全国重点高中竞赛讲座 08几何变换

1、竞赛专题讲座竞赛专题讲座 08 几何变换几何变换 【竞赛知识点拨】【竞赛知识点拨】 一、一、 平移变换平移变换 1 定义 设是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任一点 X 变到 X，使得=，则 T 叫做沿有向线段的平移变换。记为 XX，图形 FF 。 2 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为 三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。 二、二、 轴对称变换轴对称变换 1 定义 设 l 是一条给定的直线，S 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任 一点 X 变到 X，使得 X 与 X关于直线 l 对称，则

2、 S 叫做以 l 为对称轴的轴对称变 换。记为 XX，图形 FF 。 2 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者 交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。 三、三、 旋转变换旋转变换 1 定义 设 是一个定角，O 是一个定点，R 是平面上的一个变换，它把点 O 仍变到 O（不动点），而把平面图形 F 上任一点 X 变到 X，使得 OX=OX，且 XOX=，则 R 叫做绕中心 O，旋转角为 的旋转变换。记为 XX， 图形 FF 。 其中 0 时，为逆时针方向。 2 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。 四、四、 位似变换位似变换 1

3、定义 设 O 是一个定点，H 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任一点 X 变到 X，使得 =k，则 H 叫 做以 O 为位似中心，k 为位似比的位似 变换。记为 XX，图形 FF 。 其中 k0 时，X在射线 OX 上，此时的位似变换叫做外位似；k0 时, X在射线 OX 的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。 2 主要性质 在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变 到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的 比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的 对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直

4、线的平行、相交位置关 系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。 【竞赛例题剖析】【竞赛例题剖析】 【例 1】P 是平行四边形 ABCD 内一点，且PAB=PCB。 求证：PBA=PDA。 【分析】作变换ABPDCP， 则ABPDCP，1=5，3=6。由 PPADBC，ADPP、PPCB 都是平 行四边形，知2=8，4=7。由已知1=2，得5=8。 P、D、P、C 四点共圆。故6=7，即3=4。 【例 2】“风平三角形”中，AA=BB=CC=2，AOB=BOC=60。 求证：AOB+BOC+ COA。 【分析】作变换AOCAQR，BOCBPR，则 R、 R重合，记为

5、 R。P、R、Q 共线，O、A、Q 共线，O、B、P 共线，OPQ 为等边 三角形。 AOB+BOC+COA2AD。 【分析】设 PP，PP。则 RP=RP，PQ=PQ， AP=AP=AP。 PQ+QR+RP= PQ+QR+RP。 又A90，PAP+PAP=2A180，A 点在线段 PP上或在凸 四边形 PRQP的内部。PQ+QR+RPAP+AP=2AP2AD。 PQ+QR+RP2AD。 【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形， 可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的 位置变更，以便于比较它们之间的大小。 【例 7】以ABC 的

6、边 AB、AC 为斜边分别向外作等腰直角三角形 APB、 AQC， M 是 BC 的中点。 求证： MP=MQ， MPMQ。 【分析】延长 BP 到 E，使 PE=BP，延长 CQ 到 F， 使 QF=CQ，则BAE、CAF 都是 等腰三角形。 显然：EB，CF，EC=BF，ECBF。 而 PMEC，MQBF，MP=MQ，MPMQ。 【例 8】已知 O 是 ABC 内一点，AOB=BOC=COA=120；P 是ABC 内任一点，求证： PA+PB+PCOA+OB+OC。（O 为费马点） 【分析】 将 CC， OO， PP， 连结 OO、 PP。 则B OO、B PP都是正三角形。 OO=OB，

7、PP =PB。显然BOCBOC，BPCBPC。 由于BOC=BOC=120=180-BOO，A、O、O、C四点共线。 AP+PP+PCAC=AO+OO+OC，即 PA+PB+PCOA+OB+OC。 【例 9】O 与ABC 的三边 BC、CA、AB 分别交于点 A1、A2、B1、B2、C1、C2， 过上述六点分别作所在边的垂线 a1、a2、b1、b2、，设 a1、b2、c1三线相交于一点 D。 求证：a2、b1、c2三线也相交于一点。 【分析】a1、a2关于圆心 O 成中心对称， a1a2。 同理，b1b2，c1c2。 a1、b2、c1的公共点 D 在变换 R（O，180）下的像 D也是像 a2

8、、b1、c2的公共点， 即 a2、b1、c2三线也相交于一点。 【例 10】AD 是ABC 的外接圆 O 的直径，过 D 作O 的切线交 BC 于 P，连结并延长 PO 分别交 AB、AC 于 M、N。求证：OM=ON。 【分析】设 OO，NN，而 MB， M、O、N 三点共线，B、O、N三点共线，且。 取 BC 中点 G，连结 OG、OG、DG、DB。 OGP=ODP=90，P、D、G、O 四点共圆。 ODG=OPG，而由 MNBN有OPG=OBG， ODG=OBG，O、B、D、G 四点共圆。 OGB=ODB。而ODB=ACB，OGB=ACB，OGAC， 而 G 是 BC 的中点，O是 BN的中点，OB= O N， OM=ON。