1、 泸州市二泸州市二二一年初中学业水平考试数学试题二一年初中学业水平考试数学试题 第第卷卷 一、选择题一、选择题 1. 2021的相反数是（ ） A. 2021 B. 2021 C. 1 2021 D. 1 2021 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用相反数的定义得出答案 【详解】解：2021的相反数是：-2021 故选：A 【点睛】此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键 2. 第七次全国人口普查统计，泸州市常住人口约为 4 254 000人，将 4 254 000用科学记数法表示为( ) A. 5 4.254 10 B. 5 42.54 10 C. 6 4.254 10 D. 7
2、 0.4254 10 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变 成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同 【详解】解：将 4254000用科学记数法表示是 4.254 106 故选：C 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出
3、结论 【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段） ，不符合题意； 圆柱的主视图是矩形，不符合题意； 圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意； 球体的主视图是圆，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图 4. 函数 1 1 y x 的自变量 x的取值范围是（ ） A. x1 B. x1 C. x1 D. x1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数大于等于 0，分母不等于 0列式计算即可得解 【详解】解:由题意得，x-10 且 x-10， 解得 x1 故选：B 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表
4、达式是整式时，自变量可取 全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开 方数非负 5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 平分BAD且交 BC 于点 E，D=58 ，则AEC 的大小是（ ） A. 61 B. 109 C. 119 D. 122 【答案】C 【解析】 【 分 析 】 根 据 四 边 形ABCD 是 平 行 四 边 形 ， 得 到 对 边 平 行 ， 再 利 用 平 行 的 性 质 求 出 180122BADD，根据角平分线的性质得：AE 平分BAD求DAE，再根据平行线的性质得 AEC，即可得到答案 【详解】解：
5、四边形 ABCD 是平行四边形 /AB CD，/AD BC 18018058122BADD AE 平分BAD 11 12261 22 DAEBAD /AD BC 18018061119AECDAE 故选 C 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，能利用平行四边形的性质找到角与角的关系， 是解答此题的关键 6. 在平面直角坐标系中，将点 A(-3，-2)向右平移 5 个单位长度得到点 B，则点 B 关于 y 轴对称点 B 的坐标 为（ ） A. (2，2) B. (-2，2) C. (-2，-2) D. (2，-2) 【答案】C 【解析】 【分析】根据点的平移规律左减右加可得点 B
6、 的坐标，然后再根据关于 B 轴的对称点的坐标特点：横坐标 互为相反数，纵坐标不变可得答案 【详解】解：点 A(-3，-2)向右平移 5 个单位长度得到点 B(2，-2)， 点 B 关于 y轴对称点 B 的坐标为（-2，-2） ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了点的平移和关于 y 轴的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、
7、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定 定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形判定解答此题时，必须理清矩形、正方形、 菱形与平行四边形间的关系 8. 在锐角ABC中， A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 有以下结论： 2
8、 sinAsinBsinC acb R（其 中 R 为ABC的外接圆半径） 成立 在ABC 中， 若A=75 ， B=45 ， c=4， 则ABC的外接圆面积为 （ ） A. 16 3 B. 64 3 C. 16 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：先求出C，根据题目所给的定理，2 sin c R C , 利用圆的面积公式 S圆=16 3 方法二：设ABC 的外心为 O，连结 OA，OB，过 O作 ODAB于 D，由三角形内角和可求C=60 ，由圆 周角定理可求AOB=2C=120 ，由等腰三角形性质，OAB=OBA=30，由垂径定理可求 AD=BD=2， 利用三角函数可求 OA
9、= 4 3 3 ，利用圆的面积公式 S圆=16 3 【详解】解:方法一：A=75 ，B=45 ， C=180 -A-B=180 -75 -45 =60 ， 有题意可知 448 3 2 = sinsin6033 2 c R C ， 4 3 3 R ， S圆= 2 22 4 316 33 ROA 方法二：设ABC外心为 O，连结 OA，OB，过 O作 ODAB 于 D， A=75 ，B=45 ， C=180 -A-B=180 -75 -45 =60 ， AOB=2C=2 60 =120 ， OA=OB， OAB=OBA= 1 18012030 2 ， ODAB，AB 为弦， AD=BD= 1 2
10、2 AB ， AD=OAcos30 ， OA= 34 3 cos302 23 AD ， S圆= 2 22 4 316 33 ROA 故答案为 A 【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角 函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理， 锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键 9. 关于 x的一元二次方程 22 20 xmxmm的两实数根 12 ,x x，满足 12 2x x ，则 22 12 (2)(2)xx的 值是（ ） A 8 B. 16 C. 32 D. 16 或 40 【答案】C 【解析】
11、【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，先解得2m或1m ，再分别代入一元二次 方程中，利用完全平方公式变形解题即可 【详解】解：一元二次方程 22 20 xmxmm 2 1,2 ,abm cmm 2 12 2 c mx a mx 2 20mm (2)(1)0mm 2m或1m 当2m时， 原一元二次方程为 2 420 xx 12= 24 b m a xx ， 2222 121212 2 ) +2(2)(2) ()+4=xxx xxx， 22 12121 2 2 =()2xxxxx x 22 1212 2 12 2 12 ) +(2)(2)=)(2(4+4xxx xxxx x 22
12、=2 +2 ( 4)4 24 32 当1m 时，原一元二次方程为 2 220 xx 2 ( 2)4 1 240 原方程无解，不符合题意，舍去， 故选：C 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理等知识，涉及解一元二次方程，是重要考点， 难度较易，掌握相关知识是解题关键 10. 已知1020 a ，10050 b ，则 13 22 ab的值是（ ） A. 2 B. 5 2 C. 3 D. 9 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法 3 1010010 ab ，可求23ab再整体代入即可 【详解】解: 1020 a ，10050 b ， 23 101001020 5010
13、0010 abab ， 23ab， 1311 23333 2222 abab 故选：C 【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算，代数式求值，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法法则， 与代数式值求法是解题关键 11. 如图，O 的直径 AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与O相切于点 E，并与 AM，BN分别相交于 D，C两点，BD，OC相交于点 F，若 CD=10，则 BF 的长是 A. 8 17 9 B. 10 17 9 C. 8 15 9 D. 10 15 9 【答案】A 【解析】 【分析】过点 D作 DGBC于点 G，延长 CO交 DA的延长线于点 H，根据勾股定理求得6GC ，即
14、可得 AD=BG=2，BC= 8，再证明HAOBCO，根据全等三角形的性质可得 AH=BC=8，即可求得 HD= 10； 在 RtABD 中，根据勾股定理可得2 17BD ；证明DHFBCF，根据相似三角形的性质可得 DHDF BCBF ，由此即可求得 8 17 9 BF 【详解】过点 D作 DGBC于点 G，延长 CO交 DA的延长线于点 H， AM，BN是它的两条切线，DE 与O 相切于点 E， AD=DE，BC=CE，DAB=ABC=90， DGBC， 四边形 ABGD为矩形， AD=BG，AB=DG=8， 在 RtDGC中，CD=10， 2222 1086GCCDDG ， AD=DE，
15、BC=CE，CD=10， CD= DE+CE = AD+BC =10， AD+BG +GC=10， AD=BG=2，BC=CG+BG=8， DAB=ABC=90， ADBC， AHO=BCO，HAO=CBO， OA=OB， HAOBCO， AH=BC=8， AD=2， HD=AH+AD=10； 在 RtABD 中，AD=2，AB=8， 2222 822 17BDABAD ， ADBC， DHFBCF， DHDF BCBF ， 10 2 17 8 BF BF ， 解得， 8 17 9 BF 故选 A 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判 定
16、于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键 12. 直线 l过点(0，4)且与 y 轴垂直，若二次函数 2222 ()(2 )(3 )2yxaxaxaaa（其中 x是 自变量）的图像与直线 l有两个不同的交点，且其对称轴在 y 轴右侧，则 a的取值范围是（ ） A. a4 B. a0 C. 0a4 D. 0a4 【答案】D 【解析】 【分析】由直线 l：y=4，化简抛物线 22 31212yxaxaa，令 22 312124xaxaa，利用判别 式12480a，解出4a ，由对称轴在 y轴右侧可求0a即可 【详解】解：直线 l过点(0，4)且与 y 轴垂直， 直线 l：y=4， 222222 (
17、)(2 )(3 )231212yxaxaxaaaxaxaa， 22 312124xaxaa， 二次函数 2222 ()(2 )(3 )2yxaxaxaaa（其中 x是自变量）的图像与直线 l有两个不同的 交点， 2 2 124 3124aaa ， 12480a， 4a ， 又对称轴在 y 轴右侧， 1212 =20 2 36 aa xa ， 0a， 0a4 故选择 D 【点睛】本题考查二次函数与直线的交点问题，抛物线对称轴，一元二次方程两个不等实根，根的判别式， 掌握二次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题，根的判别式，抛物线对称轴公式是解题关 键 第第卷卷 二、填空题二、填空题 1
18、3. 分解因式： 2 44m_ 【答案】4 11mm 【解析】 【分析】先提取公因式 4，再利用平方差公式分解即可 【详解】解： 22 444 14 11mmmm 故答案为：4 11mm 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再 用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 14. 不透明袋子重病装有 3 个红球，5个黑球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出 一个球，则摸出红球的概率是_ 【答案】 1 4 【解析】 【分析】用红球的数量除以球的总数量即可解题 【详解】解:根据题意，从袋子中随机摸出一个球，则摸
19、出红球的概率是 331 = 3+5+4124 ， 故答案为： 1 4 【点睛】本题考查简单概率公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键 15. 关于 x 的不等式组 230 23 x xa - - - 解得 3 2 x ， 解得3 2xa ， 不等式组的解集是 3 32 2 xa+ 不等式组只有 2个整数解， 整数解是 2，3 则3 324a+? , 1 0 2 a 故答案是： 1 0 2 a 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据 x 的取值范围，得出 x 的整数解求不等式组的解 集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了 16. 如图，在边长为
20、4 的正方形 ABCD中，点 E是 BC 的中点，点 F在 CD上，且 CF=3BF，AE，BF 相交 于点 G，则AGF的面积是_ 【答案】 56 11 【解析】 【分析】延长 AG交 DC 延长线于 M，过 G作 GHCD，交 AB于 N，先证明ABEMCE，由 CF=3DF， 可求 DF=1，CF=3，再证ABGMFG，则利用相似比可计算出 GN，再利用两三角形面积差计算 SDEG 即可 【详解】解：延长 AG 交 DC 延长线于 M，过 G作 GHCD，交 AB于 N，如图， 点 EBC中点， BE=CE， 在ABE和MCE中， ABEMCE BECE AEBMEC ， ABEMCE（
21、ASA） ， AB=MC=4， CF=3DF，CF+DF=4， DF=1，CF=3，FM=FC+CM=3+4=7， ABMF， ABG=MFG，AGB=MGF， ABGMFG， 4 7 ABGN MFGH ， 4GNGH， 1628 , 1111 GNGH， SAFG=SAFB-SAGB= 11111656 4 44 22221111 AB HNAB GN ， 故答案为 56 11 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面 积，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，熟练运 用相似比计算线段的长是解题
22、关键 三、解答题三、解答题 17. 计算：() 01 20211 42 3cos30 4p - 骣骣 鼢珑 +-+鼢 珑 鼢珑 桫桫 【答案】12 【解析】 【分析】根据零指数幂，负整指数幂，去括号法则，特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可 【详解】解：() 01 20211 42 3cos30 4p - 骣骣 鼢珑 +-+鼢 珑 鼢珑 桫桫 3 1442 3 2 =+? 1443=+ 12 【点睛】本题考查了零指数幂，负整指数幂，去括号法则，特殊角的三角函数值等知识点，熟悉相关知识 点是解题的关键 18. 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB=AC，B=C，求证：BD=C
23、E 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】根据“ASA”证明ABEACD，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论. 【详解】证明：在ABE和ACD 中， AA ABAC BC , ABEACD (ASA)， AE=AD， BD=ABAD=AC-AE=CE 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即 SSS、SAS、ASA、AAS 和 HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键 19. 化简： 1 41 () 22 aa a aa 【答案】1a 【解析】 【分析】首先将括号里面进行通分运算，进而合并分子化简，再利用分式除法法则计
24、算得出答案 【详解】解： 1 41 () 22 aa a aa = 2 21 41 () 222 aaaa aaa = 2 211 22 aaa aa = 2 (1)2 21 aa aa =1a 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，正确进行分式的通分运算是解答此题的关键 20. 某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品为了解该农副产品在一个季度 内每天的销售额，从中随机抽取了 20 天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：16，14，13，17， 15，14，16，17，14，14，15，14，15，15，14，16，12，13，13，16 （1）根据上述样本数据，
25、补全条形统计图； （2）上述样本数据的众数是_，中位数是_； （3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额 【答案】 （1）见解析； （2）14万元，14.5万元； （3）14.65万元 【解析】 【分析】 （1）分别找出数据“14”和“16”的频数即可补全条形统计图； （2）根据众数和中位数的定义进行解答即可； （3） 根据加权平均数的计算方法求出样本平均数， 再估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额即可 【详解】解： （1）根据所给的 20个数据得出： 销售额是 14万元的有 6 天； 销售额是 16万元的有 4 天； 补全条形统计图如下： （2）在数据：16，14，
26、13，17，15，14，16，17，14，14，15，14，15，15，14，16，12，13，13，16中， 销售额是 14万元的最多，有 6天，故众数是 14万元； 将数据按大小顺序排列，第 10，11 个数据分别是 14 万元和 15万元， 所以，中位数是： 14+15 =14.5 2 （万元） ； 故答案为：14万元，14.5万元； （3）20天的销售额的平均值为：12 1+13 3+14 6+15 4+16 4+17 2 =14.65 1+3+6+4+4+2 （万元） 所以，可以估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额为 14.65万元 【点睛】此题主要考查了平均数、众数、中位数的
27、统计意义以及利用样本估计总体等知识找中位数要把 数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次 数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数 21. 某运输公司有 A、B两种货车，3 辆 A货车与 2辆 B 货车一次可以运货 90吨，5 辆 A货车与 4辆 B货车 一次可以运货 160吨 （1）请问 1辆 A 货车和 1辆 B 货车一次可以分别运货多少吨？ （2）目前有 190吨货物需要运输，该运输公司计划安排 A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车 均满载)，其中每辆 A 货车一次运货花费 50
28、0元，每辆 B 货车一次运货花费 400 元请你列出所有的运输方 案，并指出哪种运输方案费用最少 【答案】 （1）1 辆 A 货车和 1 辆 B货车一次可以分别运货 20吨和 15吨； （2）共有 3种租车方案，方案 1： 租用 A型车 8 辆，B型车 2 辆；方案 2：租用 A型车 5 辆，B型车 6 辆；方案 3：租用 A型车 2辆，B 型车 10 辆；租用 A型车 8 辆，B 型车 2 辆最少 【解析】 【分析】 （1）设 1 辆 A货车和 1 辆 B货车一次可以分别运货 x 吨和 y吨，根据“3 辆 A货车与 2 辆 B货车一 次可以运货 90 吨，5辆 A货车与 4辆 B 货车一次可
29、以运货 160 吨”列方程组求解可得； （2）设货运公司安排 A货车 m 辆，则安排 B 货车 n辆根据“共有 190吨货物”列出二元一次方程组，结 合 m，n 均为正整数，即可得出各运输方案再根据方案计算比较得出费用最小的数据 【详解】解： （1）1 辆 A货车和 1辆 B 货车一次可以分别运货 x吨和 y 吨， 根据题意可得： 3290 54160 xy xy ， 解得： 20 15 x y ， 答：1 辆 A货车和 1 辆 B货车一次可以分别运货 20吨和 15吨； （2）设安排 A 型车 m辆，B型车 n辆， 依题意得：20m+15n=190，即 383 4 n m ， 又m，n 均为
30、正整数， 8 2 m n 或 5 6 m n 或 2 10 m n ， 共有 3种运输方案， 方案 1：安排 A 型车 8 辆，B型车 2辆； 方案 2：安排 A 型车 5 辆，B型车 6辆； 方案 3：安排 A 型车 2 辆，B型车 10 辆 方案 1 所需费用：5008+4002=4800(元)； 方案 2 所需费用：5005+4006=4900(元)； 方案 3 所需费用：5002+40010=5000(元)； 480049005000， 安排 A 型车 8辆，B型车 2辆最省钱，最省钱的运输费用为 4800元 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：
31、 （1）找准等量关系， 正确列出二元一次方程组； （2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据据总费用=500 安排 A型车的 辆数+400 B 型车的辆数分别求出三种运输方案的总费用 22. 一次函数 y=kx+b（k0）的图像与反比例函数 m y x 的图象相交于 A(2，3)，B(6，n)两点 （1）求一次函数的解析式 （2）将直线 AB沿 y 轴向下平移 8个单位后得到直线 l，l 与两坐标轴分别相交于 M，N，与反比例函数的图 象相交于点 P，Q，求 PQ MN 的值 【答案】 （1）一次函数 y= 1 4 2 x， （2） 1 2 PQ MN 【解析】 【分析】 （1）利用点 A
32、(2，3)，求出反比例函数 6 y x ，求出 B(6，1)，利用待定系数法求一次函数解析式； （2）利用平移求出 y= 1 4 2 x，联立 1 4 2 6 yx y x ，求出 P(-6,-1),Q(-2,-3),在 RtMON中，由勾股定理 MN=4 5,PQ=2 5即可 【详解】解： （1）反比例函数 m y x 的图象过 A(2，3)， m=6, 6n=6， n=1， B（6,1） 一次函数 y=kx+b（k0）的图像与反比例函数 6 y x 的图象相交于 A(2，3)，B(6，1)两点， 61 23 kb kb ， 解得 1 2 4 k b ， 一次函数 y= 1 4 2 x， （
33、2）直线 AB 沿 y轴向下平移 8 个单位后得到直线 l，得 y= 1 4 2 x， 当 y=0时， 1 40 2 x-=，8x，当 x=0时，y=-4， M（-8，0） ，N（0，-4） ， 1 4 2 6 yx y x ， 消去 y得 2 8120 xx， 解得 12 2,6xx ， 解得 1 1 2 3 x y ， 2 2 6 1 x y ， P(-6,-1),Q(-2,-3), 在 RtMON中， MN= 22 4 5OMON , PQ= 22 261 32 5 ， 2 51 24 5 PQ MN 【点睛】 本题考查待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式， 利用平移求平移后直线
34、 l.， 解方程组， 一元二次方程，勾股定理，掌握待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直 线 l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理是解题关键 23. 如图，A，B 是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在 C点处遇险发出求救信号，此时测得 C点位于观测点 A的北偏东 45 方向上，同时位于观测点 B的北偏西 60 方向上，且测得 C点与观测点 A 的 距离为25 2海里 （1）求观测点 B与 C 点之间的距离； （2）有一艘救援船位于观测点 B的正南方向且与观测点 B相距 30海里的 D 点处，在接到海轮的求救信号 后立即前往营救，其航行速度为 42 海里/小
35、时，求救援船到达 C 点需要的最少时间 【答案】 （1）观测点 B 与 C点之间的距离为 50 海里； （2）救援船到达 C点需要的最少时间为 35 21 小时 【解析】 【分析】 （1）过 C 作 CEAB 于 E，分别在 RtACE和 RtBCE 中，解直角三角形即可求解； （2）过 C作 CFBD，交 DB延长线于 F，求得四边形 BFCE 为矩形，在 RtCDF中，利用勾股定理即可 求解 【详解】 （1）过 C 作 CEAB 于 E， 由题意得：CAE=45 ，CBE=90 -60 =30 ，AC=25 2， 在 RtACE 中， AE=CE=ACsin45=25 2 2 2 =25(
36、海里)， 在 RtBCE 中， BC=2CE=50(海里)，BE= 22 BCCE =25 3 (海里)， 观测点 B与 C 点之间的距离为 50 海里； （2）过 C作 CFBD，交 DB延长线于 F， CEAB，CFBD，FBE=90 ， 四边形 BFCE 为矩形， CF=BE=25 3 (海里)，BF=CE=25(海里)， 在 RtCDF 中，CF=25 3 (海里)，DF=55(海里)， CD= 2 222 25 355CFDF70(海里)， 救援船到达 C 点需要的最少时间为 7035 4221 (小时) 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直
37、角三角形是解答此 题的关键 24. 如图，ABC 是O的内接三角形，过点 C 作O的切线交 BA 的延长线于点 F，AE 是O的直径，连 接 EC （1）求证：ACFB； （2）若ABBC，ADBC于点D，4FC ，2FA，求AD AE的值 【答案】 （1）证明见详解； （2）18 【解析】 【分析】 （1）连接OC，根据FC是O 的切线，AE 是O 的直径，可得ACFECO?，利用OEOC， 得到OECECO?，根据圆周角定理可得OECB?，则可证得ACFB； （2）由（1）可知ACFB，易得AFCCFBV: V，则有 2 8 FC FB FA =,则可得6ABBC，并可求 得 3 FA B
38、C CA FC = g ，连接BE，易证ACDAEBV: V，则有 ADAC ABAE ，可得18AD AEAB AC=gg 详解】解： （1）连接OC FC是O的切线，AE是O的直径， 90OCFACE? o， 90ACFACOECOACO? o ACFECO? 又OEOC OECECO? 根据圆周角定理可得：OECB? BECO?， ACFB； （2）由（1）可知ACFB， AFCCFB AFCCFBV: V FCFA FBFC = 2 FC FB FA =, 4FC ，2FA， 22 4 8 2 FC FB FA = 826ABFBAF=-=-= 6ABBC 又AFCCFBV: V 中，
39、 CAFA BCFC = 26 3 4 FA BC CA FC = g ， 如图示，连接BE ACDAEB，90ADCABE? o ACDAEBV: V ADAC ABAE 6 318AD AEAB AC=?gg 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，三角形相似的判定 与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键 25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 13 4 42 yxx 与两坐标轴分别相交于 A，B，C三点 （1）求证：ACB=90 （2）点 D是第一象限内该抛物线上的动点，过点 D作 x轴的垂线交 BC于点 E，交 x 轴于点 F 求
40、DE+BF 的最大值； 点 G是 AC的中点，若以点 C，D，E 为顶点的三角形与AOG相似，求点 D的坐标 【答案】 （1） （2）9；(4,6)D或 25 (3,) 4 D 【解析】 【分析】 （1）分别计算 A，B，C三点的坐标，再利用勾股定理求得 AB、BC、AC 的长，最后利用勾股定理 逆定理解题； （2）先解出直线 BC 的解析式，设 2 13 ( ,4) 42 D xxx，接着解出 2 2 1 8 4 BFxDExx， 利用二次函数的配方法求最值； 根据直角三角形斜边的中线性质， 解得 AG的长， 再证明CAODEC， 再分两种情况讨论以点 C，D，E 为顶点的三角形与AOG相似
41、，结合相似三角形对应边成比例性质解题即 可 【详解】解： （1）令 x=0，得4y (0,4)C 令 0y 得 2 13 40 42 xx 2 6160 xx-= (8)(2)0 xx ( 2,0)A ，(8,0)B 2222 10,(02)(40)2 5,(80)(04)4 5ABACBC 222 10(2 5)(4 5) 222 ABACBC 90ACB （2）设直线 BC 的解析式为：(0)ykxb k，代入(8,0)B，(0,4)C得 80 4 kb b 1 2 4 k b 1 4 2 yx 设 2 13 ( ,4) 42 D xxx 22 1311 84(4) 42 2 24 BFx
42、DxExxxx ， 2 1 + 4 28DxE BFxx 2 8 1 4 xx 2 1 ()8 4 4xx 2 1 ()9 4 2x 1 0 4 2 1 ()0 4 2x 2 2 1 ()99 4 x 9+DE BF 即 DE+BF的最大值为 9； 点 G是 AC的中点， 在RtAOC中， 1 5 2 OGACAG 即AOG为等腰三角形， 90CAOACOACOOCB CAOOCB /OCDF OCBDEC CAODEC 若以点 C，D，E 为顶点的三角形与AOG相似， 则 5 2 AGDE AOCE 2 2 4 2 1 5 xx CE 又/OCDF CEBC OFOB 5 2 BC OFx
43、CE OB 2 551 4 2 22 x xx 2 30 xx 1 0 x ， 2 3x (0,4)D 或 25 (3,) 4 D 经检验：0,4D不符合题意，舍去， 5 2 AGCE AODE ， 又/OCDF CEBC OFOB 5 2 BC OFx CE OB 2 5 2 2 1 4 5 2 x xx 整理得， 2 40 xx 1 0 x ， 2 4x (0,4)D 或(4,6)D， 同理：0,4D不合题意，舍去， 综上所述，(4,6)D或 25 (3,) 4 D 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股 定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题 关键
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