1、备战备战 2021 年中考数学真题年中考数学真题模拟题模拟题分类汇编分类汇编(上海上海专版专版) 专题专题 12 三角形三角形(共共 32 题题)上海上海 一选择题一选择题(共共 7 小题小题) 1(2020松江区二模)如图，已知ABC 中，AC2，AB3，BC4，点 G 是ABC 的重心将ABC 平移，使得顶点 A 与点 G 重合那么平移后的三角形与原三角形重叠部分的周长为( ) A2 B3 C4 D4.5 【分析】先根据平移和平行线的性质得到GMNB，GNMC，则可判断GMNABC，根 据相似三角形的性质得到的周长 的周长 = ， 接着利用三角形重心性质得 AG2GD， 然后根据三角形 周
2、长定义计算即可 【解析】将ABC 平移得到GEF， GEAB，GFAC， GMNB，GNMC， GMNABC， 的周长 的周长 = ， 点 G 是ABC 的重心， AG2GD， 的周长 的周长 = 1 3， GMN 的周长= 1 3 (2+3+4)3 故选：B 2 (2020奉贤区二模)如果线段 AM 和线段 AN 分别是ABC 边 BC 上的中线和高， 那么下列判断正确的是 ( ) AAMAN BAMAN CAMAN DAMAN 【分析】根据三角形的高的概念得到 ANBC，根据垂线段最短判断 【解析】线段 AN 是ABC 边 BC 上的高， ANBC， 由垂线段最短可知，AMAN， 故选：B
3、 3(2020虹口区二模)已知在ABC 中，小明按照下列作图步骤进行尺规作图(示意图与作图步骤如表)， 那么交点 O 是ABC 的( ) 示意图 作图步骤 (1)分别以点 B、C 为圆心，大于1 2BC 长为半径作圆弧，两弧分别交 于点 M、N，联结 MN 交 BC 于点 D； (2)分别以点 A、C 为圆心，大于1 2AC 长为半径作圆弧，两弧分别交 于点 P、Q，联结 PQ 交 AC 于点 E； (3)联结 AD、BE，相交于点 O A外心 B内切圆的圆心 C重心 D中心 【分析】根据尺规作图得到 AD、BE 是ABC 的中线，根据重心的概念判断即可 【解析】由尺规作图可知，MN、PQ 分
4、别是线段 BC、AC 的垂直平分线， 点 D、E 分别是 BC、AC 的中点， AD、BE 是ABC 的中线， 点 O 是ABC 的重心， 故选：C 4(2020黄浦区二模)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(3，0)，B(2，0)，C(1，2)，E(4，2)，如果ABC 与EFB 全等，那么点 F 的坐标可以是( ) A(6，0) B(4，0) C(42) D(4，3) 【分析】直接利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质得出符合题意的答案 【解析】如图所示：ABC 与EFB 全等，点 F 的坐标可以是：(4，3) 故选：D 5(2020嘉定区一模)三角形的重心是( ) A三角形三边的高所
5、在直线的交点 B三角形的三条中线的交点 C三角形的三条内角平分线的交点 D三角形三边中垂线的交点 【分析】根据重心是三角形三边中线的交点，三角形三条高的交点是垂心，三角形三条角平分线的交点 是三角形的内心，等知识点作出判断 【解析】三角形的重心是三角形三条边中线的交点， 选项 B 正确 故选：B 6(2020奉贤区一模)在 RtABC 中，C90，如果A 的正弦值是1 4，那么下列各式正确的是( ) AAB4BC BAB4AC CAC4BC DBC4AC 【分析】根据正弦函数的定义解答即可 【解析】在 RtABC 中，C90， sinA= = 1 4， AB4BC， 故选：A 7(2020崇明
6、区一模)在 RtABC 中，C90，如果 AC8，BC6，那么B 的余切值为( ) A3 4 B4 3 C3 5 D4 5 【分析】根据余切函数的定义解答即可 【解析】如图，在 RtABC 中，C90，AC8，BC6， cotB= = 6 8 = 3 4， 故选：A 二填空题二填空题(共共 20 小题小题) 8(2019上海)如图，已知直线 11l2，含 30角的三角板的直角顶点 C 在 l1上，30角的顶点 A 在 l2 上，如果边 AB 与 l1的交点 D 是 AB 的中点，那么1 120 度 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到 DADC，则DCADAC30，再利用三角形外 角性质
7、得到260，然后根据平行线的性质求1 的度数 【解析】D 是斜边 AB 的中点， DADC， DCADAC30， 2DCA+DAC60， 11l2， 1+2180， 118060120 故答案为 120 9(2019上海)在ABC 和A1B1C1中，已知CC190，ACA1C13，BC4，B1C12，点 D、 D1分别在边 AB、A1B1上，且ACDC1A1D1，那么 AD 的长是 5 3 【分析】根据勾股定理求得 AB5，由ACDC1A1D1，所以可以将 A1点放在左图的 C 点上，C1 点放在左图的 A 点上，D1点对应左图的 D 点，从而得出 BCB1C1，根据其性质得出5; =2，解得
8、 求出 AD 的长 【解析】ACDC1A1D1，可以将C1A1D1与ACD 重合，如图， CC190， BCB1C1， = 11 ， AC3，BC4， AB= 32+ 42=5， 5; = 2 4， 解得 AD= 5 3， AD 的长为5 3， 故答案为5 3 10(2020杨浦区二模)如图，已知在 55 的正方形网格中，点 A、B、C 在小正方形的顶点上，如果小正 方形的边长都为 1，那么点 C 到线段 AB 所在直线的距离是 3 5 5 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据每个小正方形的边长为 1，利用勾股定理，可以得到 AC、CD、AD 的长，然后即可得到ACD 的形状，再利用等
9、积法，即可求得 CE 的长 【解析】连接 AD、AC，作 CEAD 于点 E， 小正方形的边长都为 1， AD= 42+ 22=25，AC= 32+ 32=32，CD= 12+ 12= 2， (25)2(32)2+(2)2， ACD 是直角三角形，ACD90， 2 = 2 ， 即322 2 = 25 2 ， 解得，CE= 35 5 ， 即点 C 到线段 AB 所在直线的距离是35 5 ， 故答案为：35 5 11(2020松江区二模)如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的 2 倍，我们就称这个 三角形为“奇巧三角形” 已知一个直角三角形是“奇巧三角形” ，那么该三角形的最小内角
10、等于 22.5 度 【分析】 设直角三角形的最小内角为 x， 另一个内角为 y， 根据三角形的内角和列方程组即可得到结论 【解析】设直角三角形的最小内角为 x，另一个内角为 y， 由题意得， + = 90 2( ) = 90， 解得： = 22.5 = 67.5 ， 答：该三角形的最小内角等于 22.5， 故答案为：22.5 12(2020崇明区二模)如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC的位置，已知ABC 的面积 为 16，阴影部分三角形的面积为 9如果 AA1，那么 AD 的长为 3 【分析】先证明DAEDAB，再利用相似三角形的性质求得 AD 便可 【解析】如图， SA
11、BC16、SAEF9，且 AD 为 BC 边的中线， SADE= 1 2SAEF4.5，SABD= 1 2SABC8， 将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到ABC， AEAB， DAEDAB， 则( ) 2 = ，即( +1) 2 = 4.5 8 ， 解得 AD3 或 AD= 3 7(舍)， 故答案为 3 13(2020闵行区一模)如果三角形的两个内角 与 满足 2+90，那么，我们将这样的三角形称 为“准互余三角形” 在ABC 中，已知C90，BC3，AC4(如图所示)，点 D 在 AC 边上，联 结 BD如果ABD 为“准互余三角形” ，那么线段 AD 的长为 5 2或 7 4
12、(写出一个答案即可) 【分析】作 DMAB 于 M设ABD，A分两种情形：当 2+90时当 +2 90时，分别求解即可 【解析】过点 D 作 DMAB 于 M设ABD，A 当 2+90时，+DBC90， DBCDBA， DMAB，DCBC， DMDC， DMBC90，DMDC，BDBD， RtBDCRtBDM(HL)， BMBC3， C90，BC3，AC4， AB= 2+ 2=5， AM532，设 ADx，则 CDDM4x， 在 RtADM 中，则有 x2(4x)2+22， 解得 x= 5 2 AD= 5 2 当 +290时，+DBC90， DBCA， CC， CBDCAB， BC2CDCA，
13、 CD= 9 4， ADACCD4 9 4 = 7 4 故答案为5 2或 7 4 14(2020虹口区一模)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图” ，它 由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是 49，直角三角 形中较小锐角 的正切为 5 12，那么大正方形的面积是 【分析】由题意知小正方形的边长为 7设直角三角形中较小边长为 a，较长的边为 b，运用正切函数 定义求解 【解析】由题意知，小正方形的边长为 7， 设直角三角形中较小边长为 a，较长的边为 b，则 tan短边：长边a：b5：12 所以 b= 12 5 a， 又以为 ba
14、+7， 联立，得 a5，b12 所以大正方形的面积是：a2+b225+144169 故答案是：169 15(2020宝山区一模)如图，点 C 是长度为 8 的线段 AB 上一动点，如果 ACBC，分别以 AC、BC 为边 在线段 AB 的同侧作等边ACD、 BCE， 联结 DE， 当CDE 的面积为 33时， 线段 AC 的长度是 2 【分析】作 DHEC 于 H设 ACx，则 BCEC8x利用三角形的面积公式构建方程即可解决问 题 【解析】作 DHEC 于 H设 ACx，则 BCEC8x ACD，ECB 都是等边三角形， ACDECB60， DCE60， SDCE= 1 2ECCDsin60
15、33， 1 2(8x) 3 2 x33， 解得 x2 或 6(舍弃)， AC2， 故答案为 2 16(2020金山区一模)如图，在 RtABC 中，BAC90，点 G 是重心，AC4，tanABG= 1 3，则 BG 的长是 4 3 10 【分析】延长 BG 交 AC 于 E易知 AH2，根据三角函数计算 AB 的长，由勾股定理可得 BH 的长， 由三角形重心的性质：三角形重心到顶点的距离是到对应中点距离的二倍，可得结论 【解析】延长 BG 交 AC 于 H G 是ABC 的重心， AH= 1 2AC= 1 2 4 =2， BAC90，tanABG= 1 3， = 1 3， AB6， 由勾股定
16、理得：BH= 2+ 2= 62+ 22=210， G 是ABC 的重心， BG2GH， BG= 2 3 210 = 410 3 ； 故答案为：410 3 17(2020浦东新区一模)在 RtABC 中，C90，AC2，BC4，点 D、E 分别是边 BC、AB 的中 点，将BDE 绕着点 B 旋转，点 D、E 旋转后的对应点分别为点 D、E，当直线 DE经过点 A 时，线 段 CD的长为 25或6 5 5 【分析】 分两种情况： 点 A 在 ED的延长线上时； 点 A 在线段 DE的延长线上时； 然后分类讨论， 求出线段 BD 的长各是多少即可 【解析】如图 1，当点 A 在 ED的延长线上时，
17、 C90，AC2，BC4， AB= 2+ 2 = 4 + 16 =25， 点 D、E 分别是边 BC、AB 的中点， DEAC，DE= 1 2AC1，BD= 1 2BC2， EDBACB90， 将BDE 绕着点 B 旋转， BDEBDE90，DEDE1，BDBD2， 在 RtABC 和 RtBAD中，DBAC2，ABBA， RtABCRtBAD(HL)， ADBC，且 ACDB， 四边形 ACBD是平行四边形，且ACB90， 四边形 ACBD是矩形， CDAB25； 如图 2，当点 A 在线段 DE的延长线上时， ADB90， AD= 2 2 = 20 4 =4， AEADDE3， 将BDE
18、绕着点 B 旋转， ABCEBD， = 1 2 = ， ABECBD， = ， 3 = 25 4 ， CD= 65 5 ， 故答案为：25或65 5 18(2020浦东新区一模)如图，在ABC 中，AE 是 BC 边上的中线，点 G 是ABC 的重心，过点 G 作 GFAB 交 BC 于点 F，那么 = 1 3 【分析】由点 G 是ABC 的重心，可得 GE：AG1：2，则 GE：AE1：3，再 GFAB，得出结论 【解析】点 G 是ABC 的重心， GE：AG1：2， GE：AE1：3， GFAB， EGFEAB， = = 1 3， 故答案为1 3 19 (2020静安区一模)在ABC 中，
19、 边 BC、 AC 上的中线 AD、 BE 相交于点 G， AD6， 那么 AG 4 【分析】由三角形的重心的概念和性质求解 【解析】AD、BE 为ABC 的中线，且 AD 与 BE 相交于点 G， G 点是三角形 ABC 的重心， AG= 2 3 = 2 3 6 =4， 故答案为 4 20(2020普陀区一模)如图，在 RtABC 中，C90，AD 是三角形的角平分线，如果 AB35，AC 25，那么点 D 到直线 AB 的距离等于 2 【分析】作 DEAB 于 E，如图，利用勾股定理计算出 BC5，再根据角平分线的性质得 DCDE，然 后利用面积法得到1 2 25 DC+ 1 2 DE35
20、 = 1 2 25 5，从而可求出 DE 【解析】作 DEAB 于 E，如图， 在 RtABC 中，BC=(35)2 (25)2=5， AD 是三角形的角平分线， DCDE， SACD+SABDSABC， 1 2 25 DC+ 1 2 DE35 = 1 2 25 5， DE2， 即点 D 到直线 AB 的距离等于 2 故答案为 2 21(2020浦东新区一模)如图，将ABC 沿射线 BC 方向平移得到DEF，边 DE 与 AC 相交于点 G，如 果 BC6cm，ABC 的面积等于 9cm2，GEC 的面积等于 4cm2，那么 CF 2 cm 【分析】易证ABCGEC，根据相似三角形的面积的比等
21、于相似比的平方，即可求得 EC 的长，则 CF 即可求解 【解析】ABDE， ABCGEC， = ( ) 2=4 9， 6 = 2 3 EC4cm， EFBC6cm， CFEFEC642cm 故答案是：2 22(2020杨浦区一模)已知点 G 是ABC 的重心，过点 G 作 MNBC 分别交边 AB、AC 于点 M、N，那 么 = 4 9 【分析】根据三角形重心和相似三角形的判定和性质解答即可 【解析】如图， 连接 AG 并延长交 BC 于点 E， 点 G 是ABC 的重心， = 2 1， MNBC， AMNABC， = ( ) 2 = 4 9， 故答案为：4 9 23(2020黄浦区一模)如
22、图，在ABC 中，中线 BF、CE 交于点 G，且 CEBF，如果 AG5，BF6， 那么线段 CE 的长是 9 2 【分析】如图，延长 AG 交 BC 于 K根据重心的性质以及勾股定理即可解决问题 【解析】如图，延长 AG 交 BC 于 K 点 G 是ABC 的重心， AG2GK，BG2GF，CG2EG， AG5，BF6， GK= 5 2，BG4， CEBF， BGC90， BC2GK5，CG= 2 2= 52 42=3， EG= 1 2CG= 3 2， EC3+ 3 2 = 9 2 故答案为9 2 24(2020青浦区一模)如图，在菱形 ABCD 中，O、E 分别是 AC、AD 的中点，联
23、结 OE如果 AB3， AC4，那么 cotAOE 25 5 【分析】连接 OD，根据菱形的性质、勾股定理求出 OD，根据三角形中位线定理得到AOEACD， 根据余切的定义计算，得到答案 【解析】连接 OD， 四边形 ABCD 为菱形， ODAC，OAOC= 1 2AC2， 由勾股定理得，OD= 2 2= 32 22= 5， O、E 分别是 AC、AD 的中点， OECD， AOEACD， cotAOEcotACD= = 2 5 = 25 5 ， 故答案为：25 5 25(2020黄浦区一模)如果等腰ABC 中，ABAC3，cosB= 1 3，那么 cosA 7 9 【分析】过点 A 作 AD
24、BC，垂足为 D，过点 C 作 CEAB，垂足为 E，根据余弦的定义求得 BD，即 可求得 BC，根据勾股定理求得 AD，然后根据三角形面积公式求得 CE，进一步求得 AE，根据余弦的 定义求得 cosA 的值 【解析】过点 A 作 ADBC，垂足为 D，过点 C 作 CEAB，垂足为 E， ADB90 在ADC 中，cosB= = 1 3， BD= 1 3AB1 ABAC，ADBC BDDC， BC2， AD= 2 2= 32 12=22 1 2ABCE= 1 2 AD， CE= = 222 3 = 42 3 ， AE= 2 2= 7 3 cosA= = 7 3 3 = 7 9， 故答案为7
25、 9 26(2020黄浦区一模)如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽 BC6 厘米，长 CD16 厘米的矩形当水面触到杯口边缘时，边 CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度 是 9.6 厘米 【分析】直接利用勾股定理得出 BF 的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案 【解析】如图所示：作 BEAE 于点 E， 由题意可得，BC6cm，CF= 1 2DC8cm， 故 BF= 2+ 2= 62+ 82=10(cm)， 可得：CFBBAE，CAEB， 故BFCBAE， = ， 6 = 10 16， 解得：BE9.6 故答案为：9.6 27(2020崇明区一模)如果
26、两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为 50和 60，那么另一 个三角形的最大角为 70 度 【分析】根据相似三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题 【解析】三角形的两个内角分别为 50和 60， 这个三角形的第三个内角为 180506070， 根据相似三角形的性质可知，另一个三角形的最大角为 70 故答案为 70 三解答题三解答题(共共 5 小题小题) 28(2020浦东新区三模)已知：如图，在 RtABC 中，ACB90，BC3，AC4D 是边 AB 的中 点，点 E 为边 AC 上的一个动点(与点 A、C 不重合)，过点 E 作 EFAB，交边 BC 于点 F联结 DE、
27、 DF，设 CEx (1)当 x1 时，求DEF 的面积； (2)如果点 D 关于 EF 的对称点为 D，点 D恰好落在边 AC 上时，求 x 的值； (3)以点 A 为圆心，AE 长为半径的圆与以点 F 为圆心，EF 长为半径的圆相交，另一个交点 H 恰好落在 线段 DE 上，求 x 的值 【分析】(1)如图 1，过 E 作 EMAB 于 M，根据勾股定理计算 AB5，根据三角函数定义得 sin A= = 3 5 = ，可得 EM 的长，由平行线分线段成比例定理可得 EF 的长，根据三角形面积公式可得 结论； (2)如图 2，过 E 作 ENAB 于 N，连接 DD，交 EF 于 Q，由对称
28、得 DDEF，QD= 1 2DD，先根据三 角函数计算 DD= 35 2 4 = 15 8 ，得 QD= 15 16，证明四边形 ENDQ 是矩形，则 ENQD= 15 16，最后利用三角 函数可得结论； (3)如图 3，连接 AF，交 ED 于 G，先表示 CF= 3 4x，EF= 5 4x，计算 AF 的长，根据平行线分线段成比例 定理可得 AG 的长，证明AEGAFC，得 AGAFACAE，列方程解出即可 【解析】(1)如图 1，过 E 作 EMAB 于 M， 当 x1 时，CE1，AE413， 在 RtABC 中，ACB90，BC3，AC4， AB5，sinA= = 3 5 = ， 3
29、 5 = 3 ， EM= 9 5， EFAB， = ，即 4 = 5 ， EF= 5 4x= 5 4， DEF 的面积= 1 2 EM= 1 2 5 4 9 5 = 9 8； (2)如图 2，过 E 作 ENAB 于 N，连接 DD，交 EF 于 Q， 点 D 关于 EF 的对称点为 D， DDEF，QD= 1 2DD， EQD90， EFAB， ADQEQD90， D 是 AB 的中点， AD= 1 2AB= 5 2， tanA= = 3 4， DD= 35 2 4 = 15 8 ， QD= 15 16， EFAB，ENAB，QDAB， ENDNDQEQD90， 四边形 ENDQ 是矩形，
30、ENQD= 15 16， RtAEN 中，sinA= = 3 5， 15 16 = 3 5，AE4x， x= 39 16； (3)如图 3，连接 AF，交 ED 于 G， RtCEF 中，ECF90， tanCEFtanCAB= 3 4 = ， 3 4 = ，CF= 3 4x， EF= 5 4x， AF= 2+ 2=42+ (3 4) 2 =16 + 9 16 2， EFAB， = ，即 = 5 2 5 4 = 2 ， : = 2 2:， AG= 216+ 9 162 2+ ， A 与F 相交于点 E、H，且 H 在 ED 上， AFDE， AGE90， AGEACF90， EAGFAC， A
31、EGAFC， = ，即 AGAFACAE， 216: 9 16 2 2: 16 + 9 16 2=4(4x)， 解得：x10(舍)，x2= 64 41 29(2020闵行区二模)已知：如图，在ABC 中，ABAC6，BC4，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E， 交 BC 的延长线于点 D (1)求 CD 的长； (2)求点 C 到 ED 的距离 【分析】(1)过 A 点作 AFBC 于点 F根据 ABAC6，BC4，AFBC，可得 BFFC2，BFA 90，再根据三角函数即可求出 CD 的长； (2)过 C 点作 CHED 于点 H，根据 CHED，ABED，可得DEBDHC90，即 CHA
32、B，对 应边成比例即可求出 CH 的长 【解析】如图， (1)过 A 点作 AFBC 于点 F ABAC6，BC4，AFBC， BFFC2，BFA90， 在 RtABF 中， = = 1 3， AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，AB6， AEBE3，DEB90， 在 RtDEB 中， = = 1 3， BD9， CD5 (2)过 C 点作 CHED 于点 H， CHED，ABED， DEBDHC90， CHAB， = ， BE3，BD9，CD5， = 5 3 点 C 到 ED 的距离 CH 为5 3 30(2020嘉定区二模)如图所示的方格纸是由 9 个大小完全一样的小正方形组成的点 A、
33、B、C、D 均在 方格纸的格点(即图中小正方形的顶点)上，线段 AB 与线段 CD 相交于点 E设图中每个小正方形的边 长均为 1 (1)求证：ABCD； (2)求 sinBCD 的值 【分析】(1)证明BAGCDF(SAS)，可得BAGCDF，根据同角的余角相等可得结论； (2)根据勾股定理先计算 CD 和 BC 的长，根据面积法可得 BE 的长，最后由三角函数定义可得结论 【解答】(1)证明：如图， AGDF1，GCFD90，BGCF3， BAGCDF(SAS)， BAGCDF， 又BAG+ABG90， CDF+ABG90， BED180(CDF+ABG)90， ABCD； (2)解：在
34、RtCFD 中，DF1，CF3， = 1 + 32= 10， 同理， = 10， = 1 2 = 1 2 2 3 = 3， = 1 2 = 10 2 ， 10 2 = 3， 解得 = 3 510， = = 3 5 31(2020虹口区一模)如图，在 RtABC 中，ACB90，BC4，sinABC= 3 5，点 D 为射线 BC 上 一点，联结 AD，过点 B 作 BEAD 分别交射线 AD、AC 于点 E、F，联结 DF，过点 A 作 AGBD，交 直线 BE 于点 G (1)当点 D 在 BC 的延长线上时，如果 CD2，求 tanFBC； (2)当点 D 在 BC 的延长线上时，设 AG
35、x，SDAFy，求 y 关于 x 的函数关系式(不需要写函数的定义 域)； (3)如果 AG8，求 DE 的长 【分析】(1)求出 AC3，可得DACFBC，则 tanFBCtanDAC= = 2 3； (2)由条件可得AGFCBF， 可得 = ， 可用x表示CF和AF的长， 求出CD， 则S DAF= 1 2 ， 可用 x 表示结果； (3)分两种情况，当点 D 在 BC 的延长线上时，当点 D 在 BC 的边上时，可求出 AE 长 AD 的长， 则 DEADAE 可求出 【解析】(1)ACB90，BC4，sinABC= 3 5， 设 AC3x，AB5x， (3x)2+16(5x)2， x1
36、， 即 AC3， BEAD， AEF90， AFECFB， DACFBC， tanFBCtanDAC= = 2 3； (2)AGBD， AGFCBF， tanAGFtanCBF， = ， = ， 4 = 3; ， = 12 4+ = 3 = 3 12 4+ = 3 4+ EAFCBF， = ， = 9 4+， SDAF= 1 2 = 1 2 3 4+ 9 4+ = 27 2(4+)2； (3)当点 D 在 BC 的延长线上时，如图 1， AG8，BC4，AGBD， = = 2 1， AF2CF， AC3， AF2，CF1， = = = 1 4， = 1 4， 设 AEx，GE4x， x2+16
37、x282， 解得 x= 8 1717， 即 AE= 8 1717 同理 tanDACtanCBF， = 1 4， DC= 3 4， AD= 2+ 2=32+ (3 4) 2 = 3 417 = = 3 417 8 1717 = 1917 68 当点 D 在 BC 的边上时，如图 2， AGBD，AG8，BC4， = = 8 4 = 2 1 AF6， EAFCBFABC， cosEAFcosABC， 6 = 5 4， = 24 5 ， 同理 = ， 3 = 4 5， = 15 4 DEAEAD= 24 5 15 4 = 21 20 综合以上可得 DE 的长为1917 68 或21 20 32(2
38、020徐汇区一模)如图，在ABC 中，ABAC5，BC6，点 D 是边 AB 上的动点(点 D 不与点 AB 重合)，点 G 在边 AB 的延长线上，CDEA，GBEABC，DE 与边 BC 交于点 F (1)求 cosA 的值； (2)当A2ACD 时，求 AD 的长； (3)点 D 在边 AB 上运动的过程中，AD：BE 的值是否会发生变化？如果不变化，请求 AD：BE 的值；如 果变化，请说明理由 【分析】(1)作 AHBC 于 H，BMAC 于 M解直角三角形求出 BM，AM 即可解决问题 (2)设 AH 交 CD 于 K首先证明 AKCK，设 AKCKx，在 RtCHK 中，理由勾股
39、定理求出 x，再 证明ADKCDA，理由相似三角形的性质构建方程组即可解决问题 (3)结论：AD：BE5：6 值不变证明ACDBCE，可得 = = 5 6 【解析】(1)作 AHBC 于 H，BMAC 于 M ABAC，AHBC， BHCH3， AH= 2 2= 52 32=4， SABC= 1 2BCAH= 1 2ACBM， BM= = 24 5 ， AM= 2 2=52 (24 5 )2= 7 5， cosA= = 7 25 (2)设 AH 交 CD 于 K BAC2ACD，BAHCAH， CAKACK， CKAK，设 CKAKx， 在 RtCKH 中，则有 x2(4x)2+32， 解得
40、x= 25 8 ， AKCK= 25 8 ， ADKADC，DAKACD， ADKCDA， = = = 25 8 5 = 5 8，设 ADm，DKn， 则有 +25 8 = 5 8 2= ( + 25 8 ) ，解得 m= 125 39 ，n= 625 312 AD= 125 39 (3)结论：AD：BE5：6 值不变 理由：GBEABC，BAC+2ABC180，GBE+EBC+ABC180， EBCBAC， EDCBAC， EBCEDC， D，B，E，C 四点共圆， EDBECB， EDB+EDCACD+DAC，EDCDAC， EDBACD， ECBACD， ACDBCE， = = 5 6
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