1、备战备战 2021 年中考数学真题年中考数学真题模拟题模拟题分类汇编分类汇编(上海上海专版专版) 专题专题 1515 四边形四边形( (共共 4242 题题) ) 一选择题一选择题(共共 2 小题小题) 1(2018上海)已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) AAB BAC CACBD DABBC 【分析】由矩形的判定方法即可得出答案 【解析】A、AB，A+B180，所以AB90，可以判定这个平行四边形为矩形， 正确； B、AC 不能判定这个平行四边形为矩形，错误； C、ACBD，对角线相等，可推出平行四边形 ABCD 是矩形，故正确； D、ABBC，所
2、以B90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确； 故选：B 2(2017上海)已知平行四边形 ABCD，AC、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四 边形为矩形的是( ) ABACDCA BBACDAC CBACABD DBACADB 【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案 【解析】A、BACDCA，不能判断四边形 ABCD 是矩形； B、BACDAC，能判定四边形 ABCD 是菱形；不能判断四边形 ABCD 是矩形； C、BACABD，能得出对角线相等，能判断四边形 ABCD 是矩形； D、BACADB，不能判断四边形 ABCD 是矩形； 故选：C 二填空题二填空题(共共
3、 2 小题小题) 3(2018上海)对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图 形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图 1)，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤 方向的边长称为该图形的高如图 2，菱形 ABCD 的边长为 1，边 AB 水平放置如果该菱形的高是矩 形的宽的2 3，那么矩形的宽的值是 18 13 中考真题再现中考真题再现 【分析】先根据要求画图，设矩形的宽 AFx，则 CF= 2 3x，根据勾股定理列方程可得结论 【解析】在菱形上建立如图所示的矩形 EAFC， 设 AFx，则 CF= 2 3x， 在 RtCBF 中，CB1，BFx
4、1， 由勾股定理得：BC2BF2+CF2， 12= ( 1)2+ (2 3) 2， 解得：x= 18 13或 0(舍)， 即它的宽的值是18 13， 故答案为：18 13 4(2018上海)通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题如果从某 个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，那么该多边形的内角和是 540 度 【分析】 根据题意得到 2 条对角线将多边形分割为 3 个三角形， 然后根据三角形内角和可计算出该多边 形的内角和 【解析】从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，则将多边形分割为 3 个三角形 所以该多边形的内角和是 3180540 故答案为
5、 540 三解答题三解答题(共共 3 小题小题) 5(2020上海)如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，DAB90，AB8，CD5，BC35 (1)求梯形 ABCD 的面积； (2)联结 BD，求DBC 的正切值 【分析】(1)过 C 作 CEAB 于 E，推出四边形 ADCE 是矩形，得到 ADCE，AECD5，根据勾股 定理得到 CE= 2 2=6，于是得到梯形 ABCD 的面积= 1 2 (5+8)639； (2)过 C 作 CHBD 于 H， 根据相似三角形的性质得到 = ， 根据勾股定理得到 BD= 2+ 2 = 82+ 62=10，BH= 2 2=(35)2 32=6，于是得
6、到结论 【解析】(1)过 C 作 CEAB 于 E， ABDC，DAB90， D90， ADAEC90， 四边形 ADCE 是矩形， ADCE，AECD5， BEABAE3， BC35， CE= 2 2=6， 梯形 ABCD 的面积= 1 2 (5+8)639； (2)过 C 作 CHBD 于 H， CDAB， CDBABD， CHDA90， CDHDBA， = ， BD= 2+ 2= 82+ 62=10， 6 = 5 10， CH3， BH= 2 2=(35)2 32=6， DBC 的正切值= = 3 6 = 1 2 6(2017上海)已知：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ADCD，E
7、 是对角线 BD 上一点，且 EAEC (1)求证：四边形 ABCD 是菱形； (2)如果 BEBC，且CBE：BCE2：3，求证：四边形 ABCD 是正方形 【分析】(1)首先证得ADECDE，由全等三角形的性质可得ADECDE，由 ADBC 可得 ADECBD，易得CDBCBD，可得 BCCD，易得 ADBC，利用平行线的判定定理可得四边 形 ABCD 为平行四边形，由 ADCD 可得四边形 ABCD 是菱形； (2)由 BEBC 可得BEC 为等腰三角形，可得BCEBEC，利用三角形的内角和定理可得CBE 180 1 4 =45，易得ABE45，可得ABC90，由正方形的判定定理可得四边
8、形 ABCD 是正 方形 【解答】证明：(1)在ADE 与CDE 中， = = = ， ADECDE， ADECDE， ADBC， ADECBD， CDECBD， BCCD， ADCD， BCAD， 四边形 ABCD 为平行四边形， ADCD， 四边形 ABCD 是菱形； (2)BEBC BCEBEC， CBE：BCE2：3， CBE180 2 2+3+3 =45， 四边形 ABCD 是菱形， ABE45， ABC90， 四边形 ABCD 是正方形 7(2016上海)如图所示，梯形 ABCD 中，ABDC，B90，AD15，AB16，BC12，点 E 是边 AB 上的动点，点 F 是射线 CD
9、 上一点，射线 ED 和射线 AF 交于点 G，且AGEDAB (1)求线段 CD 的长； (2)如果AEG 是以 EG 为腰的等腰三角形，求线段 AE 的长； (3)如果点 F 在边 CD 上(不与点 C、D 重合)，设 AEx，DFy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围 【分析】(1)作 DHAB 于 H，如图 1，易得四边形 BCDH 为矩形，则 DHBC12，CDBH，再利用 勾股定理计算出 AH，从而得到 BH 和 CD 的长； (2)分类讨论：当 EAEG 时，则AGEGAE，则判断 G 点与 D 点重合，即 EDEA，作 EMAD 于 M， 如图 1， 则 A
10、M= 1 2AD= 15 2 ， 通过证明 RtAMERtAHD， 利用相似比可计算出此时的 AE 长； 当 GAGE 时，则AGEAEG，可证明 AEAD15， (3)作 DHAB 于 H，如图 2，则 AH9，HE|x9|，先利用勾股定理表示出 DE= 122+ ( 9)2， 再证明EAGEDA，则利用相似比可表示出 EG= 2 122+(9)2，则可表示出 DG，然后证明DGF EGA，于是利用相似比可表示出 x 和 y 的关系 【解析】(1)作 DHAB 于 H，如图 1， 易得四边形 BCDH 为矩形， DHBC12，CDBH， 在 RtADH 中，AH= 2 2= 152 122=
11、9， BHABAH1697， CD7； (2)EAEG 时，则AGEGAE， AGEDAB， GAEDAB， G 点与 D 点重合，即 EDEA， 作 EMAD 于 M，如图 1，则 AM= 1 2AD= 15 2 ， MAEHAD， RtAMERtAHD， AE：ADAM：AH，即 AE：15= 15 2 ：9，解得 AE= 25 2 ； GAGE 时，则GAEAEG， AGEDAB， 而AGEADG+DAG，DABGAE+DAG， GAEADG， AEGADG， AEAD15 综上所述，AEC 是以 EG 为腰的等腰三角形时，线段 AE 的长为25 2 或 15； (3)作 DHAB 于
12、H，如图 2，则 AH9，HE|x9|， 在 RtHDE 中，DE= 2+ 2= 122+ ( 9)2， AGEDAB，AEGDEA， EAGEDA， EG：AEAE：ED，即 EG：xx：122+ ( 9)2， EG= 2 122+(9)2， DGDEEG= 122+ ( 9)2 2 122+(9)2， DFAE， DGFEGA， DF：AEDG：EG，即 y：x(122+ ( 9)2 2 122+(9)2)： 2 122:(;9)2， y= 22518 (9x 25 2 ) 一选择题一选择题(共共 10 小题小题) 1(2020杨浦区二模)已知在四边形 ABCD 中，ABCD，对角线 AC
13、 与 BD 相交于点 O，那么下列条件中 能判定这个四边形是矩形的是( ) AADBC，ACBD BACBD，BADBCD CAOCO，ABBC DAOOB，ACBD 【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题 【解析】A、ABDC，ADBC，无法得出四边形 ABCD 是平行四边形，故无法判断四边形 ABCD 是矩 形故错误； B、ABCD， BAD+ADCABC+BCD180， BADBCD， ABCADC， 得出四边形 ABCD 是平行四边形， ACBD， 四边形 ABCD 是矩形故正确； C、AOCO，ABBC， BDAC，ABDCBD， ABCD， 2 2020020 模拟模拟汇
14、编汇编 ABDCDB， CBDCDB， BCCD， ABCD， 四边形 ABCD 是菱形，无法判断四边形 ABCD 是矩形故错误； D、AOOB，ACBD 可无法判断四边形 ABCD 是矩形，故错误； 故选：B 2(2020普陀区二模)如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，如果 OB4，AOB60，那 么矩形 ABCD 的面积等于( ) A8 B16 C83 D163 【分析】 由矩形的性质得出 OABO， 证AOB 是等边三角形， 得出 ABOB4， 由勾股定理求出 AD， 即可求出矩形的面积 【解析】四边形 ABCD 是矩形 BAD90，AOCO= 1 2AC，BODO
15、= 1 2BD，ACBD2OB8， OABO， AOB60， AOB 是等边三角形， ABOB4， AD= 2 2= 82 42=43， 矩形 ABCD 的面积ABAD443 =163； 故选：D 3(2020奉贤区二模)四边形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 互相平分添加下列条件，一定能判定四边形 ABCD 为菱形的是( ) AABDBDC BABDBAC CABDCBD DABDBCA 【分析】先由对角线 AC、BD 互相平分得出四边形 ABCD 是平行四边形，再按照平行四边形基础上菱 形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，逐个 选项分析即可
16、【解析】如图所示，设四边形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 交于点 O， AC、BD 互相平分， 四边形 ABCD 是平行四边形 选项 A，由平行四边形的性质可知 ABDC，则ABDBDC，从而 A 不符合题意； 选项 B，ABDBAC，则 AOBO，再结合对角线 AC、BD 互相平分，可知 ACBD，从而平行四 边形 ABCD 是矩形，故 B 不符合题意； 选项 C，由平行四边形的性质可知 ADBC，从而ADBCBD， 当ABDCBD 时，ADBABD，故 ABAD， 由一组邻边相等的平行四边形的菱形可知，C 符合题意； 选项 D，ABDBCA，得不出可以判定四边形 ABCD 为菱形的条
17、件，故 D 不符合题意 综上，只有选项 C 一定能判定四边形 ABCD 为菱形 故选：C 4(2020静安区二模)如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，那么下列条件中，能判断ABCD 是 菱形的为( ) AAOCO BAOBO CAOBBOC DBADABC 【分析】在平行四边形基础上，菱形的判定方法有：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线 互相垂直的平行四边形是菱形据此逐个选项分析即可 【解析】选项 A，由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，故 A 不符合题意； 选项 B， 由ABCD 中 AOBO 可推得 ACBD， 可以证明ABCD 为矩形， 但不能判定ABCD 为菱形
18、， 故 B 不符合题意； 选项 C，当AOBBOC 时，由于AOB+BOC180，故AOBBOC90，而对角线互相 垂直的平行四边形是菱形，故 C 符合题意； 选项 D，由平行四边形的性质可知，BAD+ABC180，故当BADABC 时，BADABC 90，从而可判定ABCD 为矩形，故 D 不符合题意 综上，只有选项 C 可以判定ABCD 是菱形 故选：C 5 (2020闵行区二模)顺次联结四边形 ABCD 各边中点所形成的四边形是矩形， 那么四边形 ABCD 是( ) A平行四边形 B矩形 C菱形 D等腰梯形 【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：
19、所得四边形 的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形 的对角线必互相垂直，由此得解 【解析】已知：如右图，四边形 EFGH 是矩形，且 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点，求 证：四边形 ABCD 是对角线垂直的四边形 证明：由于 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点， 根据三角形中位线定理得：EHFGBD，EFACHG； 四边形 EFGH 是矩形，即 EFFG， ACBD， 观察选项，只有菱形的对角线互相垂直 故选：C 6(2020浦东新区二模)在梯形 ABCD 中，ADBC，那么下列条件中，不能判断它是
20、等腰梯形的是( ) AABDC BDABABC CABCDCB DACDB 【分析】 等腰梯形的判定定理有： 有两腰相等的梯形是等腰梯形， 对角线相等的梯形是等腰梯形， 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可 【解析】A、ADBC，ABDC， 梯形 ABCD 是等腰梯形，故本选项错误； B、根据DABABC，不能推出四边形 ABCD 是等腰梯形，故本选项正确； C、ABCDCB， BDBC， 四边形 ABCD 是等腰梯形，故本选项错误； D、ACBD， ADBC， 四边形 ABCD 是等腰梯形，故本选项错误 故选：B 7(2020闵行区一模)要判断一个四边形门框是否为矩形
21、，在下面四个拟定方案中，正确的方案是( ) A测量对角线是否相互平分 B测量两组对边是否分别相等 C测量对角线是否互相垂直 D测量其中三个角是否是直角 【分析】由矩形的判定即可得出结论 【解析】三个角是直角的四边形是矩形， 在下面四个拟定方案中，正确的方案是 D， 故选：D 8(2020松江区一模)如图，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角 ，它们重 叠部分(图中阴影部分)的面积是 1.5那么 sin 的值为( ) A3 4 B1 2 C2 3 D3 2 【分析】如图， 过点 A 作 AEBC， AFCD，由菱形的判定可证四边形 ABCD 是菱形，可得 ADCD， 由面
22、积公式可求 ADCD= 3 2，即可求解 【解析】如图，过点 A 作 AEBC，AFCD， ADBC，ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 的面积是 1.5， BCAECDAF，且 AEAF1， BCCD， 四边形 ABCD 是菱形， ADCD， 1.5CDAF， CD= 3 2， ADCD= 3 2 sin= = 2 3， 故选：C 9(2020虹口区二模)如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，以下说法错误的是( ) AABC90 BACBD COAOB DOAAB 【分析】利用排除法解决问题即可，只要证明 A、B、C 正确即可 【解析】四边形
23、 ABCD 是矩形， ABC90，ACBD，OAOC，OBOD， OAOB， 故 A、B、C 正确， 故错误的是 D， 故选：D 10(2020松江区二模)如果一个多边形的每一个内角都是 135，那么这个多边形的边数是( ) A5 B6 C8 D10 【分析】已知每一个内角都等于 135，就可以知道每个外角是 45 度，根据多边形的外角和是 360 度 就可以求出多边形的边数 【解析】多边形的边数是：n= 360 180135 =8，即该多边形是八边形 故选：C 二填空题二填空题(共共 10 小题小题) 11(2020浦东新区三模)如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，将矩形 ABCD
24、绕点 C 旋转，点 A、B、 D 的对应点分别为 A、B、D，当 A落在边 CD 的延长线上时，边 AD与边 AD 的延长线交 于点 F，联结 CF，那么线段 CF 的长度为 35 2 【分析】由旋转的性质得 CDCD3，ADAD4，ADCADC90，由勾股定理得出 AC 5，则 ADACCD532，证 RtCDFRtCDF(HL)，得出 DFDF，设 DFDFx，则 AF4x， 在 RtADF 中， 由勾股定理得出方程， 解方程得 DF= 3 2， 由勾股定理即可得出 CF 的长度 【解析】四边形 ABCD 是矩形， ABCD3，ADBC4，ADC90， ADFCDF90， 由旋转的性质得：
25、CDCD3，ADAD4，ADCADC90， AC= 32+ 42=5， ADACCD532， 在 RtCDF 和 RtCDF 中， = = ， RtCDFRtCDF(HL)， DFDF， 设 DFDFx，则 AF4x， 在 RtADF 中，由勾股定理得：22+x2(4x)2， 解得：x= 3 2， DF= 3 2， CF= 2+ 2=32+ (3 2) 2 = 35 2 ； 故答案为：35 2 12(2020浦东新区三模)如果直角梯形的两腰长分别为 8 厘米和 10 厘米，较长的底边长为 7 厘米，那么 这个梯形的面积是 32 平方厘米 【分析】如图，作 DEBC，根据勾股定理得到 CE= 2
26、 2=6，根据梯形的面积公式即可得到 结论 【解析】如图，作 DEBC，已知 AB8，CD10，BC7， CE= 2 2=6， ADBCEC1， 梯形的面积是：1 2(AD+BC)DE= 1 2 (7+1)832(cm2)， 答：这个梯形的面积是 32 平方厘米 故答案为：32 13(2020杨浦区二模)如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB10，BC15，tanA= 4 3，点 P 是边 AD 上一点，联结 PB，将线段 PB 绕着点 P 逆时针旋转 90得到线段 PQ，如果点 Q 恰好落在平行四边形 ABCD 的边上，那么 AP 的值是 6 或 10 【分析】 如图 1 中， 当点 Q
27、 落在 CD 上时， 作 BEAD 于 E， QFAD 交 AD 的延长线于 F 设 PEx 如 图 2，当点 Q 落在 AD 上时，如图 3 中，当点 Q 落在直线 BC 上时，作 BEAD 于 E，PFBC 于 F则 四边形 BEPF 是矩形，根据旋转的性质和平行四边形的性质以及三角函数的定义即可得到结论 【解析】如图 1 中，当点 Q 落在 CD 上时，作 BEAD 于 E， QFAD 交 AD 的延长线于 F 设 PEx 在 RtAEB 中，tanA= = 4 3，AB10， BE8，AE6， 将线段 PB 绕着点 P 逆时针旋转 90得到线段 PQ， BPQ90， EBP+BPEBP
28、E+FPQ90， EBPFPQ， PBPQ，PEBPFQ90， PBEQPF(AAS)， PEQFx，EBPF8， DFAE+PE+PFADx1， CDAB， FDQA， tanFDQtanA= 4 3 = ， ;1 = 4 3， x4， PE4， AP6+410； 如图 2，当点 Q 落在 AD 上时， 将线段 PB 绕着点 P 逆时针旋转 90得到线段 PQ， BPQ90， APBBPQ90， 在 RtAPB 中，tanA= = 4 3，AB10， AP6； 如图 3 中，当点 Q 落在直线 BC 上时，作 BEAD 于 E，PFBC 于 F则四边形 BEPF 是矩形 在 RtAEB 中，
29、tanA= = 4 3，AB10， BE8，AE6， PFBE8， BPQ 是等腰直角三角形，PFBQ， PFBFFQ8， PBPQ82，BQ= 2PB1615(不合题意舍去)， 综上所述，AP 的值是 6 或 10， 故答案为：6 或 10 14(2020徐汇区二模)如图，在平行四边形 ABCD 中，AD3，AB5，sinA= 4 5，将平行四边形 ABCD 绕 着点 B 顺时针旋转 (090)后，点 A 的对应是点 A，联结 AC，如果 ACBC，那么 cos 的值 是 7 25 【分析】 连接 BD， 连接 AD， 过点 B 作 BHAD 于 H， 过点 A作 AEAB 于 E， 先证点
30、 H 与点 D 重合， 再证四边形 ACBD 是矩形，可得ADB90，可得点 A，点 D，点 A共线，由面积法可求 AE= 24 5 ， 由勾股定理可求解 【解析】如图，连接 BD，连接 AD，过点 B 作 BHAD 于 H，过点 A作 AEAB 于 E， sinA= 4 5 = ， BH4， AH= 2 2 = 25 16 =3， ADAH3， 点 D 与点 H 重合， ADB90， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC3，ADBC， ADBDBC90， 又ACBC， BDAC， 将平行四边形 ABCD 绕着点 B 顺时针旋转 (090)， ABAB5， ACBC， AC= 2 2 =
31、 25 9 =4， ACBD， 四边形 ACBD 是平行四边形， DBC90，BCAD3， 四边形 ACBD 是矩形， ADB90， ADB+ADB180， 点 A，点 D，点 A共线， SABA= 1 2 ABAE= 1 2 AABD， AE= 24 5 ， BE= 2 2 =25 576 25 = 7 5， cos= = 7 5 5 = 7 25， 故答案为： 7 25 15(2020嘉定区二模)七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形(其中的一个平行四边形是正方形) 组成 用七巧板可以拼出丰富多彩的图形， 图中的正方形 ABCD 就是由七巧板拼成的， 那么正方形 EFGH 的面积与正方
32、形 ABCD 的面积的比值为 1 8 【分析】四边形 EFGH 是正方形，AEH 是等腰直角三角形，即可得出 AHHEHG，设 AHHG 1，则 AG2，即可得到正方形 EFGH 的面积为 1，正方形 ABCD 的面积为 8，进而得出结论 【解析】四边形 EFGH 是正方形，AEH 是等腰直角三角形， AHHEHG， 设 AHHG1，则 AG2，正方形 EFGH 的面积为 1， ADG 是等腰直角三角形， AD= 2AG22， 正方形 ABCD 的面积为 8， 正方形 EFGH 的面积与正方形 ABCD 的面积的比值为1 8， 故答案为：1 8 16(2020静安区二模)如果一条直线把一个四边
33、形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线 称为这个四边形的“等分周长线” 在直角梯形 ABCD 中，ABCD，A90，DCAD，B 是锐 角，cotB= 5 12，AB17如果点 E 在梯形的边上，CE 是梯形 ABCD 的“等分周长线” ，那么BCE 的 周长为 42 【分析】作 CHAB 于 H，设 BH5a，证明四边形 ADCH 为矩形，得到 ADCH12a，根据题意求 出 a，根据勾股定理求出 BC，根据“等分周长线”计算，得到答案 【解析】作 CHAB 于 H， 设 BH5a， cotB= 5 12， = 5 12， CH12a， ABCD， DA90，又 CHAB， 四边
34、形 ADCH 为矩形， ADCH12a，CDAH， DCAD， AHCD12a， 由题意得，12a+5a17， 解得，a1， ADCDAH12，BH5， 在 RtCHB 中，BC= 2+ 2=13， 四边形 ABCD 的周长12+12+17+1354， CE 是梯形 ABCD 的“等分周长线” ， 点 E 在 AB 上， AE17+13273， EH1239， 由勾股定理得，EC= 2+ 2=15， BCE 的周长14+13+1542， 故答案为：42 17(2020黄浦区二模)如果一个梯形的上底与下底之比等于 1：2，那么这个梯形的中位线把梯形分成两 部分的面积之比是 5：7 【分析】设梯形
35、的上底为 a，用 a 表示出下底，根据梯形中位线的概念用 a 表示出梯形中位线的长，根 据梯形的面积公式计算，得到答案 【解析】设梯形的上底为 a，则下底为 2a， 梯形的中位线= +2 2 = 3 2a， 梯形的中位线把梯形分成的两个梯形的高 h 是相等的， 这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比= 1 2(+ 3 2) 1 2( 3 2+2) = 5 7， 故答案为：5：7 18(2020虹口区二模)如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABBDBC，如果C50，那么ABD 的度数是 20 【分析】 根据题意可得三角形 BDC 和三角形 ABD 是等腰三角形， 再根据 ADBC， 可得
36、BDADBC， 再根据三角形内角和即可求出ABD 的度数 【解析】BDBC， BDCC50， DBC1802C80， ADBC， BDADBC80， ABBD， ABDA80， ABD1802A20 故答案为：20 19(2020金山区二模)四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相互垂直，AC4，BD6，顺次联结这个四边 形中点所得的四边形的面积等于 6 【分析】由 E、F、G、H 分别为各边的中点，根据三角形的中位线定理可得 EFAC，GHAC，EH BD， FGBD， EF= 1 2AC2， EH= 1 2BD3， 从而可得四边形 EFGH 是平行四边形， 再由对角线 AC、 BD 相
37、互垂直，可证得四边形 EMON 是矩形，然后证明四边形 EFGH 是矩形，利用矩形的面积计算公式 可得答案 【解析】如图， E、F、G、H 分别为各边的中点， EFAC，GHAC，EHBD，FGBD，EF= 1 2AC2，EH= 1 2BD3， 四边形 EFGH 是平行四边形， 对角线 AC、BD 相互垂直， EMOENO90， 四边形 EMON 是矩形， MEN90， 四边形 EFGH 是矩形， 四边形 EFGH 的面积为：236 故答案为：6 20(2020虹口区一模)如图，在 RtABC 中，C90，AC1，BC2，点 D 为边 AB 上一动点，正 方形 DEFG 的顶点 E、F 都在边
38、 BC 上，联结 BG，tanDGB 1 3 【分析】设 DE 与 BG 交于点 O，根据题意可得BDEABC，可得 = = 1 2，由正方形的性质 可得 GFDEEF，进而得出 = 1 3，再证明DOGEOBFGB，可得 = = = 1 3 【解析】如图，DE 与 BG 交于点 O， 正方形 DEFG， DEBEDGGFB90，GFDEEF， BDEABC， = = 1 2， = 1 3， DOGEOB， DOGEOBFGB， = = = 1 3， tanDGB= 1 3 故答案为：1 3 三解答题三解答题(共共 15 小题小题) 21(2020杨浦区二模)如图，已知在正方形 ABCD 中，
39、对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 M 在线段 OD 上， 联结 AM 并延长交边 DC 于点 E，点 N 在线段 OC 上，且 ONOM，联结 DN 与线段 AE 交于点 H，联 结 EN、MN (1)如果 ENBD，求证：四边形 DMNE 是菱形； (2)如果 ENDC，求证：AN2NCAC 【分析】(1)由四边形 ABCD 是正方形，推出 = ，所以 MNCD，再根据 ENBD，推出四边形 DMNE 是平行四边形，再证明AOMDON，推出OMAOND，由OAM+OMA90， OAM+OND90得出AHN90，即 DNME，所以四边形 DMNE 是菱形； (2)由 MNCD，推出 =
40、，由四边形 ABCD 是正方形，推出 ABDC，ABDC，ADC90， 即ADDC， 根据ENDC， 得出ENAD， 所以 = ， 根据ABDC， 推出 = ， 所以 = ， 最后得出结论 【解答】证明：(1)如图 1， 四边形 ABCD 是正方形， OAOBOCOD，ACBD， ONOM， = ， MNCD， 又ENBD， 四边形 DMNE 是平行四边形， 在AOM 和DON 中， AOMDON90，OAOD，OMON， AOMDON(SAS)， OMAOND， OAM+OMA90， OAM+OND90 AHN90 DNME， 平行四边形 DMNE 是菱形； (2)如图 2， MNCD， =
41、 ， 四边形 ABCD 是正方形， ABDC，ABDC，ADC90， ADDC， 又ENDC， ENAD， = ， ABDC， = ， = ， AN2NCAC 22(2020浦东新区三模)已知：如图，点 E 为ABCD 对角线 AC 上的一点，点 F 在线段 BE 的延长线上， 且 EFBE，线段 EF 与边 CD 相交于点 G (1)求证：DFAC； (2)如果 ABBE，DGCG，联结 DE、CF，求证：四边形 DECF 是矩形 【分析】(1)根据平行四边形的性质得到 BODO，根据三角形的中位线定理即可得到结论； (2)根据平行四边形的性质得到 ABCD，由平行线的性质得到BAEGCE，
42、求得GECGCE， 得到 GECG，推出四边形 DECF 是平行四边形，得到 DGCGFGGE，于是得到结论 【解答】(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形， BODO， EFBE， OE 是BDF 的中位线， OEDF， 即 DFAC； (2)解：ABBE， BAEBEA， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， BAEGCE， BEAGEC， GECGCE， GECG， DFAC， = ， DGCG， FGGE， 四边形 DECF 是平行四边形， DGCG，FGGE，GECG， DGCGFGGE， DCEF， 四边形 DECF 是矩形 23(2020徐汇区二模)已知：如图，在平行
43、四边形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别在边 AB、BC、CD、 DA 上，BEDG，BFDH (1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形； (2)当 ABBC，且 BEBF 时，求证：四边形 EFGH 是矩形 【分析】(1)利用全等三角形的性质可得 EFHG，EHFG，可得结论； (2)由等腰三角形的性质可得BEFBFE= 180 2 ， AEHAHE= 180 2 ， 可求FEH90， 可得结论 【解答】证明：(1)四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC，BD，AC， BEDG，BFDH，且BD， BEFDGH(SAS)， EFHG， 同理可得 EHFG， 四边形 EF
44、GH 是平行四边形； (2)ABBC，BEBF ABBCCDAD，BEBFDHDG， AEAH， ADBC， B+A180， BEBF，AEAH， BEFBFE= 180 2 ，AEHAHE= 180 2 ， AEH+BEF90， FEH90， 平行四边形 EFGH 是矩形 24(2020奉贤区二模)如图 1，由于四边形具有不稳定性，因此在同一平面推矩形的边可以改变它的形状 (推移过程中边的长度保持不变)已知矩形 ABCD，AB4cm，AD3cm，固定边 AB，推边 AD，使得 点 D 落在点 E 处，点 C 落在点 F 处 (1)如图 2，如果DAE30，求点 E 到边 AB 的距离； (2
45、)如图 3，如果点 A、E、C 三点在同一直线上，求四边形 ABFE 的面积 【分析】(1)过点 E 作 EHAB 轴，垂足为 H，根据矩形的性质得到DAB90，ADEH，根据平行 线的性质得到DAEAEH，求得AEH30，解直角三角形即可得到结论； (2)过点 E 作 EHAB，垂足为 H根据矩形的性质得到 ADBC得到 BC3cm根据勾股定理得到 = 2+ 2= 5cm，根据平行线分线段成比例定理得到 = 9 5cm，根据四边形的性质得到 AD AEBF，ABDCEF求得四边形 ABCD 是平行四边形，于是得到结论 【解析】(1)如图 2，过点 E 作 EHAB 轴，垂足为 H， 四边形
46、ABCD 是矩形， DAB90， ADEH， DAEAEH， DAE30，AEH30 在直角AEH 中，AHE90， EHAEcosAEH， ADAE3cm， = 3 3 2 = 33 2 cm， 即点 E 到边 AB 的距离是33 2 cm； (2)如图 3，过点 E 作 EHAB，垂足为 H 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， AD3cm， BC3cm， 在直角ABC 中，ABC90，AB4cm， = 2+ 2= 5cm， EHBC， = ， AEAD3 cm， 3 5 = 4 ， = 9 5cm， 推移过程中边的长度保持不变， ADAEBF，ABDCEF， 四边形 ABCD 是平行四
47、边形， 平行四边形= = 4 9 5 = 36 5 cm2 25(2020黄浦区二模)在边长为 2 的菱形 ABCD 中，E 是边 AD 的中点，点 F、G、H 分别在边 AB、BC、 CD 上，且 FGEF，EHEF (1)如图 1，当点 F 是边 AB 中点时，求证：四边形 EFGH 是矩形； (2)如图 2，当 = 1 2时，求 值； (3) 当 cos D = 5 13 ， 且 四 边 形 EFGH 是 矩 形 时 ( 点 F 不 与 AB 中 点 重 合 ) ， 求 AF 的 长 【分析】(1)连接 AC、BD，由菱形的性质及三角形的中位线定理证得 GFEH，GFEH，从而可知四 边形 EFGH 是平行四边形，再由有一个角为直角的平行四边形是矩形得出结论； (2)连接 EG， 由菱形的性质及 FGEH 可得BGFDEH， 及BD， 从而判定BGFDEH， 结合 = 1 2及菱形的性质可得答案； (3)如图，过点 G 作 GMAB 于点
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