1、 上海市上海市 2021 年中考数学试题年中考数学试题 一、选择题一、选择题 1. 下列实数中，有理数是（ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 【答案】C 【解析】 【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可 【详解】解： A、 12 = 22 2是无理数，故 1 2 是无理数 B、 13 = 33 3是无理数，故 1 3 是无理数 C、 11 = 42 为有理数 D、 15 = 55 5是无理数，故 1 5 是无理数 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键 2. 下列单项式中， 23 a b的同类项是（
2、 ） A. 32 a b B. 23 2a b C. 2 a b D. 3 ab 【答案】B 【解析】 【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项 【详解】a的指数是 3，b 的指数是 2，与 23 a b中 a的指数是 2，b 的指数是 3不一致， 32 a b不是 23 a b的同类项，不符合题意； a的指数是 2，b 的指数是 3，与 23 a b中 a的指数是 2，b 的指数是 3一致， 23 2a b是 23 a b的同类项，符合题意； a的指数是 2，b 的指数是 1，与 23 a b中 a的指数是 2，b 的指数是 3不一致， 2 a b不是 23 a b的同类项，不符合题意
3、； a的指数是 1，b 的指数是 3，与 23 a b中 a的指数是 2，b 的指数是 3不一致， 3 ab不是 23 a b的同类项，不符合题意； 故选 B 【点睛】本题考查了同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键 3. 将抛物线 2 (0)yaxbxc a向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ） A. 开口方向不变 B. 对称轴不变 C. y随 x 的变化情况不变 D. 与 y 轴的交点不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的平移特点即可求解 【详解】将抛物线 2 (0)yaxbxc a向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故 y随 x 的变 化情况不变；与 y轴的交点改
4、变 故选 D 【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点 4. 商店准备一种包装袋来包装大米， 经市场调查以后， 做出如下统计图， 请问选择什么样的包装最合适 （ ） A. 2kg/包 B. 3kg/包 C. 4kg/包 D. 5kg/包 【答案】A 【解析】 【分析】选择人数最多的包装是最合适的 【详解】由图可知，选择 1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多， 选择在 1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适 故选：A 【点睛】本题较简单，从图中找到选择人数最多的包装的范围，再逐项分析即可 5. 如图，已知平行四边形 ABCD 中，,
5、ABa ADb，E为AB中点，求 1 2 ab（ ） A. EC B. CE C. ED D. DE 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的特点及加减法则即可求解 【详解】四边形 ABCD是平行四边形，E为AB中点， 11 22 abABBCEBBCEC 故选 A 【点睛】此题主要考查向量的表示，解题的关键是熟知平行四边形的特点及向量的加减法则 6. 如图，已知长方形ABCD中，4,3ABAD，圆 B的半径为 1，圆 A与圆 B内切，则点 ,C D与圆 A 的位置关系是（ ） A. 点 C在圆 A外，点 D在圆 A内 B. 点 C在圆 A外，点 D在圆 A外 C. 点 C在圆 A上，点 D在
6、圆 A内 D. 点 C在圆 A内，点 D在圆 A外 【答案】C 【解析】 【分析】根据内切得出圆 A 的半径，再判断点 D、点 E 到圆心的距离即可 【详解】 圆 A与圆 B内切，4AB ，圆 B 的半径为 1 圆 A的半径为 5 3AD5 点 D在圆 A内 在 RtABC中， 2222 435ACABBC 点 C在圆 A上 故选：C 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键 二、填空题二、填空题 7. 计算： 72= xx_ 【答案】 5 x 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可 详解】 72= xx 5 x, 故答案为: 5
7、x 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算的法则是解题的关键 8. 已知 6 ( )f x x ，那么( 3)f_ 【答案】2 3 【解析】 【分析】直接利用已知的公式将 x的值代入求出答案 【详解】解： 6 ( )f x x ， 6 ( 3)2 3 3 f= ， 故答案为：2 3 【点睛】本题主要考查了函数值，正确把已知代入是解题关键 9. 已知43x，则x_ 【答案】5 【解析】 【分析】方程两边同平方，化为一元一次方程，进而即可求解 【详解】解：43x， 两边同平方，得49x， 解得：x=5， 经检验，x=5是方程的解， x=5， 故答案是：5 【点睛】本题主要考查解根式方程，把
8、根式方程化为整式方程，是解题的关键 10. 不等式2120 x解集是_ 【答案】6x 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解 【详解】2120 x 212x 6x 故答案为：6x 【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的性质 11. 70的余角是_ 【答案】20 【解析】 【分析】根据余角的定义即可求解 【详解】70余角是 90 -70=20 故答案为：20 【点睛】此题主要考查余角的求解，解题的关键是熟知余角的定义与性质 12. 若一元二次方程 2 230 xxc无解，则 c 的取值范围为_ 【答案】 9 8 c 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到
9、2 34 2c 0，然后求出 c 的取值范围 【详解】解：关于 x 的一元二次方程 2 230 xxc无解， 2a，3b，cc， 2 2 434 20bacc ， 解得 9 8 c ， c的取值范围是 9 8 c 故答案为： 9 8 c 【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac：当0，方程有两个不相 等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根 13. 有数据1,2,3,5,8,13,21,34，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为_ 【答案】 3 8 【解析】 【分析】根据概率公式计算即可 【详解】根据概率公式，得偶数的概
10、率为 3 8 ， 故答案为： 3 8 【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键 14. 已知函数y kx 经过二、 四象限， 且函数不经过( 1,1)， 请写出一个符合条件的函数解析式_ 【答案】2yx （0k 且1k 即可） 【解析】 【分析】正比例函数经过二、四象限，得到 k0，又不经过(-1,1)，得到 k-1，由此即可求解 【详解】解：正比例函数y kx 经过二、四象限， k0， 当y kx 经过( 1,1)时，k=-1， 由题意函数不经过( 1,1)，说明 k-1， 故可以写的函数解析式为：2yx (本题答案不唯一，只要0k 且1k 即可) 【点睛】本题考查了正比
11、例函数的图像和性质，属于基础题，y kx(k0)当 0k 时经过第二、四象限；当 0k 时经过第一、三象限 15. 某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为 5元/千 克，现以 8 元/千克卖出，赚_元 【答案】 33 5 k 【解析】 【分析】利用待定系数法求出函数关系式，求出当售价为 8元/千克时的卖出的苹果数量再利用利润=（售 价-进价）销售量，求出利润 【详解】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为510ymxnx，将（5，4k） ， （10，k）代入关 系式： 54 10 mnk mnk ，解得 3 5 7 mk nk 3 7510 5 ykx
12、kx 令8x ，则 11 5 yk 利润= 1133 85 55 kk 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式和利润求解问题利润=（售价-进价）销售量 16. 如图，已知 1 2 ABD BCD S S ，则 BOC BCD S S _ 【答案】 2 3 【解析】 【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出 1 2 AD BC ，再根据AODCOB 得出 1 2 ODAD OBBC ，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可 【详解】解：作 AEBC，CFBD 1 2 ABD BCD S S ABD和BCD等高，高均为 AE 1 1 2 1 2 2 ABD BCD AD A
13、E SAD SBC BC AE ADBC AODCOB 1 2 ODAD OBBC BOC和DOC等高，高均为 CF 1 2 2 1 1 2 BOC DOC OBCF SOB SOD ODCF BOC BCD S S 2 3 故答案为： 2 3 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的 面积的特点是解题的关键 17. 六个带30角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为 1，求中间正六边形的面积 _ 【答案】 3 3 2 【解析】 【分析】由六个带30角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为 1，可以得到中间正六边 形的
14、边长为 1，做辅助线以后，得到ABC、CDE、AEF为以 1为边长的等腰三角形，ACE 为等边三 角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可 【详解】解：如图所示，连接 AC、AE、CE，作 BGAC、DICE、FHAE，AICE， 在正六边形 ABCDEF 中， 直角三角板的最短边为 1， 正六边形 ABCDEF 为 1， ABC、CDE、AEF 为以 1 为边长的等腰三角形，ACE为等边三角形， ABC=CDE =EFA =120，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1， BAG=BCG =DCE=DEC=FAE =FEA=30， BG=DI= FH= 1 2
15、， 由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH = 3 2 ， AC =AE = CE = 3， 由勾股定理得：AI= 3 2 ， S= 11133 3 333 22222 ， 故答案为： 3 3 2 【点睛】本题主要考查了含 30 度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在 于知识点：在直角三角形中，30 度角所对的直角边等于斜边的一半的应用 18. 定义： 在平面内， 一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离， 在平面内有一个正方形， 边长为 2，中心为 O，在正方形外有一点,2P OP ，当正方形绕着点 O 旋转时，则点 P到正
16、方形的最短距 离 d的取值范围为_ 【答案】2 21d 【解析】 【分析】先确定正方形的中心 O 与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求 解 【详解】解：如图 1，设AD的中点为 E，连接 OA，OE，则 AE=OE=1，AEO=90， 2OA 点 O与正方形ABCD边上的所有点的连线中， OE最小，等于 1，OA最大，等于 2 2OP ， 点 P与正方形ABCD边上的所有点的连线中， 如图 2 所示，当点 E落在OP上时，最大值 PE=PO-EO=2-1=1； 如图 3 所示，当点 A落在OP上时，最小值 22PAPOAO 当正方形 ABCD绕中心 O旋转时，点 P
17、 到正方形的距离 d的取值范围是2 21d 故答案为：2 21d 【点睛】本题考查了新定义、正方形的性质、勾股定理等知识点，准确理解新定义的含义和熟知正方形的 性质是解题的关键 三、解答题三、解答题 19. 计算： 1 1 2 9|12 | 28 【答案】2 【解析】 【分析】根据分指数运算法则，绝对值化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式以 及同类项即可 【详解】解： 1 1 2 9|12 | 28 ， = 1 9122 2 2 ， =3 2 12 ， =2 【点睛】本题考查实数混合运算，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根 式，合并同类二次根式与
18、同类项，掌握实数混合运算法则与运算顺序，分指数运算法则，绝对值符号化简， 负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项是解题关键 20. 解方程组： 22 3 40 xy xy 【答案】 2 1 x y 和 6 3 x y 【解析】 【分析】由第一个方程得到3xy，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出y，再回代第 一个方程中即可求出x 【详解】解：由题意： 22 3(1) 40(2) xy xy ， 由方程(1)得到：3xy，再代入方程(2)中： 得到： 22 (3)40yy-=， 进一步整理为：32yy-=或32yy-=-， 解得 1 1y ， 2 3y ， 再回代方
19、程(1)中，解得对应的 1 2x ， 2 6x ， 故方程组的解为： 2 1 x y 和 6 3 x y 【点睛】本题考查了代入消元法解方程及一元二次方程的解法，熟练掌握代入消元法，运算过程中细心即 可 21. 已知在ABD中， ,8,4ACBD BCCD ， 4 cos 5 ABC，BF为AD边上的中线 （1）求AC的长； （2）求tanFBD的值 【答案】 （1）6AC ； （2） 3 10 【解析】 【分析】 （1）在 RtABC中，利用三角函数即可求出 AB，故可得到 AC 的长； （2）过点 F作 FGBD，利用中位线的性质得到 FG，CG，再根据正切的定义即可求解 【详解】 （1）
20、ACBD， 4 cos 5 ABC cos 4 5 ABC BC AB AB=10 AC= 22 6ABBC-= ； （2）过点 F作 FGBD， BF为AD边上的中线 F是 AD 中点 FGBD，ACBD /FG AC FG是ACD的中位线 FG= 1 = 2 AC3 CG= 1 =2 2 CD 在 RtBFG中，tanFBD= 33 8210 FG BG 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义 22. 现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产 80 万部5G手机，三个月生产情况如下图 （1）求三月份共生产了多少部手机? （2）5G手机速度很快， 比4G下载速度
21、每秒多95MB， 下载一部1000MB的电影，5G比4G要快 190秒， 求5G手机的下载速度 【答案】 （1）36 万部； （2）100MB/秒 【解析】 【分析】 （1）根据扇形统计图求出 3 月份的百分比，再利用 80 万3 月份的百分比求出三月份共生产的手 机数； （2）设5G手机的下载速度为 xMB/秒，则4G下载速度为95xMB/秒，根据下载一部1000MB的电 影，5G比4G要快 190 秒列方程求解 【详解】 （1）3 月份的百分比=1 30% 25%45% 三月份共生产的手机数=80 45%=36（万部） 答：三月份共生产了 36 万部手机 （2）设5G手机的下载速度为 xM
22、B/秒，则4G下载速度为95xMB/秒， 由题意可知： 10001000 190 95xx 解得：100 x 检验：当100 x 时，950 xx 100 x 是原分式方程的解 答：5G手机的下载速度为 100MB/秒 【点睛】本题考查实际问题与分式方程求解分式方程时，需要检验最简公分母是否为 0 23. 已知： 在圆 O 内， 弦AD与弦BC交于点 ,G ADCB M N 分别是CB和AD的中点， 联结,MN OG （1）求证：OGMN； （2）联结,AC AM CN，当/CNOG时，求证：四边形ACNM为矩形 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）连结 ,OM
23、ON，由 M、N分别是CB和AD的中点，可得 OMBC，ONAD，由AB CD ， 可得OMON，可证Rt EOPRt FOP HL，MGNGMGONGO，根据等腰三角形三 线合一性质OGMN; （2）设 OG 交 MN 于 E，由Rt EOPRt FOP，可得MGNG，可得CMNANM， 11 22 CMCBADAN，可证CMNANM可得AMCN，由 CNOG，可得 90AMNCNM，由+=180AMNCNM可得 AMCN，可证ACNM是平行四边形，再由 90AMN可证四边形 ACNM 是矩形 【详解】证明： （1）连结 ,OM ON， M、N分别是CB和AD的中点， OM，ON 为弦心距，
24、 OMBC，ONAD， 90GMOGNO， 在O中，ABCD， OMON， 在 RtOMG和 RtONG 中， OMON OGOG ， Rt GOMRt GON HL， MGNGMGONGO， OGMN; （2）设 OG 交 MN 于 E， Rt GOMRt GON HL， MGNG， GMNGNM，即CMNANM， 11 22 CMCBADAN， 在CMN 和ANM中 CMAN CMNANM MNNM ， CMNANM， ,AMCNAMNCNM ， CNOG， 90CNMGEM， 90AMNCNM， +90 +90 =180AMNCNM， AMCN， ACNM是平行四边形， 90AMN， 四
25、边形 ACNM是矩形 【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形 的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判 定是解题关键 24. 已知抛物线 2 (0)yaxc a过点 (3,0),(1,4)PQ （1）求抛物线的解析式； （2） 点 A 在直线PQ上且在第一象限内， 过 A 作ABx轴于 B， 以AB斜边在其左侧作等腰直角ABC 若 A与 Q 重合，求 C到抛物线对称轴的距离； 若 C落在抛物线上，求 C的坐标 【答案】 （1） 2 19 22 yx ； （2）1；点 C的坐标是 5 2,
26、2 【解析】 【分析】(1)将(3,0)(1,4)PQ、两点分别代入 2 yaxc，得 90, 4, ac ac ,解方程组即可; （2）根据 AB=4,斜边上的高为 2,Q的横坐标为 1,计算点 C 的横坐标为-1,即到 y轴的距离为 1；根据直 线 PQ的解析式， 设点 A （m， -2m+6） ,三角形 ABC是等腰直角三角形， 用含有 m的代数式表示点 C 的坐标， 代入抛物线解析式求解即可. 【详解】 （1）将(3,0)(1,4)PQ、两点分别代入 2 yaxc，得 90, 4, ac ac 解得 19 , 22 ac 所以抛物线的解析式是 2 19 22 yx （2）如图 2，抛物
27、线的对称轴是 y 轴，当点 A 与点(1,4)Q重合时，4AB ， 作CHAB于 H ABC等腰直角三角形， CBH和CAH也是等腰直角三角形， 2CHAHBH， 点 C到抛物线的对称轴的距离等于 1 如图 3，设直线 PQ的解析式为 y=kx+b，由(3,0)(1,4)PQ、，得 30, 4, kb kb 解得 2, 6, k b 直线PQ的解析式为26yx ， 设( , 26)A mm， 26ABm， 所以3CHBHAHm 所以3,(3)23 CC ymxmmm 将点(23,3)Cmm代入 2 19 22 yx ， 得 2 19 3(23) 22 mm 整理，得 2 2730mm 因式分解
28、，得(21)(3)0mm 解得 1 2 m ，或3m（与点 B 重合，舍去） 当 1 2 m 时， 15 231 32,33 22 mm 所以点 C 的坐标是 5 2, 2 【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方 程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键 25. 如图，在梯形ABCD中， / /,90 ,ADBCABCADCD O 是对角线AC的中点，联结BO并延 长交边CD或边AD于 E （1）当点 E在边CD上时， 求证：DACOBC； 若BECD，求 AD BC 的值； （2）若2,3DE
29、OE，求CD的长 【答案】 （1）见解析； 2 3 ； （2）1 19 或3 19 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导， DACDCAOBCOCB，由此可得DACOBC； 若BECD， 那么在Rt BCE中， 由234 可得23430 ， 作D HB C于 H 设 2A D C Dm，那么2BHADm根据30所对直角边是斜边的一半可知CHm，由此可得 AD BC 的值 （2）当点 E 在AD上时，可得四边形ABCE是矩形，设ADCDx，在Rt ACE和Rt DCEV中， 根据 22 CECE，列方程 2222 6(2)2xx求解即可
30、 当点 E 在CD上时，设ADCDx，由DACOBC，得 DCAC OCBC ，所以 2xOC mBC ，所以 2 OCx BCm ；由EOCECB得 EOECOC ECEBCB ，所以 32 23 xOC xmCB ，解出 x的值即可 【详解】 （1）由ADCD，得12 由/ /ADBC，得13 因为BO是RtABC斜边上的中线，所以OBOC所以34 所以1234 所以DACOBC 若BECD，那么在Rt BCE中，由234 可得23430 作DHBC于 H设2ADCDm，那么2BHADm 在RtDCH中，60 ,2DCHDCm，所以CHm 所以3BCBHCHm 所以 22 33 ADm B
31、Cm （2）如图 5，当点 E 在AD上时，由/ /,ADBC O是AC的中点，可得OBOE， 所以四边形ABCE是平行四边形 又因为90ABC，所以四边形ABCE是矩形， 设ADCDx，已知2DE ，所以2AEx=- 已知3OE ，所以6AC 在Rt ACE和Rt DCEV中，根据 22 CECE，列方程 2222 6(2)2xx 解得119x ，或119x （ 舍去负值） 如图 6，当点 E在CD上时，设ADCDx，已知2DE ，所以2CEx 设OBOCm，已知3OE ，那么3EBm 一方面，由DACOBC，得 DCAC OCBC ，所以 2xOC mBC ，所以 2 OCx BCm ， 另一方面，由24BEC ，是公共角，得EOCECB 所以 EOECOC ECEBCB ，所以 32 23 xOC xmCB 等量代换，得 32 232 xx xmm 由 3 22 x xm ，得 2 2 6 xx m 将 2 2 6 xx m 代入 32 23 x xm ，整理，得 2 6100 xx 解得319x ，或319x （舍去负值） 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的 关系列方程是解题的关键
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