1、备战备战 2021 年中考数学真题年中考数学真题模拟题模拟题分类汇编分类汇编(上海上海专版专版) 专题专题 1414 锐角三角函数锐角三角函数( (共共 4848 题题) ) 一填空题一填空题(共共 1 小题小题) 1 (2016上海)如图， 航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 30， 测得底部 C 的俯角为 60， 此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 90 米，那么该建筑物的高度 BC 约为 208 米(精确到 1 米，参考数据：3 1.73) 【分析】分别利用锐角三角函数关系得出 BD，DC 的长，进而求出该建筑物的高度 【解析】由题意可得：tan30= = 9
2、0 = 3 3 ， 解得：BD303， tan60= = 90 = 3， 解得：DC903， 故该建筑物的高度为：BCBD+DC1203 208(m)， 故答案为：208 二解答题二解答题(共共 5 小题小题) 2(2019上海)图 1 是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过 程中，箱盖 ADE 可以绕点 A 逆时针方向旋转，当旋转角为 60时，箱盖 ADE 落在 ADE的位置(如 图 2 所示)已知 AD90 厘米，DE30 厘米，EC40 厘米 (1)求点 D到 BC 的距离； (2)求 E、E两点的距离 中考真题再现中考真题再现 【分析】(1)过
3、点 D作 DHBC，垂足为点 H，交 AD 于点 F，利用旋转的性质可得出 ADAD 90 厘米，DAD60，利用矩形的性质可得出AFDBHD90，在 RtADF 中，通 过解直角三角形可求出 DF 的长，结合 FHDCDE+CE 及 DHDF+FH 可求出点 D到 BC 的距离； (2)连接 AE，AE，EE，利用旋转的性质可得出 AEAE，EAE60，进而可得出AEE 是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出 EEAE，在 RtADE 中，利用勾股定理可求出 AE 的 长度，结合 EEAE 可得出 E、E两点的距离 【解析】(1)过点 D作 DHBC，垂足为点 H，交 AD 于点 F，如图
4、 3 所示 由题意，得：ADAD90 厘米，DAD60 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， AFDBHD90 在 RtADF 中，DFADsinDAD90sin60453厘米 又CE40 厘米，DE30 厘米， FHDCDE+CE70 厘米， DHDF+FH(453 +70)厘米 答：点 D到 BC 的距离为(453 +70)厘米 (2)连接 AE，AE，EE，如图 4 所示 由题意，得：AEAE，EAE60， AEE是等边三角形， EEAE 四边形 ABCD 是矩形， ADE90 在 RtADE 中，AD90 厘米，DE30 厘米， AE= 2+ 2=3010厘米， EE3010厘米 答
5、：E、E两点的距离是 3010厘米 3(2018上海)如图，已知ABC 中，ABBC 5，tanABC= 3 4 (1)求边 AC 的长； (2)设边 BC 的垂直平分线与边 AB 的交点为 D，求 的值 【分析】(1)过 A 作 AEBC，在直角三角形 ABE 中，利用锐角三角函数定义求出 AC 的长即可； (2)由 DF 垂直平分 BC，求出 BF 的长，利用锐角三角函数定义求出 DF 的长，利用勾股定理求出 BD 的 长，进而求出 AD 的长，即可求出所求 【解析】(1)作 A 作 AEBC， 在 RtABE 中，tanABC= = 3 4，AB5， AE3，BE4， CEBCBE541
6、， 在 RtAEC 中，根据勾股定理得：AC= 32+ 12= 10； (2) 方法一： DF 垂直平分 BC， BDCD，BFCF= 5 2， tanDBF= = 3 4， DF= 15 8 ， 在 RtBFD 中，根据勾股定理得：BD=(5 2) 2+ (15 8 )2= 25 8 ， AD5 25 8 = 15 8 ， 则 = 3 5 方法二： DF 垂直平分 BC， BDCD，BFCF= 5 2， EFCFCE= 5 2 1= 3 2， AEBC，DFBC， BFDBEA， FBDEBA， RtBFDRtBEA， = = 3 2 5 2 = 3 5 4(2017上海)如图，一座钢结构桥
7、梁的框架是ABC，水平横梁 BC 长 18 米，中柱 AD 高 6 米，其中 D 是 BC 的中点，且 ADBC (1)求 sinB 的值； (2)现需要加装支架 DE、EF，其中点 E 在 AB 上，BE2AE，且 EFBC，垂足为点 F，求支架 DE 的 长 【分析】(1)在 RtABD 中，利用勾股定理求出 AB，再根据 sinB= 计算即可； (2)由 EFAD，BE2AE，可得 = = = 2 3，求出 EF、DF 即可利用勾股定理解决问题； 【解析】(1)在 RtABD 中，BDDC9m，AD6m， AB= 2+ 2= 92+ 62=313m， sinB= = 6 313 = 21
8、3 13 (2)EFAD，BE2AE， = = = 2 3， 6 = 9 = 2 3， EF4m，BF6m， DF3m， 在 RtDEF 中，DE= 2+ 2= 42+ 32=5m 5(2016上海)如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC3，点 D 在边 AC 上，且 AD2CD，DE AB，垂足为点 E，联结 CE，求： (1)线段 BE 的长； (2)ECB 的余切值 【分析】(1)由等腰直角三角形的性质得出AB45，由勾股定理求出 AB32，求出ADE A45，由三角函数得出 AE= 2，即可得出 BE 的长； (2)过点 E 作 EHBC，垂足为点 H，由三角函数求出 EHBH
9、BEcos452，得出 CH1，在 Rt CHE 中，由三角函数求出 cotECB= = 1 2即可 【解析】(1)AD2CD，AC3， AD2， 在 RtABC 中，ACB90，ACBC3， AB45，AB= 2+ 2= 32+ 32=32， DEAB， AED90，ADEA45， AEADcos452 2 2 = 2， BEABAE32 2 =22， 即线段 BE 的长为 22； (2)过点 E 作 EHBC，垂足为点 H，如图所示： 在 RtBEH 中，EHB90，B45， EHBHBEcos4522 2 2 =2， BC3， CH1， 在 RtCHE 中，cotECB= = 1 2，
10、即ECB 的余切值为1 2 6(2015上海)如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段 AB 表示高架道路旁的一排居民楼，已知点 A 到 MN 的距离为 15 米， BA 的延长线与 MN 相交于点 D， 且BDN30， 假设汽车在高速道路上行驶时， 周围 39 米以内会受到噪音的影响 (1)过点 A 作 MN 的垂线，垂足为点 H，如果汽车沿着从 M 到 N 的方向在 MN 上行驶，当汽车到达点 P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点 H 的距离为多少米？ (2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点 Q 时，它与这一排居民楼的距离 QC 为 39 米，那
11、么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到 1 米)(参 考数据：3 1.7) 【分析】(1)连接 PA在直角PAH 中利用勾股定理来求 PH 的长度； (2)由题意知，隔音板的长度是 PQ 的长度通过解 RtADH、RtCDQ 分别求得 DH、DQ 的长度，然 后结合图形得到：PQPH+DQDH，把相关线段的长度代入求值即可 【 解 析 】 (1) 如 图 ， 连 接PA 由 题 意 知 ， AP 39m 在 直 角 APH中 ， PH= 2 2= 392 152=36(米)； (2)由题意知，隔音板的长度是 PQ 的长度 在 RtADH 中，DHAHcot3015
12、3(米) 在 RtCDQ 中，DQ= 30 = 39 1 2 =78(米) 则 PQPH+HQPH+DQDH36+78153 114151.788.589(米) 答：高架道路旁安装的隔音板至少需要 89 米 一选择题一选择题(共共 10 小题小题) 1(2020徐汇区二模)如果从货船 A 测得小岛 b 在货船 A 的北偏东 30方向 500 米处，那么从小岛 B 看货 船 A 的位置，此时货船 A 在小岛 B 的( ) A南偏西 30方向 500 米处 B南偏西 60方向 500 米处 C南偏西 30方向 2503米处 D南偏西 60方向 2503米处 【分析】根据方位角画出图形解答即可 【解
13、答】解：如图所示： 小岛 B 在货船 A 的北偏东 30方向 500 米处， 货船 A 在小岛 B 的南偏西 30方向 500 米处， 故选：A 2(2020宝山区一模)符号 sinA 表示( ) AA 的正弦 BA 的余弦 CA 的正切 DA 的余切 【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案 【解答】解：符号 sinA 表示A 的正弦 2 2020020 模拟模拟汇编汇编 故选：A 3(2020虹口区一模)在 RtABC 中，C90，如果 BC2，tanB2，那么 AC( ) A1 B4 C5 D25 【分析】根据正切函数的定义求解即可 【解答】解：如图， 在 RtACB 中，C90，
14、 tanB= =2， 2 =2， AC4 故选：B 4(2020宝山区一模)直角梯形 ABCD 如图放置，AB、CD 为水平线，BCAB，如果BCA67，从低 处 A 处看高处 C 处，那么点 C 在点 A 的( ) A俯角 67方向 B俯角 23方向 C仰角 67方向 D仰角 23方向 【分析】求出BAC23，即可得出答案 【解答】解：BCAB，BCA67， BAC90BCA23， 从低处 A 处看高处 C 处，那么点 C 在点 A 的仰角 23方向； 故选：D 5(2020徐汇区一模)在 RtABC 中，B90，BC3，AC5，那么下列结论正确的是( ) AsinA= 3 4 BcosA=
15、 4 5 CcotA= 5 4 DtanA= 4 3 【分析】根据勾股定理求出 AB，再根据锐角三角函数的定义解决问题即可 【解答】解：如图，B90，BC3，AC5， AB= 2 2= 52 32=4， cosA= = 4 5， 故选：B 6(2020静安区一模)在 RtABC 中，C90，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，如果 a3b， 那么A 的余切值为( ) A1 3 B3 C 2 4 D 10 10 【分析】根据余切函数的定义即可求解 【解答】解：在 RtABC 中，C90，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，a3b， cotA= = 1 3 故选：A 7(2020杨浦区一模
16、)在 RtABC 中，C90，如果 AC2，cosA= 3 4，那么 AB 的长是( ) A5 2 B8 3 C10 3 D2 3 7 【分析】根据 cosA= = 3 4，求出 AB 即可 【解答】解：在 RtABC 中，C90，AC2， 又cosA= = 3 4， AB= 8 3， 故选：B 8(2020浦东新区一模)在 RtABC 中，C90，如果 BC5，AB13，那么 sinA 的值为( ) A 5 13 B 5 12 C12 13 D12 5 【分析】本题可画出三角形，结合图形运用三角函数定义求解 【解答】解：如图： 在 RtABC 中，C90，BC5，AB13， sinA= =
17、5 13 故选：A 9(2020普陀区一模)已知在 RtABC 中，C90，sinA= 1 3，那么下列说法中正确的是( ) AcosB= 1 3 BcotA= 1 3 CtanA= 22 3 DcotB= 22 3 【分析】利用同角三角函数的关系解答 【解答】解：在 RtABC 中，C90，sinA= 1 3，则 cosA= 1 2 =1 1 9 = 22 3 A、cosBsinA= 1 3，故本选项符合题意 B、cotA= = 22 3 1 3 =22故本选项不符合题意 C、tanA= = 1 3 22 3 = 2 4 故本选项不符合题意 D、cotBtanA= 2 4 故本选项不符合题意
18、 故选：A 10(2020青浦区一模)在 RtABC 中，C90，AC1，AB3，则下列结论正确的是( ) Asin B= 2 4 Bcos B= 2 4 Ctan B= 2 4 Dcot B= 2 4 【分析】先根据勾股定理求出 BC，再根据锐角三角函数的定义解答 【解答】解：在 RtABC 中，C90，AC1，AB3， BC22， sinB= 1 3，cosB= 22 3 ，tanB= 1 22 = 2 4 ，cotB22 故选：C 二填空题二填空题(共共 8 小题小题) 11(2020金山区二模)如图，在坡度为 1：2.4 的斜坡上有一棵与水平面垂直的树 BC，在斜坡底部 A 处测 得树
19、顶 C 的仰角为 30，AB 的长为 65 米，那么树高 BC 等于 (203 25) 米(保留根号) 【分析】延长 CB 交水平面于点 D，根据题意可得 CDAD，再根据坡度可得 BD：AD1：2.4，根据 勾股定理可得 BD25，AD60，最后根据锐角三角函数即可求出 CB 的长 【解答】解：如图，延长 CB 交水平面于点 D， 根据题意可知： CDAD， ADC90， 在 RtADB 中，AB65， BD：AD1：2.4， AD2.4BD， 根据勾股定理，得 AD2+BD2AB2， 即 BD2+(2.4BD)2652， 解得 BD25， AD60， 在 RtACD 中，CAD30， ta
20、n30= ， 即 3 3 = :25 60 ， 解得 CB203 25(米) 答：树高 BC 等于(203 25)米 故答案为：(203 25) 12(2020奉贤区二模)如图，一艘轮船由西向东航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60的方向，继续向 东航行40海里后到B处， 测得灯塔P在北偏东30的方向， 此时轮船与灯塔之间的距离是 40 海里 【分析】根据已知方向角得出PPAB30，进而得出对应边关系即可得出答案 【解答】解：如图所示：由题意可得，PAB30，DBP30， 故PBE60， 则PPAB30， 可得：ABBP40 海里 故答案为：40 13(2020闵行区二模)七宝琉璃玲珑塔
21、(简称七宝塔)，位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高 47 米，共 7 层学校老师组织学生利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数据，测得塔顶的 仰角为 60， 塔底的俯角为 45， 那么此时无人机距离地面的高度为 473;47 2 米 (结果保留根号) 【分析】 如图所示： 设无人机所在位置为点 A， 根据题意可得， BAD60， DAC45， BC47(米)， 设此时无人机距离地面的高度为 x 米，再根据三角函数即可求出 x 的值 【解答】解：如图所示：设无人机所在位置为点 A， 根据题意可知： BAD60，DAC45，BC47(米)， 设此时无人机距离地面的高度为 x 米，
22、 则 CDx，则 BD47x，ADCDx， 在 RtADB 中，tan60= ， 即3 = 47 ， 解得 x= 47347 2 (米) 答：此时无人机距离地面的高度为473;47 2 米 故答案为：473;47 2 14(2020浦东新区二模)在地面上离旗杆底部 15 米处的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为 ，如果测 角仪的高为 1.5，那么旗杆的高位 (1.5+15tan) 米(用含 的三角比表示) 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可 【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高 15tan，测角仪高为 1.5 米， 故旗杆的高为(1.5+15tan)米
23、 故答案为：(1.5+15tan) 15(2020松江区一模)已知 RtABC 中，若C90，AC3，BC2，则A 的余切值为 3 2 【分析】根据余切函数的定义求解即可 【解答】解：在 RtABC 中，C90，AC3，BC2， cotA= = 3 2， 故答案为3 2 16(2020虹口区一模)如图，点 A(2，m)在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为 ，如果 tan= 3 2那么 m 3 【分析】如图，作 AEx 轴于 E根据正切函数的定义构建关系式即可解决问题 【解答】解：如图，作 AEx 轴于 E A(2，m)， OE2，AEm， tan= = 3 2， 2 = 3 2， m3，
24、故答案为 3 17(2020奉贤区一模)已知ABC 中，C90，cosA= 3 4，AC6，那么 AB 的长是 8 【分析】根据题目中的条件和锐角三角函数可以得到 AC 和 AB 的关系，从而可以求得 AB 的长，本题 得以解决 【解答】解：在ABC 中，C90，cosA= 3 4，AC6， cosA= = 6 ， 即3 4 = 6 ， 解得，AB8， 故答案为：8 18(2020普陀区一模)已知在 RtABC 中，C90，cotB= 1 3，BC2，那么 AC 6 【分析】根据三角函数的定义即可求解 【解答】解：cotB= ， AC= = 1 3 =3BC6 故答案是：6 三解答题三解答题(
25、共共 24 小题小题) 19(2020松江区一模)计算： 3;(245)2:330 2260;60;30 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案 【解答】解：原式= 3(22 2 )2+33 3 2( 3 2) 21 23 = 1+3 13 23 20(2020崇明区一模)计算：tan260+ 60+230 230 sin245 【分析】代入特殊角的三角函数值即可 【解答】解：原式(3)2+ 3 3 +23 3 21 2 ( 2 2 )2 3+3 1 2 = 5 2 + 3 21 (2020虹口区一模)某次台风来袭时， 一棵笔直大树树干 AB(假定树干 AB 垂直于水平地面)被
26、刮倾斜 7 (即BAB7)后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面 D 处，测得CDA37，AD5 米， 求这棵大树 AB 的高度(结果保留根号)(参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75) 【分析】过点 A 作 AECD 于点 E，解 RtAED，求出 DE 及 AE 的长度，再解 RtAEC，得出 CE 及 AC 的长，进而可得出结论 【解答】解：过点 A 作 AECD 于点 E，则AECAED90 在 RtAED 中，ADC37， cos37= = 5 =0.8， DE4， sin37= = 5 =0.6， AE3 在 RtAEC 中， CAE90ACE906030
27、， CE= 3 3 AE= 3， AC2CE23， ABAC+CE+ED23 + 3 +433 +4(米) 答：这棵大树 AB 原来的高度是(33 +4)米 22(2020青浦区一模)水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志 性景观在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高他们的操作方法如下： 如图， 先在 D 处测得点 A 的仰角为 20， 再往水城门的方向前进 13 米至 C 处， 测得点 A 的仰角为 31 (点 D、C、B 在一直线上)，求该水城门 AB 的高(精确到 0.1 米)(参考数据：sin200.34，cos20 0.94，t
28、an200.36，sin310.52，cos310.86，tan310.60) 【分析】在 RtABD 中可得出 BD= 0.36，在 RtABC 中，可得 BC= 0.6，则可得 BDBC13，求出 AB 即可 【解答】解：由题意得，ABD90，D20，ACB31，CD13， 在 RtABD 中，tanD= ， BD= 20 = 0.36， 在 RtABC 中，tanACB= ， BC= 31 = 0.6， CDBDBC， 13= 0.36 0.6， 解得 AB11.7 米 答：水城门 AB 的高为 11.7 米 23(2020杨浦区一模)某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利
29、用所学的解直角三角形 的知识测量教学楼的高度，他们先在点 D 处用测角仪测得楼顶 M 的仰角为 30，再沿 DF 方向前行 40 米到达点 E 处，在点 E 处测得楼项 M 的仰角为 45，已知测角仪的高 AD 为 1.5 米请根据他们的测 量数据求此楼 MF 的高(结果精到 0.1m，参考数据：2 1.414，3 1.732，6 2.449) 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三 角关系，进而可求出答案 【解答】解：设 MCx， MAC30， 在 RtMAC 中，AC= = 3 3 = 3x MBC45， 在 RtMCB 中，MCBCx，
30、又ABDE40， ACBCAB40，即3xx40， 解得：x20+203 54.6， MFMC+CF54.6+1.556.1(米)， 答：楼 MF 的高 56.1 米 24(2020黄浦区二模)如图 1，有一直径为 100 米的摩天轮，其最高点距离地面高度为 110 米，该摩天轮 匀速转动(吊舱每分钟转过的角度相同)一周的时间为 24 分钟 (1)如图 2，某游客所在吊舱从最低点 P 出发，3 分钟后到达 A 处，此时该游客离地面高度约为多少米？ (精确到整数) (2)该游客在摩天轮转动一周的过程中，有多少时间距离地面不低于 85 米？(参考数据：2 1.41， 3 =1.73) 【分析】(1
31、)作 AHMN 于 H，求出吊舱每分钟转过的角度，得到AOH，根据余弦的定义计算，得到 答案； (2)求出 OE 的长度，根据正弦的定义求出OCE30，得到COD120，根据题意计算即可 【解答】解：(1)如图 2，作 AHMN 于 H， 吊舱每分钟转过的角度= 360 24 =15， 3 分钟转过的角度为 45， 在 RtOAH 中，OHOAcosAOH50 2 2 =252， HM60252 25， 答：该游客离地面高度约为 25 米； (2)如图 2，线段 CD 距离地面 85 米， 则 OE856025， 在 RtOEC 中，OEC90，OE25，OC50， OCE30， COE60，
32、 COD120， 距离地面不低于 85 米的时间为：120 15 =8(分) 25(2020静安区一模)如图，在东西方向的海岸线 l 上有长为 300 米的码头 AB，在码头的最西端 A 处测 得轮船 M 在它的北偏东 45方向上；同一时刻，在 A 点正东方向距离 100 米的 C 处测得轮船 M 在北 偏东 22方向上 (1)求轮船 M 到海岸线 l 的距离；(结果精确到 0.01 米) (2)如果轮船 M 沿着南偏东 30的方向航行，那么该轮船能否行至码头 AB 靠岸？请说明理由 (参考数据：sin220.375，cos220.927，tan220.404，3 1.732) 【分析】(1)
33、过点 M 作 MDAC 交 AC 的延长线于 D，设 DMx，解直角三角形即可得到结论； (2)作DMF30，交 l 于点 F解直角三角形即可得到结论 【解答】解：(1)过点 M 作 MDAC 交 AC 的延长线于 D，设 DMx， 在 RtCDM 中，CDDMtanCMDxtan22， 又在 RtADM 中，MAC45， ADDM， ADAC+CD100+xtan22， 100+xtan22x， x= 100 122 100 10.404 167.79， 答：轮船 M 到海岸线 l 的距离约为 167.79 米 (2)作DMF30，交 l 于点 F 在 RtDMF 中，DFDMtanFMDD
34、Mtan30 = 3 3 DM 3 3 167.7996.87 米， AFAC+CD+DFDM+DF167.79+96.87264.66300， 所以该轮船能行至码头靠岸 26(2020松江区一模)如图，小岛 A 在港口 P 的南偏西 45方向上，一艘船从港口 P，沿着正南方向， 以每小时 12 海里的速度航行，1 小时 30 分钟后到达 B 处，在 B 处测得小岛 A 在它的南偏西 60的方 向上，小岛 A 离港口 P 有多少海里？ 【分析】作 AEPB 于 E，设 APx 海里，利用锐角三角函数的定义用 x 表示出 PE、BE，根据题意列 出方程，求出 x 的值，根据勾股定理计算即可 【解
35、答】解：作 AEPB 于 E， 由题意得，PB121.518 海里， 设 AEx 海里， APE45， PEAEx， ABE60， BE= 3 3 x， 由题意得，x 3 3 x18， 解得，x27+93， 则 AP272 +96， 答：小岛 A 离港口 P 有(272 +96)海里 27(2020徐汇区一模)如图，一艘游艇在离开码头 A 处后，沿南偏西 60方向行驶到达 B 处，此时从 B 处发现灯塔 C 在游轮的东北方向，已知灯塔 C 在码头 A 的正西方向 200 米处，求此时游轮与灯塔 C 的 距离(精确到 1 米) (参考数据：2 =1.414，3 =1.732，6 =2.449)
36、【分析】过 B 作 BDAC 于 D，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：过 B 作 BDAC 于 D， 在 RtBCD 中，D90，DBC45， DBCDCB45， BDCD， 在 RtABD 中，DAB30， AD= 3BD， AC200， 3BDBD200， BD= 200 31 =100(3 +1)， BC= 2BD100(3 +1) 2 386 米， 答：此时游轮与灯塔 C 的距离为 386 米 28 (2020青浦区二模)如图， 在 RtABC 中， ACB90， ACBC4， 点 D 在边 BC 上， 且 BD3CD， DEAB，垂足为点 E，联结 CE (1)求线段 AE 的
37、长； (2)求ACE 的余切值 【分析】(1)根据锐角三角函数定义即可求出 AE 的长； (2)过点 E 作 EHAC 于点 H根据等腰直角三角形的性质可得 EHAH 的值，再根据三角函数即可求 出ACE 的余切值 【解答】解：(1)BC4，BD3CD， BD3 ABBC，ACB90， AB45 DEAB， 在 RtDEB 中， = = 2 2 = 3 22 在 RtACB 中， = 2+ 2= 42， = 5 22 (2)如图，过点 E 作 EHAC 于点 H 在 RtAHE 中， = = 2 2 ， AHAEcos45= 5 2， = = 4 5 2 = 3 2， EHAH= 5 2， 在
38、 RtCHE 中，cotECH= = 3 5， 即ACE 的余切值是3 5 29(2020普陀区二模)一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面 MD 的正侧面示意图， 其中 AB 表示显示屏的宽，AB 与墙面 MD 的夹角 的正切值为2 5，在地面 C 处测得显示屏顶部 A 的仰 角为 45，屏幕底部 B 与地面 CD 的距离为 2 米，如果 C 处与墙面之间的水平距离 CD 为 3.4 米，求显 示屏的宽 AB 的长(结果保留根号) 【分析】过 A 作 APDM 于 P，AHCD 于 H，过 B 作 BNAH 于 N，设 APBN2x，ANPB5x， 解直角三角形即可得到结论 【
39、解答】解：过 A 作 APDM 于 P，AHCD 于 H，过 B 作 BNAH 于 N， tanABM= 2 5， 设 APBN2x，ANPB5x， BD2，CD3.4， HN2，CH3.42x， AH5x+2， ACD45， AHCH， 3.42x5x+2， 解得：x0.2， PB1，AP0.4， AB= 2 2=042+ 12= 29 5 (米)， 答：显示屏的宽 AB 的长为 29 5 米 30(2020虹口区二模)如图 1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边 OM 上的点 A 处，另一端 B 在边 ON 上滑动，图 2 为某一位置从上往下看的平面图，测得ABO 为 37，AOB
40、 为 45，OB 长为 35 厘米，求 AB 的长(参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75) 【分析】作 ACOB 于点 C，然后根据题意和锐角三角函数可以求得 AC 和 BC 的长，再根据勾股定理 即可得到 AB 的长，本题得以解决 【解答】解：作 ACOB 于点 C，如右图 2 所示， 则ACOACB90， AOC45， AOCCOA45， ACOC， 设 ACx，则 OCx，BC35x， ABC37，tan370.75， 35; =0.75， 解得，x15， 35x20， AB= 152+ 202=25(厘米)， 即 AB 的长为 25 厘米 31(2020松江
41、区二模)如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道 AB 的坡比 i1：2.4，AC 的长 为 7.2 米，CD 的长为 0.4 米按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该 车库入口的限高数值(即点 D 到 AB 的距离) 【分析】延长 CD 交 AB 于 E，根据坡度和坡角可得 CE3，DE2.6，过点 D 作 DHAB 于 H，根据 锐角三角函数即可求出 DH 的长 【解答】解：如图， 延长 CD 交 AB 于 E， i1：2.4， = 1 2.4 = 5 12， = 5 12， AC7.2， CE3， CD0.4， DE2.6， 过点 D 作 DHAB 于 H，
42、EDHCAB， = 5 12， = = 12 13， = = 2.6 12 13 = 2.4， 答：该车库入口的限高数值为 2.4 米 32(2020静安区二模)已知：如图，在 RtABC 中，ACB90，BC12，cosB= 2 3，D、E 分别是 AB、 BC 边上的中点，AE 与 CD 相交于点 G (1)求 CG 的长； (2)求 tanBAE 的值 【分析】(1)根据在 RtABC 中，ACB90，BC12，cosB= 2 3，可以求得 AB 的长，然后根据点 D 为 AB 的中点，可以得到 C 的长，再根据点 G 是ABC 中点的交点，可以得到 CG= 2 3CD，从而可以求 得
43、CG 的长； (2)作 EFAB 于点 G，然后根据题意，可以求得 EF 和 AF 的长，从而可以得到 tanBAE 的值 【解答】解：(1)在 RtABC 中，ACB90，BC12，cosB= 2 3， = = 12 2 3 = 18， D 是边上的中点， = 1 2 = 9， 又点 E 是 BC 边上的中点， 点 G 是ABC 的重心， = 2 3 = 2 3 9 = 6； (2)点 E 是 BC 边上的中点， = = 1 2 = 6， 过点 E 作 EFAB，垂足为 F， 在 RtBEF 中，cosB= 2 3， BFBEcosB= 6 2 3 = 4， = 2 2= 62 42= 25
44、， AFABBF18414， tanBAE= = 25 14 = 5 7 33(2020闵行区一模)如图，在ABC 中，C90，A30，BC1，点 D 在边 AC 上，且DBC 45，求 sinABD 的值 【分析】如图，作 DMAB 于 M，在 BA 上取一点 H，使得 BHDH，连接 DH设 DMa解直角三 角形求出 BD 即可解决问题 【解答】解：如图，过点 D 作 DMAB 于 M，在 BA 上取一点 H，使得 BHDH，连接 DH设 DM a C90，A30， ABC903060， DBC45， ABD604515， HBHD， HBDHDB15， DHMHBD+HDB30， DHB
45、H2a，MH= 3a，BM2a+3a， BD= 2+ 2=2+ (2 + 3)2= (2 + 6)a， sinABD= = (2+6) = 62 4 34(2020浦东新区一模)为了测量大楼顶上(居中)避雷针 BC 的长度，在地面上点 A 处测得避雷针底部 B 和顶部 C 的仰角分别为 5558和 57， 已知点 A 与楼底中间部位 D 的距离约为 80 米， 求避雷针 BC 的长度(参考数据： sin55580.83， cos55580.56， tan55581.48， sin570.84， tan571.54) 【分析】解直角三角形求出 CD，BD，根据 BCCDBD 求解即可 【解答】解
46、：在 RtABD 中，tanBAD= ， 1.48= 80， AD80 米， BD118.4(米)， 在 RtCAD 中，tanCAD= ， 1.54= ， CD123.2(米)， BCCDBD4.8(米) 答：避雷针 BC 的长度为 4.8 米 35(2020衢州模拟)某仓储中心有一个坡度为 i1：2 的斜坡 AB，顶部 A 处的高 AC 为 4 米，B、C 在同 一水平地面上，其横截面如图 (1)求该斜坡的坡面 AB 的长度； (2)现有一个侧面图为矩形 DEFG 的长方体货柜，其中长 DE2.5 米，高 EF2 米，该货柜沿斜坡向下 时，点 D 离 BC 所在水平面的高度不断变化，求当
47、BF3.5 米时，点 D 离 BC 所在水平面的高度 DH 【分析】(1)根据坡度定义以及勾股定理解答即可； (2)证出GDMHBM，根据 = 1 2，得到 GM1m，利用勾股定理求出 DM 的长，然后求出 BM 5m，进而求出 MH，然后得到 DH 【解答】解：(1)坡度为 i1：2，AC4m， BC428m AB= 2+ 2= 42+ 82= 45(米)； (2)DGMBHM，DMGBMH， GDMHBM， = 1 2， DGEF2m， GM1m， DM= 12+ 22= 5，BMBF+FM3.5+(2.51)5m， 设 MHxm，则 BH2xm， x2+(2x)252， x= 5m， DH= 5 + 5 = 25m 36(2020金山区一模)图 1 是一台实物投影仪，图 2 是它的示意图，折线 OABC 表示支架，支架的 一部分 OAB 是固定的，另一部分 BC 是可旋转的，线段 CD 表示投影探头
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