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    2021年中考数学分类专题突破专题17 勾股定理训练(解析版)

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    2021年中考数学分类专题突破专题17 勾股定理训练(解析版)

    1、专题专题 17 17 勾股定理训练勾股定理训练 一选择题 1一直角三角形两直角边长分别为 4 和 3,则斜边长为( ) A8 B7 C6 D5 解:由勾股定理得,斜边长5, 故选:D 2在 Rt ABC 中,C90 ,且 c4,若 a3,那么 b 的值是( ) A1 B5 C D 解:在 Rt ABC 中,C90 , 由勾股定理得,b, 故选:C 3如图,在 ABC 中,ACB90 ,AC8,BC7,以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE,连接 CE,则 CE 的长为( ) A15 B16 C17 D18 解:过 E 作 EFAC,交 CA 的延长线于 F, 四边形 ABDE 为正方形, B

    2、AE90 ,AEAB, EAF+AEF90 ,EAF+BAC90 , AEFBAC, 在 AEF 和 BAC 中, , AEFBAC(AAS), EFAC8,AFBC7, 在 Rt ECF 中,EF8,FCFA+AC8+715, 根据勾股定理得:CE17 故选:C 4如图, ABC 中,AB4,BC6,BD 是 ABC 的角平分线,DEAB 于点 E,AFBC 于点 F,若 DE 3,则 AF 的长为( ) A5 B C6 D 解:作 DHBC 于 H, BD 是 ABC 的角平分线,DEAB,DHBC, DHDE3, S ABD+S CBDS ABC, 4 3+ 6 3 6 AF, 解得,A

    3、F5, 故选:A 5如图, ABC 中,C90 ,AC3,BC4,M 是 BC 边上的动点,过 M 作 MNAB 交 AC 于点 N, P 是 MN 的中点,当 PA 平分BAC 时,BM( ) A B C D 解:作 PDAC 于 D,PEAB 于 E,MFAB 于 F, 由勾股定理得,AB5, PA 平分BAC,PDAC,PEAB, PDPE, PEAB,MFAB,MNAB, 四边形 PMFE 为矩形, PEMF, 设 PDPEMF3x, BB,BFMBCA, BMFBAC, ,即, 解得,BM5x, PDBC,P 是 MN 的中点, BC6x+5x11x, 由题意得,11x4, 解得,x

    4、, BM5x , 故选:A 6如图,在 3 3 的网格中,每个小正方形的边长均为 1,点 A,B,C 都在格点上,若 BD 是 ABC 的高, 则 BD 的长为( ) A B C D 解:由题意可得, ABC 的面积是:3 44, BD 是 ABC 的高,AC2, 4, 解得,BD, 故选:A 7在直角坐标系中,点 P(2,3)到原点的距离是( ) A B C D2 解:过 P 作 PEx 轴,连接 OP, P(2,3), PE3,OE2 在 Rt OPE 中,根据勾股定理得:OP2PE2+OE2, OP,则点 P 在原点的距离为 故选:B 8如图,Rt ABC 中,ABC90 ,点 D 为斜

    5、边 AC 的中点,AB5,BC12,则 BD 的长( ) A5 B6 C6.5 D8 解:ABC90 ,AB5,BC12, AC 13, 点 D 为斜边 AC 的中点, BD , BD6.5, 故选:C 9如图, ABC 和 ECD 都是等腰直角三角形, ABC 的顶点 A 在 ECD 的斜边 DE 上下列结论:其 中正确的有( ) ACEBCD;DABACE;AE+ACAD;AE2+AD22AC2 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解:ABC 和 ECD 都是等腰直角三角形, CACB,CECD,ACBECD90 ,ECDE45 ,CABCBA45 , DAB+CABACE+E, DA

    6、BACE,故正确; ACE+ACDACD+DCB90 , ACEDCB, 在 ACE 和 BCD 中, ACEBCD(SAS),故正确; AEBD,CEACDB45 , ADBCDB+EDC90 , ADB 是直角三角形, AD2+BD2AB2, AD2+AE2AB2, ABC 是等腰直角三角形, ABAC, AE2+AD22AC2,故正确; 在 AD 上截取 DFAE,连接 CF,如图所示: 在 ACE 和 FCD 中, ACEFCD(SAS), ACFC, 当CAF60 时, ACF 是等边三角形, 则 ACAF,此时 AE+ACDF+AFAD,故不正确; 故选:C 10如图,正方形 AB

    7、CD 的边长为 2,其面积标记为 S1,以 CD 为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三 角形的一条直角边为边向外作正方形, 其面积标记为 S2, , 按照此规律继续下去, 则 S2020的值为 ( ) A B C D 解:观察,发现:S1224,S22,S3 1,S4 , Sn, S2020 故选:A 二填空题 11已知 Rt ABC 中,C90 ,若 a+b14cm,c12cm,则 Rt ABC 的面积为 解:C90 , a2+b2c2144, (a+b)22ab144, 1962ab144, ab26, S ABCab13cm2; 故答案为:13cm2 12三个正方形的面积如图,当 SB

    8、144,SC169 时,则 SA的值为 解:由题意可得:a2+b2c2, 解得:a225,即 SA的值为 25 故答案为:25 13 如图, 在四边形 ABCD 中, BDCD, 2BAC+ACB90 , 且BCDBAC, 若 AB5, CD5, 则 AC 的长为 解:延长 BD 到 B,使 BDBD,连接 CB, 作 CBA与 CBA 关于 CB 对称,如图, 设BCDBAC, CBA与 CBA 关于 CB 对称, CBACBA BACBAC,ABAB5,ACAC, DBDB,CDB90 , CDBCDB, CDCD, CDBCDB(SAS), BCDBCD, 2BAC+ACB90 , 2+

    9、ACB90 , ACB90 2, ACBACB90 2, CBA180 ACBBAC90+, CBD+CBA90+90180 , D、B、A三点共线, BCDBAC,CDBADC, CDBADC, , 设 DBx,则 ADx+5, , 化简得,x2+5x500, 解得 x5 或10(舍去), 经检验,x5 是方程的解, BD5,AD10, 在 Rt ACD 中,AD2+CD2AC2, , 故答案为: 14如图,以 Rt ABC 的三边为边长分别向外作正方形,若斜边 AB5,则图中阴影部分的面积 S1+S2+S3 解:ABC 是直角三角形, AC2+BC2AB2, 图中阴影部分的面积和2S12

    10、5250 故答案为:50 15如图所示,Rt ABC 中,ACB90 ,AC4,BC3,E 为斜边 AB 上一点,连接 CE,若 CE, 则线段 AE 的长为 解:ACB90 ,AC4,BC3, AB5, 过 C 作 CDAB 于 D, CDACDB90 ,CD, AD , CE , DE1, AEADDE或 AEAD+DE, 故答案为:或 16如图,四边形 ABCD 中,BDDC 于点 D,DCB45 ,ABDECD,点 F 是 BC 的中点,已知 BD2,则 FE 的长是 解:BDDC,BD2,DCB45 , DCBDBC45 , DBDC2, BC4, ABDECD,EGBDGC, GE

    11、BGDC90 , 点 F 为 BC 的中点, EFBC2, 故答案为:2 三解答题 17如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么我们称这个三角形为“美丽三角形” (1)如图,在 ABC 中,ABAC,BC4,求证: ABC 是“美丽三角形”; (2)在 Rt ABC 中,C90 ,AC,若 ABC 是“美丽三角形”,求 BC 的长 (1)证明:过点 A 作 ADBC 于 D, ABAC,ADBC, BDBC2, 由勾股定理得,AD4, ADBC,即 ABC 是“美丽三角形”; (2)解:当 AC 边上的中线 BD 等于 AC 时,如图 2, BC6, 当 BC 边上的中线 AE 等于 B

    12、C 时, AC2AE2CE2,即 BC2(BC)2(4)2, 解得 BC8 综上所述,BC 的长是 6 或 8 18如图,在 ABC 中,ABAC,ADBC 于点 D,CBE45 ,BE 分别交 AC,AD 于点 E、F (1)如图 1,若 AB13,BC10,求 AF 的长度; (2)如图 2,若 AFBC,求证:BF2+EF2AE2 (1)解:如图 1,ABAC,ADBC, BDCD, BC10, BD5, Rt ABD 中,AB13, AD 12, Rt BDF 中,CBE45 , BDF 是等腰直角三角形, DFBD5, AFADDF1257; (2)证明:如图 2,在 BF 上取一点

    13、 H,使 BHEF,连接 CH, 在 CHB 和 AEF 中, , CHBAEF(SAS), AECH,AEFBHC, CEFCHE, CECH, BDCD,FDBC, CFBF, CFDBFD45 , CFB90 , EFFH, Rt CFH 中,由勾股定理得:CF2+FH2CH2, BF2+EF2AE2 19我们规定:三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上的高之差如图,在 ABC 中,CD 为 AB 边上的高,AB 的“线高差”等于 ABCD,记为 h(AB) (1)如图,在 ABC 中,ABAC,ADBC,垂足为 D,AD6,BD4,则 h(BC) ; (2)如图,在 ABC

    14、中,C90 ,AC6,BC8,求 h(AB) 解:(1)在 ABC 中,ABAC,ADBC, BC2BD2 48, h(BC)BCAD2, (2)在 ABC 中,C90 ,AC6,BC8, AB , h(AB)104.85.2, 故答案为:(1)2 20如图,在平面直角坐标系中,点 B 在 x 轴正半轴上,点 A 的坐标为(0,6),点 P 在线段 AB 上,OAB AOP30 (1)求点 P 的坐标; (2)将 AOP 绕点 O 顺时针方向旋转,旋转角度为 (0 180 ),旋转中的三角形记为 A1OP1 (点 A、P 的对应点分别 A1、P1),在旋转过程中,直线 OA1交直线 AB 于点

    15、 M,直线 OP1交直线 AB 于 点 N,当 OMN 为等腰三角形时,请直接写出 的值 解:(1)如图 1,过 P 作 PHOB 于 H 点 A 的坐标为(0,6), OA6, OABAOP30 , ABOBPO60 ,APOP, OBP 是等边三角形, APOPBP, PHOA, OHBH, PHOA3, Rt AOB 中,BAO30 , OB2, OH , P(,3); (2)如图 2,当 OMON 时, OMNONM, 由旋转得:A1OP1AOP30 , OMN75 , BAO30 , OMNBAO75 30 45 ; 如图 3,当 OMMN 时,90 ; 如图 4,当 OMON 时,

    16、AOPA1OP190 , AOA1POP1, AON180 30 150 , OMON, NM60 (90 )150 , OAPN+AON, 30 2(150 ), 135 , 综上,当 OMN 为等腰三角形时, 的值是 45 或 90 或 135 21利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点,请依据以下思路完成画图,并保留画图痕迹: 第一步:(计算)尝试满足,使其中 a,b 都为正整数,你取的正整数 a ,b ; 第二步:(画长为的线段)以第一步中你所取的正整数 a,b 为两条直角边长画 Rt OEF,使 O 为 原点,点 E 落在数轴的正半轴上,OEF90 ,则斜边 OF 的长即为 请在下面的数轴上画图:(第二步不要求尺规作图,不要求写画法) 第三步: (画表示的点) 在下面的数轴上画出表示的点 M, 并描述第三步的画图步骤: 解:第一步:a4,b2; 第二步:如图,OF 为所作; 第三步:如图,以原点为圆心,OF 为半径画弧交数轴的正半轴于点 M,则点 M 为所作 故答案为 4,2;以原点为圆心,OF 为半径画弧交数轴的正半轴于点 M,则点 M 为所作


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