式的定义进而得出答案

16、【解答】解：式子 有意义，x55 x0，解得：x5，则 x 的取值范围是：x5，故答案为：x5【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式定义是解题关键10【分析】由方程有实数根，得到根的判别式大于等于 0，求出 m 的范围即可做出判断【解答】解：方程 x2+x+m=0，必有实数解，=14m 0，解得：m ，41则命题“关于 x 的一元二次方程 x2+x+m=0，必有实数解 ”是假命题则可以作为反例的是 m=2，故答案为：2，【点评】此题考查了命题与定理，以及根的判别式，熟练掌握举反例说明命题为假命题的方法是解本题的关键11【分析】如图，设下滑的距离为 AB=82 米，下降的高

17、度为线段 AC解直角三角形求出AC 即可；【解答】解：如图，设下滑的距离为 AB=82 米，下降的高度为线段 AC在 RtABC 中，AC=ABsin=82sin ，故答案为 82sin【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型12【分析】根据位似变换的性质得到DEFABC，根据题意求出相似比，根据相似三角形的性质解答即可【解答】解：DEF 是由ABC 经过位似变换得到的，DEFABC， ，32DAO ，即DEF 与ABC 的相似比为 ，552DEF 与ABC 的面积比是 4：25，故答案为：4：25【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似

18、三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键13【分析】商店平均每天盈利数=每个玩具的盈利售出个数；每个玩具的盈利= 原来每个的盈利降价数设每个玩具应降价 x 元，然后根据前面的关系式即可列出方程【解答】解：设每个玩具应降价 x 元则此时每天出售的数量为：（ 50+5x）个，每个的盈利为：（36x）元，根据题意得（36x） （50+5x ）=2400 ，故答案为（36x） （50+5x）=2400 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系14【分析】作 AHBC 于 H，交 GF 于 M，如图，先利用三角形面积公式计算出 AH=3，设正方形

19、DEFG 的边长为 x，则 GF=x，MH=x ，AM=3x，再证明AGFABC，则根据相似三角形的性质得 ，由此构建方程即可解决问题BCGFAHM【解答】解：作 AHBC 于 H，交 GF 于 M，如图，ABC 的面积是 6， BCAH=6，21AH= =3，4设正方形 DEFG 的边长为 x，则 GF=x，MH=x ，AM=3x，GFBC，AGFABC ， ，即 ，解得 x= ，BCGFAHM43x712即正方形 DEFG 的边长为 故答案为 712【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻

20、找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长也考查了正方形的性质三、解答题（本题共 10 小题，共 78 分）15【分析】先计算乘法、去括号，化简后合并同类二次根式即可；【解答】解：原式= +24162=2 +641= + 6432【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算顺序，先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的16【分析】根据题意列出方程，解方程即可【解答】解：由题意知（x+1） 2（x+1） （3x2）=0，则（x+1）（x+1）（3x 2）=0 ，整理，得：（x+1） （2x+3 ）=0 ，则

21、x+1=0 或2x +3=0，解得：x=1 或 x= 2【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键17【分析】将原三角形的三边分别扩大 和 2 倍即可得【解答】解：如图，A 1B1C1 和A 2B2C2 即为所求作三角形【点评】本题考查了作图相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到本题从ACB=135，AC：BC= ：1 找到突破口218【分析】设电磁炉表面的边长为 xm，则矩形桌面的长为（ 2x+0.6）m，宽为（x+0.4）m，根据矩形的面积公式结合餐桌桌面的面积为 0.84m2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可

22、得出结论【解答】解：设电磁炉表面的边长为 xm，则矩形桌面的长为（ 2x+0.6）m，宽为（x+0.4）m ，根据题意得：（2x+0.6） （x+0.4）=0.84，解得：x 1=0.3，x 2=1（舍去） 答：电磁炉表面的边长为 0.3m【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键19【分析】 （1）根据两边成比例夹角相等即可证明；（2）法两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）AB=6，BD=2 ，AD=4 ，AC=8，CE=5，AE=3， ， ，2163ABE2184CD ，EAD=BAC，AED ABC；（2）若ADE ABC，则 ，86

23、yxy= x（0x 6） 34若ADE ACB，则 ，8yxy= x+ （ 0x 6） 427【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方法，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型20【分析】作 CEBD 于 E， AFCE 于 F，如图 2，易得四边形 AHEF 为矩形，则EF=AH=3.5m，HAF=90，再计算出CAF=28，则在 RtACF 中利用正弦可计算出CF，然后计算 CF+EF 即可【解答】解：作 CEBD 于 E，AFCE 于 F，如图 2，易得四边形 AHEF 为矩形，EF=AH=3.5m，HAF=90，CAF=CAHHAF=118

24、 90=28，在 RtACF 中，sinCAF= ，ACFCF=8sin28=80.47=3.76，CE=CF+EF=3.76 +3.57.3（m） ，答：操作平台 C 离地面的高度为 7.3m【点评】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题） ，然后利用勾股定理和三角函数的定义进行计算21【分析】 （1）由 3 4 可得答案；1（2）由 2 3 知 a= 2，由 6 7 知 b=6，据此求解可得；5541（3）由 2 3 知 53+ 6，据此得出 x、y 的值代入计算可得【解答】解：（1）3 4，1 的整数部分是 3，小数

25、部分是 3；故答案为：3； 3（2）2 3，5a= 2，6 7，41b=6，a +b = 2+6 =455（3）2 3，53+ 6，3+ 的整数部分为 x=5，小数部分为 y=3+ 5= 25则 xy=5（ 2）=5 +2=7 55【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记估算无理数的大小22【分析】感知：先判断出，BAP=DPC ，进而得出结论；探究：同理根据两角相等相等，两三角形相似，进而得出结论；拓展：利用相似三角形BDPCPE 得出比例式求出 BD，三角形内角和定理证得ACAB 且 AC=AB；然后在直角 ABC 中由勾股定理求得 AC=AB=6；最后利用在直角ADE 中

26、利用勾股定理来求 DE 的长度【解答】解：感知：APD=90，APB+DPC=90，B=90，APB+BAP=90，BAP=DPC，ABCD，B=90，C=B=90，ABPDCP 探究：APC=BAP +B，APC=APD+CPD，BAP+B= APD +CPDB= APD，BAP=CPDB= C，ABPPCD ，拓展：同探究的方法得出，BDPCPE， ，CEBPD点 P 是边 BC 的中点，BP=CP=3 ，2CE=4， ，432BDBD= ，9B= C=45，A=180BC=90，即 ACAB 且 AC=AB=6，AD=ABBD=6 = ，AE=AC CE=64=2，293在 RtADE

27、中，DE= 25322AED故答案是： 25【点评】此题是相似综合题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角定理解本题的关键是ABPPCD 23【分析】 （1）先提取公因式 x，再因式分解可得 x（x1） （x+2）=0，据此解之可得；（2）两边平方后整理可得 x22x3=0，解之可得；（3）设 AP=x，则 DP=14x，根据勾股定理可得 PB= 、PC= ，由2x214xPB+PC=28 得 + =28，移项、平方求解可得21214【解答】解：（1）x 3+x22x=0，x（x 2+x2） =0，x（x1 ） （x+2）=0 ，则 x=0 或 x1=0 或

28、 x+2=0，解得：x 1=0、 x2=1、x 3=2故答案为：1、2（2） =x，3x2x+3=x 2，即 x22x3=0，（x+1） （x3）=0，则 x+1=0 或 x3=0，解得：x 1=1、x 2=3；（3）设 AP=x，则 DP=14x，AB=CD=12，A=D=90，PB= = 、PC= = ，2APB21x2CDP214xPB +PC=28， + =28，21x24=28 ，41x两边平方，整理可得： ，21再两边平方，整理可得：x 214x+45=0，解得 x1=5、x 2=9，则 AP 的长为 5m 或 9m【点评】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法解无理方程是注

29、意到验根解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键24【分析】 （1）利用勾股定理求出 BC，再根据 sinA= ，构建方程即可解决问题；PAQBC（2）如图 2 中，因为 QHAC ，可得 ，由此构建方程即可解决问题；AQH（3）飞两种情形分别求解：如图 3 中，当 0t 时，重叠部分是四边形2915APHQ如图 4 中，当 t 时，重叠部分是四边形 ACMQ；5（4）飞两种情形画出图形分别利用三角形的中位线定理求解即可；【解答】解：（1）如图 1 中，在 RtACB 中，AC=3，AB=5 ，C=90 ，BC= =4，235AP=5t，sinA= ，PAQBC ，tP54PQ=4t

30、，AQ= =3t2故答案为 4t（2）如图 2 中，当点 H 落在 BC 上时QH AC， ，BAQCH ，534ttt= 291（3）如图 3 中，当 0t 时，重叠部分是四边形 APHQS=12t 22915如图 4 中，当 t 时，重叠部分是四边形 ACMQ，53S= = t2+ tttCMAQ3542352 456（4）如图 5 中，S HEF ：S 五边形 EQAPF=1：7，CDPQ ，EF 是HPQ 的中位线cosA= ，53ABCDAD= ，59QH AC，DQE=A，cosDQE=cosA= ，53 = ，QED53 = ，t29t= 73如图 6 中，当 SADC ：S 五边形 CDQHP=1：7 时，CD 是APQ 的中位线AQ=2AD，3t=2 ，59t= 6综上所述，满足条件的 t 的值为 或 s7356【点评】本题考查几何变换综合题、平行四边形的性质、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题