1、竞赛讲座 23 完全平方数完全平方数 (一)完全平方数的性质 一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也 叫做平方数。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484, 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性 的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 性质 1：完全平方数的末位数只能是 0,1,4,5,6,9。 性质 2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 证明 奇数必为下列五种形式之一： 10a+1, 10
2、a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分别平方后，得 (10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)=100+100a+25=20(5a+5a+1)+5 (10a+7)=100+140a+49=20(5a+7a+2)+9 (10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数 1,5,9；十位数字为偶数。 性质 3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是 6；反之， 如果完全平方数的个位数字是 6，则它的十位数字一定是奇数
3、。 证明 已知=10k+6， 证明 k 为奇数。 因为的个位数为 6， 所以 m 的个位数为 4 或 6， 于是可设 m=10n+4 或 10n+6。则 10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6 或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6 即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3 k 为奇数。 推论 1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是 6，那么这个数一定不是 完全平方数。 推论 2：如果一个完全平方数的个位数字不是 6，则它的十位数字是偶数。 性质 4：偶数的平方是 4 的倍数；奇数的平方是 4
4、 的倍数加 1。 这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1 (2k)=4 性质 5：奇数的平方是 8n+1 型；偶数的平方为 8n 或 8n+4 型。 在性质 4 的证明中，由 k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是 8n+1 型的数；由为奇数 或偶数可得(2k)为 8n 型或 8n+4 型的数。 性质 6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。 因为自然数被 3 除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得 (3m)=9=3k (3m+1)=9+6m+1=3k+1 (3m+2)=9+12m+4=3k+1 同理可以得到： 性质 7：不能被 5 整除的数的
5、平方为 5k 1 型，能被 5 整除的数的平方为 5k 型。 性质 8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。 除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之 和。例如，256 它的各位数字相加为 2+5+6=13，13 叫做 256 的各位数字和。如果再 把 13 的各位数字相加：1+3=4，4 也可以叫做 256 的各位数字的和。下面我们提到 的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位 数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题： 一个数的数字和等于这个数被 9 除的余数。
6、 下面以四位数为例来说明这个命题。 设四位数为，则 = 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 显然，a+b+c+d 是四位数被 9 除的余数。 对于 n 位数，也可以仿此法予以证明。 关于完全平方数的数字和有下面的性质： 性质 9：完全平方数的数字之和只能是 0,1,4,7,9。 证明 因为一个整数被 9 除只能是 9k,9k 1, 9k 2, 9k 3, 9k 4 这几种形式，而 (9k)=9(9)+0 (9k 1)=9(9 2k)+1 (9k 2)=9(9 4k)+4 (9k 3)=9(9 6k
7、)+9 (9k 4)=9(9 8k+1)+7 除了以上几条性质以外，还有下列重要性质： 性质 10：为完全平方数的充要条件是 b 为完全平方数。 证明 充分性：设 b 为平方数，则 =(ac) 必要性：若为完全平方数，=，则 性质 11：如果质数 p 能整除 a，但不能整除 a，则 a 不是完全平方数。 证明 由题设可知，a 有质因子 p，但无因子，可知 a 分解成标准式时，p 的次方 为 1，而完全平方数分解成标准式时，各质因子的次方均为偶数，可见 a 不是完全 平方数。 性质 12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即 若 km ( 但 89 为质数，它的正因子只能是
8、 1 与 89，于是。解之，得 n=45。代入(2)得。故 所求的自然数是 1981。 例 2：求证：四个连续的整数的积加上 1，等于一个奇数的平方(1954 年基辅 数学竞赛题)。 分析 设四个连续的整数为，其中 n 为整数。欲证 是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。 证明 设这四个整数之积加上 1 为 m，则 而 n(n+1)是两个连续整数的积， 所以是偶数； 又因为 2n+1 是奇数， 因而 n(n+1)+2n+1 是奇数。这就证明了 m 是一个奇数的平方。 例 3：求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972 年基辅数学竞赛题)。 分析 形如
9、的数若是完全平方数，必是末位为 1 或 9 的数的平方，即 或 在两端同时减去 1 之后即可推出矛盾。 证明 若，则 因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 若，则 因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 综上所述，不可能是完全平方数。 另证 由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇 数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为 1，所以不是完全平方数。 例 4：试证数列 49,4489,444889,的每一项都是完全平方数。 证明 = =+1 =4+8+1 =4()(9+1)+8+1 =36()+12+1 =(6+1) 即为完全平方数。 例 5：用
10、300 个 2 和若干个 0 组成的整数有没有可能是完全平方数？ 解：设由 300 个 2 和若干个 0 组成的数为 A，则其数字和为 600 3600 3A 此数有 3 的因子，故 9A。但 9600，矛盾。故不可能有完全平方数。 例 6：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两 位数字也相同(1999 小学数学世界邀请赛试题)。 解：设此数为 此数为完全平方，则必须是 11 的倍数。因此 11a + b，而 a,b 为 0,1,2,9，故共有 (2,9),(3,8), (4,7),(9,2)等 8 组可能。 直接验算，可知此数为 7744=88。 例 7：求满足下列
11、条件的所有自然数： (1)它是四位数。 (2)被 22 除余数为 5。 (3)它是完全平方数。 解：设，其中 n,N 为自然数，可知 N 为奇数。 11N - 4 或 11N + 4 或 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 所以此自然数为 1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。 例 8：甲、乙两人合养了 n 头羊，而每头羊的卖价又恰为 n 元，全部卖完后， 两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不 足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第 2 届“祖冲之杯”初中 数学邀请赛试题)？ 解：n
12、头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个 10 元，即完全平方数的十 位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是 6。所 以，的末位数字为 6，即乙最后拿的是 6 元，从而为平均分配，甲应补给乙 2 元。 例 9：矩形四边的长度都是小于 10 的整数(单位：公分)，这四个长度数可构 成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全 平方数，求这个矩形的面积(1986 年缙云杯初二数学竞赛题)。 解：设矩形的边长为 x,y，则四位数 N 是完全平方数，11 为质数 x+y 能被 11 整除。 又 ,得 x+y=11。 9x+1 是一个完全平方数，而，
13、验算知 x=7 满足条件。又由 x+y=11 得。 例 10：求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯 一的。 解：设符合题意的四位数为，则，为五位数，为三位数，。经计算得，其 中符合题意的只有 2401 一个。 例 11：求自然数 n，使的值是由数字 0,2,3,4,4,7,8,8,9 组成。 解：显然， 。为了便于估计，我们把的变化范围放大到，于是，即。，。 另一方面，因已知九个数码之和是 3 的倍数，故及 n 都是 3 的倍数。这样，n 只有 24,27,30 三种可能。但 30 结尾有六个 0，故 30 不合要求。经计算得 故所求的自然数 n = 27。 (四)讨论题 1.(1986 年第 27 届 IMO 试题) 设正整数 d 不等于 2,5,13，求证在集合2,5,13,d中可以找到两个不同的元素 a , b， 使得 ab -1 不是完全平方数。 2.求 k 的最大值，使得可以表示为 k 个连续正整数之和。
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