1、2021 年黑龙江省鹤岗市中考数学试卷年黑龙江省鹤岗市中考数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1下列运算中，计算正确的是（ ） Am2+m32m5 B（2a2）36a6 C（ab）2a2b2 D 2下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 3如图是由 5 个小正方体组合成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A B C D 4一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据 4，则下列统计量中发生变化的是（ ） A众数 B中位数 C平均数 D方差 5有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有 144 人患了流行性感冒，则每轮
2、传染中平均一个人传染 的人数是（ ） A14 B11 C10 D9 6已知关于 x 的分式方程1 的解为非负数，则 m 的取值范围是（ ） Am4 Bm4 且 m3 Cm4 Dm4 且 m3 7为迎接 2022 年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出 180 元钱全部用于购买 甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件 15 元，乙种奖品每件 10 元，则购买方案有（ ） A5 种 B6 种 C7 种 D8 种 8如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的边 ADy 轴，垂足为 E，顶点 A 在第二象限，顶点 B 在 y 轴正半轴上，反比例函数
3、 y（k0，x0）的图象同时经过顶点 C、D若点 C 的横坐标为 5，BE 2DE，则 k 的值为（ ） A B C D 9如图，平行四边形 ABFC 的对角线 AF、BC 相交于点 E，点 O 为 AC 的中点，连接 BO 并延长，交 FC 的延长线于点 D，交 AF 于点 G，连接 AD、OE，若平行四边形 ABFC 的面积为 48，则 SAOG的面积为 （ ） A5.5 B5 C4 D3 10如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在 BC 的延长线上，连接 DE，点 F 是 DE 的中点，连接 OF 交 CD 于点 G，连接 CF，若 CE4，OF6
4、则下列结论：GF2；OD OG； tanCDE； ODFOCF90； 点D到CF的距离为 其中正确的结论是 （ ） A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 11截止到 2020 年 7 月底，中国铁路营业里程达到 14.14 万公里，位居世界第二将数据 14.14 万用科学 记数法表示为 12在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 13如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添 加一个条件 ，使平行四边形 ABCD 是矩形 14一个不透明的口袋中装有标号为 1、2、3 的三个小球，这些小
5、球除标号外完全相同，随机摸出 1 个小 球，然后把小球重新放回口袋摇匀，再随机摸出 1 个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是偶数的概 率是 15关于 x 的一元一次不等式组无解，则 a 的取值范围是 16 如图， 在O 中， AB 是直径， 弦 AC 的长为 5cm， 点 D 在圆上且ADC30， 则O 的半径为 cm 17若一个圆锥的底面半径为 1cm，它的侧面展开图的圆心角为 90，则这个圆锥的母线长为 cm 18如图，在 RtAOB 中，AOB90，OA4，OB6，以点 O 为圆心，3 为半径的O，与 OB 交于 点C， 过点C作CDOB交AB于点D， 点P是边OA上的动点， 则PC+
6、PD的最小值为 19在矩形 ABCD 中，AB2cm，将矩形 ABCD 沿某直线折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕与直线 AD 交于 点 E，且 DE3cm，则矩形 ABCD 的面积为 cm2 20如图，菱形 ABCD 中，ABC120，AB1，延长 CD 至 A1，使 DA1CD，以 A1C 为一边，在 BC 的延长线上作菱形 A1CC1D1，连接 AA1，得到ADA1；再延长 C1D1至 A2，使 D1A2C1D1，以 A2C1为一 边，在 CC1的延长线上作菱形 A2C1C2D2，连接 A1A2，得到A1D1A2按此规律，得到A2020D2020A2021， 记ADA1的面积为 S1，
7、A1D1A2的面积为 S2，A2020D2020A2021 的面积为 S2021，则 S2021 三、解答题（满分三、解答题（满分 60 分）分） 21先化简，再求值：，其中 a2cos60+1 22如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABO 的三个 顶点坐标分别为 A（1，3），B（4，3），O（0，0） （1）画出ABO 关于 x 轴对称的A1B1O，并写出点 A1的坐标； （2）画出ABO 绕点 O 顺时针旋转 90后得到的A2B2O，并写出点 A2的坐标； （3）在（2）的条件下，求点 A 旋转到点 A2所经过的路径长（结果保留 ） 23如图，抛
8、物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0），与 y 轴交于点 C，连 接 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，顶点为点 D （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点 Q 在射线 ED 上，若以点 P、Q、E 为顶点的三角形与 BOC 相似，请直接写出点 P 的坐标 24为庆祝中国共产党建党 100 周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞 赛，现随机抽取部分学生的成绩分成 A、B、C、D、E 五个等级进行统计，并绘制成两幅不完整的统计 图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中共抽取
9、名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求 B 等级所对应的扇形圆心角的度数； （4）若该校有 1200 名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为 A 和 B 等级的学生共有多少名？ 25已知 A、B 两地相距 240km，一辆货车从 A 前往 B 地，途中因装载货物停留一段时间一辆轿车沿同一 条公路从 B 地前往 A 地，到达 A 地后（在 A 地停留时间不计）立即原路原速返回如图是两车距 B 地的 距离 y（km）与货车行驶时间 x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中 m 的值是 ；轿车的速度是 km/h； （2）求货车从 A 地前往 B 地的过程中，货车
10、距 B 地的距离 y（km）与行驶时间 x（h）之间的函数关系 式； （3）直接写出轿车从 B 地到 A 地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距 12km？ 26在等腰ADE 中，AEDE，ABC 是直角三角形，CAB90，ABCAED，连接 CD、BD， 点 F 是 BD 的中点，连接 EF （1）当EAD45，点 B 在边 AE 上时，如图所示，求证：EFCD； （2）当EAD45，把ABC 绕点 A 逆时针旋转，顶点 B 落在边 AD 上时，如图所示，当EAD 60，点 B 在边 AE 上时，如图所示，猜想图、图中线段 EF 和 CD 又有怎样的数量关系？请直 接写出你的猜想，不需证明
11、 27“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一 笔资金购进甲、乙两种农机具已知购进 2 件甲种农机具和 1 件乙种农机具共需 3.5 万元，购进 1 件甲 种农机具和 3 件乙种农机具共需 3 万元 （1）求购进 1 件甲种农机具和 1 件乙种农机具各需多少万元？ （2） 若该粮食生产基地计划购进甲、 乙两农机具共 10 件， 且投入资金不少于 9.8 万元又不超过 12 万元， 设购进甲种农机具 m 件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ （3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价 0
12、.7 万元，每件乙种 农机具降价 0.2 万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只 购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？ 28如图，在平面直角坐标系中，AOB 的边 OA 在 x 轴上，OAAB，且线段 OA 的长是方程 x24x5 0 的根，过点 B 作 BEx 轴，垂足为 E，tanBAE，动点 M 以每秒 1 个单位长度的速度，从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，到达点 B 停止过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 D，以 MD 为边作正方形 MDCF，点 C 在线段 OA 上，设正方形 MDCF 与AOB 重叠部分的面积为 S，
13、点 M 的运动时间为 t（t 0）秒 （1）求点 B 的坐标； （2）求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； （3）当点 F 落在线段 OB 上时，坐标平面内是否存在一点 P，使以 M、A、O、P 为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1下列运算中，计算正确的是（ ） Am2+m32m5 B（2a2）36a6 C（ab）2a2b2 D 【分析】A 选项利用合并同类项法则判断得出答案； B 选项利用积的乘方运算法则计算得出答案； C 选项
14、利用完全平方公式计算得出答案； D 选项利用二次根式除法运算法则计算得出答案 解：Am2与 m3，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意； B（2a2）38a6，故此选项不合题意； C（ab）2a22ab+b2，故此选项不合题意； D.，故此选项符合题意； 故选：D 2下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符
15、合题意 故选：D 3如图是由 5 个小正方体组合成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A B C D 【分析】根据主视图为正面所看到的图形，进而得出答案 解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形 故选：C 4一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据 4，则下列统计量中发生变化的是（ ） A众数 B中位数 C平均数 D方差 【分析】根据众数，中位数，平均数，方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众 数、方差求解即可 解：原数据 2，4，4，4，6 的平均数为（2+4+4+4+6）4，中位数为 4，众数为 4， 方差为（24）2+（44）23+（64）21.
16、6； 新数据的 2，4，4，6 的平均数为（2+4+6+4）4，中位数为 4，众数为 4， 方差为（24）2+（44）22+（64）22； 故选：D 5有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有 144 人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染 的人数是（ ） A14 B11 C10 D9 【分析】患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中设每轮传染中平均一个人传染 了 x 个人，则第一轮传染了 x 个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染 x（x+1）人，依题意列方 程：1+x+x（1+x）144，解方程即可求解 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，依题意得 1
17、+x+x（1+x）144， 即（1+x）2144， 解方程得 x111，x213（舍去）， 故选：B 6已知关于 x 的分式方程1 的解为非负数，则 m 的取值范围是（ ） Am4 Bm4 且 m3 Cm4 Dm4 且 m3 【分析】先解分式方程，令其分母不为零，再根据题意令分式方程的解大于等于 0，综合得出 m 的取值 范围 解：根据题意解分式方程，得 x， 2x10， x，即，解得 m3， x0， 0，解得 m4， 综上，m 的取值范围是 m4 且 m3， 故选：B 7为迎接 2022 年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出 180 元钱全部用于购买 甲、乙两种奖品（两
18、种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件 15 元，乙种奖品每件 10 元，则购买方案有（ ） A5 种 B6 种 C7 种 D8 种 【分析】设购买 x 件甲种奖品，y 件乙种奖品，根据总价单价数量，即可得出关于 x，y 的二元一次 方程，结合 x，y 均为正整数，即可得出 x，y 的值，进而可得出共有 5 种购买方案 解：设购买 x 件甲种奖品，y 件乙种奖品， 依题意得：15x+10y180， x12y 又x，y 均为正整数， 或或或或， 共有 5 种购买方案 故选：A 8如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的边 ADy 轴，垂足为 E，顶点 A 在第二象限，顶点 B
19、在 y 轴正半轴上，反比例函数 y（k0，x0）的图象同时经过顶点 C、D若点 C 的横坐标为 5，BE 2DE，则 k 的值为（ ） A B C D 【分析】由已知，可得菱形边长为 5，设出点 D 坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出 k 值 解：过点 D 作 DFBC 于 F， 由已知，BC5， 四边形 ABCD 是菱形， DC5， BE2DE， 设 DEx，则 BE2x， DF2x，BFx，FC5x， 在 RtDFC 中， DF2+FC2DC2， （2x）2+（5x）252， 解得 x12，x20（舍去）， DE2，FD4， 设 OBa， 则点 D 坐标为（2，a+4），点 C 坐标为
20、（5，a）， 点 D、C 在双曲线上， k2（a+4）5a， a， k5， 故选：A 9如图，平行四边形 ABFC 的对角线 AF、BC 相交于点 E，点 O 为 AC 的中点，连接 BO 并延长，交 FC 的延长线于点 D，交 AF 于点 G，连接 AD、OE，若平行四边形 ABFC 的面积为 48，则 SAOG的面积为 （ ） A5.5 B5 C4 D3 【分析】利用平行四边形 ABFC 的对角线 AF、BC 相交于点 E，可得 BECE，即点 E 为 BC 的中点，由 于点O为AC的中点， 所以OE为ABC的中位线， 可得OEAB， 且OEAB； 利用OEAB可得， 进而得出；利用高相等
21、的三角形的面积比等于它们底的比可得；利用 AOOC，可得 ，利用ABCFCB，可得，答案可得 解：四边形 ABFC 是平行四边形， BEEC OAOC， OE 是ABC 的中位线 OEAB，OEAB ， AOOC， ， 四边形 ABFC 是平行四边形， FCAB，FBAC 在ABC 和FCB 中， ， ABCFCB（SSS） SABCSFCB 24 4 故选：C 10如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在 BC 的延长线上，连接 DE，点 F 是 DE 的中点，连接 OF 交 CD 于点 G，连接 CF，若 CE4，OF6则下列结论：GF2；OD OG；
22、 tanCDE； ODFOCF90； 点D到CF的距离为 其中正确的结论是 （ ） A B C D 【分析】 由 O 是 BD 中点， 点 F 是 DE 的中点， 可得 OFBE， OFBE， 又 CE4， 得 GFCE2， 故正确； 由正方形 ABCD， 得DBC 是等腰直角三角形， DOG 是等腰直角三角形， 可得 ODOG， 故正确； RtDCE 中， tanCDE， 故正确， 根据CDFFDC45， ACDBDC45， 得ACD+DCFBDC+FDC90，故不正确；求出DCF 面积为 8，设点 D 到 CF 的距离为 x，则xCF8，可得点 D 到 CF 的距离为 ，故正确 解：正方形
23、 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， O 是 BD 中点， 点 F 是 DE 的中点， OF 是DBE 的中位线， OFBE，OFBE， CE4，OF6， GFCE2，故正确； BE2OF12， 正方形 ABCD 中， DBC 是等腰直角三角形， 而 OFBE， DOG 是等腰直角三角形， ODOG，故正确； BCBECE8，正方形 ABCD， DC8，DCE90， RtDCE 中， tanCDE，故正确， F 是 RtDCE 斜边 DE 的中点， CFDFDE， CDFFDC45， ACDBDC45， ACD+DCFBDC+FDC90，故不正确； RtDCE 中，DE4，
24、CFDE2， CDE 的面积为CEDC4816，F 是 RtDCE 斜边 DE 的中点， DCF 面积为 8， 设点 D 到 CF 的距离为 x，则xCF8， x28，解得 x， 点 D 到 CF 的距离为，故正确； 正确的由， 故选：C 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 11截止到 2020 年 7 月底，中国铁路营业里程达到 14.14 万公里，位居世界第二将数据 14.14 万用科学 记数法表示为 1.414105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多
25、少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 解：14.14 万1414001.414105， 故答案为：1.414105 12在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为 0 解：要使分式有意义，即：x20， 解得：x2 故答案为：x2 13如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添 加一个条件 ABC90（答案不唯一） ，使平行四边形 ABCD 是矩形 【分析】由矩形的判定即可得出结论 解：添加一个条件为：ABC90，理由如下： 四边形 ABC
26、D 是平行四边形，ABC90， 平行四边形 ABCD 是矩形， 故答案为：ABC90（答案不唯一） 14一个不透明的口袋中装有标号为 1、2、3 的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出 1 个小 球，然后把小球重新放回口袋摇匀，再随机摸出 1 个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是偶数的概 率是 【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两球上的数字之和是偶数的概率即可 解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有 9 种等可能出现的结果情况，其中两球上的数字之和为偶数的有 5 种， 所以从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为， 故答案为： 15关于 x
27、 的一元一次不等式组无解，则 a 的取值范围是 a6 【分析】 分别解出这两个不等式的解集， 然后根据不等式组无解， 得到关于 a 的不等式， 解不等式即可 解：， 解不等式得：xa， 解不等式得：x3， 不等式组无解， a3， a6， 故答案为：a6 16如图，在O 中，AB 是直径，弦 AC 的长为 5cm，点 D 在圆上且ADC30，则O 的半径为 5 cm 【分析】连接 OC，证明AOC 是等边三角形，可得结论 解：如图，连接 OC AOC2ADC，ADC30， AOC60， OAOC， AOC 是等边三角形， OAAC5（cm）， O 的半径为 5cm 故答案为：5 17若一个圆锥的
28、底面半径为 1cm，它的侧面展开图的圆心角为 90，则这个圆锥的母线长为 4 cm 【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解 解：设母线长为 lcm， 则21 解得：l4 故答案为：4 18如图，在 RtAOB 中，AOB90，OA4，OB6，以点 O 为圆心，3 为半径的O，与 OB 交于 点 C，过点 C 作 CDOB 交 AB 于点 D，点 P 是边 OA 上的动点，则 PC+PD 的最小值为 2 【分析】延长 CO 交O 于点 E，连接 ED，交 AO 于点 P，则 PC+PD 的值最小 解：延长 CO 交O 于点 E，连接 ED，交 AO 于点 P，则 PC+PD
29、 的值最小，最小值为线段 DE 的长 CDOB， DCB90， AOB90， DCBAOB， CDAO， ， ， CD2， 在 RtCDE 中，DE2， PC+PD 的最小值为 2 故答案为：2 19在矩形 ABCD 中，AB2cm，将矩形 ABCD 沿某直线折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕与直线 AD 交于 点 E，且 DE3cm，则矩形 ABCD 的面积为 （2+6）或（62） cm2 【分析】根据折叠的条件可得：BEDE，在直角ABE 中，利用勾股定理可以求点 AE，然后根据矩形 的面积即可求得 解：将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合， BEED3cm 在 RtABE 中，AB
30、2+AE2BE2 22+AE232， 解得 AEcm ADAE+ED（+3）cm 或 ADEDAE（3）cm 矩形 ABCD 的面积为为 ADAB（2+6）cm2或（62）cm2 故答案为（2+6）或（62） 20如图，菱形 ABCD 中，ABC120，AB1，延长 CD 至 A1，使 DA1CD，以 A1C 为一边，在 BC 的延长线上作菱形 A1CC1D1，连接 AA1，得到ADA1；再延长 C1D1至 A2，使 D1A2C1D1，以 A2C1为一 边，在 CC1的延长线上作菱形 A2C1C2D2，连接 A1A2，得到A1D1A2按此规律，得到A2020D2020A2021， 记ADA1的
31、面积为 S1， A1D1A2的面积为 S2， A2020D2020A2021的面积为 S2021， 则 S2021 22019 【分析】由题意得ADA1为等边三角形且边长为 1、A1D1A2为等边三角形且边长为 2、A2D2A3为等 边三角形且边长为 4、A3D3A4为等边三角形且边长为 8，A2021D2021A2022为等边三角形且边长为 22021，所以 S112，S222，S323，S202122021，计算出结果即可 解：菱形 ABCD 中，ABC120，AB1， ADC120，ADCD1， ADA160， DA1CD， ADDA1， ADA1为等边三角形且边长为 1， 同理：A1D
32、1A2为等边三角形且边长为 2， A2D2A3为等边三角形且边长为 4， A3D3A4为等边三角形且边长为 8， ， A2021D2021A2022为等边三角形且边长为 22021， S1 12， S222， S323， ， S202122021 22019， 故答案为 22019 三、解答题（满分三、解答题（满分 60 分）分） 21先化简，再求值：，其中 a2cos60+1 【分析】小括号内进行通分，对分母进行因式分解，除法转化为乘法，约分得到化简的答案，求出 a 的 值，再代入求值即可 解：原式 ， 当 a2cos60+12+12 时， 原式 22如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都
33、是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABO 的三个 顶点坐标分别为 A（1，3），B（4，3），O（0，0） （1）画出ABO 关于 x 轴对称的A1B1O，并写出点 A1的坐标； （2）画出ABO 绕点 O 顺时针旋转 90后得到的A2B2O，并写出点 A2的坐标； （3）在（2）的条件下，求点 A 旋转到点 A2所经过的路径长（结果保留 ） 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出 A，B 的对称点 A1，B1即可 （2）利用旋转变换的性质分别作出 A，B 的对应点 A2，B2即可 （3）利用弧长公式 l，求解即可 解：（1）如图，A1B1O 即为所求，点 A1的坐标（1，3）； （2）如图
34、，A2B2O 即为所求，点 A2的坐标（3，1）； （3）点 A 旋转到点 A2所经过的路径长 23如图，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0），与 y 轴交于点 C，连 接 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，顶点为点 D （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点 Q 在射线 ED 上，若以点 P、Q、E 为顶点的三角形与 BOC 相似，请直接写出点 P 的坐标 【分析】（1）利用待定系数法即可求得关系式； （2）首先可得OBC 是等腰直角三角形，然后求出对称轴和 EN 备用，分情况讨论： 先得出 PHHE，根据关系
35、设出点 P 坐标，然后代入二次函数关系式即可求出点 P 坐标， 如图所示，可知点 P 的纵坐标为 2，设出点 P 坐标代入关系式即可求出结果 解：（1）抛物线 yax2+bx+3 过点 A（1，0），B（3，0）， ， 解得， 抛物线的解析式为：yx22x+3； （2）令 x0，y3， OCOB3，即OBC 是等腰直角三角形， 抛物线的解析式为：yx22x+3， 抛物线对称轴为：x1， ENy 轴， BENBCO， ， ， EN2， 若PQEOBC，如图所示， PEH45， 过点 P 作 PHED 垂足为 H， PHE90， HPEPEH45， PHHE， 设点 P 坐标（x，x1+2）， 代
36、入关系式得，x1+2x22x+3， 整理得，x2+x20， 解得，x12，x21（舍）， 点 P 坐标为（2，3）， 若PEQCBO，如图所示， 设 P（x，2）， 代入关系式得，2x22x+3， 整理得，x2+2x10， 解得，（舍）， 点 P 的坐标为（1，2）， 综上所述点 P 的坐标为（1，2）或（2，3） 24为庆祝中国共产党建党 100 周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞 赛，现随机抽取部分学生的成绩分成 A、B、C、D、E 五个等级进行统计，并绘制成两幅不完整的统计 图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中共抽取 100 名学生；
37、（2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求 B 等级所对应的扇形圆心角的度数； （4）若该校有 1200 名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为 A 和 B 等级的学生共有多少名？ 【分析】（1）根据 A 所占的百分比，根据频数、频率、总数之间的关系即可求出本次调查中共抽取的 学生数； （2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出 B、C 等级的人数，然后即可将条形统计 图补充完整； （3）根据（2）中的结果计算出 B 等级所对应的扇形圆心角的度数； （4）求出 A、B 等级所占整体的百分比即可求出相应的人数 解：（1）2626%100（名）， 故答案为：100； （2）D
38、等级所占的百分比为：10100100%10%， 则 B 等级所占的百分比为：126%20%10%4%40%， 故 B、C 等级的学生分别为：10040%40（名），10020%20（名）， 补全条形图如下， （3）B 等级所对应的扇形圆心角的度数为：36040%144； （4）1200792（名）， 答：估计这次竞赛成绩为 A 和 B 等级的学生共有 792 名 25已知 A、B 两地相距 240km，一辆货车从 A 前往 B 地，途中因装载货物停留一段时间一辆轿车沿同一 条公路从 B 地前往 A 地，到达 A 地后（在 A 地停留时间不计）立即原路原速返回如图是两车距 B 地的 距离 y（k
39、m）与货车行驶时间 x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中 m 的值是 5 ；轿车的速度是 120 km/h； （2）求货车从 A 地前往 B 地的过程中，货车距 B 地的距离 y（km）与行驶时间 x（h）之间的函数关系 式； （3）直接写出轿车从 B 地到 A 地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距 12km？ 【分析】（1）由图象可知轿车从 B 地前往 A 地用时为 2 小时，据此可得 m 的值以及轿车的速度； （2）分段函数，线段 MN 与线段 GH 的函数关系式利用待定系数法求解即可； （3）根据两车的速度列方程解答即可 解：（1）由图象得，m1+（31）25；
40、 轿车的速度为：2402120（km/h）； 故答案为：5；120； （2）设 yMNk1x+b1（k10）（0 x2.5）， 图象经过点 M（0，240）和点 N（2.5，75）， ， 解得， yMN66x+240（0 x2.5）， yNG75（2.5x3.5）； 设 yGHk2x+b2（k20）（3.5x5）， 图象经过点 G（3.5，75）和点 N（5，0）， ， 解得， yGH50 x+250， ； （3）货车从 A 前往 B 地的速度为：（24075）2.566（km/h）， 根据题意，得 66（1+x）+120240+12 或 66（1+x）+12024012， 解得 x1 或 x
41、， 答：轿车从 B 地到 A 地行驶过程中，轿车出发 1 小时或小时与货车相距 12km 26在等腰ADE 中，AEDE，ABC 是直角三角形，CAB90，ABCAED，连接 CD、BD， 点 F 是 BD 的中点，连接 EF （1）当EAD45，点 B 在边 AE 上时，如图所示，求证：EFCD； （2）当EAD45，把ABC 绕点 A 逆时针旋转，顶点 B 落在边 AD 上时，如图所示，当EAD 60，点 B 在边 AE 上时，如图所示，猜想图、图中线段 EF 和 CD 又有怎样的数量关系？请直 接写出你的猜想，不需证明 【分析】（1）证明 CDBD，EFBD，可得结论 （2）如图中，结论
42、：EFCD取 CD 的中点 T，连接 AT，TF，ET，TE 交 AD 于点 O证明AFT ETF（SAS），推出 EFAT，可得结论 如图中，结论：EFCD取 AD 的中点 O，连接 OF，OE证明EOFDAC，可得 ，即可解决问题 【解答】（1）证明：如图中， EAED，EAD45， EADEDA45， AED90， BFFD， EFDB， CAB90， CADBAD45， ABCAED45， ACBABC45， ACAB， AD 垂直平分线段 BC， DCDB， EFCD （2）解：如图中，结论：EFCD 理由：取 CD 的中点 T，连接 AT，TF，ET，TE 交 AD 于点 O CA
43、D90，CTDT， ATCTDT， EAED， ET 垂直平分线段 AD， AOOD， AED90， OEOAOD， CTTD，BFDF， BCFT， ABCOFT45， TOF90， OTFOFT45， OTOF， AFET， FTTF，AFTETF，FATE， AFTETF（SAS）， EFAT， EFCD 如图中，结论：EFCD 理由：取 AD 的中点 O，连接 OF，OE EAED，AED60， ADE 是等边三角形， AOOD， OEAD，AEOOED30， tanAEO， ， ABCAED30，BAC90， ABAC， AOOD，BFFD， OFAB， ， ， OFAB， DOFD
44、AB， DOF+EOF90，DAB+DAC90， EOFDAC， EOFDAC， ， EFCD 27“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一 笔资金购进甲、乙两种农机具已知购进 2 件甲种农机具和 1 件乙种农机具共需 3.5 万元，购进 1 件甲 种农机具和 3 件乙种农机具共需 3 万元 （1）求购进 1 件甲种农机具和 1 件乙种农机具各需多少万元？ （2） 若该粮食生产基地计划购进甲、 乙两农机具共 10 件， 且投入资金不少于 9.8 万元又不超过 12 万元， 设购进甲种农机具 m 件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最
45、少资金是多少？ （3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价 0.7 万元，每件乙种 农机具降价 0.2 万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只 购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？ 【分析】（1）找到关键描述语，件甲种农机具和 1 件乙种农机具共需 3.5 万元，1 件甲种农机具和 3 件 乙种农机具共需 3 万元，进而找到所求的量的等量关系，列出方程组求解 （2）根据乙两农机具共 10 件，且投入资金不少于 9.8 万元又不超过 12 万元，列出不等式组求解总资 金甲农机具的总费用+乙农机具的总费用 解：设购
46、进 1 件甲种农机具 x 万元，乙种农机具万元 根据题意得：， 解得 （2）设购进甲种农机具 m 件，购进乙种农机具（10m）件， 根据题意得：， 解得：4.8m7 m 为整数 m 可取 5、6、7 有三种方案： 方案一：购买甲种农机具 5 件，乙种农机具 5 件 方案二：购买甲种农机具 6 件，乙种农机具 4 件 方案三：购买甲种农机具 7 件，乙种农机具 3 件 设总资金为 w 万元 w1.5m+0.5（10m）m+5 k10， w 随着 m 的减少儿减少， m5 时，w最小15+510（万元） 方案一需要资金最少，最少资金是 10 万 （3）节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种
47、方案一：购买甲种农机具 0 件，乙种农机具 10 件 方案二：购买甲种农机具 3 件，乙种农机具 7 件 28如图，在平面直角坐标系中，AOB 的边 OA 在 x 轴上，OAAB，且线段 OA 的长是方程 x24x5 0 的根，过点 B 作 BEx 轴，垂足为 E，tanBAE，动点 M 以每秒 1 个单位长度的速度，从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，到达点 B 停止过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 D，以 MD 为边作正方形 MDCF，点 C 在线段 OA 上，设正方形 MDCF 与AOB 重叠部分的面积为 S，点 M 的运动时间为 t（t 0）秒 （1）求点 B 的坐标； （2）求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； （3）当点 F 落在线段 OB 上时，坐标平面内是否存在一点 P，使以 M、A、O、P 为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）解方程可得 OA 的值，再求出 AE，BE，可得结论 （2）分两种情形：如图 2 中，当 0t时，重叠部分是四边形 ACFM，如图 3 中，当 259t5 时， 重叠部分是五边形 ACHGM，分别求解
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