1、2021 年江苏省无锡市中考数学试卷年江苏省无锡市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确 的，请用的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑 ）铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑 ） 1的相反数是（ ） A B C3 D3 2函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 3已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A54，55 B54，54 C55，54
2、 D52，55 4方程组的解是（ ） A B C D 5下列运算正确的是（ ） Aa2+aa3 B （a2）3a5 Ca8a2a4 Da2a3a5 6下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 7如图，D、E、F 分别是ABC 各边中点，则以下说法错误的是（ ） ABDE 和DCF 的面积相等 B四边形 AEDF 是平行四边形 C若 ABBC，则四边形 AEDF 是菱形 D若A90，则四边形 AEDF 是矩形 8一次函数 yx+n 的图象与 x 轴交于点 B，与反比例函数 y（m0）的图象交于点 A（1，m） ，且 AOB 的面积为 1，则 m 的值是（ ） A1 B
3、2 C3 D4 9在 RtABC 中，A90，AB6，AC8，点 P 是ABC 所在平面内一点，则 PA2+PB2+PC2取得最 小值时，下列结论正确的是（ ） A点 P 是ABC 三边垂直平分线的交点 B点 P 是ABC 三条内角平分线的交点 C点 P 是ABC 三条高的交点 D点 P 是ABC 三条中线的交点 10设 P（x，y1） ，Q（x，y2）分别是函数 C1，C2图象上的点，当 axb 时，总有1y1y21 恒成 立，则称函数 C1，C2在 axb 上是“逼近函数” ，axb 为“逼近区间” 则下列结论： 函数 yx5，y3x+2 在 1x2 上是“逼近函数” ； 函数 yx5，y
4、x24x 在 3x4 上是“逼近函数” ； 0 x1 是函数 yx21，y2x2x 的“逼近区间” ； 2x3 是函数 yx5，yx24x 的“逼近区间” 其中，正确的有（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上 相应的位置 ）相应的位置 ） 11 （2 分）分解因式：2x38x 12 （2 分）2021 年 5 月 15 日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹， 迈出我国星际探测征程的重要一步目前
5、探测器距离地球约 320000000 千米，320000000 这个数据用科 学记数法可表示为 13 （2 分）用半径为 50，圆心角为 120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径 为 14 （2 分）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称： 15 （2 分）一条上山直道的坡度为 1：7，沿这条直道上山，每前进 100 米所上升的高度为 米 16 （2 分）下列命题中，正确命题的个数为 所有的正方形都相似 所有的菱形都相似 边长相等的两个菱形都相似 对角线相等的两个矩形都相似 17 （2 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB2，AC6，点 E 在线段
6、 AC 上，且 AE1，D 是线段 BC 上的一点，连接 DE，将四边形 ABDE 沿直线 DE 翻折，得到四边形 FGDE，当点 G 恰好落在 线段 AC 上时，AF 18 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 C 为 y 轴正半轴上的一个动点，过点 C 的直线 与二次函数 yx2的图象交于 A、B 两点，且 CB3AC，P 为 CB 的中点，设点 P 的坐标为 P（x，y） （x 0） ，写出 y 关于 x 的函数表达式为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域
7、内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤等 ）程或演算步骤等 ） 19 （8 分）计算： （1）|（2）3+sin30； （2） 20 （8 分） （1）解方程： （x+1）240； （2）解不等式组： 21 （8 分）已知：如图，AC，DB 相交于点 O，ABDC，ABODCO 求证： （1）ABODCO； （2）OBCOCB 22 （8 分）将 4 张分别写有数字 1、2、3、4 的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀 后从中任意取出 1 张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出 1 张卡片求下列事件发生的概率 （请 用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
8、（1）取出的 2 张卡片数字相同； （2）取出的 2 张卡片中，至少有 1 张卡片的数字为“3” 23 （8 分）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动，经过两个月的 宣传发动， 员工健身锻炼的意识有了显著提高 为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况， 现从 1500 名员工中随机抽取 200 人调查每人上月健身锻炼的次数，并将调查所得的数据整理如下： 某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表 锻炼次数 x （代号） 0 x5 （A） 5x10 （B） 10 x15 （C） 15x20 （D） 20 x25 （E） 25x30 （F） 频数 10 a 68 c 2
9、4 6 频率 0.05 b 0.34 d 0.12 0.03 （1）表格中 a ； （2）请把扇形统计图补充完整； （只需标注相应的数据） （3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过 10 次的员工有多少人？ 24 （8 分）如图，已知锐角ABC 中，ACBC （1）请在图 1 中用无刻度的直尺和圆规作图：作ACB 的平分线 CD；作ABC 的外接圆O； （不写 作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 AB，O 的半径为 5，则 sinB （如需画草图， 请使用图 2） 25 （8 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 是O 的直径，AC 与 BD 交于点 E，PB 切O 于点 B
10、 （1）求证：PBAOBC； （2）若PBA20，ACD40，求证：OABCDE 26 （8 分）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知 识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品现有经费 1275 元用于购买奖品，且经 费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为 4：3当用 600 元购买一等奖奖品时，共可 购买一、二等奖奖品 25 件 （1）求一、二等奖奖品的单价； （2）若购买一等奖奖品的数量不少于 4 件且不超过 10 件，则共有哪几种购买方式？ 27 （10 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 yx+3 与
11、 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，二次 函数 yax2+2x+c 的图象过 B、C 两点，且与 x 轴交于另一点 A，点 M 为线段 OB 上的一个动点，过点 M 作直线 l 平行于 y 轴交 BC 于点 F，交二次函数 yax2+2x+c 的图象于点 E （1）求二次函数的表达式； （2）当以 C、E、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，求线段 EF 的长度； （3）已知点 N 是 y 轴上的点，若点 N、F 关于直线 EC 对称，求点 N 的坐标 28 （10 分）已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，点 E 是射线 BC 上的动点，以 AE 为直角边在直线 BC 的上方作
12、等腰直角三角形 AEF，AEF90，设 BEm （1）如图，若点 E 在线段 BC 上运动，EF 交 CD 于点 P，AF 交 CD 于点 Q，连结 CF， 当 m时，求线段 CF 的长； 在PQE 中，设边 QE 上的高为 h，请用含 m 的代数式表示 h，并求 h 的最大值； （2）设过 BC 的中点且垂直于 BC 的直线被等腰直角三角形 AEF 截得的线段长为 y，请直接写出 y 与 m 的关系式 2021 年江苏省无锡市中考数学试卷年江苏省无锡市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共
13、 30 分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确 的，请用的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑 ）铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑 ） 1的相反数是（ ） A B C3 D3 【分析】求一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号 【解答】解：的相反数是 故选：B 2函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为 0 列出不等式，解不等式得到答案 【解答】解：由题意得：x20， 解得：x2， 故选：A 3已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55
14、，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A54，55 B54，54 C55，54 D52，55 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可 【解答】解：55 出现的次数最多， 众数为 55， 将这组数据按照从小到大的顺序排列：51、52、53、54、55、55、58， 中位数为 54， 故选：C 4方程组的解是（ ） A B C D 【分析】将两个方程相加，可消去 y，得到 x 的一元一次方程，从而解得 x4，再将 x4 代入解出 y 的值，即得答案 【解答】解：， +得：2x8， x4， 把 x4 代入得：4+y5， y1， 方程组的解为 故选：C 5下列运算正确的是（ ） Aa2+aa3 B （
15、a2）3a5 Ca8a2a4 Da2a3a5 【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、除法运算法则计算得出答 案 【解答】解：Aa2+a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意； B （a2）3a6，故此选项不合题意； Ca8a2a6，故此选项不合题意； Da2a3a5，故此选项符合题意 故选：D 6下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C不是轴
16、对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：A 7如图，D、E、F 分别是ABC 各边中点，则以下说法错误的是（ ） ABDE 和DCF 的面积相等 B四边形 AEDF 是平行四边形 C若 ABBC，则四边形 AEDF 是菱形 D若A90，则四边形 AEDF 是矩形 【分析】根据矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理判断即可 【解答】解：A连接 EF， D、E、F 分别是ABC 各边中点， EFBC，BDCD， 设 EF 和 BC 间的距离为 h， SBDEBDh，SDCECDh， SBDESDCE， 故本选项不符合题意；
17、BD、E、F 分别是ABC 各边中点， DEAC，DFAB， DEAF，DFAE， 四边形 AEDF 是平行四边形， 故本选项不符合题意； CD、E、F 分别是ABC 各边中点， DEAC，DFAB， 若 ABBC，则 DEDF， 四边形 AEDF 是平行四边形， 四边形 AEDF 是菱形， 故本选项符合题意； D四边形 AEDF 是平行四边形， 若A90，则四边形 AEDF 是矩形， 故本选项不符合题意； 故选：C 8一次函数 yx+n 的图象与 x 轴交于点 B，与反比例函数 y（m0）的图象交于点 A（1，m） ，且 AOB 的面积为 1，则 m 的值是（ ） A1 B2 C3 D4 【
18、分析】由已知得 B（n，0） ，而 A（1，m）在一次函数 yx+n 的图象上，可得 nm1，即 B（1 m，0） ，根据AOB 的面积为 1，可列方程|1m|m1，即可解得 m2 【解答】解：在 yx+n 中，令 y0，得 xn， B（n，0） ， A（1，m）在一次函数 yx+n 的图象上， m1+n，即 nm1， B（1m，0） ， AOB 的面积为 1，m0， OB|yA|1，即|1m|m1， 解得 m2 或 m1（舍去） ， m2， 故选：B 9在 RtABC 中，A90，AB6，AC8，点 P 是ABC 所在平面内一点，则 PA2+PB2+PC2取得最 小值时，下列结论正确的是（
19、） A点 P 是ABC 三边垂直平分线的交点 B点 P 是ABC 三条内角平分线的交点 C点 P 是ABC 三条高的交点 D点 P 是ABC 三条中线的交点 【分析】过 P 作 PDAC 于 D，过 P 作 PEAB 于 E，延长 CP 交 AB 于 M，延长 BP 交 AC 于 N，设 AD PEx， AEDPy， 则 AP2+CP2+BP23 （x2） 2+3 （y ） 2+ ， 当 x2， y时， AP2+CP2+BP2 的值最大，此时 ADPE2，AEPD，由，得 AM4，M 是 AB 的中点，同理可得 AN AC，N 为 AC 中点，即 P 是ABC 三条中线的交点 【解答】解：过
20、P 作 PDAC 于 D，过 P 作 PEAB 于 E，延长 CP 交 AB 于 M，延长 BP 交 AC 于 N， 如图： A90，PDAC，PEAB， 四边形 AEPD 是矩形， 设 ADPEx，AEDPy， RtAEP 中，AP2x2+y2， RtCDP 中，CP2（6x）2+y2， RtBEP 中，BP2x2+（8y）2， AP2+CP2+BP2x2+y2+（6x）2+y2+x2+（8y）2 3x212x+3y216y+100 3（x2）2+3（y）2+， x2，y时，AP2+CP2+BP2的值最大， 此时 ADPE2，AEPD， A90，PDAC， PDAB， ，即， AM4， AM
21、AB，即 M 是 AB 的中点， 同理可得 ANAC，N 为 AC 中点， P 是ABC 三条中线的交点， 故选：D 10设 P（x，y1） ，Q（x，y2）分别是函数 C1，C2图象上的点，当 axb 时，总有1y1y21 恒成 立，则称函数 C1，C2在 axb 上是“逼近函数” ，axb 为“逼近区间” 则下列结论： 函数 yx5，y3x+2 在 1x2 上是“逼近函数” ； 函数 yx5，yx24x 在 3x4 上是“逼近函数” ； 0 x1 是函数 yx21，y2x2x 的“逼近区间” ； 2x3 是函数 yx5，yx24x 的“逼近区间” 其中，正确的有（ ） A B C D 【分
22、析】 根据当 axb 时， 总有1y1y21 恒成立， 则称函数 C1， C2在 axb 上是 “逼近函数” ， axb 为“逼近区间” ，逐项进行判断即可 【解答】解：y1y22x7，在 1x2 上，当 x1 时，y1y2最大值为9，当 x2 时，y1y2 最小值为11，即11y1y29，故函数 yx5，y3x+2 在 1x2 上是“逼近函数”不正确； y1y2x2+5x5， 在 3x4 上， 当 x3 时， y1y2最大值为 1， 当 x4 时， y1y2最小值为1， 即1y1y21，故函数 yx5，yx24x 在 3x4 上是“逼近函数”正确； y1y2x2+x1，在 0 x1 上，当
23、x时，y1y2最大值为，当 x0 或 x1 时，y1y2最 小值为1，即1y1y2，当然1y1y21 也成立，故 0 x1 是函数 yx21，y2x2 x 的“逼近区间”正确； y1y2x2+5x5，在 2x3 上，当 x时，y1y2最大值为，当 x2 或 x3 时，y1y2最小 值为 1，即 1y1y2，故 2x3 是函数 yx5，yx24x 的“逼近区间”不正确； 正确的有， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上 相应的位置 ）相
24、应的位置 ） 11 （2 分）分解因式：2x38x 2x（x2） （x+2） 【分析】先提取公因式 2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式 【解答】解：2x38x， 2x（x24） ， 2x（x+2） （x2） 12 （2 分）2021 年 5 月 15 日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹， 迈出我国星际探测征程的重要一步目前探测器距离地球约 320000000 千米，320000000 这个数据用科 学记数法可表示为 3.2108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点
25、移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 【解答】解：3200000003.2108， 故选：3.2108 13（2分） 用半径为50， 圆心角为120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面， 则这个圆锥的底面半径为 【分析】圆锥的底面圆半径为 r，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解 【解答】解：设圆锥的底面圆半径为 r，依题意，得 2r， 解得 r 故答案为： 14 （2 分）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称： y答案不唯一 【分析】根据反比例函数的性质得到 k0，然后取 k1 即可得到满足条件的函数解析式 【解答】解：若反比例函数 y（k 是常数，且 k0）
26、的图象在第二、四象限，则 k0， 故 k 可取1，此时反比例函数解析式为 y 故答案为：y答案不唯一 15 （2 分）一条上山直道的坡度为 1：7，沿这条直道上山，每前进 100 米所上升的高度为 10 米 【分析】设上升的高度为 x 米，根据坡度的概念得到水平距离为 7x 米，根据勾股定理列出方程，解方程 得到答案 【解答】解：设上升的高度为 x 米， 上山直道的坡度为 1：7， 水平距离为 7x 米， 由勾股定理得：x2+（7x）21002， 解得：x110，x210（舍去） ， 故答案为：10 16 （2 分）下列命题中，正确命题的个数为 1 所有的正方形都相似 所有的菱形都相似 边长相
27、等的两个菱形都相似 对角线相等的两个矩形都相似 【分析】利用相似形的定义分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解：所有的正方形都相似，正确，符合题意； 所有的菱形都相似，错误，不符合题意； 边长相等的两个菱形都相似，错误，不符合题意； 对角线相等的两个矩形都相似，错误，不符合题意， 正确的有 1 个， 故答案为：1 17 （2 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB2，AC6，点 E 在线段 AC 上，且 AE1，D 是线段 BC 上的一点，连接 DE，将四边形 ABDE 沿直线 DE 翻折，得到四边形 FGDE，当点 G 恰好落在 线段 AC 上时，AF 【分析】由折叠的性质可得 A
28、BFG2，AEEF1，BACEFG90，在 RtEFG 中，由 勾股定理可求 EG3，由锐角三角函数可求 EH，HF 的长，在 RtAHF 中，由勾股定理可求 AF 【解答】解：如图，过点 F 作 FHAC 于 H， 将四边形 ABDE 沿直线 DE 翻折，得到四边形 FGDE， ABFG2，AEEF1，BACEFG90， EG3， sinFEG， ， HF， cosFEG， ， EH， AHAE+EH， AF， 故答案为： 18 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 C 为 y 轴正半轴上的一个动点，过点 C 的直线 与二次函数 yx2的图象交于 A、B 两点，且 CB3A
29、C，P 为 CB 的中点，设点 P 的坐标为 P（x，y） （x 0） ，写出 y 关于 x 的函数表达式为： yx2 【分析】过 A 作 ADy 轴于 D，过 B 作 BEy 轴于 E，又 CB3AC，得 CE3CD，BE3AD，设 AD m，则 BE3m，A（m，m2） ，B（3m，9m2） ，可得 C（0，3m2） ，而 P 为 CB 的中点，故 P（m， 6m2） ，即可得 yx2 【解答】解：过 A 作 ADy 轴于 D，过 B 作 BEy 轴于 E，如图： ADy 轴，BEy 轴， ADBE， ， CB3AC， CE3CD，BE3AD， 设 ADm，则 BE3m， A、B 两点在二
30、次函数 yx2的图象上， A（m，m2） ，B（3m，9m2） ， ODm2，OE9m2， ED8m2， 而 CE3CD， CD2m2，OC3m2， C（0，3m2） ， P 为 CB 的中点， P（m，6m2） ， 又已知 P（x，y） ， ， yx2； 故答案为：yx2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤等 ）程或演算步骤等 ） 19 （8 分）计算： （1）|（2）3+sin30； （2） 【分析】 （1）根据绝对值的意义，乘
31、方的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案 （2）根据分式的加减运算法则即可求出答案 【解答】解： （1）原式+8+ 1+8 9 （2）原式 20 （8 分） （1）解方程： （x+1）240； （2）解不等式组： 【分析】 （1）利用直接开平方求解即可 （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可 【解答】解： （1）（x+1）240， （x+1）24， x+12， 解得：x11，x23 （2）， 由得，x1， 由得，x3， 故不等式组的解集为：1x3 21 （8 分）已知：如图，AC，DB 相交于点 O，ABDC，ABODCO 求证： （1）ABODCO； （2）OBCOCB
32、【分析】 （1）由已知条件，结合对顶角相的可以利用 AAS 判定ABODCO； （2）由等边对等角得结论 【解答】证明： （1）AOBCOD， ABODCO， ABDC， 在ABO 和DCO 中， ， ABODCO（AAS） ； （2）由（1）知，ABODCO， OBOC OBCOCB 22 （8 分）将 4 张分别写有数字 1、2、3、4 的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀 后从中任意取出 1 张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出 1 张卡片求下列事件发生的概率 （请 用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） （1）取出的 2 张卡片数字相同； （2）取出的 2
33、张卡片中，至少有 1 张卡片的数字为“3” 【分析】 （1）画树状图，共有 16 种等可能的结果，取出的 2 张卡片数字相同的结果有 4 种，再由概率公 式求解即可； （2）由（1）可知，共有 16 种等可能的结果，取出的 2 张卡片中，至少有 1 张卡片的数字为“3”的结 果有 7 种，再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）画树状图如图： 共有 16 种等可能的结果，取出的 2 张卡片数字相同的结果有 4 种， 取出的 2 张卡片数字相同的概率为； （2）由（1）可知，共有 16 种等可能的结果，取出的 2 张卡片中，至少有 1 张卡片的数字为“3”的结 果有 7 种， 取出的 2 张卡
34、片中，至少有 1 张卡片的数字为“3”的概率为 23 （8 分）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动，经过两个月的 宣传发动， 员工健身锻炼的意识有了显著提高 为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况， 现从 1500 名员工中随机抽取 200 人调查每人上月健身锻炼的次数，并将调查所得的数据整理如下： 某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表 锻炼次数 x （代号） 0 x5 （A） 5x10 （B） 10 x15 （C） 15x20 （D） 20 x25 （E） 25x30 （F） 频数 10 a 68 c 24 6 频率 0.05 b 0.34 d 0.12
35、 0.03 （1）表格中 a 42 ； （2）请把扇形统计图补充完整； （只需标注相应的数据） （3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过 10 次的员工有多少人？ 【分析】 （1）根据 B 组所占的百分比是 21%，即可求得 a 的值； （2）根据其他各组的频率求出 D 组的频率得出 C 组、D 组所占的百分比，补全扇形统计图即可 （3）利用总人数 1500 乘以对应的频率即可求得 【解答】解： （1）a20021%42（人） ， 故答案为：42； （2）b21%0.21， C 组所占的百分比 c0.3434%， D 组所占的百分比是：d10.050.210.340.120.030.2525%，
36、 扇形统计图补充完整如图： ； （3）估计该企业上月参加健身锻炼超过 10 次的员工有 1500（0.34+0.25+0.12+0.03）1110（人） 答：估计该企业上月参加健身锻炼超过 10 次的员工有 1110 人 24 （8 分）如图，已知锐角ABC 中，ACBC （1）请在图 1 中用无刻度的直尺和圆规作图：作ACB 的平分线 CD；作ABC 的外接圆O； （不写 作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 AB，O 的半径为 5，则 sinB （如需画草图，请使用图 2） 【分析】 （1）利用尺规作出ACB 的角平分线 CD，作线段 AC 的垂直平分线交 CD 于点 O，以
37、O 为圆 心，OC 为半径作O 即可 （2）连接 OA，设射线 CD 交 AB 于 E利用勾股定理求出 OE，EC，再利用勾股定理求出 BC，可得结 论 【解答】解： （1）如图，射线 CD，O 即为所求 （2）连接 OA，设射线 CD 交 AB 于 E CACB，CD 平分ACB， CDAB，AEEB， OE， CEOC+OE5+， ACBC8， sinB 故答案为： 25 （8 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 是O 的直径，AC 与 BD 交于点 E，PB 切O 于点 B （1）求证：PBAOBC； （2）若PBA20，ACD40，求证：OABCDE 【分析】 （1）根据圆周角
38、定理和切线的性质证得ACB+BACPBC+ABO90，结合等腰三角 形的性质即可证得结论； （2）由三角形外角的性质求出AOBACB+OBC40，得到 AOBACD，由圆周角的性质得 到CDEBAO，根据相似三角形的判定即可证得OABCDE 【解答】证明： （1）AC 是O 的直径， ABC90， ACB+BAC90， PB 切O 于点 B， PBA+ABO90， OAOBOC， BAOABO，OBCACB， OBC+ABOPBC+ABO90， PBAOBC； （2）由（1）知，PBAOBCACB， PBA20， OBCACB20， AOBACB+OBC20+2040， ACD40， AOBA
39、CD， ， CDECDBBACBAO， OABCDE 26 （8 分）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知 识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品现有经费 1275 元用于购买奖品，且经 费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为 4：3当用 600 元购买一等奖奖品时，共可 购买一、二等奖奖品 25 件 （1）求一、二等奖奖品的单价； （2）若购买一等奖奖品的数量不少于 4 件且不超过 10 件，则共有哪几种购买方式？ 【分析】 （1）设一等奖奖品单价为 4x 元，则二等奖奖品单价为 3x 元，根据数量总价单价，即可得
40、 出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出 x 的值，再将其代入 4x，3x 中即可求出结论； （2）设购买一等奖奖品 m 件，二等奖奖品 n 件，利用总价单价数量，即可得出关于 m，n 的二元一 次方程，结合 m，n 均为正整数且 4m10，即可得出各购买方案 【解答】解： （1）设一等奖奖品单价为 4x 元，则二等奖奖品单价为 3x 元， 依题意得：+25， 解得：x15， 经检验，x15 是原方程的解，且符合题意， 4x60，3x45 答：一等奖奖品单价为 60 元，二等奖奖品单价为 45 元 （2）设购买一等奖奖品 m 件，二等奖奖品 n 件， 依题意得：60m+45n1275，
41、n m，n 均为正整数，且 4m10， 或或， 共有 3 种购买方案， 方案 1：购买 4 件一等奖奖品，23 件二等奖奖品； 方案 2：购买 7 件一等奖奖品，19 件二等奖奖品； 方案 3：购买 10 件一等奖奖品，15 件二等奖奖品 27 （10 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 yx+3 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，二次 函数 yax2+2x+c 的图象过 B、C 两点，且与 x 轴交于另一点 A，点 M 为线段 OB 上的一个动点，过点 M 作直线 l 平行于 y 轴交 BC 于点 F，交二次函数 yax2+2x+c 的图象于点 E （1）求二次函数的表达
42、式； （2）当以 C、E、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，求线段 EF 的长度； （3）已知点 N 是 y 轴上的点，若点 N、F 关于直线 EC 对称，求点 N 的坐标 【分析】（1） 由 yx+3 得 B （3， 0） ， C （0， 3） ， 代入 yax2+2x+c 即得二次函数的表达式为 yx2+2x+3； （2） 由 yx2+2x+3 得 A （1， 0） ， OBOC， AB4， BC3， 故ABCMFBCFE45， 以 C、 E、 F 为顶点的三角形与ABC 相似， B 和 F 为对应点， 设 E （m， m2+2m+3） ， 则 F （m， m+3） ， EFm2+3m，
43、CFm，ABCCFE 时，可得 EF，ABCEFC 时， ，可得 EF； （3）连接 NE，由点 N、F 关于直线 EC 对称，可得 CFEFCN，故m2+3mm，解得 m0（舍 去）或 m3，即得 CNCFm32，N（0，3+1） 【解答】解： （1）在 yx+3 中，令 x0 得 y3，令 y0 得 x3， B（3，0） ，C（0，3） ， 把 B（3，0） ，C（0，3）代入 yax2+2x+c 得： ，解得， 二次函数的表达式为 yx2+2x+3； （2）如图： 在 yx2+2x+3 中，令 y0 得 x3 或 x1， A（1，0） ， B（3，0） ，C（0，3） ， OBOC，AB
44、4，BC3， ABCMFBCFE45， 以 C、E、F 为顶点的三角形与ABC 相似，B 和 F 为对应点， 设 E（m，m2+2m+3） ，则 F（m，m+3） ， EF（m2+2m+3）（m+3）m2+3m，CFm， ABCCFE 时， ， 解得 m或 m0（舍去） ， EF， ABCEFC 时， ， 解得 m0（舍去）或 m， EF， 综上所述，EF或 （3）连接 NE，如图： 点 N、F 关于直线 EC 对称， NCEFCE，CFCN， EFy 轴， NCECEF， FCECEF， CFEFCN， 由（2）知： 设 E（m，m2+2m+3） ，则 F（m，m+3） ，EF（m2+2m+
45、3）（m+3）m2+3m，CF m， m2+3mm，解得 m0（舍去）或 m3， CNCFm32， N（0，3+1） 28 （10 分）已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，点 E 是射线 BC 上的动点，以 AE 为直角边在直线 BC 的上方作等腰直角三角形 AEF，AEF90，设 BEm （1）如图，若点 E 在线段 BC 上运动，EF 交 CD 于点 P，AF 交 CD 于点 Q，连结 CF， 当 m时，求线段 CF 的长； 在PQE 中，设边 QE 上的高为 h，请用含 m 的代数式表示 h，并求 h 的最大值； （2）设过 BC 的中点且垂直于 BC 的直线被等腰直角三角形
46、AEF 截得的线段长为 y，请直接写出 y 与 m 的关系式 【分析】 （1）过 F 作 FGBC 于 G，连接 CF，先证明ABEEGF，可得 FGBE，EGAB BC，则 EGECBCEC，即 CGBE，再在 RtCGF 中，即可求 CF； ABE 绕 A 逆时针旋转 90，得ADE，过 P 作 PHEQ 于 H，由ABEADE，BADE 90，BAEDAE，AEBE，AEAE，BEDE，可得 C、D、E共线，由EAQEAQ， 可得EAEQ，故AEBAEQ，从而QEP90AEQ90AEBCEP，即 EF 是 QEC 的平分线，有 PHPC，用ABEECP，可求 CPm（1m） ，即可得 h
47、m2+m； （2）分两种情况：当 m时，由ABEECP，可求 HGm2+m，根据 MGCD，G 为 BC 中点，可得 MNDQ，设 DQx，则 EQx+m，CQ1x，RtEQC 中，EC2+CQ2EQ2，可得 MN ，故 yNHMGHGMN1m+m2， 当 m时， 由 MGAB， 可得 HG， 同可得 MNDQ， 即可得 y， 【解答】解： （1）过 F 作 FGBC 于 G，连接 CF，如图： 四边形 ABCD 是正方形，AEF90， BAE90AEBEFG，BG90， 等腰直角三角形 AEF， AEEF， 在ABE 和EGF 中， ， ABEEGF（AAS） ， FGBE，EGABBC， EGECBCEC，即 CGBE， 在 RtCGF 中，CF； ABE 绕 A 逆时针旋转 90，得ADE，过 P 作 PHEQ 于 H，如图： ABE 绕 A 逆时针旋转 90，得ADE， ABEADE，BADE90，BAEDAE，AEBE，AEAE，BEDE， ADC+ADE180， C、D、E共线， BAE+EAD90， DAE+EAD90， EAF45， EAFEAF45， 在EAQ 和EAQ 中， ， EAQEAQ（SAS） ， EAEQ，E
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