2021年河北省邯郸市中考数学模拟试卷（一）含答案详解

1、2021 年河北省邯郸市中考数学模拟试卷（一）年河北省邯郸市中考数学模拟试卷（一） 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 16 小题，共小题，共 42 分分.110 小题各小题各 3 分，分，1116 小题各小题各 2 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合要求的）中，只有一项是符合要求的） 1 （3 分）计算：13（ ） A2 B2 C4 D4 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） Ax2+x2x4 B3x2x3x3 C （ab2）3a4b5 Da6a2a3 3 （3 分）如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D 4 （3 分）如图，E，F，G 为

2、圆上的三点，FEG50，P 点可能是圆心的是（ ） A B C D 5 （3 分）下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（ ） A B C D 6 （3 分）甲乙两人同时从 A 地出发，骑自行车到 B 地，已知 A、B 两地的距离为 30km，甲每小时比乙多 走 3km，并且比乙先到 40 分钟设乙每小时走 xkm，则可列方程为（ ） A B C D 7 （3 分）数据（2000000） 1 用科学记数法表示为（ ） A2106 B510 6 C210 6 D510 7 8 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，CD 上，且 AECF求证：DEBF以 下是排乱的

3、证明过程： AECF，BEFD； 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD； DEBF， 四边形 EBFD 是平行四边形 证明步骤正确的顺序是（ ） A B C D 9 （3 分）过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ） A B C D 10 （3 分）如图，在某监测点 B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 15方向的 A 处，若渔船沿北偏西 75方向以 40 海里/小时的速度航行，航行半小时后到达 C 处，在 C 处观测到 B 在 C 的北偏东 60方 向上，则 B、C 之间的距离为（ ） A20 海里 B10海里 C20海里 D30 海里 11

4、 （2 分）若关于 x 的一元二次方程 x2ax+a10 中，a2，该方程的解的情况是（ ） A没有实数根 B有两个不相等的实数根 C有两个相等的实数根 D不能确定 12 （2 分）定义新运算：a*b，则函数 y3*x 的图象大致是（ ） A B C D 13 （2 分）如图为某班 35 名学生投篮成绩的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全已知此 班学生投篮成绩的中位数是 5，则根据图，无法确定下列哪一选项中的数值（ ） A4 球以下的人数 B5 球以下的人数 C6 球以下的人数 D7 球以下的人数 14 （2 分） 如图是 P1、 P2、 、 P10十个点在圆上的位置图， 且此十点

5、将圆周分成十等分 今小玉连接 P1P2、 P1P10、 P9P10、 P5P6、 P6P7， 判断小玉再连接下列哪一条线段后， 所形成的图形不是轴对称图形？ （ ） AP2P3 BP4P5 CP7P8 DP8P9 15 （2 分）抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+3t0（t 为实数） 在1x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ） A2t11 Bt2 C6t11 D2t6 16 （2 分）如图，直线 l 是一条河，P，Q 两地相距 8km，P，Q 两地到 l 的距离分别为 2km，5km，欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站， 向

6、 P， Q 两地供水 现有如下四种铺设方案， 图中实线表示铺设的管道， 则铺设的管道最短的是（ ） A B C D 二二.填空题（本大题有填空题（本大题有 3 个小题，共个小题，共 10 分分.1718 小题各小题各 3 分，分，19 题有题有 2 个空，每空个空，每空 2 分）分） 17 （3 分） 18 （3 分）22+22+22+222m，则 m 19 （4 分）规定：在一个矩形中，先剪下一个最大的正方形称为裁剪 1 次，再在剩余的图形中剪下一个最 大的正方形称为裁剪 2 次，依次进行，若裁剪 n 次后，最后剩余的图形也是一个正方形，我们把这 样的矩形称为完美矩形已知在完美矩形中，两条相

7、邻边长分别为 4，a，若 a7，则 n ；若 1 a3，且 n3，则 a 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 个小题，共个小题，共 68 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20 （8 分）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点 A，B，C 把数轴分成四部分，点 A，B， C 对应的数分别是 a，b，c，已知 bc0 （1）请直接写出原点在第几部分； （2）若 AC5，BC3，b1，求 a； （3）若点 C 表示数 3，数轴上一点 D 表示的数为 d，当点 C、原点、点 D 这三点中其中一点是另外两点 的中点时，直接写出 d 的值

8、 21 （8 分）在化简整式（x2）（x+2）+中， “”表示运算符号“” “”中的某一个， “”表示 一个整式 （1）计算（x2）（x+2）+（2+y） ； （2）若（x2） （x+2）+3x2+4，求出整式； （3）已知（x2）（x+2）+的计算结果是二次单项式，当是常数项时，直接写出表示的符号及 的值 22 （10 分）如图，点 O 为线段 AB 的中点，点 C 为线段 OA 上一点（不与 O，A 重合） ，以点 O 为圆心， OC 为半径作圆 O 交线段 OB 于点 D、EABFBA60，AEBF2，AB10，连接 EC，FD （1）求证：ECDF； （2）当 EC 与圆 O 相切时，

9、求 OC 的长度； （3）直接写出AEC 的外心在该三角形内部时，E 的取值范围 23 （9 分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该 校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统 计图表的一部分 类别 A B C D E 节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 12 30 m 54 9 请你根据以上的信息，回答下列问题： （1）被调查学生的总数为 人，统计表中 m 的值为 ，统计图中 n 的值为 ； （2）在统计图中，E 类所对应扇形的圆心角的度数为 ； （3）喜爱体育电视节目的学生中有 4 人

10、（甲、乙、丙、丁）在学校参加体育训练，现要从 4 个人中选拔 两人代表参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少 （用列表法或树状图法求概率） 24 （10 分）如图，已知点 A，B，C，D 的坐标分别为（1，2） 、 （2，2） 、 （2，1） 、 （1，1） 线段 AB， BC，CD 组成的图形为图形 G点 M 沿 ABBCCD 移动，设点 M 移动的距离为 S直线 l：yx+b 过 点 M，且在点 M 移动过程中，直线 l 随 M 运动而运动 （1）若点 M 与点 A 重合时，求直线 l 的解析式； （2）当直线 l 过点 D 时，求 S 值； （3）若直线 l 与图形 G 有一个交点

11、，直接写出 b 的取值范围； 若直线 l 与图形 G 有两个交点，直接写出 b 的取值范围 25 （11 分）根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的 销售利润 y1（千元）与进货量 x（吨）之间的函数 y1kx 的图象如图所示，乙种蔬菜的销售利润 y2（千 元）与进货量 x（吨）之间的函数 y2ax2+bx 的图象如图所示 （1）分别求出 y1、y2与 x 之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共 10 吨，设乙种蔬菜的进货量为 t 吨，写出这两种蔬菜所获得 的利润之和 W（千元）与 t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多

12、少吨时获得的利润之和 最大，最大利润是多少？ 26 （12 分）如图 1，图 2 中，正方形 ABCD 的边长为 6，点 P 从点 B 出发沿边 BCCD 以每秒 2 个单位长 的速度向点 D 匀速运动，以 BP 为边作等边三角形 BPQ，使点 Q 在正方形 ABCD 内或边上，当点 Q 恰 好运动到 AD 边上时，点 P 停止运动设运动时间为 t 秒（t0） （1）当 t2 时，点 Q 到 BC 的距离 ； （2）当点 P 在 BC 边上运动时，求 CQ 的最小值及此时 t 的值； （3）若点 Q 在 AD 边上时，如图 2，求出 t 的值； （4）直接写出点 Q 运动路线的长 2021 年

13、河北省邯郸市中考数学模拟试卷（一）年河北省邯郸市中考数学模拟试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 16 小题，共小题，共 42 分分.110 小题各小题各 3 分，分，1116 小题各小题各 2 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合要求的）中，只有一项是符合要求的） 1 （3 分）计算：13（ ） A2 B2 C4 D4 【解答】解：131+（3）4 故选：D 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） Ax2+x2x4 B3x2x3x3 C （ab2）3a4b5 Da6a2a3 【解答】解：x2+x22x2，故

14、选项 A 不符合题意； 3x2x3x3，故选项 B 符合题意； （ab2）3a3b6，故选项 C 不符合题意； a6a2a4，故选项 D 不符合题意， 故选：B 3 （3 分）如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D 【解答】解：如图所示的几何体的俯视图是 故选：C 4 （3 分）如图，E，F，G 为圆上的三点，FEG50，P 点可能是圆心的是（ ） A B C D 【解答】解：FEG50， 若 P 点圆心， FPG2FEG100 故选：C 5 （3 分）下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、图中两个图形符合位似图形的定义，是位似图形，不符合题意

15、； B、图中两个图形符合位似图形的定义，是位似图形，不符合题意； C、图中两个图形符合位似图形的定义，是位似图形，不符合题意； D、图中两个图形对应边不平行，不符合位似图形的定义，不是位似图形，符合题意； 故选：D 6 （3 分）甲乙两人同时从 A 地出发，骑自行车到 B 地，已知 A、B 两地的距离为 30km，甲每小时比乙多 走 3km，并且比乙先到 40 分钟设乙每小时走 xkm，则可列方程为（ ） A B C D 【解答】解：设乙每小时走 xkm，则甲每小时走（3+x）km， 则可列方程为： 故选：B 7 （3 分）数据（2000000） 1 用科学记数法表示为（ ） A2106 B5

16、10 6 C210 6 D510 7 【解答】解：10 7 故选：D 8 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，CD 上，且 AECF求证：DEBF以 下是排乱的证明过程： AECF，BEFD； 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD； DEBF， 四边形 EBFD 是平行四边形 证明步骤正确的顺序是（ ） A B C D 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， AECF， BEFD， 四边形 EBFD 是平行四边形， DEBF， 则证明步骤正确的顺序是， 故选：C 9 （3 分）过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平

17、行线，下列尺规作图中错误的是（ ） A B C D 【解答】解：A、本选项作了角的平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行， 故本选项不符合题意 B、 本选项作了一个角等于已知角， 根据同位角相等两直线平行， 能判断是过点 P 且与直线 l 的平行直线， 本选项不符合题意 C、由作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意 D、作图只截取了两条线段相等，而无法保证两直线平行的位置关系，本选项符合题意 故选：D 10 （3 分）如图，在某监测点 B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 15方向的 A 处，若渔船沿北偏西 75方向以 40 海里/小时的速度航行，航行

18、半小时后到达 C 处，在 C 处观测到 B 在 C 的北偏东 60方 向上，则 B、C 之间的距离为（ ） A20 海里 B10海里 C20海里 D30 海里 【解答】解：如图，ABE15，DABABE， DAB15， CABCAD+DAB90 又FCB60，CBEFCB，CBA+ABECBE， CBA45 在直角ABC 中，sinABC， BC20海里 故选：C 11 （2 分）若关于 x 的一元二次方程 x2ax+a10 中，a2，该方程的解的情况是（ ） A没有实数根 B有两个不相等的实数根 C有两个相等的实数根 D不能确定 【解答】解：方程根的判别式a24（a1）a24a+4（a2）2

19、， a2， （a2）20，即0， 此方程有两个不相等的实数根 故选：B 12 （2 分）定义新运算：a*b，则函数 y3*x 的图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：由题意可得， 当 x3 时，y3*x312， 当 x3 且 x0 时，y3*x， 故选：B 13 （2 分）如图为某班 35 名学生投篮成绩的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全已知此 班学生投篮成绩的中位数是 5，则根据图，无法确定下列哪一选项中的数值（ ） A4 球以下的人数 B5 球以下的人数 C6 球以下的人数 D7 球以下的人数 【解答】解：由题意和图象可得， 4 球以下的人数为：2+3+510，故选项

20、 A 不符合题意， 此班学生投篮成绩的中位数是 5，一共 35 人，4 球以下的人数为 10 人，由图可知，4 球的人数超过 6 人， 5 球以下的人数为：2+3+5+717，故选项 B 不符合题意， 6 球以下的人数无法确定，故选项 C 符合题意， 7 球以下的人数为：35134，故选项 D 不符合题意， 故选：C 14 （2 分） 如图是 P1、 P2、 、 P10十个点在圆上的位置图， 且此十点将圆周分成十等分 今小玉连接 P1P2、 P1P10、 P9P10、 P5P6、 P6P7， 判断小玉再连接下列哪一条线段后， 所形成的图形不是轴对称图形？ （ ） AP2P3 BP4P5 CP7

21、P8 DP8P9 【解答】解：由题意可得：当连接 P2P3，P4P5，P7P8时，所形成的图形是轴对称图形， 当连接 P8P9时，所形成的图形不是轴对称图形 故选：D 15 （2 分）抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+3t0（t 为实数） 在1x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ） A2t11 Bt2 C6t11 D2t6 【解答】解：yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1， b2， yx22x+3， 一元二次方程 x2+bx+3t0 的实数根可以看做 yx22x+3 与函数 yt 的图象有交点， 方程在1x4 的范围内有实数根，

22、 当 x1 时，y6； 当 x4 时，y11； 函数 yx22x+3 在 x1 时有最小值 2； 2t11 故选：A 16 （2 分）如图，直线 l 是一条河，P，Q 两地相距 8km，P，Q 两地到 l 的距离分别为 2km，5km，欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站， 向 P， Q 两地供水 现有如下四种铺设方案， 图中实线表示铺设的管道， 则铺设的管道最短的是（ ） A B C D 【解答】解：A、PQ+QM8+210km； B、QM+PMPQ282（52）2+（5+2）2104， PQ2km10km； C、PM+QR5+10； D、PM+QM5+10 综上所述，A 选项铺设的管道

23、最短 故选：A 二二.填空题（本大题有填空题（本大题有 3 个小题，共个小题，共 10 分分.1718 小题各小题各 3 分，分，19 题有题有 2 个空，每空个空，每空 2 分）分） 17 （3 分） 【解答】解：原式 故答案为： 18 （3 分）22+22+22+222m，则 m 4 【解答】解：22+22+22+224+4+4+4441624， m4 故答案为：4 19 （4 分）规定：在一个矩形中，先剪下一个最大的正方形称为裁剪 1 次，再在剩余的图形中剪下一个最 大的正方形称为裁剪 2 次，依次进行，若裁剪 n 次后，最后剩余的图形也是一个正方形，我们把这 样的矩形称为完美矩形已知在

24、完美矩形中，两条相邻边长分别为 4，a，若 a7，则 n 4 ；若 1 a3，且 n3，则 a 或 【解答】解： （1）由题中裁剪方法知，当 a7 时， 第一次裁剪后剩余的边长分别为 3，4； 第二次裁剪后剩余的边长分别为 1，3； 第三次裁剪后剩余的边长分别为 1，2； 第四次裁剪后剩余的边长分别为 1.1 n4 （2）1a3，且 n3， 第一次裁剪后剩余的边长分别为 a，4a 若 4aa，即 a2第二次裁剪后剩余的边长分别为 42a，a 若 42aa，即 a，则第三次裁剪后剩余的边长分别为 43a，a，此图形为正方形， 43aa， a1（舍去） 若 42aa，即 a，则第三次裁剪后剩余的边

25、长分别为 3a4，42a， 3a442a， a 若 4aa，即 a2，则第二次裁剪后剩余的边长分别为 4a，2a4 若 4a2a4，即 a，则第三次裁剪后剩余的边长分别为 83a，2a4 第三次裁剪后的图形为正方形， 83a2a4， a 若 4a2a4，即 a，则第三次裁剪后剩余的边长分别为 4a，3a8 第三次裁剪后的图形为正方形， 4aa8， a6（舍去） 故答案为 4；或 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 个小题，共个小题，共 68 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20 （8 分）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点

26、 A，B，C 把数轴分成四部分，点 A，B， C 对应的数分别是 a，b，c，已知 bc0 （1）请直接写出原点在第几部分； （2）若 AC5，BC3，b1，求 a； （3）若点 C 表示数 3，数轴上一点 D 表示的数为 d，当点 C、原点、点 D 这三点中其中一点是另外两点 的中点时，直接写出 d 的值 【解答】解： （1）bc0， b，c 异号， 原点在第部分； （2）AC5，BC3， ABACBC532， b1， a123； （3）当点 C 是 OD 的中点时，OD2OC236，此时 d6； 当 O 是 CD 的中点时，ODOC3，此时 d3； 当 D 是 OC 的中点时，ODOC3，

27、此时 d d6 或3 或 21 （8 分）在化简整式（x2）（x+2）+中， “”表示运算符号“” “”中的某一个， “”表示 一个整式 （1）计算（x2）（x+2）+（2+y） ； （2）若（x2） （x+2）+3x2+4，求出整式； （3）已知（x2）（x+2）+的计算结果是二次单项式，当是常数项时，直接写出表示的符号及 的值 【解答】解： （1）原式x2x22+y y6； （2）根据题意得：3x2+4（x2） （x+2） 3x2+4（x24） 3x2+4x2+4 2x2+8； （3）计算结果是二次， 表示的运算符号是， 原式（x2） （x+2）+ x24+， 计算结果是单项式， 的值为

28、4 22 （10 分）如图，点 O 为线段 AB 的中点，点 C 为线段 OA 上一点（不与 O，A 重合） ，以点 O 为圆心， OC 为半径作圆 O 交线段 OB 于点 D、EABFBA60，AEBF2，AB10，连接 EC，FD （1）求证：ECDF； （2）当 EC 与圆 O 相切时，求 OC 的长度； （3）直接写出AEC 的外心在该三角形内部时，E 的取值范围 【解答】 （1）证明：O 为 AB 的中点， OAOB， AC+COOD+BD，且 CODO， ACDB，且AB，AEBF， CAEDBF（SAS） ， ECDF； （2）解：如图， EC 与圆 O 相切， OCE90， A

29、CE90， EAB60， cosEACcos60， ACAE1， CAEDBF， ACBD1， CDABACBD1028 OCODCD4； （3）AEC 的外心在该三角形内部， AEC 是锐角三角形， EAB60， 30E90 23 （9 分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该 校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统 计图表的一部分 类别 A B C D E 节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 12 30 m 54 9 请你根据以上的信息，回答下列问题： （1）被调查学生的总数为 15

30、0 人，统计表中 m 的值为 45 ，统计图中 n 的值为 36 ； （2）在统计图中，E 类所对应扇形的圆心角的度数为 21.6 ； （3）喜爱体育电视节目的学生中有 4 人（甲、乙、丙、丁）在学校参加体育训练，现要从 4 个人中选拔 两人代表参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少 （用列表法或树状图法求概率） 【解答】解： （1）被调查的学生总数为：3020%150（人） ， 则 m150（12+30+9+54）45，n%54150100%36%， n36， 故答案为：150，45，36； （2）E 类所对应扇形的圆心角的度数为 36021.6， 故答案为：21.6； （3）画树状图

31、如图： 共有 12 种等可能的结果，其中甲丙同时被选中的结果有 2 种， 甲丙同时被选中的概率为 24 （10 分）如图，已知点 A，B，C，D 的坐标分别为（1，2） 、 （2，2） 、 （2，1） 、 （1，1） 线段 AB， BC，CD 组成的图形为图形 G点 M 沿 ABBCCD 移动，设点 M 移动的距离为 S直线 l：yx+b 过 点 M，且在点 M 移动过程中，直线 l 随 M 运动而运动 （1）若点 M 与点 A 重合时，求直线 l 的解析式； （2）当直线 l 过点 D 时，求 S 值； （3）若直线 l 与图形 G 有一个交点，直接写出 b 的取值范围； 若直线 l 与图形

32、 G 有两个交点，直接写出 b 的取值范围 【解答】解： （1）当点 M 与点 A 重合时， 将点 A 坐标（1，2）代入直线 l：yx+b， 得1+b2，解得 b3， 直线 l 的解析式为：yx+3； （2）将 D（1，1）代入直线 l：yx+b， 得1+b1，解得 b2， 直线 l 的解析式为：yx+2， 此时该直线与 AB 还有一交点 P， 令 y2，则 x+22， 得 x0，即该交点 P 的坐标为（0，2） ， 当点 M 在点 P 时，S0（1）1； 当点 M 在点 D 时，SAB+BC+CD3+1+37； （3）当直线 l 经过点 A 时，由（1）得 b3， 当直线经过点 D 时，由

33、（2）得 b2， 当直线经过点 C 时，得 b1， 直线 l 与图形 G 有一个交点， 平移图象可知过点 A 却不可过点 D 或直线经过点 C 时满足条件， 此时 b 的取值范围是 2b3 或 b1； 当直线 l 与图形 G 有两个交点， 平移图象可知直线经过点 D 但不过点 C 时满足条件， 此时 b 的取值范围是1b2 25 （11 分）根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的 销售利润 y1（千元）与进货量 x（吨）之间的函数 y1kx 的图象如图所示，乙种蔬菜的销售利润 y2（千 元）与进货量 x（吨）之间的函数 y2ax2+bx 的图象如图所

34、示 （1）分别求出 y1、y2与 x 之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共 10 吨，设乙种蔬菜的进货量为 t 吨，写出这两种蔬菜所获得 的利润之和 W（千元）与 t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的利润之和 最大，最大利润是多少？ 【解答】解： （1）由题意得：5k3， 解得 k0.6， y10.6x； 由，解得： y20.2x2+2.2x； （2）W0.6（10t）+（0.2t2+2.2t）0.2t2+1.6t+60.2（t4）2+9.2 所以甲种蔬菜进货量为 6 吨，乙种蔬菜进货量为 4 吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是 9200 元

35、 26 （12 分）如图 1，图 2 中，正方形 ABCD 的边长为 6，点 P 从点 B 出发沿边 BCCD 以每秒 2 个单位长 的速度向点 D 匀速运动，以 BP 为边作等边三角形 BPQ，使点 Q 在正方形 ABCD 内或边上，当点 Q 恰 好运动到 AD 边上时，点 P 停止运动设运动时间为 t 秒（t0） （1）当 t2 时，点 Q 到 BC 的距离 2 ； （2）当点 P 在 BC 边上运动时，求 CQ 的最小值及此时 t 的值； （3）若点 Q 在 AD 边上时，如图 2，求出 t 的值； （4）直接写出点 Q 运动路线的长 【解答】解： （1）如图 1，由运动知，BQ2t4，

36、 过点 Q 作 QHBC 于 H， BPQ 是等边三角形， BPBQ4，PBQ60， 在 RtBPH 中，PHBPsinPBQ42， 故答案为 2； 解： （2）点 P 在 BC 边上运动时，有QBC60， 根据垂线段最短，当 CQBQ 时，CQ 最小 如图，在直角三角形 BCQ 中，QBC60， BCQ30 BQ BPBQ3， t CQBQtanQBC； （3）若点 Q 在 AD 边上，则 CP2t6， BABC，BQBP，AC90， RtBAQRtBCP（HL） AQCP2t6， DQDP122t， BPPQ， 在 RtPDQ 和 RtBCP 中，由勾股定理可得，DQ2+DP2QP2，BC2+CP2BP2 2（122t）262+（2t6）2 解得：（不合题意，舍去） ， ； （4）如图， 当点 P 在 BC 上从点 B 运动到点 C 时，点 Q 从点 B 运动到点 Q， PBQ 是等边三角形， BQBC，QBC60 当点 P 在 CD 上从点 C 运动到如图所示的点 P 时，点 Q 从如图所示的点 Q 运动到 Q， BPQ是等边三角形， BPBQ，PBQ60QBC， PBCQBQ， BQBC， BQQBCP， QQCP， 点 Q 的运动路线长等于点 P 的运动路线长， 由（3）知，t93， 点 Q 的运动路线长等于 2（93）