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    江苏省宿迁市2021年中考数学真题(解析版)

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    江苏省宿迁市2021年中考数学真题(解析版)

    1、宿迁市宿迁市 2021 年初中学业水平考试年初中学业水平考试 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 24 分,在每小题所给出的四个选项中,恰有分,在每小题所给出的四个选项中,恰有 一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1. 3 的相反数为( ) A. 3 B. 1 3 C. 1 3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义:只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可 【详解】解:3的相反数是 3 故选:D 【点睛】此题考查求一

    2、个数的相反数,解题关键在于掌握相反数的概念 2. 对称美是美的一种重要形式,它能给与人们一种圆满、协调和平的美感,下列图形属于中心对称图形的 是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断 【详解】解:A、是中心对称图形,故选项正确; B、不是中心对称图形,故选项错误; C、不是中心对称图形,故选项错误; D、不是中心对称图形,故选项错误 故选:A 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念:中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后两部分重 合 3. 下列运算正确的是( ) A. 22aa B. 3 26 aa C. 236 a aa

    3、D. 2 2 abab 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则和积的乘方法则逐个判断即可 【详解】解:A、2aaa,故该选项错误; B、 3 26 aa,故该选项正确; C、 235 aaa,故该选项错误; D、 2 22 aba b,故该选项错误; 故选:B 【点睛】本题考查了合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则和积的乘方法则,熟练掌握相 关运算法则是解决本题的关键 4. 已知一组数据:4,3,4,5,6,则这组数据的中位数是( ) A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 【答案】C 【解析】 【分析】将原数据排序,根据中位数意

    4、义即可求解 【详解】解:将原数据排序得 3,4, 4,5,6, 这组数据的中位数是 4 故选:C 【点睛】本题考查了求一组数据的中位数,熟练掌握中位数的意义是解题关键,注意求中位数时注意先排 序 5. 如图, 在 ABC 中, A=70 , C=30 , BD 平分ABC交 AC于点 D, DEAB, 交 BC 于点 E, 则BDE 的度数是( ) A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的内角和可求ABC,根据角平分线可以求得ABD,由 DE/AB,可得BDE=ABD 即 可 【详解】解:A+C=100 ABC=80 , BD平分BAC, ABD

    5、=40 , DEAB, BDE=ABD=40 , 故答案为 B 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质,灵活应用所学知识是解答本题 的关键 6. 已知双曲线 k y(0)k x 过点(3, 1 y)、(1, 2 y)、(-2, 3 y),则下列结论正确的是( ) A. 312 yyy B. 321 yyy C. 213 yyy D. 231 yyy 【答案】A 【解析】 【分析】利用分比例函数的增减性解答即可 【详解】解: k y(0)k x 当 x0时,y随 x的增大,且 y0;当 x0 时,y 随 x 的增大,且 y0; 013,-20 y2y10,y30 312

    6、 yyy 故选 A 【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性,掌握数形结合思想成为解答本题的关键 7. 折叠矩形纸片 ABCD,使点 B落在点 D 处,折痕为 MN,已知 AB=8,AD=4,则 MN的长是( ) A. 5 5 3 B. 2 5 C. 7 5 3 D. 4 5 【答案】B 【解析】 【分析】连接 BM,利用折叠的性质证明四边形 BMDN为菱形,设 DNNBx,在 RtABD中,由勾股定 理求 BD,在 RtADN中,由勾股定理求 x,利用菱形计算面积的两种方法,建立等式求 MN 【详解】解:如图,连接 BM, 由折叠可知,MN垂直平分 BD, ,ODOB 又 ABCD, ,MD

    7、ONBODMOBNO BONDOM, ONOM, 四边形 BMDN 为菱形(对角线互相垂直平分的四边形是菱形) , ,DNBNBMDM 设 DNNBx,则 AN8x, 在 RtABD中,由勾股定理得:BD2 2 ADAB 4 5, 在 RtADN中,由勾股定理得:AD2+AN2DN2, 即 42+(8x)2x2, 解得 x5, 根据菱形计算面积的公式,得 BNAD 1 2 MNBD, 即 54 1 2 MN4 5, 解得 MN2 5 故选:B 【点睛】本题考查图形的翻折变换,勾股定理,菱形的面积公式的运用,解题过程中应注意折叠是一种对 称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状

    8、和大小不变,如本题中折叠前后对应线 段相等 8. 已知二次函数 2 yaxbxc的图像如图所示, 有下列结论: 0a; 2 4bac0; 40ab; 不等式 2 1axbxc()0的解集为 1x3,正确的结论个数是( ) A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、于 x 轴的交点情况、对称轴的知识可判的正误,再根据函数图象的 特征确定出函数的解析式,进而确定不等式,最后求解不等式即可判定 【详解】解:抛物线的开口向上, a0,故正确; 抛物线与 x轴没有交点 2 4bac0,故错误 抛物线的对称轴为 x=1 1 2 b a ,即 b=-2a 4a

    9、+b=2a0,故错误; 由抛物线可知顶点坐标为(1,1) ,且过点(3,3) 则 2 1 933 ba abc abc ,解得 1 2 1 3 2 a b c 2 1axbxc0 可化为 2 13 2 22 xx0,解得:1x3 故错误 故选 A 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识,灵活运用二次函数图象的特征成 为解答本题的关键 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 3分,共分,共 30 分,不需写出解答过程,请把答案直接填分,不需写出解答过程,请把答案直接填 写在答题卡相应位置上写在答题卡相应位置上) 9. 若代数式 2 2x

    10、有意义,则x的取值范围是_ 【答案】任意实数 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件及平方的非负性即可得解 【详解】解: 2 0 x , 2 2x 0, 无论 x取何值,代数式 2 2x 均有意义, x的取值范围为任意实数, 故答案为:任意实数 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件及平方的非负性, 熟练掌握二次根式的定义是解决本题的关键 10. 2021年 4 月,白鹤滩水电站正式开始蓄水,首批机组投产发电开始了全国冲刺,该电站建成后,将仅次 于三峡水电站成为我国第二大水电站,每年可减少二氧化碳排放 51600000 吨,减碳成效显著,对促进我市 实现碳中和目标具有重要作用,51600

    11、000 用科学计数法表示为_ 【答案】 7 5.16 10 . 【解析】 【分析】科学记数法的形式是:10na ,其中1a10,n为整数所以5.16a,n取决于原数小数 点的移动位数与移动方向,n是小数点的移动位数,往左移动,n为正整数,往右移动,n为负整数本 题小数点往左移动到5的后面,所以7.n 【详解】解:51600000 7 5.16 10 . 故答案为: 7 5.16 10 . 【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数,关键是在理解科学记数法的基础上确定 好 , a n的值,同时掌握小数点移动对一个数的影响 11. 分解因式: 2 axa =_ 【答案】a(x+1)

    12、(x-1) 【解析】 【分析】所求代数式中含有公因数 a,可先提取公因数,然后再运用平方差公式分解因式 【详解】原式=a(x2-1)=a(x+1) (x-1) 【点睛】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行两次分解,注意要 分解彻底 12. 方程 2 2 1 42 x xx 的解是_ 【答案】 1 113 2 x , 2 113 2 x 【解析】 【分析】先把两边同时乘以 2 4x ,去分母后整理为 2 30 xx,进而即可求得方程的解 【详解】解: 2 2 1 42 x xx , 两边同时乘以 2 4x ,得 2 2(2)4x xx, 整理得: 2 30 xx

    13、解得: 1 113 2 x , 2 113 2 x , 经检验, 1 113 2 x , 2 113 2 x 是原方程的解, 故答案为: 1 113 2 x , 2 113 2 x 【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的解法,熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法是解决本 题的关键 13. 已知圆锥的底面圆半径为4, 侧面展开图扇形的圆心角为120 , 则它的侧面展开图面积为_ 【答案】48 【解析】 【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长,然后根据弧长公式求得扇形的半径,然后利用公式求得 面积即可 【详解】解:底面圆的半径为 4, 底面周长为 8, 侧面展开扇形的弧长为 8, 设扇形的

    14、半径为 r, 圆锥的侧面展开图的圆心角是 120, 120 180 r 8, 解得:r12, 侧面积为 41248, 故答案为:48 【点睛】 考查了圆锥的计算, 解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长,难度不大 14. 九章算术中有一道“引葭赴岸”问题:“仅有池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸 齐问水深,葭长各几何?”题意是:有一个池塘,其地面是边长为 10尺的正方形,一棵芦苇 AB 生长在 它的中央,高出水面部分 BC 为 1 尺如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部 B恰好 碰到岸边的 B(示意图如图,则水深为_尺 【答案】12 【解析】 【

    15、分析】依题意画出图形,设芦苇长 AB=AB=x 尺,则水深 AC=(x1)尺,因为 BE=10 尺,所以 BC=5 尺,利用勾股定理求出 x的值即可得到答案 【详解】解:依题意画出图形,设芦苇长 AB=AB=x尺,则水深 AC=(x1)尺, 因为 BE=10尺,所以 BC=5 尺, 在 RtABC 中,52+(x1)2=x2, 解之得 x=13, 即水深 12 尺,芦苇长 13尺 故答案为:12 【点睛】此题考查勾股定理的实际应用,正确理解题意,构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的 关键 15. 如图,在 Rt ABC 中,ABC=90 ,A=32 ,点 B、C 在O上,边 AB、AC分

    16、别交O于 D、E两 点点 B 是CD的中点,则ABE=_ 【答案】13 【解析】 【分析】如图,连接,DC 先证明,BDCBCD 再证明,ABEACD 利用三角形的外角可得: ,BDCAACDAABE 再 利 用 直 角 三 角 形 中 两 锐 角 互 余 可 得 : 2902,BDCAABE 再解方程可得答案 【详解】解:如图,连接,DC B是CD的中点, ,BDBCBDCBCD ,DEDE ,ABEACD ,BDCAACDAABE 90 ,32 ,ABCA 2902,BDCAABE 45453213 .ABEA 故答案为:13 . 【点睛】本题考查的是圆周角定理,三角形的外角的性质,直角三

    17、角形的两锐角互余,掌握圆周角定理的 含义是解题的关键 16. 如图,点 A、B 在反比例函数 k y0 x x 的图像上,延长 AB 交x轴于 C 点,若 AOC 的面积是 12, 且点 B是 AC的中点,则k =_ 【答案】8 【解析】 【分析】由AOC的面积为 12,故作ADOC,设 k A m m ,,0C n即可表示AOC的面积,再利用 中点坐标公式表示 B点坐标,利用 B点在反比例图像上即可求解 【详解】解:作ADOC,设 k A m m ,,0C n , k ADOCn m AOC的面积为 12 11 12 222 AOC knk SOCADn mm B 点是 AC 中点 B 点坐

    18、标, 22 mnk m B 点在反比例图像上 2 2 k k mmn 又0k 3nm 3 12 2 mk m 8k 故答案是:8 【点睛】本题考查反比例函数的综合运用、中点坐标公式和设而不解的方程思想,属于中档难度的题型解 题的关键是设而不解的方程思想此外设有 1122 ,A x yB x y两点,则AB、的中点坐标是: 1212 , 22 xxyy 17. 如图,在 ABC中,AB=4,BC=5,点 D、E分别在 BC、AC上,CD=2BD,CF=2AF,BE交 AD于点 F, 则 AFE面积的最大值是_ 【答案】 4 3 【解析】 【分析】 连接 DF, 先根据相似三角形判定与性质证明 2

    19、 3 DE AE ,得到 3 5 AEFADF SS ,进而根据 CD=2BD, CF=2AF,得到 2 15 AEFABC SS ,根据 ABC中,AB=4,BC=5,得到当 ABBC 时,ABC面积最大,即 可求出 AFE面积最大值 【详解】解:如图,连接 DF, CD=2BD,CF=2AF, 2 = 3 CFCD CACB , C=C, CDFCBA, 2 = 3 DFCD BACG ,CFD=CAB, DFBA, DFEABE, 2 = 3 DFDE ABAE , 3 5 AEFADF SS , CF=2AF, 1 3 ADFADC SS , 1 5 AEFADC SS , CD=2B

    20、D, 2 3 ADCABC SS , 2 15 AEFABC SS , ABC中,AB=4,BC=5, ,当 ABBC 时,ABC面积最大,为 1 4 5=10 2 , 此时 AFE 面积最大 24 10= 153 故答案为: 4 3 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,根据相似三角形的性质与判定得到 2 3 DE AE ,理解等高三角 形的面积比等于底的比是解题关键 三、简答题(本大题共三、简答题(本大题共 10 小题,共小题,共 96分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的 文字说明,证明过程或演算步骤文字说明,证明过程或演算步

    21、骤) 18. 计算: 0 184sin45 【答案】1 【解析】 【分析】结合实数的运算法则即可求解 【详解】解:原式 2 =12 2412 22 21 2 【点睛】本题考察非 0 底数的 0 次幂等于 1、二次根式的化简、特殊三角函数值等知识点,属于基础题型, 难度不大解题的关键是掌握实数的运算法则 19. 解不等式组 10 52 1 2 x x x ,并写出满足不等式组的所有整数解 【答案】解集为 4 1 3 x,整数解为1,0 【解析】 【分析】 先分别解得每个不等式的解集,再根据大小小大取中间求得不等式组的解集,进而可求得整数解 【详解】解: 10 52 1 2 x x x , 由得:

    22、1x, 由得: 4 3 x , 原不等式组的解集为 4 1 3 x, 该不等式组的所有整数解为1,0 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法,熟练掌握解不等式组的基本步骤是解决本题的关键 20. 某机构为了解宿迁市人口年龄结构情况,对宿迁市的人口数据进行随机抽样分析,绘制了如下尚不完整 的统计图表: 类别 A B C D 年龄(t岁) 0t15 15t60 60t65 t65 人数(万人) 4.7 11.6 m 2.7 根据以上信息解答下列问题: (1)本次抽样调查,共调查了_万人; (2)请计算统计表中m的值以及扇形统计图中“C”对应的圆心角度数; (3)宿迁市现有人口约 500万人,请根

    23、据此次抽查结果,试估计宿迁市现有 60岁及以上的人口数量 【答案】 (1)20; (2)1;18; (3)92.5 万人 【解析】 【分析】 (1)用 B 类的人数除以所占百分比即可求出被调查的总人数; (2) 用总人数减去 A, B, D类的人数即可求出 m的值, 再用 C类人数除以总人数得到的百分比乘以 360 即 可得到结论; (3)首先计算出样本中 60 岁及以上的人口数量所占百分比,再乘以 500万即可得到结论 【详解】解: (1)11.6 58%=20(万人) , 故答案为:20; (2)20 4.7 11.6 2.71m 1 360=18 20 故 m 的值为 1;扇形统计图中“

    24、C”对应的圆心角度数为 18 ; (3)宿迁市现有 60 岁及以上的人口数=1+2.7500=92.5 20 (万人) 所以,宿迁市现有 60 岁及以上的人口数量为 92.5万人 【点睛】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息 是解决问题的关键扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 21. 在AE=CF;OE=OF;BEDF 这三个条件中任选一个补充在下面横线上,并完成证明过程 已知,如图,四边形 ABCD是平行四边形,对角线 AC、BD 相交于点 O,点 E、F 在 AC上, (填写 序号) 求证:BE=DF 注:如果选择多个条件分别解答,按第

    25、一个解答计分 【答案】见解析 【解析】 【分析】 若选, 即 OE=OF; 根据平行四边形的性质可得 BO=DO, 然后即可根据 SAS证明BOEDOF, 进而可得结论;若选,即 AE=CF;根据平行四边形的性质得出 OE=OF 后,同上面的思路解答即可;若 选,即 BEDF,则BEO=DFO,再根据平行四边形的性质可证BOEDOF,于是可得结论 【详解】解:若选,即 OE=OF; 证明:四边形 ABCD是平行四边形, BO=DO, OE=OF,BOE=DOF, BOEDOF(SAS) , BE=DF; 若选,即 AE=CF; 证明:四边形 ABCD是平行四边形, BO=DO,AO=CO, A

    26、E=CF, OE=OF, 又BOE=DOF, BOEDOF(SAS) , BE=DF; 若选,即 BEDF; 证明:四边形 ABCD是平行四边形, BO=DO, BEDF; BEO=DFO, 又BOE=DOF, BOEDOF(AAS) , BE=DF; 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质,属于基本题型,熟练掌握平行四边形 的性质和全等三角形的判定是关键 22. 即将举行的 2022 年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”: 将三张正面分别印有以上 3 个吉祥物图案的卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)背面朝上、洗匀 (1)若从中任意抽取 1张,抽得得卡片上的图案

    27、恰好为“莲莲”的概率是 (2)若先从中任意抽取 1 张, 记录后放回, 洗匀, 再从中任意抽取 1张, 求两次抽取的卡片图案相同的概率 (请 用树状图或列表的方法求解) 【答案】 (1) 1 3 ; (2) 1 3 【解析】 【分析】 (1)直接根据概率公式求解即可; (2)根据题意画出树状图得出所有等情况数,找出两次抽取的卡片图案相同的情况数,然后根据概率公式 即可得出答案 【详解】解: (1)有 3张形状、 大小、质地均相同的卡片, 正面分别印有“宸宸”、 “琮琮”、“莲莲”, 从中随机抽取 1张,抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率为 1 3 ; 故答案为: 1 3 ; (2)把“宸宸”

    28、、“琮琮”、“莲莲”分别用字母 A、B、C表示,画树状图如下: 或列表为: A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 由图(或表)可知:共有 9 种等可能的结果,其中抽到相同图案的有 3 种, 则两次抽取的卡片图案相同的概率是 31 = 93 【点睛】此题考查的是树状图法(或列表法)求概率树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注 意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比 23. 一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作,在点 P 处测得正前方水平地面上某建筑物 AB 的顶端 A 的俯 角为 30 ,面向 AB方向继续飞

    29、行 5米,测得该建筑物底端 B 的俯角为 45 ,已知建筑物 AB 的高为 3 米,求 无人机飞行的高度(结果精确到 1 米,参考数据: 2 1.414,3 =1.732) 【答案】无人机飞行的高度约为 14 米 【解析】 【分析】延长 PQ,BA,相交于点 E,根据BQE45 可设 BEQEx,进而可分别表示出 PEx5,AE x3,再根据 sinAPE AE PE ,APE30即可列出方程 33 53 x x ,由此求解即可 【详解】解:如图,延长 PQ,BA,相交于点 E, 由题意可得:ABPQ,E90, 又BQE45 , BEQE, 设 BEQEx, PQ5,AB3, PEx5,AEx

    30、3, E90, sinAPE AE PE , APE30, sin30 33 53 x x , 解得:x4 3714, 答:无人机飞行的高度约为 14 米 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题,难度适中,要求学生能借助其关系构造直角三角形 并解直角三角形 24. 如图,在 Rt AOB 中,AOB=90 ,以点 O 为圆心,OA为半径的圆交 AB 于点 C,点 D在边 OB 上, 且 CD= BD (1)判断直线 CD与圆 O的位置关系,并说明理由; (2)已知 24 tan 7 DOC,AB=40,求O的半径 【答案】 (1)直线 CD 与圆 O 相切,理由见解析; (2)4 2

    31、. 【解析】 【分析】 (1)连接,OC 证明90 ,DCBOCA可得90 ,OCD 从而可得答案; (2)由 24 ,tan, 7 CD OCCDDOC OC 设24 ,CDx 则7 ,OCx 再求解25 ,7 ,ODx OAx 再 表示49 ,OBODBDx 再利用 222, AOBOAB 列方程解方程,可得答案 【详解】解: (1)直线 CD与圆 O相切,理由如下: 如图,连接,OC 90 ,AOBOAOC 90 ,BOACOACOCA ,CDBD ,BDCB 90 ,DCBOCA 1809090 ,OCD ,OCCD OC为O的半径, CD是O的切线 (2) 24 ,tan, 7 CD

    32、 OCCDDOC OC 设24 ,CDx 则7 ,OCx 22 25 ,7 ,ODOCCDx OAOCx ,CDBD 24 ,BDx 49 ,OBODBDx 40,90 ,ABAOB 222, AOBOAB 22 2 74940 ,xx 2 32 , 49 x 12 4 24 2 , 77 xx (负根舍去) O的半径为: 4 2 774 2. 7 OCx 【点睛】本题考查的是切线的判定与性质,勾股定理的应用,等腰三角形的性质,锐角三角函数的应用, 一元二次方程的解法,熟练应用基础知识,把知识串联起来是解题的关键 25. 一辆快车从甲地驶往乙地,一辆慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,匀速行驶,

    33、两车在途中相遇时, 快车恰巧出现故障,慢车继续驶往甲地,快车维修好后按原速继续行驶乙地,两车到达各地终点后停止, 两车之间距离 s(km)与慢车行驶的时间 t(h)之间的关系如图: (1)快车的速度为 km/h,C 点的坐标为 (2)慢车出发多少小时候,两车相距 200km 【答案】 (1)100, (8,480) ; (2)1.75h和 4.875h 【解析】 【分析】 (1)由图像可知,甲乙两地的距离为 480km, 0-3小时快车和慢车一起行驶了 3 小时,3-4 小时快 车出现故障停止前行、仅有慢车行驶,进而求出慢车速度,然后再求出快车的速度;A、B段为快车已维修 好,两车共同行驶且快

    34、车在 B 点到站,BC 段仅为慢车行驶;则可求出 B 点坐标,进而求出 C 点的横坐标即 可解答; (2)分快车出现故障前和故障后两种情况解答即可 【详解】解: (1)由图像可知,甲乙两地的距离为 480km 在 0-3 小时快车和慢车一起行驶了 3 小时,3-4 小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶 则慢车速度为 60 43 =60km/h 设快车速度为 v,则有: (v+60)3=480,解得 v=100km/h B点的横坐标为 480 100 +1=5.8,从坐标为 60+(60+100)(5.8-4)=348,即 B(5.8,348) 慢车行驶时间为 480 8 60 h, C 点的

    35、横坐标为 8 C 点的坐标为(8,480) ; (2)在快车出现故障前,两车相距 200km 所用时间为:(480-200)(100+60)=1.75h; 在快车出现故障后,慢车 1 小时行驶了 60km,然后两车共同行驶了 200-60=140km 共同行驶时间为 140(100+60)=0.875h 两车相距 200km 所用时间为 4+0.875=4.875h 答:两车相距 200km 所用时间为 1.75h和 4.875h 【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息和行程问题,从函数图象中获取有用的信息成为解答本题的关 键 26. 已知正方形 ABCD与正方形 AEFG,正方形 AEFG

    36、绕点 A 旋转一周 (1)如图,连接 BG、CF,求 CF BG 的值; (2)当正方形 AEFG 旋转至图位置时,连接 CF、BE,分别去 CF、BE 的中点 M、N,连接 MN、试探究: MN与 BE的关系,并说明理由; (3)连接 BE、BF,分别取 BE、BF的中点 N、Q,连接 QN,AE=6,请直接写出线段 QN扫过的面积 【答案】 (1) 2; (2) 1 ; 2 MNBE MNBE; (3)9 【解析】 【分析】 (1)由旋转的性质联想到连接AFAC、,证明CAFBAG即可求解; (2)由 M、N 分别是 CF、BE 的中点,联想到中位线,故想到连接 BM并延长使 BM=MH,

    37、连接 FH、EH, 则可证BMCHMF即可得到HFBCBA,再由四边形BEFC内角和为360可得 BACHFE,则可证明BAEHFE,即BHE是等腰直角三角形,最后利用中位线的性质即可 求解; (3)Q、N两点因旋转位置发生改变,所以 Q、N两点的轨迹是圆,又 Q、N两点分别是 BF、BE 中点,所 以想到取 AB 的中点 O,结合三角形中位线和圆环面积的求解即可解答 【详解】解: (1)连接AFAC、 四边形 ABCD和四边形 AEFG 是正方形 ,90ABBC AGFGBADGAECBAAGF AFAC、分别平分,EAGBAD 45BACGAF BACCAGGAFCAG即BAGCAF 且,

    38、ABCAGF都是等腰直角三角形 2 ACAF ABAG CAFBAG 2 CFAC BGAB (2)连接 BM并延长使 BM=MH,连接 FH、EH M是 CF的中点 CMMF 又CMBFMH CMBFMH ,BCHFBCMHFM 在四边形 BEFC 中 360BCMCBEBEFEFC 又90CBAAEF 3609090180BCMABEAEBEFC 即180HFMEFCABEAEB 即180HFEABEAEB 180BAEABEAEB HFEBAE 又四边形 ABCD和四边形 AEFG 是正方形 ,BCABFH EAEF BAEHFE .BEHEBEAHEF 90HEFHEAAEF 90BE

    39、AHEABEH 三角形 BEH 是等腰直角三角形 M、N 分别是 BH、BE 的中点 1 / /, 2 MNHE MNHE 1 90 , 2 MNBHEBMNBE 1 , 2 MNBE MNBE (3)取 AB的中点 O,连接 OQ、ON,连接 AF 在ABF中,O、Q 分别是 AB、BF 的中点 1 2 OQAF 同理可得 1 2 ONAE 26 2AFAE 3 2,3OQON 所以 QN 扫过的面积是以 O为圆心,3 2和3为半径的圆环的面积 2 2 3 239S 【点睛】本题考察旋转的性质、三角形相似、三角形全等、正方形的性质、中位线的性质与应用和动点问 题,属于几何综合题,难度较大解题

    40、的关键是通过相关图形的性质做出辅助线 27. 如图,抛物线 2 1 y 2 xbxc 与x轴交于 A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点 C连接 AC,BC,点 P 在抛物线上运动 (1)求抛物线的表达式; (2)如图,若点 P在第四象限,点 Q在 PA 的延长线上,当CAQ=CBA45 时,求点 P的坐标; (3)如图,若点 P在第一象限,直线 AP交 BC于点 F,过点 P作x轴的垂线交 BC于点 H,当 PFH 为等 腰三角形时,求线段 PH的长 【答案】 (1) 2 13 2 22 yxx ; (2) (6,-7) ; (3)PH=3 5 5 或 1.5 或 15 8 【解析】 【

    41、分析】 (1)根据待定系数法解答即可; (2)求得点 C 的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断ACB=90 ,继而可得ACO=CBA,在 x 轴上取点 E(2,0) ,连接 CE,易得OCE 是等腰直角三角形,可得OCE=45 ,进一步可推出ACE=CAQ,可 得 CEPQ,然后利用待定系数法分别求出直线 CE与 PQ 的解析式,再与抛物线的解析式联立方程组求解 即可; (3)设直线 AP交 y 轴于点 G,如图,由题意可得若PFH 为等腰三角形,则CFG 也为等腰三角形,设 G(0,m) ,求出直线 AF和直线 BC的解析式后,再解方程组求出点 F的坐标,然后分三种情况求出 m的 值,再求出直

    42、线 AP的解析式,进而可求出点 P的坐标,于是问题可求解 【详解】解: (1)把 A(-1,0),B(4,0)代入 2 1 y 2 xbxc ,得 1 0 2 840 bc bc ,解得: 3 2 2 b c , 抛物线的解析式是 2 13 2 22 yxx ; (2)令 x=0,则 y=2,即 C(0,2) , 222 125AC , 222 2420BC ,AB 2=25, 222 ACBCAB, ACB=90 , ACO+CAO=CBA+CAO=90 , ACO=CBA, 在 x轴上取点 E(2,0) ,连接 CE,如图, 则 CE=OE=2, OCE=45 , ACE=ACO+45 =

    43、CBA+45 =CAQ, CEPQ, C(0,2) ,E(2,0) , 直线 CE的解析式为 y=-x+2, 设直线 PQ的解析式为 y=-x+n,把点 A(-1,0)代入,可得 n=-1, 直线 PQ的解析式为 y=-x-1, 解方程组 2 13 2 22 1 yxx yx ,得 1 0 x y 或 6 7 x y , 点 P的坐标是(6,-7) ; (3)设直线 AP交 y 轴于点 G,如图, PHy 轴, PHC=OCB,FPH=CGF, 若PFH 为等腰三角形,则CFG 也为等腰三角形, C(0,2) ,B(4,0) , 直线 BC的解析式为 1 2 2 yx , 设 G(0,m) ,

    44、A(-1,0) , 直线 AF的解析式为 y=mx+m, 解方程组 1 2 2 yx ymxm ,得 42 21 5 21 m x m m y m , 点 F的坐标是 425 , 21 21 mm mm , 2222 2 222 425425 2,2, 21212121 mmmm CGmCFFGm mmmm , 当 CG=CF时, 22 2425 22 2121 mm m mm ,解得: 51 2 m (舍去负值) , 此时直线 AF 的解析式为 y= 51 2 x+ 51 2 , 解方程组 2 13 2 22 5151 22 yxx yx ,得 1 0 x y 或 55 7 511 2 x

    45、y , 点 P的坐标是(55, 7 511 2 ) ,此时点 H的坐标是(55, 51 2 ) , PH= 7 51151 3 55 22 ; 当 FG=FC时, 2222 425425 2 21212121 mmmm m mmmm ,解得 m= 1 2 或 m= 1 2 (舍)或 m=2(舍) , 此时直线 AF 的解析式为 y= 1 2 x+ 1 2 , 解方程组 2 13 2 22 11 22 yxx yx ,得 1 0 x y 或 3 2 x y , 点 P的坐标是(3,2) ,此时点 H 的坐标是(3, 1 2 ) , PH=2- 1 2 =1.5; 当 GF=GC时, 22 242

    46、5 2 2121 mm mm mm ,解得 3 4 m 或 m=2(舍去) , 此时直线 AF 的解析式为 y= 3 4 x+ 3 4 , 解方程组 2 13 2 22 33 44 yxx yx ,得 1 0 x y 或 5 2 21 8 x y , 点 P的坐标是( 5 2 , 21 8 ) ,此时点 H的坐标是( 5 2 , 3 4 ) , PH= 21315 848 ; 综上,PH=3 5 5 或 1.5或 15 8 【点睛】本题是二次函数的综合题,主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐 标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识,具有相当的难度,熟练掌握二次函数 的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键


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