1、第 14 讲 浓度问题与牛吃草问题 知识点一：知识点一：浓度问题浓度问题 在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题；浓度问题是小升初数学的一个 难点，浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学 2 个重 点知识：百分数及比例. 1 1. .浓度问题中的基本量浓度问题中的基本量 溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等； 溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等；来源:学科网 溶液：溶质和溶液的混合液体； 浓度：溶质质量与溶液质量的比值。 2 2. .几个基几个基本量之间的运算关系本量之间的运算关系 （1）溶液=溶质+溶剂； （2）=1
2、00%=100% + 溶质溶质 浓度 溶液溶质 溶液 。 3.溶度问题包括以下几种基本题型溶度问题包括以下几种基本题型 （1）溶剂的增加或减少引起浓度变化面对这种问题，不论溶剂增加或减少，溶质是始终不 变的，据此便可解题 （2）溶质的增加引起浓度变化面对这种问题，溶质和浓度都增大了，但溶剂是不变的，据 此便可解题 （3）两种或几种不同溶度的溶液配比问题面对这种问题，要抓住混合前各溶液的溶质和与 混合后溶液的溶质质量相等，据此便可解题 4 4. .解浓度问题的一般方法解浓度问题的一般方法 （1）利用浓度的基本定义以及三个量之间的关系 （2）列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法 解答浓度问题，
3、首先要弄清什么是浓度有些问题根据题意列方程解答比较容易，在列方程 时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系 知识点二：知识点二：牛吃草问题牛吃草问题 牛吃草问题因牛顿提出而得名，一堆草可供 10 头牛吃 3 天，供 6 头牛吃几天？这道题很简 单，用 3 10 +6=5（天） ，如果把“一堆 1 草”换成“一片正在生长的草地” ，问题就不那 么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类总量不固定（均匀变化）的问 题就是“牛吃草问题” 1.1.牛吃草问题中不变基本量：牛吃草问题中不变基本量：草的原有量、草的生长速度 2.2.牛吃草问题中可变量牛吃草问题中可变量: :牛的数量、天数 3.3
4、.等量关系等量关系：草的总量与牛吃的草的总量一致 草的总量=原有草量+草的生长速度天数 （或者草的总量=原有草量-草的减少速度天数） ， 牛吃的草量=牛头数“1”份草天数（一般设 1 头牛 1 天吃“1”份草） 。 草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少 天数)； 原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数； 考点一：利用基本关系解决利用基本关系解决浓度问题浓度问题 【例 1】（2019 秋温县期末） 某酒厂有48的白酒 （含酒精48%)125千克， 现在要把它勾兑成50的白酒， 需要添加酒精多少千克？ 【思路分析】根据题意，加入酒精，把含酒精48%的白
5、酒变成含酒精50%的白酒，那么水的质量不变， 先把原来白酒的总质量看成单位“1” ，用原来白酒的总质量乘(148%)，求出水的质量，再把后来白酒的 总质量看成单位“1” ，它的(1 50%)就是水的质量，然后根据分数除法的意义求出后来白酒的总质量，再 减去原来白酒的总质量，就是加入酒精的质量 【规范解答】解：125 (148%) 12552% 65（千克） 65(1 50%) 6550% 130（千克） 1301255（千克） 答：需要添加酒精 5 千克 【名师点评】解决本题抓住不变的水的质量作为中间量，先根据原来的含量求出水的质量，再根据分数除 法的意义求出后来的总质量，进而求解 【例 2】
6、（2019 春大丰区期中） 在实验室里有一瓶含盐为15%的盐水 200 克， 现要把它改制成含盐10%的 盐水应加入水、还是盐？应加入多少克？ 【思路分析】盐的浓度变小了，说明水多了，所以应加水，再抓住盐水中盐的重量，所以先根据一个数乘 分数的意义，求出原来 200 克盐水中盐的重量，即：200 15%30克，因为盐的重量不变，再根据后来要 配制成含盐10%的盐水，用盐的质量除以10%求出后来盐水的重量，最后用后来盐水的重量减去原来盐水 的重量，即可得出需加水的重量 【规范解答】解：200 15%10%200 300.1200 300200 100（克) 答：应加入水，应加入 100 克 【名
7、师点评】解答此题的关键：盐的浓度变小了，说明水多了，所以加水，再抓住题中盐的重量不变，要 先算出原来盐水中的盐的重量，再利用浓度公式进行计算 1 （2019郑州模拟）有浓度（即药与药水的比）为5%的药水 800 克，再加入 200 克水，这时药水浓度为 4% 【思路分析】 先把原来药水的总质量看成单位 “1” ， 用原来药水的总质量 800 克乘上5%， 求出药的质量， 然后用原来药水的质量加上 200 克， 求出后来药水的总质量， 再用药的质量除以药水的总质量即可求出 后来的浓度 【规范解答】解：800 5%(800200) 100% 401000 100% 4% 答：这时药水浓度为4% 故
8、答案为：4% 【名师点评】解决本题理解浓度的含义，找出计算的方法，根据药的质量不变进行求解 2 （2019广东模拟）有含盐率16%的盐水 40 千克，要使其含盐率提高到20%，需要蒸发 8 千克水； 又或者加入 千克的食盐 【思路分析】 （1）蒸发水，那么此时盐的质量不变，所以先根据原来的含盐率，求出盐的质量，再用盐的 质量除以后来的含盐率，求出后来盐水的质量，再用原来盐水的质量减去后来盐水的质量即可； （2）加入食盐，那么此时水的质量不变，先根据原来的含盐率求出不变的水的质量，再根据后来的含盐 率求出后来盐水的质量，再用后来盐水的质量减去原来盐水的质量即可 【规范解答】解： （1）4040
9、16%20% 406.420% 4032 8（千克） （2）40 (1 16%)(120%)40 40 84%80%40 33.680%40 4220 2（千克） 答：需要蒸发 8 千克水；又或者加入 2 千克的食盐 故答案为：8，2 【名师点评】分清两种情况不变的量是什么，抓住不变的量，作为中间量，求出后来盐水的总质量，再进 一步求解 3 （2019 秋郓城县校级月考）在浓度为15%的盐水中，再加入 20 克盐，盐水是 220 克，这时盐水的浓度 是 % 【思路分析】找出 220 克盐水中的盐来源于原盐水和加入的盐，找出它们的总和去除以 220 就可以求盐水 的浓度 【规范解答】解：(220
10、20) 15%2050（克)， 50220 100%， 0.227 100%， 22.7%； 答：盐水的浓度大约是22.7% 【名师点评】利用基本数量关系：盐水的浓度盐的质量盐水的质量100%解答即可 4 （2019 秋抚宁区期末）含糖量是10%的糖水 200 克，糖不变，要使含糖量降低到8%，需要加水( ) A4 克 B50 克 C250 克 【思路分析】抓住糖的重量不变，先根据一个数乘分数的意义，用“200 10%20”计算出糖水中糖的 质量； 后来糖水的8%是 20 克， 根据已知一个数的几分之几是多少， 用除法求出后来糖水的质量， 根据 “后 来糖水的质量原来糖水的质量加入水的质量”解
11、答即可 【规范解答】解：200 10%8%200 250200 50（克) 答：需要加水 50 克 故选：B 【名师点评】解答此题的关键是应抓住“糖的重量”不变，进行分析解答，继而得出结论 5 （2019 秋高碑店市期末）一杯糖水 90 克，糖和水的质量比是1:8，如果再加入 10 克糖，这时糖占糖 水的百分之几？ 【思路分析】含糖率是指糖的质量占糖水总质量的百分之几；先用原来糖水的总质量乘 1 18 ，求出原来糖 的质量，再把原来糖的质量加上放入糖的质量，求出后来糖的总质量，然后用原来糖水的总质量加上加入 的糖的质量，即可求出后来糖水的总质量，然后用后来糖的总质量除以后来糖水的总质量，再乘1
12、00%即 可 【规范解答】解： 1 9010 18 （克) (10 10)(90 10) 100% 20100 100% 20% 答：这时糖占糖水的是20% 【名师点评】解决本题关键是明确含糖率的含义以及求解的方法，注意后来糖和糖水的总质量都发生了变 化 6 （2019 秋博白县校级期末）浓度为60%的酒精溶液 200 克，与浓度为 3 10 的酒精溶液 300 克，混合后， 所得到的酒精溶液的浓度是 【思路分析】酒精的浓度是指纯酒精的重量占酒精溶液总重量的百分比，先分别把原来两个酒精溶液的重 量看成单位单位“1” ，用酒精溶液的重量分别乘浓度求出纯酒精的重量； 再求出混合后纯酒精一共有多少克
13、，再求出酒精溶液一共有多少克，用纯酒精的重量除以酒精溶液的重量 乘100%即可 【规范解答】解：20060%120（克)； 3 30090 10 （克)； (12090)(200300) 210500， 42% 答：混合后所得到的酒精溶液的浓度是42% 故答案为：42% 【名师点评】本题关键是理解浓度的含义，并由此找出不同的单位“1” ，利用浓度的求解方法求解 7 （2019南京）把一杯 20 升的纯牛奶喝掉 1 2 杯，再用水添满，则牛奶的浓度为 【思路分析】根据题意，20 升喝掉 11 , 22 还剩， 1 2010 2 （升)再添满共 20 升，1020 100%50% 【规范解答】解：
14、 1 (2020)20 100% 2 (20 10)20 100% 1020 100% 50% 答：牛奶的浓度为50% 故答案为：50% 【名师点评】本题主要考查浓度问题 8 （2019上海）把含盐10%的盐水 100 克配置成浓度为20%的盐水需要加 克盐 【思路分析】10%是指浓度是10%，是盐占盐水总重量的10%，则水占盐水的1 10%，所以水是 100 (1 10%)克，这一过程中，水的重量不变，加盐后水占盐水的120%，根据分数除法的意义求出 加盐后盐水的总重后， 即得加盐多少克 加盐： 加盐后盐水总重100 (1 10%)(120%)112.5（克)， 需加盐：112.510012
15、.5（克) 【规范解答】解：加盐后盐水总重： 100 (1 10%)(120%) 10090%80% 9080% 112.5（克) 需加盐：112.510012.5（克) 答：需加盐 12.5 克 故答案为：12.5 【名师点评】此题考查了学生灵活解答浓度问题的能力，关键是理解溶液与溶质之间的关系 9.（2019 秋石林县期末）如图是某种清洁剂浓缩液的稀释瓶，瓶子上标明的比表示浓缩液和水的体积之 比按照这些比，可以配制出不同浓度的稀释液妈妈按1:3的比配制了1200mL的稀释液，其中浓缩 液和水的体积分别是多少？下面是四位同学的思考过程： （1）上面四位同学的思考过程，哪些是合理的？请在相应的
16、名字后面画“” （2）这些合理的思考过程中你最喜欢谁的？请用文字说明理由 【思路分析】 （1）根据题意按1:3的比配制了1200mL的稀释液，把稀释液平均分成 4 份，那么浓缩液占 1 份，水占 3 份，即可做出判断； （2）小兰是按平均分，小强是按比的性质和分数乘法的意义，小敏是按线段图去做 【规范解答】解： （1） （2）这些合理的思考过程中我最喜欢小兰的，因为在小学阶段平均分学生理解起来比较简单，把稀释液 平均分成 4 份，那么浓缩液占 1 份，水占 3 份，学生把稀释液平均分成 4 份后，就很容易求出浓缩液和 水的体积 【名师点评】此题关键是根据配制比例理解溶质（浓缩液）体积和溶剂（水
17、)体积找等量关系 考点二：方程法方程法解决浓度问题解决浓度问题 【例 3】（2019长沙）130 克含盐5%的盐水，与含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%的盐水，这样配成 的6.4%的盐水有 200 克 【思路分析】设含盐9%的盐水为x克，则配成的盐水中含盐是(130 5%9% ) x，盐水是(130) x克，再 根据含盐率是6.4%，列出方程求出x的值，再加上 130 克即可 【规范解答】解：设含盐9%的盐水为x克，根据题意可得方程： 130 5%9%(130)6.4%xx， 6.50.098.320.064xx， 0.0261.82x ， 70 x ， 13070200（克)， 答：这样的
18、盐水有 200 克 故答案为：200 【名师点评】此题考查了100% 盐的质量 盐水的质量 含盐率的灵活应用，根据这公式列出方程即可解答问题 【例 4】（2019郑州模拟）浓度为70%和40%的酒各一种，现在要用这两种酒配制含酒精60%的酒 300 克，需要浓度70%的酒 200 克，浓度40%的酒 克 【思路分析】 设取70%的酒精x克， 则取40%的酒精(300) x克， 根据一种浓度是70%， 另一种浓度为40%， 现在要配制成浓度为60%的洒精 300 克，可列方程求解 【规范解答】解：设取70%的酒精x克，则取40%的酒精(300) x克， 则由题意得：70%(300)40%300
19、60%xx， 0.71200.4180 xx 0.360 x 200 x 所以300300200100 x（克) 答：需70%的酒精 200 克，40%的酒精 100 克 故答案为：200；100 【名师点评】本题考查理解题意的能力，在配制过程中，溶质是不变的，所以以溶质做为等量关系可列方 程求解 1 （2019东莞市模拟）一杯 300 克的盐水，浓度为20%，要让浓度增加到30%，需要浓度为50%的盐水 多少克？ 【思路分析】浓度20%是指盐的质量占盐水总质量的20%，把原来盐水的质量看成单位“1” ，用原来盐 水的质量乘20%即可求出原来盐的质量；同理可得：如果设需要加入浓度为50%的盐水
20、x克，那么它 含盐的质量就是50%x克； 混合后盐水的总质量就是(300) x克， 而此时盐的质量就是(300) 30%x克； 再根据原来两种盐水中盐的质量和等于混合后盐的质量列出方程求解即可 【规范解答】解：设需要加入浓度为50%的盐水x克，则： 30020%50%(300) 30%xx 600.5900.3xx 0.230 x 150 x 答：需要浓度为50%的盐水 150 克 【名师点评】解决本题在理解浓度的基础上表示出三者盐水中盐的质量，再找出等量关系列出方程求解 2 （2019湖南模拟）一容器内有浓度为15%的盐水，若再加入 60 千克水，则盐水的浓度变为5%，问这 个容器内原来含盐
21、多少千克？ 【思路分析】此题可先求出原来盐水的重量，然后根据含盐量，求出原来盐水中含盐多少千克在求原来 盐水的重量时，可设原来盐水重量为x千克，根据含盐量不变，列出方程，解方程即可 【规范解答】解：设原来盐水重量为x千克，则 15%(60) 5%xx 0.150.053xx 0.13x 30 x 30 15%4.5（千克） 答：这个容器内原来含盐 4.5 千克 【名师点评】此题在求原来盐水的重量时，根据含盐量不变，列出方程解答 3 （2019 秋沈阳期末）一容器内盛有浓度为45%的盐水，若再加入 16 千克水，则浓度变为25%这个 容器内原来含有盐多少千克？ 【思路分析】此题可先求出原来盐水的
22、重量，然后根据含盐量，求出原来盐水中含盐多少千克在求原来 盐水的重量时，可设原来盐水重量为x千克，根据含盐量不变，列出方程，解方程即可 【规范解答】解：设原来盐水重量为x千克，则： 45%(16)25%xx 0.450.254xx 0.24x 20 x 2045%9（千克） 答：这个容器内原来含盐 9 千克 【名师点评】此题在求原来盐水的重量时，根据含盐量不变，列出方程解答 4 （2019 秋肥城市期末）一桶盐水，重 200 千克，含盐率是10%，要使含盐率达到16%，要蒸发掉多少 千克水？ 【思路分析】根据蒸发前后盐水的盐的质量不变，数量间的相等关系为，蒸发前的含盐量：200 10%蒸 发后
23、的含盐量，设要蒸发掉x千克水，列并解方程即可 【规范解答】解；设要蒸发掉x千克水，来源:Z#xx#k.Com 200 10%(200) 16%x， 320.1620 x， 200.1632x， 200.16203220 x， 0 . 1 61 2x ， 0.160.16120.16x ， 75x 答；要蒸发掉 75 千克水 【名师点评】此题考查浓度问题，解决此题的关键是蒸发前后盐水的盐的质量不变，据此找到题里的等量 关系是解决此题的关键 考点三：牛吃草问题牛吃草问题 【例 5】进入冬季后，有一片牧场的草开始枯萎，因此草会均匀地减少，现在开始在这片牧场上放羊如 果放 38 只羊，需要 25 天把
24、草吃完；如果放 30 只羊，需要 30 天把草吃完 （1）要放养多少只羊，12 天才能把草吃完？ （2）如果放养 20 只羊，这片牧场可以吃多少天？ 【思路分析】设每只羊每天吃 1 份草；草的减少速度即每天长的份数为：(38 2530 30)(3025)10 （份)，原来草的份数为：303010301200（份)，这些草 12 天吃完，需放羊的只数： (1200 12 10) 1290（只)那么草地每天减少的草够 10 羊吃一天如果放 20 只羊，那么每天减少 201030份这样可以吃的天数为：12003040（天) 【规范解答】解：设每只羊每天吃 1 份草； 草的减少速度为： (38 253
25、0 30)(3025) (950900)5 505 10（份) 原来草的份数为： 303010301200（份) （1）(1200 12 10) 12 (1200 120) 12 108012 90（只) 答：放 90 只羊 12 天可以吃完这些草 （2）那么草地每天减少的草够 10 羊吃一天 如果放 20 只羊，那么每天减少201030份 这样可以吃的天数为： 12003040（天) 答：放养 20 只羊，这片牧场可以吃 40 天 【名师点评】本题主要考查牛吃草问题，关键根据两次放羊的只数和草吃的天数，算出原来有多少草 1 （2019长沙）有一牧场，牧草每天匀速生长，可供 9 头牛吃 12
26、天；可供 8 头牛吃 16 天现在开始只 有 4 头牛吃，从第 7 天开始又增加了若干头牛，再用 6 天吃光所用的草，问增加了 头牛 【思路分析】设每头牛每天吃一份的草，根据“可供 9 头牛吃 12 天，可供 8 头牛吃 16 天” ，草的生长速 度为：(16 8 12 9)(16 12)5 份， 原有草的份数为：1295 1248 份， 4 头牛前 6 天一共吃了： 4624份，还剩下48562454份，后六天一共吃的草的份数为：545684份，6 天吃完所 有草需要牛的头数是：84614头，增加了14410头牛据此解答即可 【规范解答】解：设每头牛每天吃一份的草， 草的生长速度为： (16
27、 8 12 9)(16 12) 204 5（份) 原有草的份数为： 1295 12 10860 48（份) 4 头牛前 6 一共吃了：4624（份) 还剩下：48562454（份) 后六天一共吃的草的份数为：545684（份) 增加牛的头数是：846410（头) 答：增加了 10 头牛 故答案为：10 【名师点评】本题是一道复杂的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度和原有草的份数 2 （2019常熟市校级模拟）牧场上长满青草，青草每天都在匀速生长如果这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天，那么这片牧场可供 25 头牛吃 5 天 【思路分析】根据题意，由这片牧场可供 1
28、0 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天，设每头牛一天的吃草量 为一份，求出草的生长速度，然后再进一步解答即可 【规范解答】解：设每头牛一天的吃草量为一份， 这片牧场可供 10 头牛吃 20 天， 那么这片牧场 20 天的供草量为：1020200（份)； 可供 15 头牛吃 10 天， 那么这片牧场 10 天的供草量为：15 10150（份)； 那么这片牧场的草每天的生长量为：(200 150)(20 10)5（份)； 这片牧场原有的草量为：200520100 （份)， 25 头牛每天的吃草量为：25 份， 那么可以吃：100(255)5（天) 答：这片牧场可供 25 头牛吃 5 天
29、 故答案为：5 【名师点评】本题是一道典型的牛吃草问题，根据题意先求出草的生长速度，然后再进一步解答即可 3 （2019长沙）青青草原上有一片青草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供 10 只羊吃 20 天，或者可 供 15 只羊吃 10 天，那么这片牧草可供 7 只羊吃 50 天 【思路分析】总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分牧场上原有的草是不变的，新长 出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是 不变的即： （1）根据牧草可供 10 只羊吃 20 天，或者可供 15 只羊吃 10 天，计算出每天新长出的草量够一只羊吃的 天数：(
30、10 20 15 10)(20 10)5（天)，也可以说是 5 只羊吃 1 天 （2）假定其中 5 只羊专吃新长出的草，由剩下的羊吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量原 有的草够 1 头羊吃的天数： 1020520100 （天) （3）让 5 只羊专吃新长出的草，其余的羊吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天 【规范解答】解：设 1 只羊 1 天吃的草为单位“1“，由条件可知， 每天生长的草够 1 头羊吃的天数： (1020 15 10)(20 10) 5010 5（天) 原有的草够 1 头羊吃的天数： 1020520 200100 100（天) 7 只羊分成分成两部分，5 只吃
31、新草，2 只吃原来的草，可吃天数： 100(75) 1002 50（天) 答：这些草可供 7 只羊吃 50 天 故答案为：50 【名师点评】解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原 有草的数量，进而解答题中所求的问题 4 （2019长沙）一片草地以均匀速度增长，10 头牛可以吃 40 天，15 头牛可以吃 20 天，那么 25 头牛可 以吃 10 天 【思路分析】 假设每头牛每天吃青草 1 份， 先求出青草的生长速度：(40 10 15 20)(4020)5（份)； 然后求出草地原有的草的份数：1040540200 （份)；再让 25 头牛中的 5 头吃
32、生长的草，剩下的 20 头牛吃草地原有的 200 份草，可吃：2002010（天) 【规范解答】解：假设每头牛每天吃青草 1 份， 青草的生长速度： (40 10 15 20)(4020) 10020 5（份) 草地原有的草的份数： 1040540 400200 200（份) 每天生长的 5 份草可供 5 头牛去吃，那么剩下的25520头牛吃 200 份草： 200(255) 20020 10（天) 答：这片草地可供 25 头牛吃 10 天 故答案为：10 【名师点评】牛吃草的问题关键的是求出青草的生长速度和草地原有的草的份数 5 （2019东莞市）有一满水池，池底有泉水不断涌出，每分钟涌出的
33、水量相等，用 10 部抽水机 20 小时 可以把水抽干，用 15 部抽水机 10 小时可以把水抽干，那么用 25 部同样的抽水机( )小时可以把水 抽干 A5 B6 C7 D8 【思路分析】设每部抽水机每小时能抽泉水 1 份，每小时涌出的泉水量为：(20 10 15 10)(20 10)5 （份)；泉中原有的水量为：20 10205100（份)；25 部抽水机拿出 5 部抽每小时涌出的 5 份的 泉水，剩下的 20 台抽泉中原有的水量，所需时间为：100205（小时） ，即为所求问题 【规范解答】解：(20 10 15 10)(20 10) 5010来源:学.科.网 Z.X.X.K 5（份)
34、20 10205 200100 100（份) 100(255) 10020 5（小时） 答：用 25 台这样的抽水机 5 小时可以把水抽干 故选：A 【名师点评】本题是典型的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度（本题相当于每小时涌出水的水量）和 草地原有的份数（本题相当于泉中原有的水量） 小升初专项培优测评卷（小升初专项培优测评卷（十十四四）浓度问题与牛吃草问题浓度问题与牛吃草问题 1 （2019海门市校级模拟）有甲乙两杯糖水，甲杯中有糖 20 克、水 70 克，乙杯中有糖 50 克、水 250 克， 在甲杯中加 克水，才能使甲乙两杯水一样甜 【思路分析】由题意，在甲杯中加水，才能使甲乙两杯水一
35、样甜，说明甲杯中糖水浓度高，可先求得乙杯 中的含糖率，即后来甲杯加水后的含糖率，用 20 除以含糖率求得加水后的质量，再减去加水前的质量即 可得解 【规范解答】解：50(50250) 100% 50300 100% 16.7% 2016.7%2070 1202070 30（克) 答：在甲杯中加 30 克水，才能使甲乙两杯水一样甜 故答案为：30 【名师点评】不管是哪类的浓度问题，最关键的思维是要抓住题中没有变化的量 2 （2019长沙）100 克15%浓度的盐水中，放进了盐 8 克，为使溶液的浓度为20%，那么，还得再加进 水 克 【思路分析】加入 8 克后，溶液共有100 15823克盐，达
36、到20%后的溶液总质量为2320%115（克 )加入 8 克盐后总质量为 108 克，故应该再加水1151087（克) 【规范解答】解：(100 15%8)20%(1008)， 2320%108， 115108， 7（克)； 答：还得再加水 7 克 【名师点评】此题主要是抓住加入水前后盐的质量不变这一关键条件进行解答 3 （2019 秋历城区期末）把浓度为10%的食盐水 10 千克，变为浓度为20%的食盐水，有哪几种办法？ 计算出来 【思路分析】浓度有10%变成20%，有两种不同的方法： 蒸发水：这一过程中盐的质量不变，先把原来盐水的总质量看成单位“1” ，用原来的总质量乘上原来的浓 度，求出
37、不变的盐的质量，再用盐的质量除以后来的浓度，求出后来盐水的总质量，再用原来盐水的总 质量减去后来盐水的总质量即可求出需要蒸发掉水的质量； 加盐： 这一过程中水的质量不变， 先把原来盐水的总质量看成单位 “1” ， 用原来的总质量乘上原来的浓度， 求出盐的质量，进而求出不变的水的质量；再把后来盐水的总质量看成单位“1” ，它的(120%)就是水 的质量，再用除法求出后来盐水的总质量，然后用后来盐水的总质量减去原来盐水的总质量，就是需要 加盐的质量 【规范解答】解：方法一，蒸发水： 10 10%20% 120% 5（千克） 1055（千克） 方法二，加盐： 1010 10% 101来源:学|科|网
38、 Z|X|X|K 9（千克） 9(120%)10 980%10 11.2510 1.25（千克） 答：可以蒸发水 5 千克或者加盐 1.25 千克 【名师点评】解决本题关键是掌握两种总价浓度的方法：减少溶剂或者增加溶质，要注意溶液变化的过程 中哪一种量没有变化 4 （2019宁波）有盐水若干升，加入一定量的水后，盐水浓度降到3%，又加入同样多的水后，盐水浓度 又降到2%，再加入同样多的水，此时浓度是多少？未加入水时盐水浓度是多少？ 【思路分析】浓度为3%，也就是盐 3 份水 97 份，共 100 份，浓度下降为2%，原来 3 份盐就成了2%， 因此可求出加入了多少份水第二次加水后盐和水总共32
39、%150（份)，第二次加水15010050（份 )， 即每次加水 50 份， 然后根据浓度公式就可以求出： 第三次加水后的浓度和不加水前的浓度， 据此解答 【规范解答】 解： 浓度为3%， 也就是盐 3 份水 97 份， 共 100 份， 浓度下降为2%， 原来 3 份盐就成了2% 第二次加水后盐和水总共：32%150（份)， 第二次加水15010050（份)，即每次加水 50 份， 所以，第三次加水后浓度 3 1.5% 15050 ， 不加水前的浓度为 3 6% 10050 ； 答：第三次加水后浓度为1.5%，未加水前浓度为6% 【名师点评】由于每次加水的质量不变，所以关键是先算出每次加多少
40、水 5 （2019东莞市）将 100 克浓度为40%的盐水和 150 克浓度为10%的盐水混合，要配制成浓度为30%的 盐水，需再加浓度为40%的盐水多少克？ 【 思 路 分 析 】 根 据 已 有 盐 水 的 浓 度 和 质 量 ， 算 出 第 一 次 混 合 后 的 浓 度 ， 即 (10040% 150 10%)(100150)22%，然后根据“十字相乘法”解答即可 【规范解答】解：(100 40% 150 10%)(100 150) 55250 22% (40%30%):(30%22%) 10%:8% 5:4来源:学|科|网 Z|X|X|K (100 150)5 4 25054 200
41、（克) 答：需再加浓度为40%的盐水 200 克 【名师点评】 不管是哪类的浓度问题， 最关键的思维是要抓住题中没有变化的量， 灵活应用 “十字相乘法” 解决浓度问题 6 （2019东莞市模拟）5%和40%的糖水混合配制成140g含糖30%的糖水，两种糖水各需多少克？ 【思路分析】设40%含糖率的糖水有x克，则5%含糖率的糖水有(140)x克，根据混合前的含糖量等于 混合后的含糖量，列方程为：40%5% (140)140 30%xx；然后解答即可 【规范解答】解：设40%含糖率的糖水有x克，则5%含糖率的糖水有(140)x克， 40%5% (140)140 30%xx 0.470.0542xx
42、 0.3535x 100 x 14010040（克) 答：5%的糖水需要 40 克，40%的糖水需要 100 克 【名师点评】本题的关键是抓住溶质不变，找出题目中的数量关系再列方程解答 7 （2019台湾模拟）甲、乙两溶液含酒精分量分别为40%及36%若要配制成含酒精分量为39%的溶液 12 升，问至少要用甲溶液多少升？ 【思路分析】根据题意，将40%的溶液与36%的溶液混合配成39%的溶液，说明混合前两种溶液中酒精 的质量和与混合后溶液中酒精的质量是相等的可根据这一数量间的相等关系列方程解答 【规范解答】解：设甲溶液需x升，则乙溶液需(12) x升，得：40%(12) 36%12 39%xx
43、 0.44.320.364.68xx 0.040.36x 9x 答：至少要用甲溶液 9 升 【名师点评】根据混合前后两种溶液中酒精的质量相等，是解答此题的关键 8 （2019上街区）有糖水若干，加入一定量的水后，含糖率降低到3%，第二次又加入同样多的水后，含 糖率降低到2%，第三次再加入同样多的水，这时糖水的含糖率是 % 【思路分析】糖水第一次加入水后含糖率降低到了3%，第二次在加入同样多的水后含糖率降到了2%， 这里面不变的量是糖的质量没有变，我们可以设加入了X水，原来有的水看成 1，那么第一次加入水后 糖的含量是(1)3%X第二次加入水后糖的含量是(1)2%XX，这样我们就可以求出加入的水
44、是 X是多少，(1) 3%(1)2%XXX可以求出1X ，第三次加入同样多的水后糖的含量是 3 (1 1)3%(1 1 3)1.5% 200 故第三次加入同样多的水后这时糖水的含糖量是1.5% 【规范解答】解：设加入水x杯， 第一次加入x杯水后，糖水的含糖百分比变为3% 即含糖(1) 3%x 第二次又加入同样多的水，糖水的含糖百分变比为2%即含糖(1)2%xx 得(1) 3%(1)2%xxx 1x 第三次再加入同样多的水，糖水的含糖 3 (1 1)3%(1 1 3)1.5% 200 故第三次加入同样多的水后的糖水的含糖量是1.5% 答：第三次加入同样多的水后，这时糖水的含糖量是1.5% 【名师
45、点评】这一题主要是考查我们要抓住糖是一个不变量，由于加入了水，糖的含量才会降低，我们可 以设加入的水为X，把原来的水看成 1，通过第一次和第二次加入的水我们可以求出X，求出X我们 可以直接代入计算第三次加入水后的糖的含量 9 （2019中山市）某电信局有 600 台电话机上台装机，每天申请装电话机数量一定若有 3 个小组 60 天 装完4 小组 30 天装完 （1）每天新申请装多少部电话？ （2）如果 5 天内装完，要几个小组？ 【思路分析】（1） 设每个小组每天装1份， 先求出每天新申请装的份数， 列式为：(3 604 30)(6030)2 （份)；再求出原有的 600 台电话机对应的份数4
46、3030260（份)；所以 1 份的数就是每个小组 每天装台数：6006010（台)，又因为每天新申请装的台数是每个小组每天装台数的 2 倍，因此可 以求出每天新申请装的台数，列式为：10 (2 1)20（台)； （2）如果 5 天内装完，一共新增205100台，1 个组 5 天的工作量是10550台，所以如果 5 天内装 完，需要的组数，列式为：60020 5)(10 5)14（组)；据此解答 【规范解答】解：设每个小组每天装 1 份， （1）每天新申请装的份数：(3 604 30)(6030) ， 6030， 2（份)； 原有的份数：430302， 12060， 60（份)； 每个小组每天
47、装台数：6006010（台)， 每天新申请装的台数：10 (2 1)20（台)； 答：每天新申请装 20 部电话 （2）(60020 5)(10 5)， 70050， 14（组)； 答：如果 5 天内装完，要 14 个小组 【名师点评】本题是比较复杂的牛吃草问题，它的解答规律是先求出增加的份数，这是解答的难点即求每 天新申请装的份数 10 （2019长沙）某游乐场在开门前有 400 人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的一个入场口每 分钟可以进来 10 个游客，如果开放 4 个入场口20 分钟就没有人排队，现在开放 6 个入口，那么开门后 多少分钟后就没有人排队？ 【思路分析】此题里有两个不变的量：一是开门前排队人数是固定数，即 400 人；二是开门后每分钟来的 人数是固定的按开 4 个入场口的已知条件，可求出开门后每分钟来的人数然后设开放 6 个入场口开门 后x分钟后没有人排队，可按以下两种方式求出开门后x分钟总进场人数：一是根据每钟 1 个入场口进客 人数可得开 6 个入场口x分钟的进场人数；二是根据开门后x每钟来的固定人数加开门前排队的 400 人， 根据这个等量关系即可列出方程 【规范解答】解：4 个入场口 20 分钟进入的人数是： 10420800 （人)， 开门后 20
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