1、2021 年湖北省鄂州市中考数学试卷年湖北省鄂州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 1实数 6 的相反数等于（ ） A6 B6 C6 D 2下列运算正确的是（ ） Aa2aa3 B5a4a1 Ca6a3a2 D （2a）36a3 3 “国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉下列四个汉字中是轴对称图形的是（ ） A B C D 4下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ） A B C D 5 已知锐角AOB40， 如图， 按下列步骤作图： 在 OA 边取一点 D， 以 O 为圆心， OD 长为
2、半径画， 交 OB 于点 C，连接 CD以 D 为圆心，DO 长为半径画，交 OB 于点 E，连接 DE则CDE 的度 数为（ ） A20 B30 C40 D50 6已知 a1为实数，规定运算：a21，a31，a41，a51，an1按 上述方法计算：当 a13 时，a2021的值等于（ ） A B C D 7 数形结合是解决数学问题常用的思想方法 如图， 直线 y2x1 与直线 ykx+b （k0） 相交于点 P （2， 3） 根据图象可知，关于 x 的不等式 2x1kx+b 的解集是（ ） Ax2 Bx3 Cx2 Dx3 8筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用
3、图画描绘了筒车的工 作原理，如图 1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O 为圆心的圆，如图 2已知圆心 O 在水面上方，且 O 被水面截得的弦 AB 长为 6 米，O 半径长为 4 米若点 C 为运行轨道的最低点，则点 C 到弦 AB 所在直线的距离是（ ） A1 米 B （4）米 C2 米 D （4+）米 9二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象的一部分如图所示已知图象经过点（1，0） ，其对称轴为直线 x1下列结论： abc0； 4a+2b+c0； 8a+c0； 若抛物线经过点（3，n） ，则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cn0（a0）的两根分别为3，5 上述结论中正确结论的个数
4、为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10 如图， RtABC 中， ACB90， AC2， BC3 点 P 为ABC 内一点， 且满足 PA2+PC2AC2 当 PB 的长度最小时，ACP 的面积是（ ） A3 B3 C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 18 分）分） 11计算： 12 “最美鄂州，从我做起” “五四”青年节当天，马桥村青年志愿小组到胡林社区参加美化社区活动6 名志愿者参加劳动的时间（单位：小时）分别为：3，2，2，3，1，2这组数据的中位数是 13 已知实数 a、 b 满足+|b+3|0， 若关于
5、 x 的一元二次方程 x2ax+b0 的两个实数根分别为 x1、 x2， 则+ 14如图，在平面直角坐标系中，点 C 的坐标为（1，0） ，点 A 的坐标为（3，3） ，将点 A 绕点 C 顺时 针旋转 90得到点 B，则点 B 的坐标为 15如图，点 A 是反比例函数 y（x0）的图象上一点，过点 A 作 ACx 轴于点 C，AC 交反比例函 数 y（x0）的图象于点 B，点 P 是 y 轴正半轴上一点若PAB 的面积为 2，则 k 的值为 16如图，四边形 ABDC 中，ACBC，ACB90，ADBD 于点 D若 BD2，CD4，则线段 AB 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题
6、共 8 小题，小题，1721 题每题题每题 8 分，分，2223 题每题题每题 10 分，分，24 题题 12 分，共计分，共计 72 分）分） 17 （8 分）先化简，再求值：+，其中 x2 18 （8 分） 为了引导青少年学党史、 颂党恩、 跟党走， 某中学举行了 “献礼建党百年” 党史知识竞赛活动 胡 老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分 100 分，且得分 x 均 为不小于 60 的整数） ，并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格（60 x70） 、合格（70 x80） 、良 好（80 x90） 、优秀（90 x100） ，制作了如下统计图（部分信息未
7、给出） ： 根据图中提供的信息解决下列问题： （1）胡老师共抽取了 名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形 圆心角度数为 ，请补全条形统计图 （2）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形 图的方法求甲学生被选到的概率 19 （8 分）如图，在ABCD 中，点 E、F 分别在边 AD、BC 上，且ABECDF （1）探究四边形 BEDF 的形状，并说明理由； （2）连接 AC，分别交 BE、DF 于点 G、H，连接 BD 交 AC 于点 O若，AE4，求 BC 的长 20 （8 分） 在全民健身运动中， 骑行运动颇受市民青
8、睐 一市民骑自行车由 A 地出发， 途经 B 地去往 C 地， 如图当他由 A 地出发时，发现他的北偏东 45方向有一信号发射塔 P他由 A 地沿正东方向骑行 4 km 到达 B 地，此时发现信号塔 P 在他的北偏东 15方向，然后他由 B 地沿北偏东 75方向骑行 12km 到达 C 地 （1）求 A 地与信号发射塔 P 之间的距离； （2）求 C 地与信号发射塔 P 之间的距离 （计算结果保留根号） 21 （8 分）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年 发放种植补贴 120 元张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物考虑各种因素，预计明年
9、 每亩土地种植该作物的成本 y （元） 与种植面积 x （亩） 之间满足一次函数关系， 且当 x160 时， y840； 当 x190 时，y960 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式（不求自变量的取值范围） ； （2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过 240 亩若老张明年销售该作物每亩的销售额能 达到 2160 元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？ （每亩种植利润每亩销售额每亩种植成本+每亩种植补贴） 22 （10 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，O 为 BC 边上一点，以 O 为圆心，OB 长为半径的O 与 AC 边相切于点 D
10、，交 BC 于点 E （1）求证：ABAD； （2）连接 DE，若 tanEDC，DE2，求线段 EC 的长 23 （10 分）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的 算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题 猜想发现 由 5+5210； +2； 0.4+0.420.8； +522； 0.2+3.2 21.6；+2 猜想：如果 a0，b0，那么存在 a+b2（当且仅当 ab 时等号成立） 猜想证明 （）20， 当且仅当0，即 ab 时，a2+b0，a+b2； 当0，即 ab 时，a2+b0，a+b2 综合上述可得：若 a0，
11、b0，则 a+b2成立（当且仅当 ab 时等号成立） 猜想运用 对于函数 yx+（x0） ，当 x 取何值时，函数 y 的值最小？最小值是多少？ 变式探究 对于函数 y+x（x3） ，当 x 取何值时，函数 y 的值最小？最小值是多少？ 拓展应用 疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙 （墙的长度不限） ，用 63 米长的钢丝网围成了 9 间相同的长方形隔离房，如图设每间离房的面积为 S （米 2） 问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 S 最大？最大面积是多少？ 24 （12 分）如图，直线 yx+6 与 x 轴交于点 B，
12、与 y 轴交于点 A，点 P 为线段 AB 的中点，点 Q 是线 段 OA 上一动点（不与点 O、A 重合） （1）请直接写出点 A、点 B、点 P 的坐标； （2） 连接 PQ， 在第一象限内将OPQ 沿 PQ 翻折得到EPQ， 点 O 的对应点为点 E 若OQE90， 求线段 AQ 的长； （3）在（2）的条件下，设抛物线 yax22a2x+a3+a+1（a0）的顶点为点 C 若点 C 在PQE 内部（不包括边） ，求 a 的取值范围； 在平面直角坐标系内是否存在点 C，使|CQCE|最大？若存在，请直接写出点 C 的坐标；若不存在， 请说明理由 2021 年湖北省鄂州市中考数学试卷年湖北
13、省鄂州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 1实数 6 的相反数等于（ ） A6 B6 C6 D 【分析】直接利用相反数的定义得出答案 【解答】解：实数 6 的相反数是：6 故选：A 2下列运算正确的是（ ） Aa2aa3 B5a4a1 Ca6a3a2 D （2a）36a3 【分析】直接利用合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、除法运算法则计 算得出答案 【解答】解：A、a2aa3，故此选项符合题意； B、5a4aa，故此选项不合题意； C、a6
14、a3a3，故此选项不合题意； D、 （2a）38a3，故此选项不合题意 故选：A 3 “国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉下列四个汉字中是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形 叫做轴对称图形，据此判断即可 【解答】解：A不是轴对称图形，故此选项不合题意； B是轴对称图形，故此选项符合题意； C不是轴对称图形，故此选项不合题意； D不是轴对称图形，故此选项不合题意 故选：B 4下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ） A B C D 【分析】根据主视图的定义即可直接选出答案 【解答】解：
15、正方体的主视图是正方形， 故 A 选项不合题意， 圆柱的主视图是长方形， 故 B 选项不合题意， 圆锥的主视图是三角形， 故 C 选项符合题意， 球的主视图是圆， 故 D 选项不合题意， 故选：C 5 已知锐角AOB40， 如图， 按下列步骤作图： 在 OA 边取一点 D， 以 O 为圆心， OD 长为半径画， 交 OB 于点 C，连接 CD以 D 为圆心，DO 长为半径画，交 OB 于点 E，连接 DE则CDE 的度 数为（ ） A20 B30 C40 D50 【分析】由作法得 ODOC，DODE，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出OCDODC 70，DEODOE40，然后利用三角形外
16、角性质计算CDE 的度数 【解答】解：由作法得 ODOC，DODE， ODOC， OCDODC（180COD）（18040）70， DODE， DEODOE40， OCDCDE+DEC， CDE704030 故选：B 6已知 a1为实数，规定运算：a21，a31，a41，a51，an1按 上述方法计算：当 a13 时，a2021的值等于（ ） A B C D 【分析】化简前几个数，得到 an以三个数为一组，不断循环，因为 20213673.2，所以 a2021a2， 再代数求值即可 【解答】解：a1a1， a21， a311， a41（1a1）a1， an以三个数为一组，不断循环， 20213
17、673.2， a202111， 故选：D 7 数形结合是解决数学问题常用的思想方法 如图， 直线 y2x1 与直线 ykx+b （k0） 相交于点 P （2， 3） 根据图象可知，关于 x 的不等式 2x1kx+b 的解集是（ ） Ax2 Bx3 Cx2 Dx3 【分析】以两函数图象交点为分界，直线 ykx+b（k0）在直线 y2x1 的下方时，x2 【解答】解：根据图象可得：不等式 2x1kx+b 的解集为：x2， 故选：C 8筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工 作原理，如图 1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O 为圆心的圆，如图 2已知圆心
18、 O 在水面上方，且 O 被水面截得的弦 AB 长为 6 米，O 半径长为 4 米若点 C 为运行轨道的最低点，则点 C 到弦 AB 所在直线的距离是（ ） A1 米 B （4）米 C2 米 D （4+）米 【分析】连接 OC 交 AB 于 D，连接 OA，根据垂径定理得到 ADAB，根据勾股定理求出 OD，结合图 形计算，得到答案 【解答】解：连接 OC 交 AB 于 D，连接 OA， 点 C 为运行轨道的最低点， OCAB， ADAB3（米） ， 在 RtOAD 中，OD（米） ， 点 C 到弦 AB 所在直线的距离 CDOCOD（4）米， 故选：B 9二次函数 yax2+bx+c（a0）
19、的图象的一部分如图所示已知图象经过点（1，0） ，其对称轴为直线 x1下列结论： abc0； 4a+2b+c0； 8a+c0； 若抛物线经过点（3，n） ，则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cn0（a0）的两根分别为3，5 上述结论中正确结论的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由已知条件得出：a0，c0，ab+c0，利用上述条件进行适当变形，再结合二 次函数图象的性质对每个结论进行逐一分析，得出正确选项 【解答】解：抛物线的开口向下， a0 抛物线与 y 轴的正半轴相交， c0 抛物线的对称轴为直线 x1， ， b2a，b0 抛物线经过点（1，0） ， ab
20、+c0 a0，b0，c0， abc0 故正确； b2a， 4a+2b+c4a+2（2a）+c4a4a+cc0 故错误； ab+c0， a（2a）+c0，即 3a+c0 8a+c3a+c+5a5a0 故正确； 抛物线经过点（3，n） ，其对称轴为直线 x1， 根据对称性，抛物线必经过点（5，n） ， 当 yn 时，x3 或 5 yax2+bx+c（a0） ， 当 ax2+bx+cn（a0）时，x3 或 5 即关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cn0（a0）的两根分别为3，5 故正确； 综上，正确的结论有： 故选：C 10 如图， RtABC 中， ACB90， AC2， BC3 点 P 为
21、ABC 内一点， 且满足 PA2+PC2AC2 当 PB 的长度最小时，ACP 的面积是（ ） A3 B3 C D 【分析】取 AC 中点 O，连接 OP，BO，由勾股定理的逆定理可求APC90，可得点 P 在以 AC 为直 径的圆上运动，由三角形的三边关系可得 BPBOOP，当点 P 在线段 BO 上时，BP 有最小值，由锐角 三角函数可求BOC60，即可求解 【解答】解：取 AC 中点 O，连接 OP，BO， PA2+PC2AC2， APC90， 点 P 在以 AC 为直径的圆上运动， 在BPO 中，BPBOOP， 当点 P 在线段 BO 上时，BP 有最小值， 点 O 是 AC 的中点，
22、APC90， POAOCO， tanBOC， BOC60， COP 是等边三角形， SCOPOC23， OAOC， ACP 的面积2SCOP， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 18 分）分） 11计算： 3 【分析】根据算术平方根的定义求出即可 【解答】解：3 故答案为：3 12 “最美鄂州，从我做起” “五四”青年节当天，马桥村青年志愿小组到胡林社区参加美化社区活动6 名志愿者参加劳动的时间（单位：小时）分别为：3，2，2，3，1，2这组数据的中位数是 2 【分析】根据中位数的定义求解可得 【解答】解：将数据重新排列为：
23、1，2，2，2，3，3， 所以这组数据的中位数为2， 故答案为：2 13 已知实数 a、 b 满足+|b+3|0， 若关于 x 的一元二次方程 x2ax+b0 的两个实数根分别为 x1、 x2， 则+ 【分析】根据非负数的性质得出 a2，b3，根据根与系数的关系可得 x1+x22，x1x23，将+ 变形为，整体代入即可求得 【解答】解：实数 a、b 满足+|b+3|0， a2，b3， 关于 x 的一元二次方程 x2ax+b0 的两个实数根分别为 x1、x2， x1+x2a2，x1x2b3， +， 故答案为： 14如图，在平面直角坐标系中，点 C 的坐标为（1，0） ，点 A 的坐标为（3，3）
24、 ，将点 A 绕点 C 顺时 针旋转 90得到点 B，则点 B 的坐标为 （2，2） 【分析】 如图， 过点 A 作 AEx 轴于 E， 过点 B 作 BFx 轴于 F 利用全等三角形的性质解决问题即可 【解答】解：如图，过点 A 作 AEx 轴于 E，过点 B 作 BFx 轴于 F AECACBCFB90， ACE+BCF90，BCF+B90， ACEB， 在AEC 和CFB 中， ， AECCFB（AAS） ， AECF，ECBF， A（3，3） ，C（1，0） ， AECF3，OC1，ECBF2， OFCFOC2， B（2，2） ， 故答案为： （2，2） 15如图，点 A 是反比例函数
25、 y（x0）的图象上一点，过点 A 作 ACx 轴于点 C，AC 交反比例函 数 y（x0）的图象于点 B，点 P 是 y 轴正半轴上一点若PAB 的面积为 2，则 k 的值为 8 【分析】连接 OA、OB，由反比例函数系数 k 的几何意义可得 SAOC6，SBOC，又 SAOBSAPB 2，所以 SAOCSBOC2，代入计算即可得出 k 的值 【解答】 解：连接 OA、OB， ACx 轴， ACy 轴， SAOBSAPB， SAPB2， SAOB2， 由反比例函数系数 k 的几何意义可得： SAOC6，SBOC， 62， 解得：k8， 故答案为 8 16如图，四边形 ABDC 中，ACBC，
26、ACB90，ADBD 于点 D若 BD2，CD4，则线段 AB 的长为 2 【分析】 过点 C 作 CECD 交 AD 于 E， 判断出ACEBCD， 进而利用 SAS 判断出ACEBCD， 得出 AEBD2，CECD，进而利用勾股定理求出 DE8，即 AD10，最后用勾股定理即可得出结 论 【解答】解：如图，过点 C 作 CECD 交 AD 于 E， ECD90， ACB90， ACBECD， ACBBCEECDBCE， ACEBCD， ACBC， BC 与 AD 的交点记作点 F， ACB90， AFC+CAE90， AFCDFB， DFB+CAE90， ADB90， DFB+CBD90，
27、 CAECBD， ACEBCD（ASA） ， AEBD，CECD， 在 RtDCE 中，CECD4， DECD8， BD2， AE2， ADAE+DE2+810， 在 RtABD 中，根据勾股定理得，AB2， 故答案为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，小题，1721 题每题题每题 8 分，分，2223 题每题题每题 10 分，分，24 题题 12 分，共计分，共计 72 分）分） 17 （8 分）先化简，再求值：+，其中 x2 【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将 x 值代入原式即可求出答案 【解答】解：原式， 当 x2 时，原式 18 （8 分） 为了引导青少年学党
28、史、 颂党恩、 跟党走， 某中学举行了 “献礼建党百年” 党史知识竞赛活动 胡 老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分 100 分，且得分 x 均 为不小于 60 的整数） ，并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格（60 x70） 、合格（70 x80） 、良 好（80 x90） 、优秀（90 x100） ，制作了如下统计图（部分信息未给出） ： 根据图中提供的信息解决下列问题： （1）胡老师共抽取了 40 名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形 圆心角度数为 36 ，请补全条形统计图 （2）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任
29、选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形 图的方法求甲学生被选到的概率 【分析】 （1）由“良好”的学生人数除以所占百分比求出胡老师共抽取的学生人数，即可解决问题； （2）画树状图，共有 12 种等可能的结果，甲学生被选到的结果有 6 种，再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）胡老师共抽取的学生人数为：2050%40（名） ， 则扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为：36036， “合格”的学生人数为：40420412（名） ， 故答案为：40，36， 补全条形统计图如下： （2）画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，甲学生被选到的结果有 6 种， 甲学生被选到的概率
30、为 19 （8 分）如图，在ABCD 中，点 E、F 分别在边 AD、BC 上，且ABECDF （1）探究四边形 BEDF 的形状，并说明理由； （2）连接 AC，分别交 BE、DF 于点 G、H，连接 BD 交 AC 于点 O若，AE4，求 BC 的长 【分析】（1） 利用ABECDF 以及平行四边形的性质， 求证 BEDF， ADBC 即可判断四边形 BEDF 的形状； （2）设 AG2a，通过已知条件即可推出的值，再通过求证AGECGB，利用相似比即可求出 BC 的长 【解答】解： （1）四边形 BEDF 为平行四边形，理由如下： 四边形 ABCD 为平行四边形， ABCADC， ABE
31、CDF， EBFEDF， 四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC， EDFDFCEBF， BEDF， ADBC， 四边形 BEDF 为平行四边形； （2）设 AG2a， OG3a，AO5a， 四边形 ABCD 为平行四边形， AOCO5a，AC10a，CG8a， ADBC， AGECGB， ， AE4， BC16 20 （8 分） 在全民健身运动中， 骑行运动颇受市民青睐 一市民骑自行车由 A 地出发， 途经 B 地去往 C 地， 如图当他由 A 地出发时，发现他的北偏东 45方向有一信号发射塔 P他由 A 地沿正东方向骑行 4 km 到达 B 地，此时发现信号塔 P 在他的北偏东 15方
32、向，然后他由 B 地沿北偏东 75方向骑行 12km 到达 C 地 （1）求 A 地与信号发射塔 P 之间的距离； （2）求 C 地与信号发射塔 P 之间的距离 （计算结果保留根号） 【分析】 （1）根据题意得到PAB45，PBG15，GBC75，过点 B 作 BDAP 于 D 点， 求得 ADBD4，得到PBD60，由 BD4，求得，于是得到结论； （2） 过点P作PEBC于E， 根据PBG15， GBC75， 求得PBE60， 得到BE4， 根据 BC12，于是得到结论 【解答】解： （1）依题意知：PAB45，PBG15，GBC75， 过点 B 作 BDAP 于 D 点， DAB45，
33、ADBD4， ABDGBD45，GBP15， PBD60， BD4， ， PA（4+4） （km） ； （2）PBD60，BD4， PB8， 过点 P 作 PEBC 于 E， PBG15，GBC75， PBE60， PB8， BE4， BC12， CE8， PC4（km） 21 （8 分）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年 发放种植补贴 120 元张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物考虑各种因素，预计明年 每亩土地种植该作物的成本 y （元） 与种植面积 x （亩） 之间满足一次函数关系， 且当 x160 时， y840； 当 x190
34、 时，y960 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式（不求自变量的取值范围） ； （2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过 240 亩若老张明年销售该作物每亩的销售额能 达到 2160 元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？ （每亩种植利润每亩销售额每亩种植成本+每亩种植补贴） 【分析】 （1）根据已知条件用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据题意写出利润关于种植面积的解析式，然后根据 x240，根据二次函数的性质求出利润的最 大值 【解答】解： （1）设 y 与 x 之间的函数关系式 ykx+b（k0） ， 依题意得：， 解得：， y
35、与 x 之间的函数关系式为 y4x+200； （2）设老张明年种植该作物的总利润为 W 元， 依题意得：W2160（4x+200）+120 x4x2+2080 x4（x260）2+270400， 40， 当 x260 时，W 随 x 的增大而增大， 由题意知：x240， 当 x240 时，W 最大，最大值为4（240260）2+270400268800（元） ， 答：种植面积为 240 亩时总利润最大，最大利润 268800 元 22 （10 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，O 为 BC 边上一点，以 O 为圆心，OB 长为半径的O 与 AC 边相切于点 D，交 BC 于点 E （1
36、）求证：ABAD； （2）连接 DE，若 tanEDC，DE2，求线段 EC 的长 【分析】 （1）根据题意先得出 AB 切O 于点 D，O 与 AC 边相切于点 D，根据切线长定理即可得出 ABAD； （2）根据题意作出辅助线 BD，根据角之间的互余关系推出EBDEDC，再根据正切函数的定义以 及相似三角形的性质推出各边之间的关系，列出方程求解即可 【解答】 （1）证明：ABC90， ABOB， 又AB 经过半径O 的外端点 B， AB 切O 于点 D， 又O 与 AC 边相切于点 D， ABAD （2）解：如图， 连接 BD， BE 为O 的直径， BDE90， CDE+ADB90， 又A
37、BAD， ADBABD， CDE+ABD90， ABC90， ABD+EBD90， EBDEDC， 又， ， 即， DE2， BD4， 又CC，EBDEDC， CDECBD， ， 设 CEx，则 DC2x， ， x10（舍去） ， 即线段 EC 的长为 23 （10 分）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的 算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题 猜想发现 由 5+5210； +2； 0.4+0.420.8； +522； 0.2+3.2 21.6；+2 猜想：如果 a0，b0，那么存在 a+b2（当且仅当 ab 时等号成
38、立） 猜想证明 （）20， 当且仅当0，即 ab 时，a2+b0，a+b2； 当0，即 ab 时，a2+b0，a+b2 综合上述可得：若 a0，b0，则 a+b2成立（当且仅当 ab 时等号成立） 猜想运用 对于函数 yx+（x0） ，当 x 取何值时，函数 y 的值最小？最小值是多少？ 变式探究 对于函数 y+x（x3） ，当 x 取何值时，函数 y 的值最小？最小值是多少？ 拓展应用 疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙 （墙的长度不限） ，用 63 米长的钢丝网围成了 9 间相同的长方形隔离房，如图设每间离房的面积为 S （米 2） 问
39、：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 S 最大？最大面积是多少？ 【分析】猜想运用：将 x 和分别看成猜想发现中的 a 和 b，即可求出答案； 变式探究：将函数 y变形为：y，然后结合猜想运用的结论解题； 拓展应用：设隔离房间的长和宽分别为 x、y，结合周长为 63 列出一个方程，结合面积和“若 a0，b 0，则 a+b2成立（当且仅当 ab 时等号成立） ”求出最大面积 S 和对应的 x、y 【解答】解： 猜想运用：x0， ， y2， 当 x时，ymin2， 此时 x21， 只取 x1， 即 x1 时，函数 y 的最小值为 2 变式探究： x3， x30， y5， 当时，ym
40、in5， 此时（x3）21， x14，x22（舍去） 即 x4 时，函数 y 的最小值为 5 拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为 x 米，与墙垂直的边为 y 米，由题意得：9x+12y63， 即：3x+4y21， 3x0，4y0 3x+4y2， 即：212， 整理得：xy， 即：S， 当 3x4y 时 此时 x，y， 即每间隔离房长为米，宽为米时，S 的最大值为 24 （12 分）如图，直线 yx+6 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 A，点 P 为线段 AB 的中点，点 Q 是线 段 OA 上一动点（不与点 O、A 重合） （1）请直接写出点 A、点 B、点 P 的坐标； （2） 连
41、接 PQ， 在第一象限内将OPQ 沿 PQ 翻折得到EPQ， 点 O 的对应点为点 E 若OQE90， 求线段 AQ 的长； （3）在（2）的条件下，设抛物线 yax22a2x+a3+a+1（a0）的顶点为点 C 若点 C 在PQE 内部（不包括边） ，求 a 的取值范围； 在平面直角坐标系内是否存在点 C，使|CQCE|最大？若存在，请直接写出点 C 的坐标；若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）先求出点 A，点 B 坐标，由中点坐标公式可求点 P 坐标； （2） 过点 P 作 PFOA 于 F， 由折叠的性质可得， 可得 QFPF2， 即可求解； （3）先求出顶点 C 的坐标为（a，a+
42、1） ，可得点 C 是直线 yx+1（x0）上一点，即可求解； 作点 E 关于直线 yx+1 的对称点 E（4，6） ，连接 QE交直线 yx+1 于点 C，此时|CQCE|最大，利 用待定系数法求出 QC 的解析式，联立方程组可求解 【解答】解： （1）直线 yx+6 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 A， 点 A（0，6） ，点 B（4，0） ， 点 P 是线段 AB 中点， 点 P（2，3） ； （2）过点 P 作 PFOA 于 F， 将OPQ 沿 PQ 翻折得到EPQ，OQE90， ，OQQE， QFPF， 点 P（2，3） ， QFPF2，OF3， OQ5， 点 A（0，6）
43、， AO6， AQ651， 即 AQ 的长为 1； （3）ya（x22ax+a2）+a+1a（xa）2+a+1， 顶点 C 的坐标为（a，a+1） ， 点 C 是直线 yx+1（x0）上一点， OQE90，OQ5， 当 y5 时，x4， 又点 P（2，3）在直线 yx+1 上， 当点 C 在PQE 内部（不含边）时，a 的取值范围是 2a4； 存在点 C 使|CQCE|最大， 理由如下：OQQE5，OQE90， 点 E（5，5） ， 如图 3，作点 E 关于直线 yx+1 的对称点 E（4，6） ，连接 QE交直线 yx+1 于点 C，此时|CQCE|最 大， 设直线 QC 的解析式为 ykx+5， 64k+5， k， 直线 QC 的解析式为 yx+5， 联立方程组可得， 解得：， 点 C 坐标为
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