1、2021 年四川省凉山州中考数学试卷年四川省凉山州中考数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把 正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。 1 （4 分）|2021|（ ） A2021 B2021 C D 2 （4 分）下列数轴表示正确的是（ ） A B C D 3 （4 分） “天问一号”在经历了 7 个月的“奔火”之旅和 3 个月的“环火”探测，完成了长达 5 亿千米的 行程，登陆器“祝融”号火
2、星车于 2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分从火星发来“短信” ，标志着我国首次火 星登陆任务圆满成功请将 5 亿这个数用科学记数法表示为（ ） A5107 B5108 C5109 D51010 4 （4 分）下面四个交通标志图是轴对称图形的是（ ） A B C D 5 （4 分）的平方根是（ ） A9 B9 C3 D3 6 （4 分）在平面直角坐标系中，将线段 AB 平移后得到线段 AB，点 A（2，1）的对应点 A的坐标为（2， 3） ，则点 B（2，3）的对应点 B的坐标为（ ） A （6，1） B （3，7） C （6，1） D （2，1） 7 （4 分）某校七年级 1 班
3、 50 名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示： 成绩 60 70 80 90 100 人数 3 9 13 16 9 则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（ ） A90，80 B16，85 C16，24.5 D90，85 8 （4 分）下列命题中，假命题是（ ） A直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 C若 ABBC，则点 B 是线段 AC 的中点 D三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心 9 （4 分）函数 ykx+b 的图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x2+bx+k10 的根的情况是（ ） A没有
4、实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D无法确定 10 （4 分）如图，ABC 中，ACB90，AC8，BC6，将ADE 沿 DE 翻折，使点 A 与点 B 重合， 则 CE 的长为（ ） A B2 C D 11 （4 分）点 P 是O 内一点，过点 P 的最长弦的长为 10cm，最短弦的长为 6cm，则 OP 的长为（ ） A3cm B4cm C5cm D6cm 12 （4 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ） Aabc0 B函数的最大值为 ab+c C当3x1 时，y0 D4a2b+c0 二、填空题（共二、填空题（共 5 个小
5、题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 13 （4 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是 14 （4 分）已知是方程 ax+y2 的解，则 a 的值为 15 （4 分）菱形 ABCD 中，对角线 AC10，BD24则菱形的高等于 16 （4 分）如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 120得到ABC，已知 AC3，BC2，则线段 AB 扫过 的图形（阴影部分）的面积为 17 （4 分）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要 3 根火柴棍；拼第二个图 形共需要5根火柴棍； 拼第三个图形共需要7根火柴棍； 照这样拼图， 则第n个图形需要 根 火柴棍 三
6、、解答题（共三、解答题（共 5 小题，共小题，共 32 分）分） 18 （5 分）解不等式：x3 19 （5 分）已知 xy2，1，求 x2yxy2的值 20 （7 分）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响为了保护学生 视力， 防止学生沉迷网络和游戏， 让学生在学校专心学习， 促进学生身心健康发展， 教育部办公厅于 2021 年 1 月 15 日颁发了教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知 为贯彻通知精神，某 学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两 幅不完整的统计图（其中 A 表示“一等奖” ，B 表示
7、“二等奖” ，C 表示“三等奖” ，D 表示“优秀奖” ） 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为 人，m ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得一等奖的 4 名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛， 请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率 21 （7 分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树 AB 的 高度，他在点 C 处测得大树顶端 A 的仰角为 45，再从 C 点出发沿斜坡走 2米到达斜坡上 D 点， 在点 D 处测得树顶端 A 的仰角为 30，若斜坡 CF 的坡
8、比为 i1：3（点 E、C、B 在同一水平线上） （1）求王刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度； （2）求大树 AB 的高度（结果保留根号） 22 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADCB90，过点 D 作 DEAB 于 E，若 DEBE （1）求证：DADC； （2）连接 AC 交 DE 于点 F，若ADE30，AD6，求 DF 的长 四、填空题（共四、填空题（共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分）分） 23 （5 分）若关于 x 的分式方程的解为正数，则 m 的取值范围是 24 （5 分）如图，等边三角形 ABC 的边长为 4，C 的半径为，P 为
9、 AB 边上一动点，过点 P 作C 的 切线 PQ，切点为 Q，则 PQ 的最小值为 五、解答题（共五、解答题（共 4 小题，共小题，共 40 分）分） 25 （8 分）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（JNpler，15501617 年）是对数的创始人他发明对数是在指数书写方式之前， 直到 18 世纪瑞士数学家欧拉（Evler，17071783 年）才发现指数与对数之间的联系 对数的定义：一般地，若 axN（a0 且 a1） ，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，比如 指数式 2416 可以转化为对数式 4log216，对数式 2log39 可以转化为指数式 329
10、 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（MN）logaM+logaN（a0，a1，M0，N0） ，理由如下： 设 logaMm，logaNn，则 Mam，Nan， MNamanam+n，由对数的定义得 m+nloga（MN） 又m+nlogaM+logaN， loga（MN）logaM+logaN 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： （1）填空：log232 ，log327 ，log71 ； （2）求证：logalogaMlogaN（a0，a1，M0，N0） ； （3）拓展运用：计算 log5125+log56log530 26 （10 分）如图，AOB 中，ABO9
11、0，边 OB 在 x 轴上，反比例函数 y（x0）的图象经过斜 边 OA 的中点 M，与 AB 相交于点 N，SAOB12，AN （1）求 k 的值； （2）求直线 MN 的解析式 27 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，AE 平分BAC 交 BC 于点 E，点 D 在 AB 上，DEAE， O 是 RtADE 的外接圆，交 AC 于点 F （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若O 的半径为 5，AC8，求 SBDE 28 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，AC，OB OC3OA （1）求抛物线的解析式；
12、（2）在第二象限内的抛物线上确定一点 P，使四边形 PBAC 的面积最大，求出点 P 的坐标； （3）在（2）的结论下，点 M 为 x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点 Q，使点 P、B、M、Q 为顶点的 四边形是平行四边形，若存在，请直接写出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由 2021 年四川省凉山州中考数学试卷年四川省凉山州中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把 正确选项的字母填涂在答题
13、卡上相应的位置。正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。 1 （4 分）|2021|（ ） A2021 B2021 C D 【分析】根据绝对值解答即可 【解答】解：2021 的绝对值是 2021， 故选：A 【点评】此题主要考查了绝对值，利用绝对值解答是解题关键 2 （4 分）下列数轴表示正确的是（ ） A B C D 【分析】注意数轴的三要素以及在数轴上，右边的数总比左边的数大即可做出判断 【解答】解：A 选项，应该正数在右边，负数在左边，故该选项错误； B 选项，负数的大小顺序不对，故该选项错误； C 选项，没有原点，故该选项错误； D 选项，有原点，正方向，单位长度，故该选项正确； 故选
14、：D 【点评】本题考查了数轴的画法，画数轴的时候要注意原点，正方向，单位长度要画全 3 （4 分） “天问一号”在经历了 7 个月的“奔火”之旅和 3 个月的“环火”探测，完成了长达 5 亿千米的 行程，登陆器“祝融”号火星车于 2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分从火星发来“短信” ，标志着我国首次火 星登陆任务圆满成功请将 5 亿这个数用科学记数法表示为（ ） A5107 B5108 C5109 D51010 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，且 n 比原来的 整数位数少 1，据此判断即可 【解答】解：5 亿5000000
15、005108 故选：B 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，确定 a 与 n 的值是解题的关键 4 （4 分）下面四个交通标志图是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解 【解答】解：A不是轴对称图形，故本选项不合题意； B不是轴对称图形，故本选项不合题意； C是轴对称图形，故本选项符合题意； D不是轴对称图形，故本选项不合题意 故选：C 【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部 分沿对称轴折叠后可重合 5 （4 分）的平方根是（ ） A9
16、B9 C3 D3 【分析】求出9，求出 9 的平方根即可 【解答】解：9， 的平方根是3， 故选：D 【点评】本题考查了对算术平方根，平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力 6 （4 分）在平面直角坐标系中，将线段 AB 平移后得到线段 AB，点 A（2，1）的对应点 A的坐标为（2， 3） ，则点 B（2，3）的对应点 B的坐标为（ ） A （6，1） B （3，7） C （6，1） D （2，1） 【分析】根据点 A 到 A确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点 B的坐标 【解答】解：A（2，1）平移后得到点 A的坐标为（2，3） ， 向下平移了 4 个单位，向左平移了 4
17、个单位， B（2，3）的对应点 B的坐标为（24，34） ， 即（6，1） 故选：C 【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标 上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键 7 （4 分）某校七年级 1 班 50 名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示： 成绩 60 70 80 90 100 人数 3 9 13 16 9 则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（ ） A90，80 B16，85 C16，24.5 D90，85 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；中位数要把数据按从小到大 的顺序排列，位于最中
18、间的一个数或两个数的平均数为中位数 【解答】解：90 出现的次数最多，众数为 90 这组数据一共有 50 个， 已经按大小顺序排列， 第 25 和第 26 个数分别是 80、 90， 所以中位数为 （80+90） 285 故选：D 【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，要明确定义，一些学生往往对 这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后 再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找 中间两位数的平均数 8 （4 分）下列命题中，假命题是（ ） A直角三角形斜边上的中线等于斜
19、边的一半 B等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 C若 ABBC，则点 B 是线段 AC 的中点 D三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质对 A 进行判断；根据等腰三角形的性质对 B 进行判断；根据 线段的中点定义对 C 进行判断；根据三角形外心的定义对 D 进行判断。 【解答】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以 A 选项不符合题意； B、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，所以 B 选项不符合题意； C、若 A、B、C 在同一直线上，且 ABBC，则点 B 是线段 AC 的中点，所以
20、 C 选项符合题意； D、三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心，所以 D 选项不符合题意。 故选：C 【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真” “假”是就命题的内容而言任何一个命题非真即假要 说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 9 （4 分）函数 ykx+b 的图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x2+bx+k10 的根的情况是（ ） A没有实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D无法确定 【分析】先利用一次函数的性质得 k0，b0，再计算判别式的值得到b24（k1） ，于是可判断 0，然后根据判别式的意
21、义判断方程根的情况 【解答】解：根据图象可得 k0，b0， 所以 b20，4k0， 因为b24（k1）b24k+40， 所以0， 所以方程有两个不相等的实数根 故选：C 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系： 当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无 实数根也考查了一次函数图象 10 （4 分）如图，ABC 中，ACB90，AC8，BC6，将ADE 沿 DE 翻折，使点 A 与点 B 重合， 则 CE 的长为（ ） A B2 C D 【分析】在 RtBCE 中，由 BE2CE2+BC2,
22、得到（8x）2x2+62，即可求解。 【解答】解：设 CEx，则 AE8xEB， 在 RtBCE 中，BE2CE2+BC2, 即（8x）2x2+62， 解得 x， 故选：D 【点评】本题考查的是翻折变换（折叠问题） ，明确 AEBE 是本题解题的关键。 11 （4 分）点 P 是O 内一点，过点 P 的最长弦的长为 10cm，最短弦的长为 6cm，则 OP 的长为（ ） A3cm B4cm C5cm D6cm 【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径；最短弦即是过点 P 且垂直于过点 P 的直径的弦；根 据垂径定理即可求得 CP 的长，再进一步根据勾股定理，可以求得 OP 的长 【解答】解
23、：如图所示，CDAB 于点 P 根据题意，得 AB10cm，CD6cm CDAB， CPCD3cm 根据勾股定理，得 OP4（cm） 故选：B 【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦 12 （4 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ） Aabc0 B函数的最大值为 ab+c C当3x1 时，y0 D4a2b+c0 【分析】利用抛物线开口方向得到 a0，根据抛物线的对称性得到 b2a0，根据抛物线与 y 轴的交点 位置得到 c0，则可对 A 进行判断；利用二次函数的最值问题可对 B 进行判断;利用抛物线与 x
24、 轴的交 点与图像可对 C 进行判断；利用 x2，y0 可对 D 进行判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线的对称轴为直线 x1， b2a0， 抛物线与 y 轴的交点坐标在 x 轴上方， c0， abc0，所以 A 不符合题意； 当 x1 时，函数的最大值为：a(1)2+b(1)+cab+c，故 B 不符合题意； 由图可知，抛物线与 x 轴的另一交点为（3,0） ，所以3x1 时，y0,故 C 不符合题意； 当 x2 时，y0, 所以，a(2)2+b(2)+c0, 即 4a2b+c0,故 D 符合题意， 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a 决定抛物
25、线的开口方向和大小,当 a0 时，抛物线向上开口,当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位 置：当 a 与 b 同号时，对称轴在 y 轴左;当 a 与 b 异号时，对称轴在 y 轴右，常数项 c 决定抛物线与 y 轴 交点：抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛物线与 x 轴交点个数由判别式确定：b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴没 有交点 二、填空题（共二、填空题（共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 13 （4 分）函数
26、 y中，自变量 x 的取值范围是 x3 且 x0 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列不等式组求解 【解答】解：根据题意得：， 解得 x3 且 x0 故答案为 x3 且 x0 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0，二次根式有 意义，被开方数是非负数 14 （4 分）已知是方程 ax+y2 的解，则 a 的值为 1 【分析】把方程组的解代入方程，得到关于 a 的一元一次方程，解方程即可 【解答】解：把代入到方程中得：a+32， a1， 故答案为：1 【点评】本题考查了二元一次方程的解，把方程组的解代入方程，得到
27、关于 a 的一元一次方程是解题的 关键 15 （4 分）菱形 ABCD 中，对角线 AC10，BD24则菱形的高等于 【分析】由题意得，菱形的面积ACBD1024120，设菱形的高为 h，则菱形的面积BC h13h120，即可求解。 【解答】解：由题意得，菱形的面积ACBD1024120， 则 AO5，BO12， 则 AB13， 设菱形的高为 h， 则菱形的面积BCh13h120， 解得 h， 故答案为 【点评】本题考查的是菱形面积的计算方法，利用两种不同方法求解菱形面积是本题解题的关键。 16 （4 分）如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 120得到ABC，已知 AC3，BC2，则线段 A
28、B 扫过 的图形（阴影部分）的面积为 【分析】 根据图形可以得出 AB 扫过的图形的面积S扇形ACA+SABCS扇形BCBSABC， 由旋转的性 质就可以得出 SABCSABC就可以得出 AB 扫过的图形的面积S扇形ACAS扇形BCB求出其值即可 【解答】解：ABC 绕点 C 旋转 60得到ABC， ABCABC， SABCSABC，BCBACA120 AB 扫过的图形的面积S扇形ACA+SABCS扇形BCBSABC， AB 扫过的图形的面积S扇形ACAS扇形BCB， AB 扫过的图形的面积 故答案为：。 【点评】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时
29、根 据旋转的性质求解是关键 17 （4 分）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要 3 根火柴棍；拼第二个图 形共需要 5 根火柴棍； 拼第三个图形共需要 7 根火柴棍； 照这样拼图， 则第 n 个图形需要 (2n+1) 根 火柴棍 【分析】根据数值的变化找出变化规律,即可得出结论 【解答】解：设第 n 个图形需要 an（n 为正整数）根火柴棒， 观察发现规律：第一个图形需要火柴棍：312+1， 第二个图形需要火柴棍：522+1； 第三个图形需要火柴棍：732+1， 第 n 个图形需要火柴棍：2n+1 故答案为：(2n+1) 【点评】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该
30、题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律 是关键 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，共小题，共 32 分）分） 18 （5 分）解不等式：x3 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为 1 可得 【解答】解：去分母，得：4（1x）12x363（x+2） ， 去括号，得：44x12x363x6， 移项、合并，得：13x26， 系数化为 1 得，x2 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的性质是关键，尤其需要注意 不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变 19 （5 分）已知 xy2，1，求 x2yxy2的值 【
31、分析】将1 变形后得到 yxxy,再将多项式因式分解后整体代入可得结论 【解答】解：1， yxxy xy2, yxxy2 原式xy(xy)224 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，将要求的代数式因式分解，并整体代入是解题的关键 20 （7 分）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响为了保护学生 视力， 防止学生沉迷网络和游戏， 让学生在学校专心学习， 促进学生身心健康发展， 教育部办公厅于 2021 年 1 月 15 日颁发了教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知 为贯彻通知精神，某 学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分
32、情况绘制了如图所示的两 幅不完整的统计图（其中 A 表示“一等奖” ，B 表示“二等奖” ，C 表示“三等奖” ，D 表示“优秀奖” ） 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为 40 人，m 30 ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得一等奖的 4 名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛， 请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率 【分析】 （1）用“二等奖”人数除以它所占的百分比得到获奖总人数，然后计算“三等奖”人数所占的 百分比得到 m 的值； （2）利用“三等奖”人数为 12 补全条形统计图； （3）画树
33、状图展示所有 12 种等可能的结果，找出抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，然后 根据概率公式求解。 【解答】解： （1）获奖总人数为 820%40（人） ， m%100%30%， 即 m30； 故答案为 40；30； （2） “三等奖”人数为 40481612（人） ， 条形统计图补充为： （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为 6， 所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率。 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出 符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件
34、 A 或事件 B 的概率。也考查了统计图。 21 （7 分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树 AB 的 高度，他在点 C 处测得大树顶端 A 的仰角为 45，再从 C 点出发沿斜坡走 2米到达斜坡上 D 点， 在点 D 处测得树顶端 A 的仰角为 30，若斜坡 CF 的坡比为 i1：3（点 E、C、B 在同一水平线上） （1）求王刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度； （2）求大树 AB 的高度（结果保留根号） 【分析】 （1）作 DHCE 于 H，解 RtCDH，即可求出 DH； （2）过点 D 作 DGAB 于点 G，设 BCx 米，用
35、x 表示出 AG、DG，根据 tanADG列出方程， 解方程得到答案 【解答】解:(1)过点 D 作 DHCE 于点 H, 由题意知 CD2米, 斜坡 CF 的坡比为 i1：3, , 设 DHx(米),CH3x(米), DH2+CH2DC2, , x2, DH2(米),CH6(米), 答:王刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度为 2 米； (2)过点 D 作 DGAB 于点 G, DHBDGBABC90, 四边形 DHBG 为矩形, DHBG2 米,DGBH(x+6)米, ACB45, BCABx(米), AG(x2)米, ADG30, , , x6+4, AB(6+4)(米) 答:大
36、树 AB 的高度是(6+4)米 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概 念是解题的关键 22 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADCB90，过点 D 作 DEAB 于 E，若 DEBE （1）求证：DADC； （2）连接 AC 交 DE 于点 F，若ADE30，AD6，求 DF 的长 【分析】 （1）作 DGBD，交 BC 的延长线于点 G，然后即可得得到四边形 DEBG 的形状，再根据题目 中的条件，可以证明ADE 和CDG 全等，然后即可得到结论成立； （2）根据正方形的性质、勾股定理和三角形相似，可以得到 EF 的长，然后根据 D
37、E 的长，即可得到 DF 的长 【解答】 （1）证明：作 DGBD，交 BC 的延长线于点 G，如右图所示， DEAB，B90，DGBC， DEBBBGD90， 四边形 DEBG 是矩形， 又DEBE， 四边形 DEBG 是正方形， DGBE，EDG90， DGDE，EDC+CDG90， ADC90， EDC+ADE90， ADECDG， 在ADE 和CDG 中， ， ADECDG（ASA） ， DADC； （2）ADE30，AD6，DEA90， AE3，DE3， 由（1）知，ADECDG，四边形 DEBG 是正方形， DGDE3，AECG3，BEDGBG3， BCBGCG33，AEAE+BE
38、3+3， FGAB，BCAB， FECB， AEFABC， ， 即， 解得 EF63， DFDEEF3（63）36+366， 即 DF 的长是 66 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性 质，解答本题的关键是证明ADE 和CDG 全等和求出 EF 的长，利用数形结合的思想解答 四、填空题（共四、填空题（共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分）分） 23 （5 分）若关于 x 的分式方程的解为正数，则 m 的取值范围是 m3 且 m2 【分析】先利用 m 表示出 x 的值，再由 x 为正数求出 m 的取值范围即可 【解答
39、】解：方程两边同时乘以(x1)得，2x3（x1）m， 解得 xm+3 x 为正数， m+30，解得 m3 x1， m+31，即 m2 m 的取值范围是 m3 且 m2 故答案为：m3 且 m2 【点评】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于 0 的未 知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键 24 （5 分）如图，等边三角形 ABC 的边长为 4，C 的半径为，P 为 AB 边上一动点，过点 P 作C 的 切线 PQ，切点为 Q，则 PQ 的最小值为 3 【分析】连接 CP、CQ，作 CHAB 于 H，如图，根据等边三角形的性质得到 ABCB4,BCH
40、ACB6030,根据直角三角形的性质得到 BHAB4,CHBC42，由切线 的性质得到 CQPQ，根据勾股定理得到 PQ，推出当点 P 运动到 H 点时，CP 最小，于是得到结论。 【解答】解：连接 CP、CQ，作 CHAB 于 H，如图， 等边三角形 ABC 的边长为 4， ABCB4,BCHACB6030, BHAB4,CHBC42， PQ 为C 的切线， CQPQ， 在 RtCPQ 中，PQ， 点 P 是 AB 边上一动点， 当点 P 运动到 H 点时，CP 最小， 即 CP 的最小值为 2， PQ 的最小值为3, 故答案为：3 【点评】 本题考查了切线的性质： 圆的切线垂直于经过切点的
41、半径 运用切线的性质来进行计算或论证， 常通过作辅助线连接圆心和切点， 利用垂直构造直角三角形解决有关问题 也考查了等边三角形的性质 五、解答题（共五、解答题（共 4 小题，共小题，共 40 分）分） 25 （8 分）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（JNpler，15501617 年）是对数的创始人他发明对数是在指数书写方式之前， 直到 18 世纪瑞士数学家欧拉（Evler，17071783 年）才发现指数与对数之间的联系 对数的定义：一般地，若 axN（a0 且 a1） ，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，比如 指数式 2416 可以转化为对数式 4log216
42、，对数式 2log39 可以转化为指数式 329 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（MN）logaM+logaN（a0，a1，M0，N0） ，理由如下： 设 logaMm，logaNn，则 Mam，Nan， MNamanam+n，由对数的定义得 m+nloga（MN） 又m+nlogaM+logaN， loga（MN）logaM+logaN 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： （1）填空：log232 5 ，log327 3 ，log71 0 ； （2）求证：logalogaMlogaN（a0，a1，M0，N0） ； （3）拓展运用：计算 log5125+log5
43、6log530 【分析】 （1）直接根据定义计算即可； （2）先设 logaMm，logaNn，根据对数的定义可表示为指数式为：Mam，Nan，计算的结果， 同理由所给材料的证明过程可得结论； （3）根据公式：loga（MN）logaM+logaN 和 logalogaMlogaN 的逆用，将所求式子表示为：log5 （125630） ，计算可得结论 【解答】解： （1）log232log2255，log327log3333，log71log7700； 故答案为：5，3，0； （2）设 logaMm，logaNn，则 Mam，Nan， am n，由对数的定义得 mnlog a ， 又mnlog
44、aMlogaN， logalogaMlogaN（a0，a1，M0，N0） ； （3）原式log5（125630） log525 2 【点评】本题考查了有理数的混合运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明 确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系 26 （10 分）如图，AOB 中，ABO90，边 OB 在 x 轴上，反比例函数 y（x0）的图象经过斜 边 OA 的中点 M，与 AB 相交于点 N，SAOB12，AN （1）求 k 的值； （2）求直线 MN 的解析式 【分析】 （1）设 N（a,b),则 A(a,b+),M(a,b+)，由反比例函数 y（x0）的图
45、象经过斜边 OA 的中点 M，得 ka(b+)ab,b,根据 SAOB12 得a(b+)12,可得 a4,故 k46； （2）由（1）知：M(2，3),N(4，),设直线 MN 解析式为 ymx+n,用待定系数法即可得到答案 【解答】解： （1）设 N（a,b),则 OBa,BNb, AN, ABb+, A(a,b+), M 为 OA 中点， M(a,b+)， 而反比例函数 y（x0）的图象经过斜边 OA 的中点 M， ka(b+)ab, 解得：b, SAOB12，ABO90， OBAB12,即a(b+)12, 将 b代入得：, 解得 a4, N(4,),M(2，3), k46； （2）由（1
46、）知：M(2，3),N(4，), 设直线 MN 解析式为 ymx+n, ,解得, 直线 MN 解析式为 yx+ 【点评】本题考查反比例函数综合知识，涉及反比例函数的图象及解析式、一次函数解析式、三角形面 积等知识，解题的关键是用含未知数的代数式表示相关点的坐标和线段长度 27 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，AE 平分BAC 交 BC 于点 E，点 D 在 AB 上，DEAE， O 是 RtADE 的外接圆，交 AC 于点 F （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若O 的半径为 5，AC8，求 SBDE 【分析】 （1）根据直角三角形两锐角互余，等腰三角形性质以及等量代换可得
47、出AEC+OEA90， 即 OEBC，从而得出 BC 是O 的切线； （2）根据ACEAED 和勾股定理可求出 AE，DE，根据角平分线的性质可得出三角形 BDE 的 BD 边上的高 EM，再根据相似三角形和勾股定理求出 BD 即可 【解答】解： （1）连接 OE， C90， 2+AEC90, 又OAOE， 1OEA， 12， AEC+OEA90， 即 OEBC， BC 是O 的切线； （2）过点 E 作 EMAB，垂足为 M， 12，CAED90， ACEAED， ， 即， AE4， 由勾股定理得， CE4EM， DE2， DEB1，BB， BDEBEA， ， 设 BDx，则 BE2x， 在
48、 RtBOE 中，由勾股定理得， OE2+BE2OB2， 即 52+（2x）2（5+x）2， 解得 x， SBDEBDEM 4 【点评】本题考查切线的判定，相似三角形，勾股定理，掌握切线的判定方法，相似三角形的判定和性 质以及勾股定理是解决问题的前提 28 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，AC，OB OC3OA （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内的抛物线上确定一点 P，使四边形 PBAC 的面积最大，求出点 P 的坐标； （3）在（2）的结论下，点 M 为 x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点 Q，使点 P、B、M、Q 为顶点的 四边形
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