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    第2章 直线与圆的位置关系单元测试(A卷基础篇)(浙教版)(解析版)

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    第2章 直线与圆的位置关系单元测试(A卷基础篇)(浙教版)(解析版)

    1、 1 / 22 第第 2 章章 直线与圆的位置关系单元测试直线与圆的位置关系单元测试(A 卷基础篇)卷基础篇) 【浙教版】 参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1 (3 分) (2019 秋新昌县期末)已知O 的半径为 3,直线 l 与O 相交,则圆心 O 到直线 l 的距离 d 的 取值范围是( ) Ad3 Bd3 C0d3 Dd3 【思路点拨】根据直线 l 和O 相交dr,即可判断 【答案】解:O 的半径为 3,直线 l 与O 相交, 圆心 D 到直线 l 的距离 d 的取值范围是 0d3, 故选:C 【点睛】本题

    2、考查直线与圆的位置关系,解题的关键是记住直线 l 和O 相交dr直线 l 和O 相切dr直线 l 和O 相离dr 2 (3 分) (2019 秋海曙区期末)平面直角坐标系中,P 的圆心坐标为(4,5) ,半径为 5,那么P 与 y 轴的位置关系是( ) A相交 B相离 C相切 D以上都不是 【思路点拨】由题意可求P 到 y 轴的距离 d 为 4,根据直线与圆的位置关系的判定方法可求解 【答案】解:P 的圆心坐标为(4,5) , P 到 y 轴的距离 d 为 4 d4r5 y 轴与P 相交 故选:A 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,坐标与图形性质,熟练运用直线与与圆的位置关系的判定方 法是

    3、解决问题的关键 3 (3 分) (2020嘉定区一模)下列四个选项中的表述,正确的是( ) A经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 【思路点拨】根据切线的判定对各个选项进行分析,从而得到答案 2 / 22 【答案】解:由切线的判定定理可知:经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线, 故 A,B,D 选项不正确,C 选项正确, 故选:C 【点睛】此题主要考查了圆中切线的判定,熟练掌握切线的判定定理是解题的关键 4 (3 分) (20

    4、20思明区校级二模)如图,PA、PB 是O 切线,A、B 为切点,点 C 在O 上,且ACB 50,则APB 等于( ) A50 B120 C100 D80 【思路点拨】连接 OA、OB,如图,根据切线的性质得到OAPOBP90,则利用四边形内角和 得到AOB+P180,再根据圆周角定理得到AOB100,然后计算P 的度数 【答案】解:连接 OA、OB,如图, PA、PB 是O 切线, OAPA,OBPB, OAPOBP90, AOB+P180, AOB2ACB250100, P18010080 故选:D 【点睛】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线,必连过切点的半

    5、 径,构造定理图,得出垂直关系也考查了圆周角定理 5 (3 分) (2019 秋宁阳县期末)如图,在ABC 中,BOC140,I 是内心,O 是外心,则BIC 等 于( ) 3 / 22 A130 B125 C120 D115 【思路点拨】根据圆周角定理求出BOC2A,求出A 度数,根据三角形内角和定理求出ABC+ ACB,根据三角形的内心得出IBCABC,ICBACB,求出IBC+ICB 的度数,再求 出答案即可 【答案】解:在ABC 中,BOC140,O 是外心, BOC2A, A70, ABC+ACB180A110, I 为ABC 的内心, IBCABC,ICBACB, IBC+ICB5

    6、5, BIC180(IBC+ICB)125, 故选:B 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和三角形的外接圆,圆周角定理,三角形的内角和定理等知识点, 能综合运用定理进行推理是解此题的关键 6 (3 分) (2020 春绍兴月考)如图,直线 PA,PB,MN 分别与O 相切于点 A,B,D,PAPB8cm, 则PMN 的周长为( ) A8cm B8cm C16cm D16cm 【思路点拨】根据切线长定理得出 AMMD,BNDN,求出PMN 的周长PA+PB,代入求出即可 【答案】解:直线 PA,PB,MN 分别与O 相切于点 A,B,D, AMMD,BNDN, 4 / 22 PAPB8cm, PM

    7、N 的周长PM+MN+PN PM+MD+ND+PN PM+AM+BN+PN PA+PB 8cm+8cm 16cm, 故选:C 【点睛】本题考查了切线的性质和切线长定理,能根据切线长定理得出 AMMD 和 BNDN 是解此题 的关键 7 (3 分) (2020滨湖区模拟)已知直角三角形的外接圆半径为 6,内切圆半径为 2,那么这个三角形的面 积是( ) A32 B34 C27 D28 【思路点拨】如图,点 O 是ABC 的外心,点 D 是ABC 的内心,E、F、M 是ABCD 内切圆与ABC 的切点设 ABa,BCb,则有 2,推出 a+b16,所以 a2+2ab+b2256,因为 a2+b21

    8、22 144,推出 2ab112,推出ab28,由此即可解决问题 【答案】解:如图,点 O 是ABC 的外心,点 D 是ABC 的内心,E、F、M 是ABCD 内切圆与ABC 的切点 设 ABa,BCb,则有 2, a+b16, a2+2ab+b2256, a2+b2122144, 2ab112, ab28 ABC 的面积为 28 5 / 22 故选:D 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、外接圆与外心等知识,解题的关键是记住直角三角形的内切圆 半径 r,学会利用参数解决问题,属于中考选择题中的压轴题 8 (3 分) (2020延边州模拟)如图,AB 与O 切于点 B,OB3,C 是 OB 上

    9、一点,连接 AC 并延长与O 交于点 D,连接 OD,A40,D30,则的长为( ) A B C D 【思路点拨】根据切线的性质得到ABO90,根据三角形的内角和得到DOB1803050 100,根据弧长的计算公式即可得到结论 【答案】解:AB 与O 切于点 B, ABO90, A40, ACB50, OCDACB50, D30, DOB1803050100, 的长, 故选:C 【点睛】本题考查了切线的性质,垂径定理,圆周角定理,弧长的计算,熟练掌握切线的性质是解题的 关键 9 (3 分) (2019 秋巴彦县期末)如图所示,点 A 是半径为 2 的O 外一点,OA4,AB 是O 的切线, B

    10、 为切点,弦 BCOA,连接 AC,则图中阴影部分的面积为( ) 6 / 22 A2 B2 C3 D 【思路点拨】根据三角形面积求法,得出OCB 与ACB 同底等高面积相等,再利用切线的性质得出 COB60,利用三角形的面积求出即可 【答案】解:连接 OB,OC, AB 是圆的切线, ABO90, 在直角ABO 中,OB2,OA4, OAB30,AOB60, OABC, CBOAOB60,且 S阴影部分SBOC, BOC 是等边三角形,边长是 2, 图中阴影部分的面积2, 故选:D 【点睛】本题主要考查了三角形面积的计算,以及切线的性质,正确证明BOC 是等边三角形是解题的 关键 10 (3

    11、分) (2019 秋洛宁县期末)如图,点 A 的坐标为(3,2) ,A 的半径为 1,P 为 x 轴上一动点, PQ 切A 于点 Q,则当 PQ 最小值时,点 P 的坐标为( ) 7 / 22 A (4,0) B (2,0) C (4,0)或(2,0) D (3,0) 【思路点拨】连结 AQ、AP,由切线的性质可知 AQQP,由勾股定理可知 QP,故此当 AP 有最小值时,PQ 最短,根据垂线段最短可得到点 P 的坐标 【答案】解:连接 AQ,AP 根据切线的性质定理,得 AQPQ; 要使 PQ 最小,只需 AP 最小, 根据垂线段最短,可知当 APx 轴时,AP 最短, P 点的坐标是(3,

    12、0) 故选:D 【点睛】本题考查了切线的性质,坐标与图形性质此题应先将问题进行转化,再根据垂线段最短的性 质进行分析 二填空题(共二填空题(共 6 小题,小题,每小题每小题 4 分,共分,共 24 分)分) 11 (4 分) (2019 秋江城区期中)O 的半径 r5cm,圆心到直线 l 的距离 OM4cm,在直线 l 上有一点 P,且 PM3cm,则点 P 在O 上 【思路点拨】由条件计算出 OP 的长度与半径比较大小即可 【答案】解:由题意可知OPM 为直角三角形,且 PM3cm,OM4cm, 由勾股定理可求得 OP5cmr, 故点 P 在O 上 故答案为:上 【点睛】 本题主要考查点和圆

    13、的位置关系的判定, 只要计算出 P 点到圆心的距离再与半径比较大小即可 12 (4 分) (2020青海) 如图, 在ABC 中, C90, AC3, BC4, 则ABC 的内切圆半径 r 1 8 / 22 【思路点拨】在ABC 中,C90,AC3,BC4,根据勾股定理可得 AB5,设ABC 的内切圆 与三条边的切点分别为 D、E、F,连接 OD、OE、OF,可得 ODAB,OEBC,OFAC,可得矩形 EOFC,再根据切线长定理可得 CECF,所以矩形 EOFC 是正方形,可得 CECFr,所以 AFAD 3r,BEBD4r,进而可得ABC 的内切圆半径 r 的值 【答案】解:在ABC 中,

    14、C90,AC3,BC4, 根据勾股定理,得 AB5, 如图,设ABC 的内切圆与三条边的切点分别为 D、E、F, 连接 OD、OE、OF, ODAB,OEBC,OFAC, C90, 四边形 EOFC 是矩形, 根据切线长定理,得 CECF, 矩形 EOFC 是正方形, CECFr, AFADACFC3r, BEBDBCCE4r, AD+BDAB, 3r+4r5, 解得 r1 则ABC 的内切圆半径 r1 9 / 22 故答案为:1 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心,解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心 13 (4 分) (2020浙江自主招生)RtABC 中,C90,AC8cm,BC

    15、6cm,则其内心和外心之间的 距离是 cm 【思路点拨】根据内心域外心的位置,再利用勾股定理即可求解 【答案】解:如图,在 RtABC,C90,AC8cm,BC6cm, AB10cm, AM 为外接圆半径 设 RtABC 的内切圆的半径为 r,则 ODOEr,C90, 四边形 OECD 是正方形, CECDr,AEAN6r,BDBN8r, 即 8r+6r10, 解得 r2cm, AN4cm; 在 RtOMN 中, MNAMAN1cm, OM(cm) 故答案为:cm 【点睛】此题考查了直角三角形的外心与内心概念及内切圆的性质,得出外心与内心的位置是解题关键 14 (4 分) (2020鹿城区校级

    16、二模)如图,AD 切O 于点 A,AB 是O 的直径,BD 交O 于点 C已知 AD2,AB4,则弦 BC 的长为 【思路点拨】根据切线的性质和圆周角定理得到ABD、ABC 都是直角三角形;由勾股定理求得 BD 10 / 22 的长度;最后由射影定理来求线段 BC 的长度即可 【答案】解:如图,连接 AC AD 切O 于点 A,AB 是O 的直径, ADAB,即BAD90 AD2,AB4, BD2 又AB 是O 的直径, BCA90,即 ACBD AB2BCBD,即 422BC, BC 故答案是: 【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理,若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得 出垂

    17、直关系简记作:见切点,连半径,见垂直 15 (4 分) (2020铜山区二模)如图,点 I 是ABC 的内心,连接 AI 并延长交ABC 的外接圆于点 D,若 ACB70,则DBI 55 【思路点拨】由三角形的内心的性质可得BADCAD,ABICBI,由外角的性质和圆周角的性 质可得BIDDBI,由三角形内角和定理可求解 【答案】解:点 I 是ABC 的内心, BADCAD,ABICBI, CADCBD, BADCBD, 11 / 22 BIDBAD+ABI,IBDCBI+CBD, BIDDBI, ACB70, ADB70, BIDDBI55 故答案为:55 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与

    18、圆心,圆周角的定理,等腰三角形的性质等知识,证明BID DBI 是本题的关键 16 (4 分) (2020余姚市模拟)如图,在矩形 ABCD 中,AB3,BC4,P 是对角线 AC 上的动点,以点 P 为圆心,PC 长为半径作P当P 与矩形 ABCD 的边相切时,CP 的长为 或 【思路点拨】作 PEAD 于 E,PFAB 于 F,根据勾股定理求出 AC,分P 与 AD 相切、P 与 AB 相 切相切两种情况,根据相似三角形的判定定理和性质定理计算 【答案】解:作 PEAD 于 E,PFAB 于 F, 在 RtABC 中,AC5, 由题意可知,P 只能与矩形 ABCD 的边 AD、AB 相切,

    19、 当P 与 AD 相切时,PEPC, PEAD,CDAD, PECD, APEACD, ,即, 解得,CP, 当P 与 AB 相切时,PFPC, PFAB,CBAB, PFBC, APEACD, 12 / 22 ,即, 解得,CP, 综上所述,当P 与矩形 ABCD 的边相切时,CP 的长或, 故答案为:或 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、矩形的性质,掌握切线的判定定理、灵活运用分情况讨论思 想是解题的关键 三解答题(共三解答题(共 7 小题,共小题,共 66 分)分) 17 (6 分)在平面直角坐标系中,圆心 O 的坐标为(3,4) ,以半径 r 在坐标平面内作圆, (1)当 r 3

    20、时,圆 O 与坐标轴有 1 个交点; (2)当 r 满足 3r4 时,圆 O 与坐标轴有 2 个交点; (3)当 r 4 或 5 时,圆 O 与坐标轴有 3 个交点; (4)当 r 4 且 r5 时,圆 O 与坐标轴有 4 个交点 【思路点拨】若 dr,则直线与圆相交;若 dr,则直线于圆相切;若 dr,则直线与圆相离 直线和圆有两个公共点,则直线和圆相交;直线和圆有唯一一个公共点,则直线和圆相切;直线和圆没 有公共点,则直线和圆相离 【答案】解: (1)根据题意,知圆和 y 轴相切,则 r3; (2)根据题意,知圆和 y 轴相交,和 x 轴相离,则 3r4; (3)根据题意,知直线和 x 轴

    21、相切或与坐标轴有公共交点,即原点,则 r4 或 5; (4)根据题意,知直线和 x 轴相交,则 r4 且 r5 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系,解决此类问题可通过比较圆心到直线距离 d 与圆半径大小 关系完成判定 18 (8 分) (2019 秋海曙区期末)已知,如图,直线 MN 交O 于 A,B 两点,AC 是直径,AD 平分CAM 交O 于 D,过 D 作 DEMN 于 E (1)求证:DE 是O 的切线; (2)若 DE8cm,AE4cm,求O 的半径 13 / 22 【思路点拨】 (1)连接 OD,根据平行线的判定与性质可得ODEDEM90,且 D 在O 上,故 DE 是O 的

    22、切线 (2)由直角三角形的特殊性质,可得 AD 的长,又有ACDADE,根据相似三角形的性质列出比例 式,代入数据即可求得圆的半径 【答案】 (1)证明:连接 OD OAOD, OADODA OADDAE, ODADAE DOMN DEMN, ODEDEM90 即 ODDE D 在O 上,OD 为O 的半径, DE 是O 的切线; (2)解:AED90,DE8cm,AE4cm, AD4, 连接 CD, AC 是O 的直径, ADCAED90 CADDAE, ACDADE , , 14 / 22 解得 AC20 O 的半径是 10cm 【点睛】本题考查圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理切割线定

    23、理、相似三角形的判定和性质等知 识,在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键 19 (8 分) (2020玉林)如图,AB 是O 的直径,点 D 在直径 AB 上(D 与 A,B 不重合) ,CDAB,且 CDAB,连接 CB,与O 交于点 F,在 CD 上取一点 E,使 EFEC (1)求证:EF 是O 的切线; (2)若 D 是 OA 的中点,AB4,求 CF 的长 【思路点拨】 (1)连接 OF,易证DBC+C90,由等腰三角形的性质得DBCOFB,C EFC,推出OFB+EFC90,则OFE90,即可得出结论; (2)连接 AF,则AFB90,求出 BD3OD3,CDAB4,BC5,证

    24、明FBA DBC,得出,求出 BF,由 CFBCBF 即可得出结果 【答案】 (1)证明:连接 OF,如图 1 所示: CDAB, DBC+C90, OBOF, 15 / 22 DBCOFB, EFEC, CEFC, OFB+EFC90, OFE1809090, OFEF, OF 为O 的半径, EF 是O 的切线; (2)解:连接 AF,如图 2 所示: AB 是O 的直径, AFB90, D 是 OA 的中点, ODDAOAAB41, BD3OD3, CDAB,CDAB4, CDB90, 由勾股定理得:BC5, AFBCDB90,FBADBC, FBADBC, , BF, CFBCBF5

    25、【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性 质等知识;熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键 16 / 22 20 (10 分) (2019 秋拱墅区校级期末)如图,一块等腰三角形钢板的底边长为 80cm,腰长为 50cm (1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径; (2)用一个圆完整覆盖这块钢板,这个圆的最小半径是多少 cm? 【思路点拨】 (1)由于三角形 ABC 是等腰三角形,过 A 作 ADBC 于 D,那么根据勾股定理得到 AD 30,又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆,根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在 AD

    26、 上, 分别连接 AO、BO、CO,然后利用三角形的面积公式即可求解; (2)由于一个圆完整覆盖这块钢板,那么这个圆是三个三角形的外接圆,设覆盖圆的半径为 R,根据垂 径定理和勾股定理即可求解 【答案】解: (1)如图,过 A 作 ADBC 于 D 则 AD30,BDCD40, 设最大圆半径为 r, 则 SABCSABO+SBOC+SAOC, , 解得:r; (2)设覆盖圆的半径为 R,圆心为 O, ABC 是等腰三角形,过 A 作 ADBC 于 D, BDCD40,AD30, O在 AD 直线上,连接 OC, 在 RtODC 中, 由 R2402+(R30)2, R; 若以 BD 长为半径为

    27、 40cm,也可以覆盖, 最小为 40cm 17 / 22 【点睛】此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质,综合性比较强, 解题的关键是熟练掌握外心与内心的性质与等腰三角形的特殊性 21 (10 分) (2020义乌市校级模拟)如图 1,AB 是O 的直径,PB,PC 是O 的两条切线,切点分别为 B,C (1)求证:CPB2ABC; (2)延长 BA、PC 相交于点 D(如图 2) ,设O 的半径为 2,sinPDB,求 PC 的长 【思路点拨】 (1)连接 OP,由切线长定理得 PCPB,CPOBPO,证得EPBABC,则可得 出结论; (2) 连接 OC, 得

    28、出 sinCDO, 求出 OD3, 设 PCx, 由勾股定理得出, 解得 x2则可得出答案 【答案】解: (1)证明:连接 OP, 18 / 22 PB,PC 是O 的两条切线, PCPB,CPOBPO, PEBC, PEB90, EPB+PBE90, AB 为直径, ABP90, PBE+ABC90, EPBABC, CPB2ABC; (2)连接 OC, PC 是O 的切线, OCCD, OCD90, O 的半径为 2,sinPDB, 19 / 22 sinCDO, OD3, DC, 设 PCx, BD2+PB2PD2, , 解得 x2 PC2 【点睛】此题主要考查了切线长定理,勾股定理,锐

    29、角三角函数和切线的性质等知识,熟练运用方程的 思想方法是解题关键 22 (12 分) (2020浙江自主招生)射线 QN 与等边ABC 的两边 AB,BC 分别交于点 M,N,且 ACQN, AMMB2cm,QM4cm动点 P 从点 Q 出发,沿射线 QN 以每秒 1cm 的速度向右移动,经过 t 秒, 以点 P 为圆心,cm 为半径的圆与ABC 的边相切(切点在边上) ,求 t 值(单位:秒) 【思路点拨】先判断BNM 为等边三角形,再分类讨论:当P 与 AB 相切 D 点时,如图 1,连结 PD, 根据切线的性质得 PDAB,PD,在 RtPDM 中计算出 DMPD1,则 PM2,则 QP

    30、4 22,易得 t2(秒) ;作 AEMN 于 E,CFMN 于 F,如图 2,在 RtAEM 中计算出 EM1,AE EM, 同理可得 CF, 则当P 与 AC 相切时, 点 P 在线段 EF 上, 由于 QE3, QFOE+EF 7, 所以 3t7; 当P 与 BC 相切 D 点时, 如图 3, 与第一种情况一样可得 PN2, 则 QPQM+MN+PN 8,于是得到此时 t8(秒) 【答案】解:ABC 为等边三角形,MNAC, BNM 为等边三角形, 当P 与 AB 相切 D 点时,如图 1, 20 / 22 连结 PD,则 PDAB,PD, 在 RtPDM 中,PMD60, DMPD1,

    31、 PM2, QP422, t2(秒) ; 作 AEMN 于 E,CFMN 于 F,如图 2, 在 RtAEM 中,EMD60,AM2cm, EM1,AEEM, 同理可得 CF, 当P 与 AC 相切时,点 P 在线段 EF 上, QE413,QFOE+EF3+47, 3t7; 当P 与 BC 相切 D 点时,如图 3, 连结 PD,则 PDAB,PD, 在 RtPDN 中,PND60, DNPD1, PN2, QPQM+MN+PN4+2+28, t8(秒) 综上所述,t 的值为 2 或 3t7 或 8 【点睛】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径运用切线的性质来进行计算或论证,

    32、21 / 22 常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题也考查了等边三角形的性质 的性质 23 (12 分) (2020江都区二模)如图,四边形 ABCD 是O 的内接四边形,AC 为直径,DE BC,垂足为 E (1)求证:CD 平分ACE; (2)判断直线 ED 与O 的位置关系,并说明理由; (3)若 CE2,AC8,求阴影部分的面积 【思路点拨】 (1)根据圆周角定理,由,得到BADACD,再根据圆内接四边形的性质得 DCEBAD,所以ACDDCE; (2)连结 OD,如图,利用内错角相等证明 ODBC,而 DEBC,则 ODDE,于是根据切线的判定 定理可得

    33、DE 为O 的切线; (3)作 OHBC 于 H,易得四边形 ODEH 为矩形,所以 ODEH4,则 CHHECE2,于是有 HOC30,得到COD60,然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积 S扇形OCDSOCD进行计算 【答案】 (1)证明:, BADACD, DCEBAD, ACDDCE, 即 CD 平分ACE; (2)解:直线 ED 与O 相切理由如下: 连结 OD,如图, OCOD, OCDODC, 22 / 22 而OCDDCE, DCEODC, ODBC, DEBC, ODDE, DE 为O 的切线; (3)解:作 OHBC 于 H,则四边形 ODEH 为矩形, ODEH, CE2,AC8, OCOD4, CHHECE422, 在 RtOHC 中,HOC30, COD60, 阴影部分的面积S扇形OCDSOCD 42 4 【点睛】本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线 是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径) ,再证垂直即可也考查了扇形的计算


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