1、2021 年辽宁省本溪市中考数学试卷年辽宁省本溪市中考数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 1. 5 的相反数是( ) A. 1 5 B. 1 5 C. 5 D. -5 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义解答即可. 【详解】-5 的相反数是 5 故选 C 【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键. 2. 下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条
2、线段呈现出来的，这些图案中既是 中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形及轴对称图形的概念即可解答 【详解】选项 A，是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； 选项 B，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 选项 C，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 选项 D，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意 故选 A 【点睛】本题考查了中心对称图形及轴对称图形的概念，熟练运用中心对称图形及轴对称图形的概念是解 决问题的关键 3. 下列运算正确的是（ ） A. 22 2xxx B. 3 226 ()xyx y
3、C. 632 xxx D. 23 xxx 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则及合并同类项法则逐一计算 即可得答案 【详解】选项 A，根据同底数幂乘法法则可得 23 xxx，选项 A 错误； 选项 B，根据积的乘方的运算法则可得 3 226 ()xyx y，选项 B 正确； 选项 C，根据同底数幂的的除法法则可得 633 xxx，选项 C错误； 选项 D， 2 x与 x 不是同类项，不能合并，选项 D错误 故选 B 【点睛】本题考查了同底数幂乘法法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则及合并同类项法则， 熟练运用法则是解决问题的关键 4
4、. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出从左面看到的图形即可 【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示： ， 故选：D 【点睛】本题考查三视图，具备空间想象能力是解题的关键，注意看不见的线要用虚线画出 5. 如表是有关企业和世界卫生组织统计的 5种新冠疫苗的有效率， 则这 5 种疫苗有效率的中位数是 （ ） 疫苗名称 克尔来福 阿斯利康 莫德纳 辉瑞 卫星 V 有效率 79% 76% 95% 95% 92% A. 79% B. 92% C. 95% D. 76% 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位
5、数的定义，对 5 种新冠疫苗的有效率从小到大（或从大到小）进行排序，取中间（第三 个）的有效率即可 【详解】解：根据中位数的定义，将 5种新冠疫苗的有效率从小到大进行排序，如下： 76%，79%，92%，95%，95% 数据个数为 5，奇数个，处于中间的数为第三个数，为 92% 故答案为 B 【点睛】此题考查了中位数的定义，求中位数之前不要忘记对原数据进行排序是解决本题的关键 6. 反比例函数 k y x 的图象分别位于第二、四象限，则直线ykxk不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先根据反比例函数 y= k x
6、的图象在第二、四象限内判断出 k 的符号，再由一次函数的性质即可得出 结论 【详解】解：反比例函数 y= k x 的图象在第二、四象限内， k0， 一次函数 y=kx+k 的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限 故选：A 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质和一次函数的性质，注意：反比例函数 y= k x 中，当 k0，双曲线 的两支分别位于第二、第四象限 7. 如图为本溪、辽阳 6月 1 日至 5 日最低气温的折线统计图，由此可知本溪，辽阳两地这 5天最低气温波 动情况是（ ） A. 本溪波动大 B. 辽阳波动大 C. 本溪、辽阳波动一样 D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】分别
7、计算两组数据的方差，比较，即可判断 【详解】解：辽阳的平均数为： 16 14 13 13 13 13.8 5 ， 方差为： 222 1 1 (16 13.8) (14 13.8)313 13.8)1.36 5 S ， 本溪的平均数为： 15 13 12 12 12 12.8 5 ， 方差为： 222 2 1 (15 12.8) (13 12.8)312 12.8)1.36 5 S ， 12 SS， 本溪、辽阳波动一样， 故选：C 【点睛】 本题考查了方差， 正确理解方差的意义是解题的关键 方差是反映一组数据的波动大小的一个量 方 差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均
8、值的离散程度越小，稳定性越好 8. 一副三角板如图所示摆放，若1 80 ，则2的度数是（ ） A. 80 B. 95 C. 100 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的外角性质得到3=4=35 ，再根据三角形的外角性质求解即可 【详解】解：如图，A=90 -30 =60 ， 3=1-45 =80 -45 =35 ， 3=4=35 ， 2=A+4=60 +35 =95 ， 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键 9. 如图，在ABC中，ABBC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点 E，点 F为BC的 中点，连接EF，若2BEAC，则
9、CEF的周长为（ ） A. 31 B. 5 3 C. 51 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图可知BD平分ABC，ABBC，由三线合一，解RtBEC，即可求得 【详解】BD平分ABC,ABBC,2BEAC BEAC, 1 1 2 AEECAC 2222 215BCBEEC 点 F 为BC的中点 15 22 EFBCFC CEF 的周长为: 55 151 22 CEEFFC 故选 C 【点睛】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出BC边是解题 的关键 10. 如图，在矩形ABCD中，1BC ， 60ADB，动点 P 沿折线ADDB运动到点 B，同时
10、动点 Q 沿折线DBBC运动到点 C，点,P Q在矩形边上的运动速度为每秒 1个单位长度，点 P，Q在矩形对角 线上的运动速度为每秒 2个单位长度设运动时间为 t秒，PBQ的面积为 S，则下列图象能大致反映 S 与 t之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 结合运动状态分段讨论： 当点P在AD上， 点Q在BD上时，APt，2DQt， 过点P作PEBD， 通过解直角三角形求出 PE，表示出面积的函数表达式；当点 P 在 BD 上，点 Q 在 BC 上时， 22142BPtt，1BQt ，过点 P作PFBC，通过解直角三角形求出 PE，表示出面积的函数 表达
11、式，利用二次函数的性质即可得出结论 【详解】解：当点 P在 AD上，点 Q在 BD上时，APt，2DQt， 则1PDt ， 过点 P作PEBD， 60ADB， 3 sin60 2 PE PD ， 1 cos60 2 AD BD ， 3 1 2 PEt，2BD ， ， 22BQt ， PBQ的面积 2 133 301 222 SBQ PEttt ，为开口向上的二次函数； 当1t 时，点 P与点 D重合，点 Q 与点 B 重合，此时PBQ的面积0S ； 当点 P在 BD上，点 Q在 BC 上时， 22142BPtt ， 1BQt ， 过点 P作PFBC， 则 3 sin60 2 PF PB ，即
12、3 2 33 2 PFBPt， PBQ的面积 2 13 32 22 SBQ PFtt，为开口向下的二次函数； 故选：D 【点睛】本题考查动态问题的函数图象，根据运动状态写出函数解析式，利用二次函数的性质进行判断是 解题的关键 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11. 若2x在实数范围内有意义，则x的取值范围为_ 【答案】x2 【解析】 【分析】二次根式的被开方数大于等于零，据此解答 【详解】解：依题意得 2-x0 解得 x2 故答案为：x2 【点睛】考查了二次根式的意义和性质概念：式子a（a0）叫二次根式性质：二次根式中的
13、被开方 数必须是非负数，否则二次根式无意义 12. 分解因式： 2 242xx_ 【答案】 2 21x 【解析】 【分析】先提公因式 2，再利用完全平方公式分解即可 【详解】解： 2 22 24222121xxxxx， 故答案为： 2 21x 【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键 13. 有 5张看上去无差别的卡片，上面分别写着7 ，1，0， 3，2，从中随机抽取一张，则抽出卡片 上写的数是 3的概率为_ 【答案】 1 5 【解析】 【分析】利用概率公式即可求解 【详解】解：抽出卡片上写的数是 3的概率为 1 5 ， 故答案为： 1 5 【点睛】本题考查简单事件求概率，
14、掌握概率公式是解题的关键 14. 若关于 x的一元二次方程 2 320 xxk 有两个相等的实数根，则 k的值为_ 【答案】 1 3 【解析】 【分析】 根据关于 x一元二次方程 2 320 xxk 有两个相等的实数根， 得出关于 k的方程， 求解即可 【详解】关于 x的一元二次方程 2 320 xxk 有两个相等的实数根， = 2 24 3k =4+12k=0， 解得 k= 1 3 故答案为： 1 3 【点睛】本题考查了运用一元二次方程根的判别式，当0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 =0 时，一元二次方程有两个相等的实数根；当SBECS四边形CDQH ； 由折叠可得:GEC=DC
15、E，由 ABCD 可得BEC=DCE，结论成立； 连接 DH，MH，HE，由BECMEC，CMGCDG 可知：BCE=MCE,MCG=DCG，则 ECG=ECM+GCM= 1 2 BCD，由于 ECHP，则CHP=45，由折叠可得:EHP=CHP=45， 利用勾股定理可得 EG2-EH2=GH2，由 CMEG，EHCG，得到EMC=EHC=90，所以 E，M，H，C 四点共圆，通过CMHCDH，易证GHQGDH，则得 GH2=GQGD，从而说明成立 【详解】解：四边形 ABCD 是正方形, A=B=BCD=D=90由折叠可知: GEP=BCD=90，F=D=90 BEP+AEG=90， A=9
16、0 AEG+AGE=90， BEP=AGE， FGQ=AGE， BEP=FGQ， B=F=90， PBEQFG， 故说法正确，符合题意； 过点 C 作 CMEG于 M， 由折叠可得:GEC=DCE， ABCD， BEC=DCE，BEC=GEC， 在BEC和MEC 中， B=EMC=90，BEC=GEC， CE= CE BECMEC(AAS) CB=CM，SBEC=SMBC ， CG=CG， RtCMGRtCDG(HL)， SCMG=SCDG ， SCEG=SBEC+SCDGSBEC +S 四边形CDQH 说法不正确，不符合题意； 由折叠可得:GEC=DCE， ABCD， BEC=DCE， BE
17、C=GEC，即 EC平分BEG 说法正确，符合题意； 连接 DH，MH，HE，如图： BECMEC，CMGCDG， BCE=MCE，MCG=DCG， ECG=ECM+GCM= 1 2 BCD=45， ECHP， CHP=45， GHQ=CHP=45， 由折叠可得:EHP=CHP=45， EHCG EG2 -EH2=GH2 由折叠可知:EH=CH EG2 -CH2= GH2， CMEG，EHCG， EMC=EHC=90， E，M，H，C四点共圆， HMC=HEC=45， 在CMH 和CDH中， CM=CD，MCG=DCG， CH= CH CMHCDH(SAS) CDH=CMH=45 ， CDA=
18、90， GDH=45 GHQ=CHP=45， GHQ=GDH=45， HGQ=DGH， GHQGDH ， GQGH GHGD ， GH2=GQGD GE2-CH2=GQGD 故说法正确，符合题意； 综上可得，正确的结论有: 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、翻折问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、三角形的相似 的判定与性质翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 10 分，第分，第 20 题题 12 分，共分，共 22 分）分） 19. 先化简，再求值： 2 623 1 93 aa aa ，其中2sin303a
19、 【答案】 2 3a ，2 【解析】 【分析】先把分式化简后，再求出a的值代入求出分式的值即可 【详解】 2 623 1 93 aa aa 2 6323 = 933 aaa aaa 63 = 3)(3)3 aa aaa （ 2 = 3a 2sin303a 1 23 2 4 当4a时，原式= 2 =2 43 【点睛】本题考查了分式的化简值，特殊角的三角函数值，熟练分解因式是解题的关键 20. 为迎接建党 100 周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动竞赛项目有：A回顾重要事件；B列 举革命先烈；C讲述英雄故事；D歌颂时代精神学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解 学生参加竞赛情况，随机
20、调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中 信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生共有_名； （2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为_，并把条形统计图补充完整； （3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出 2 名同学去做宣讲员，请用列表或 画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率 【答案】 （1）60； （2）90 ，补全条形统计图见解析； （3） 1 6 【解析】 【分析】 （1）根据条形统计图和扇形统计图可知 A项目的有 9 人，占 15%，即可求出总人数； （2）作差求出 B项目的人数，按照比例求出其圆心角度数并
21、补全条形统计图； （3）列出表格，利用概率公式即可求解 【详解】解： （1）9 15%60； （2）B项目的总人数为609241215人， “B 项目”所对应的扇形圆心角的度数为 15 36090 60 ， 补全条形统计图如下： ； （3）列出表格如下： 小华 小光 小艳 小萍 小华 小华，小光 小华，小艳 小华，小萍 小光 小华，小光 小光，小艳 小光，小萍 小艳 小华，小艳 小光，小艳 小萍，小艳 小萍 小华，小萍 小光，小萍 小萍，小艳 共有 12种情况，其中恰好小华和小艳的有 2 种， P(恰好小华和小艳) 1 6 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，从统计图中获取相关信息是解
22、题的关键 四、解答题（第四、解答题（第 21 题题 12 分，第分，第 22 题题 12 分，共分，共 24 分）分） 21. 某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买 1本手绘纪念册和 4 本图片纪念册共需 135元，购买 5本手绘 纪念册和 2 本图片纪念册共需 225元 （1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？ （2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共 40 本，总费用不超过 1100元，那么最多能购买手绘纪念册 多少本？ 【答案】 （1）每本手绘纪念册 35元，每本图片纪念册 25 元； （2）最多能购买手绘纪念册 10 本 【解析】 【分析】 （1）设每本手绘纪念册
23、x元，每本图片纪念册 y 元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购买手绘纪念册 a本，则购买图片纪念册40a本，根据题意列出不等式，求解不等式即可 【详解】解： （1）设每本手绘纪念册 x元，每本图片纪念册 y 元， 根据题意可得： 4135 52225 xy xy ， 解得 35 25 x y ， 答：每本手绘纪念册 35 元，每本图片纪念册 25元； （2）设购买手绘纪念册 a本，则购买图片纪念册40a本，根据题意可得： 3525 401100aa， 解得10a， 最多能购买手绘纪念册 10 本 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等
24、式是解题的关 键 22. 如图， 某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题， 计划打通一条东西方向的隧道AB 无 人机从点 A的正上方点 C，沿正东方向以8m s的速度飞行 15s到达点 D，测得 A的俯角为 60，然后以同 样的速度沿正东方向又飞行 50s到达点 E，测得点 B 的俯角为 37 （1）求无人机的高度AC（结果保留根号） ； （2）求AB长度（结果精确到 1m） （参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75， 31.73 ） 【答案】 （1）无人机的高度 AC=60 3m； （2）AB的长度为 382m 【解析】 【分析】 （1）在 RtCD
25、A中，利用正切函数即可求解； （2）先证明四边形 ABFC为矩形，在 RtBFE 中，求得 EF138m，即可求解 【详解】 （1）根据题意得：CD=815120(m)， 在 RtCDA 中，ACD=90 ，ADC=60 ， tan60 AC CD ， AC=120 3 60 3 2 (m)， 答：无人机高度 AC=60 3m； （2）根据题意得：DE=850400(m)， 则 CE= DE+CD=520(m)， 过点 B作 BFCE 于点 F， 则四边形 ABFC 为矩形， AB=FC，BF=AC=60 3m， 在 RtBFE 中，BFE=90 ，BEF=37 ， tan370.75 BF
26、EF ， EF= 60 3 0.75 =138.4138(m)， AB=FC=CE-EF=520-138=382(m)， 答：AB的长度为 382m 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形 是解此题的关键，注意数形结合思想的应用 五、解答题（满分五、解答题（满分 12 分）分） 23. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个 40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为 60 元时，每星期卖出 100个如果调整销售单价，每涨价 1元，每星期少卖出 2个，现网店决定提价销售， 设销售单价为 x 元，每星期销售量为 y个 （1）请直接写出
27、 y（个）与 x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是 2400元？ （3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】 （1）y=-2x+220； （2）当销售单价是 70 元或 80 元时，该网店每星期的销售利润是 2400 元； （3）当 销售单价是 75 元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是 2450 元 【解析】 【分析】 （1）根据题意中销售量 y（个）与售价 x（元）之间的关系即可得到结论； （2）根据题意列出方程（-2x+220） （x-40）=2400，解方程即可求解； （3）设每星期利润为 w
28、 元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题 【详解】 （1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220； （2）由题意可得， （-2x+220） （x-40）=2400， 解得， 1 70 x ， 2 80 x ， 当销售单价是 70 元或 80 元时，该网店每星期的销售利润是 2400元 答：当销售单价是 70元或 80 元时，该网店每星期的销售利润是 2400 元 （3）设该网店每星期的销售利润为 w元，由题意可得 w=（-2x+220） （x-40）= 2 23008800 xx， 当 75 2 b x a 时，w有最大值，最大值为 2450， 当销售单价是 75
29、元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是 2450 元 答：当销售单价是 75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是 2450元 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问 题 六、解答题（满分六、解答题（满分 12 分）分） 24. 如图，在Rt ABC中， =90ACB，延长CA到点 D，以AD为直径作O，交BA的延长线于点 E， 延长BC到点 F，使=BF EF （1）求证：EF是O的切线； （2）若=9OC，=4AC，=8AE，求BF的长 【答案】 （1）证明见解析； （2） 65 6 【解析】 【分析】 （1）连接 OE，通
30、过倒角得到90BEFOEABBAC ，即可得证； （2）连接 DE、OF，通过证明ADEABC求出 AB 的长度，在Rt OCF和RtOEF中应用勾股定 理，得出方程，即可求解 【详解】解： （1）连接 OE， OEOA， OEAOAEBAC ， BFEF， BEFB ， 90BEFOEABBAC ， 即OEEF， EF是O的切线； （2）连接 DE、OF， =9OC，=4AC， O的半径为 5， 10AD AD为直径， 90DEA， DEAACB， DAEBAC， ADEABC， AEDEAD ACBCAB ， =4AC，=8AE， 2 AD AB ， 10AD， 5AB， 22 3BCAB
31、AC ， 设 BF的长为 x，则EFBFx，3CFx， 在Rt OCF中，2 222 381OFOCCFx， 在RtOEF中， 2222 25OFOEEFx， 2 2 38125xx， 解得 65 6 x 【点睛】本题考查切线的判定、相似三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理、并作出合适的辅助线 是解题的关键 七、解答题（满分七、解答题（满分 12 分）分） 25. 在ABCD中，=BAD ，DE平分ADC，交对角线AC于点 G，交射线AB于点 E，将线段EB 绕点 E顺时针旋转 1 2 得线段EP （1）如图 1，当=120时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系； （2）如图
32、 2，当=90时，过点 B 作BFEP于点，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数 量关系，并说明理由； （3）当=120时，连接AP，若 1 = 2 BEAB，请直接写出APEV与CDG面积的比值 【答案】 （1）APAC； （2） 222 1 () 2 AFADAB,理由见解析； （3） 3 4 【解析】 【分析】 （1）延长PE，交CD于点Q，根据已知条件证明APEACQ即可； （2）连接FC，过 F 作FMBC交CB的延长线于点M，由AFECBF，得AFFC，在 Rt FMC由 三边关系利用勾股定理可得； （3）证明AEGCDG，得 EG GD 值，APEV与CDG的面积分别与A
33、EG的面积成比例，可得 APEV与CDG面积的比值 【详解】 （1）如图,延长PE，交CD于点Q， 由题意，将线段EB绕点 E 顺时针旋转 1 2 ， 60BEP =120 60B /EQ BC 四边形ABCD是平行四边形 /AD BC /EQ AD 四边形AEQD是平行四边形 DE平分ADC ADECDE /AB CDQ AEDEDC ADEAED AE AD 四边形AEQD是菱形 AEEQ 60AEDBEP AEQ 是等边三角形 ,60AEAQAQE /AB CD 60CQEAEQ 120AQCAQEEQC , 120AEP /EQ AD， /AD BC， /BE CQ 四边形BCQE是平
34、行四边形 CQBE PE=BE PECQ 在APEV和ACQ中 AEAQ AEPAQC PECQ APEACQ APAC （2）连接FC，过 F 作FMBC交CB的延长线于点M =90 四边形ABCD是矩形， 45FEB BFEP 45FBE，FBFE， 135FBCFBEABC， 180135FEABEF DE平分ADC 1 45 2 ADEADC 45AEDPEB AE AD 四边形ABCD是矩形 AD BC AEBC 在AFE和CFB中 AEBC AEFCBF EFBF AFECBF AFFC 设,ADa ABb AFc 则BEABAEABADb a FMBC 45FBM 2 sin 2
35、 MFMBFBMFBFB 2 sin 2 BFFEBEBBE 11 () 22 MFMBBEba 在Rt FMC中 222 FCFMMC 即 222 ()() 22 baba ca 整理得： 222 1 =() 2 cab 222 1 () 2 AFADAB （3）如图 由（1）可知APEACQ 1 = 2 BEAB PE BEAE DE平分ADC ADECDE /AB CDQ AEDEDC ADEAED AE AD PEAD 四边形APED是平行四边形 APEADE SS /AE CD AEGCDG EGAE GDCD 11 22 AEBEABCD 1 = 2 AE CD 1 2 EG GD
36、 3 ADEAEG SS 4 CGDAGE SS :3:4 APECDG SS 【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，三角形全等的性质与判定，三角形相似，勾股定理，锐 角三角函数，相似比的概念，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，知识点 比较多，熟练掌握以上知识点是解题的关键 八、解答题（满分八、解答题（满分 14 分）分） 26. 如图， 抛物线 2 3 4 yxbxc 与 x 轴交于点 A和点( 1,0)C ， 与 y 轴交于点(0,3)B， 连接AB，BC， 点 P 是抛物线第一象限上的一动点，过点 P 作PDx轴于点 D，交AB于点 E （1）求抛物线的解
37、析式； （2）如图 1，作PFPD于点 P，使 1 = 2 PFOA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF当矩形PEGF的 面积是BOC面积的 3 倍时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，当点 P 运动到抛物线的顶点时，点 Q在直线PD上，若以点 Q、A、B 为顶点的三角形是锐角 三角形，请直接写出点 Q纵坐标 n的取值范围 【答案】 （1） 2 39 3 44 yxx （2） （1， 9 2 ）或（3，3） ； （3）-10 3 n 32 6 2 或 32 6 2 n5 【解析】 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）先求出直线 AB 的解析式，表示出 P，E的坐标，故可表示出 PE的
38、长，再根据矩形PEGF是BOC面 积的 3 倍，得到方程，故可求解； （3）当ABQ为直角时，求出直线 BQ 的解析式，得到 n 的值，当BQA 为直角时，利用解直角三角形的 方法求出此时 n 的值，同理求出当BAQ 为直角时 n 的值，故可求解 【详解】 （1）把( 1,0)C ， (0,3)B 代入解析式得 3 0 4 3 bc c 解得 9 4 3 b c 抛物线的解析式为 2 39 3 44 yxx （2）对于 2 39 3 44 yxx ，令 y=0 解得 x=4 或-1 A（4 0） ，则 1 = 2 PFOA=2 设直线 AB解析式为 y=px+q 把 A（4，0） ， ( 0
39、, 3 ) B 代入得 04 3 pq q ，解得 3 4 3 p q 直线 AB的解析式为 3 3 4 yx 设 P（x， 2 39 3 44 xx） ，则 E（x， 3 3 4 x） 矩形PEGF的面积= 2 393 233 444 PFPExxx =3 13 33 1 22 BOC SBO CO 解得 x=1 或 3 P点坐标为（1， 9 2 ）或（3，3） ； （3）由 2 39 3 44 yxx 可得其对称轴为 x= 3 22 b a ，设 Q 点坐标为（ 3 2 ，n） 当ABQ 为直角时，如图 2-1 设 BQ交 x 轴于点 H， 在 RtABO中，tanABO= 4 3 AO
40、BO ， ABO+BAO=BAO+BHO=90 BHO =ABO tanBHO= tanABO = 4 3 可设直线 BQ 的解析式为 y= 4 3 x+t，代入 (0,3)B 可得 t=3 直线 BQ的解析式为 y= 4 3 x+3 当 x= 3 2 时，y= 4 3 x+3=5 故 n=5； 当BQA 为直角时，如图 2-2，过点 Q 作直线 MNy轴于点 N，交过点 A与 y轴的平行线于点 M， BQN+MQA=90 ，MQA+MAQ=90 ， BQN=MAQ tanBQN=tanMAQ 即 BNMQ NQMA ，则 3 4 3 2 3 2 n n 解得 n= 32 6 2 当BAQ 为直角时，同理可设直线 AQ的解析式为 y= 4 3 x+h 代入 A（4，0）得 h=-16 3 直线 AQ的解析式为 y= 4 3 x- 16 3 当 x= 3 2 时，y= 4 3 x- 16 3 =-10 3 故 n=- 10 3 ； 综上，以点 Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则ABQ不为直角三角形，故点 Q 纵坐标 n的取值范 围为-10 3 n 32 6 2 或 32 6 2 n5 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、矩形的特点及面积公式、解直角三 角形的方法及数形结合的特点
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