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    2021年中考数学分类专题突破专题07 圆的切线证明(解析版)

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    2021年中考数学分类专题突破专题07 圆的切线证明(解析版)

    1、专题专题 07 07 圆的切线证明圆的切线证明 1如图,等边 ABC 内接于O,P 是上任意一点(不与点 A、B 重合),连 AP、BP,过点 C 作 CMBP 交 PA 的延长线于点 M (1)求APC 和BPC 的度数试; (2)探究 PA、PB、PM 之间的关系; (3)若 PA1,PB2,求四边形 PBCM 的面积 解:(1)ABC 是等边三角形, ABCBACACB60 , , APCABC60 ,BPCBAC60 ; (2)CMBP, BPM+M180 ,PCMBPC60 , M180 BPM180 (APC+BPC)180 120 60 , MBPC60 , PCMPCAACBP

    2、CA,即ACMBCP, 又BCAC, ACMBCP(AAS), AMBP, PMPA+AM, PMPA+PB; (3)ACMBCP, CMCP, 又M60 , PCM 为等边三角形, CMCPPM1+23, 如图,过点 P 作 PHCM 于 H, 在 Rt PMH 中,MPH30 , PH , S梯形PBCM(PB+CM) PH(2+3) 2如图所示,线段 AC 是O 的直径,过 A 点作直线 BF 交O 于 A、B 两点,过 A 点作FAC 的角平分 线交O 于 D,过 D 作 AF 的垂线交 AF 于 E (1)证明 DE 是O 的切线; (2)证明 AD22AEOA; (3)若O 的直径

    3、为 10,DE+AE4,求 AB (1)证明:连接 OD, DE 为O 切线; (2)证明:连接 CD AC 为O 的直径,DEAF ADC90 ,DEA90 , ADCAED, 在 ACD 和 ADE 中,DACEAD,ADCAED, ACDADE, AD2AEAC AC2OA, AD22AEOA; (3)解:过点 O 作 OMAB 于点 M,则四边形 ODEM 为矩形,设 DEOMx,则 AE4x, AM5(4x)1+x, 在 Rt AMO 中,OA2AM2+OM2,即:(1+x)2+x252 解得:x13,x24(舍去) AM4 OMAB,由垂径定理得:AB2AM8 3如图 1, ABC

    4、 内接于O,过 C 作射线 CP 与 BA 的延长线交于点 P,BACP (1)求证:CP 是O 的切线; (2)若 PC4,PA2,求 AB 的长; (3)如图 2,D 是 BC 的中点,PD 与 AC 交于点 E,求证: (1)证明:如图 1,连结 OA、OC,则 OAOC OACOCA AOC+2OCA180 由圆周角定理,得AOC2B 2B+2OCA180 B+OCA90 BACP ACP+OCA90 ,即OCP90 CP 是O 的切线; (2)BACP,ACPCPB, APCCPB , PB8 ABPBPA826; (3)如图 2,延长 ED 至 F,使 DFED,连结 BF, 易得

    5、 BDFCDE, BFCE,CEDF BFEC, 由(2)得,PB, , 4定义:如果一个点能与另外两个点构成直角三角形,则称这个点为另外两个点的勾股点如矩形 OBCD 中,点 C 为 O,B 两点的勾股点,已知 OD4,在 DC 上取点 E,DE8 (1)如果点 E 是 O,B 两点的勾股点(点 E 不在点 C),试求 OB 的长; (2)如果 OB12,分别以 OB,OD 为坐标轴建立如图 2 的直角坐标系,在 x 轴上取点 F(5,0)在 线段 DC 上取点 P,过点 P 的直线 ly 轴,交 x 轴于点 Q设 DPt 当点 P 在 DE 之间,以 EF 为直径的圆与直线 l 相切,试求

    6、 t 的值; 当直线 l 上恰好有 2 点是 E,F 两点的勾股点时,试求相应 t 的取值范围 解:(1)如图 1,连接 OE,BE, 若点 E 是 O,B 两点的勾股点, 则OEB90 , OED+CEB90 , OED+DOE90 , DOECEB, 又CODE, BCEEDO, , 即, CE2, OBDE8+210; (2)如图 21,设以 EF 为直径的圆的圆心为 Q,与直线 l 的切点为 M,直线 l 与 OB 的交点为 H, 连接 QM, 则FME90 ,QMPH, HMF+PME90 , PME+PEM90 , HMFPEM, 又MHFEPM90 , MHFEPM, , QMP

    7、H,ly 轴, HFMQPE, , FQQE, HMMP2, 又DPOHt,DE8,OF5, HF5t,PE8t, , 解得,t14,t29(点 P 在 DE 之间,舍去), t4; 如图 22,当直线 l 在Q 的右侧与Q 相切时, 由知 MHFEPM, , 此时,HMMP2,HFt5,PEt8, , 解得,t14,t29, 当 t4 或 9 时直线 l 与Q 相切, 点 E,F 以及直线 l 上的点均可为直角三角形的直角顶点, 当直线 l上恰好有 2点是 E, F两点的勾股点时, 相应 t 的取值范围为 0t4或 t5 或 t8 或 9t12 5如图,AB 是O 的直径,点 P 是圆上不与

    8、点 A,B 重合的动点,连接 AP 并延长到点 D,使 APDP, 点 C 是 BD 的中点,连接 OP,OC,PC (1)求证:AD; (2)填空:若 AB10cm,当 AP cm 时,四边形 AOCP 是菱形; 当四边形 OBCP 是正方形时,DPC (1)证明:如图,连接 PB, AB 是O 的直径, BPAD, APPD, BP 是线段 AD 的垂直平分线, BABD, AD; (2)解:APPD,BCDC, , AB 是O 的直径, , OAPC, 四边形 AOCP 是平行四边形, 当 时,平行四边形 AOCP 是菱形, 故答案为:5; 当四边形 OBCP 是正方形时,POB90 ,

    9、 OAOP, OPAA45 POB, PCAO, DPCA45 , 故答案为:45 6如图,在矩形 ABCD 中,BC60cm动点 P 以 6cm/s 的速度在矩形 ABCD 的边上沿 AD 的方向匀 速运动,动点 Q 在矩形 ABCD 的边上沿 ABC 的方向匀速运动P、Q 两点同时出发,当点 P 到达终 点 D 时,点 Q 立即停止运动设运动的时间为 t(s), PDQ 的面积为 S(cm2),S 与 t 的函数图象如 图所示 (1)AB cm,点 Q 的运动速度为 cm/s; (2)在点 P、Q 出发的同时,点 O 也从 CD 的中点出发,以 4cm/s 的速度沿 CD 的垂直平分线向左

    10、匀速 运动,以点 O 为圆心的O 始终与边 AD、BC 相切,当点 P 到达终点 D 时,运动同时停止 当点 O 在 QD 上时,求 t 的值; 当 PQ 与O 有公共点时,求 t 的取值范围 解:(1)设点 Q 的运动速度为 acm/s, 则由图可看出,当运动时间为 5s 时, PDQ 有最大面积 450,即此时点 Q 到达点 B 处, AP6t, S PDQ(606 5) 5a450, a6, AB5a30, 故答案为:30,6; (2)如图 1,设 AB,CD 的中点分别为 E,F,当点 O 在 QD 上时, QCAB+BC6t906t,OF4t, OFQC 且点 F 是 DC 的中点,

    11、 OFQC, 即 4t(906t), 解得,t; 设 AB,CD 的中点分别为 E,F,O 与 AD,BC 的切点分别为 N,G,过点 Q 作 QHAD 于 H, 如图 21,当O 第一次与 PQ 相切于点 M 时, AP6t,AB+BQ6t,且 BQAH, HPQHAB30, QHP 是等腰直角三角形, CGDNOF4t, QMQG904t6t9010t,PMPN604t6t6010t, QPQM+MP15020t, QPQH, 15020t30, t ; 如图 22,当O 第二次与 PQ 相切于点 M 时, AP6t,AB+BQ6t,且 BQAH, HPQHAB30, QHP 是等腰直角三

    12、角形, CGDNOF4t, QMQG4t(906t)10t90, PMPN4t(606t)10t60, QPQM+MP20t150, QPQH, 20t15030, t , 综上所述,当 PQ 与O 有公共点时,t 的取值范围为:t 7如图,矩形 ABCD 中,AB2BC,以 AB 为直径作O (1)证明:CD 是O 的切线; (2)若 BC3,连接 BD,求阴影部分的面积(结果保留 ) 解:(1)过点 O 作 OECD 于 E, 四边形 ABCD 是矩形, AADCOED90 , 四边形 ADEO 是矩形, ADOE, AB2BC, AB2AD2OE, AOOE, CD 是O 的切线; (2

    13、)四边形 ADEO 是矩形, AOEBOE90 , 阴影部分的面积S扇形BOE 8定义:已知点 O 是三角形的边上的一点(顶点除外),若它到三角形一条边的距离等于它到三角形的一 个顶点的距离,则我们把点 O 叫做该三角形的等距点 (1)如图 1, ABC 中,ACB90 ,AC3,BC4,O 在斜边 AB 上,且点 O 是 ABC 的等距点, 试求 BO 的长 (2)如图 2, ABC 中,ACB90 ,点 P 在边 AB 上,AP2BP,D 为 AC 中点,且CPD90 求证: CPD 的外接圆圆心是 ABC 的等距点; 求 tanPDC 的值 解:(1)CB4,AC3,则 AB5, 当 O

    14、HBC 时, 只有 OHOA 一种情况,设 OBx, 则 OHOA5x, 则 sinB,解得:x; 当 OHAC 时, 同理可得:OHOB,解得:x, 综上,OB或; (2)设 CPD 的外接圆圆心为点 O,连接 OP、OB,则 ODOPOC, 设圆的半径为 R,AP2BP2a,则 AD2R,ODR, 则,故 PDOB, 故BOPDPO,COBODP, 而ODPOPD, POBCOB,而 BOBO,OPOC, BCOBPO(SAS), BPO90 ,即 OPAB,且 OPOC, 故: CPD 的外接圆圆心是 ABC的等距点; BCOBPO(SAS), BCBPa,而 AB3a,AC4R, 故(

    15、3a)2(4R)2+a2,解得:a, tanPDCtanCOB 9如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 E,G 是上一动点,AG,DC 的延长线交于点 F,连接 AC, AD,GC,GD (1)求证:FGCAGD; (2)若 AD6 当 ACDG,CG2 时,求 sinADG; 当四边形 ADCG 面积最大时,求 CF 的长 证明:(1)AB 是O 的直径,弦 CDAB, CEDE,CDAB, ACAD, ADCACD, 四边形 ADCG 是圆内接四边形, ADCFGC, AGDACD, FGCADCACDAGD, FGCAGD; (2)如图,设 AC 与 GD 交于点 M, , GC

    16、MADM, 又GMCAMD, GMCAMD, , 设 CMx,则 DM3x, 由(1)知,ACAD, AC6,AM6x, 在 Rt AMD 中, AM2+DM2AD2, (6x)2+(3x)262 , 解得,x10(舍去),x2 , AM6 , sinADG ; (3)S四边形ADCGS ADC+S ACG, 点 G 是上一动点, 当点 G 在的中点时, ACG 的的底边 AC 上的高最大,此时 ACG 的面积最大,四边形 ADCG 的 面积也最大, GAGC, GACGCA, GCDF+FGC, 由(1)知,FGCACD,且GCDACD+GCA, FGCA, FGAC, FCAC6 10如图

    17、,CD 是O 的直径,弦 ABCD,垂足为 H,FG 是O 的切线,FGBD,DF 与 AB 交于点 E (1)求证:BEBD; (2)若 AB8,DH3,求 EH 的长 解:(1)如图,连接 OF, FG 是O 的切线, GFD+OFD90 , ABCD, DEH+ODE90 , OFOD, OFDODF DEHGFD, FGBD, GFDBDF, DEHBDF, BEBD; (2)CD 是O 的直径,弦 ABCD,垂足为 H, , DH3, BD5, BEBD, BE5, EHBEBH1, 答:EH 的长为 1 11 如图, 直线 MN 交O 于 A, B 两点, AC 是O 直径, CA

    18、M 的平分线交O 于点 D, 过点 D 作 DEMN 于点 E (1)求证:DE 是O 的切线; (2)若 DE6cm,AE3cm,求O 的半径 (1)证明:连接 OD,如图所示: OAOD, 32, AD 平分CAM, 21, 13, MNOD, DEMN, DEOD, DE 是O 的切线; (2)解:连接 CD,如图所示: AC 是O 的直径, ADC90 , AD 3(cm), DEMN, AED90 , ADCAED, 又21, ADCAED, , 即, AC15(cm), OAACcm, 即O 的半径为cm 12如图,O 为MBN 角平分线上一点,O 与 BN 相切于点 C,连结 C

    19、O 并延长交 BM 于点 A,过点 A 作 ADBO 于点 D (1)求证:AB 为O 的切线; (2)若 BC6,tanABC,求 AD 的长 解:(1)过点 O 作 OEAB 于点 E, O 为MBN 角平分线上一点, ABDCBD, 又BC 为O 的切线, ACBC, ADBO 于点 D, D90 , BCOD90 , 在 BOC 和 BOE 中, , BOCBOE(AAS), OEOC, OEAB, AB 是O 的切线; (2)ABC+BAC90 ,EOA+BAC90 , EOAABC, tanABC、BC6, ACBCtanABC8, 则 AB10, 由(1)知 BEBC6, AE4

    20、, tanEOAtanABC, , OE3,OB3 , ABDOBC,DACB90 , ABDOBC, ,即, AD2 13如图 1 是一块内置量角器的等腰直角三角板,它是一个轴对称图形已知量角器所在的半圆 O 的直径 DE 与 AB 之间的距离为 1,DE4,AB8,点 N 为半圆 O 上的一个动点,连结 AN 交半圆或直径 DE 于点 M (1)当 AN 经过圆心 O 时,求 AN 的长; (2)如图 2,若 N 为量角器上表示刻度为 90 的点,求 MON 的周长; (3)当时,求 MON 的面积 解:(1)如图 1 中,连接 FO 延长 FO 交 AB 于 H则 FHAB,FHDE F

    21、AFB,FHAB, AHHB4, 在 Rt AOH 中,OH1,AH4, OA , ANOA+ON+2 (2)如图 2 中,连接 OM,作 OJMN 在 Rt AHN 中,AH4,NHON+OH2+13, AN 5, 由 OJNAHN,可得, , JN , OJMN, JMJN, MN2JN , MON 的周长2+2+ (3)如图 31 中,连接 AO,延长 AO 交O 于 K,作 OJMN 于 J,连接 OM,ON 设 AMMNx,OJy, 则有, 解得, MN,OJ , S MONMNOJ 如图 32 中,连接 ON,作 NJAB 于 J 交 DE 于 K AMMN,MKAJ, NKJKO

    22、H1, NJAB,DEAB, NKOE, sinNOK , OKNK , 四边形 OKJH 是矩形, HJOK , AJ4+, MKAJ2+ , OMMKOK2, S MONOMNK(2) 11, 综上所述,满足条件的 MON 的面积为或 1 14MN 是O 上的一条不经过圆心的弦,MN4,在劣弧 MN 和优弧 MN 上分别有点 A,B(不与 M,N 重合),且,连接 AM,BM (1)如图 1,AB 是直径,AB 交 MN 于点 C,ABM30 ,求CMO 的度数; (2)如图 2,连接 OM,AB,过点 O 作 ODAB 交 MN 于点 D,求证:MOD+2DMO90 ; (3)如图 3,

    23、连接 AN,BN,试猜想 AMMB+ANNB 的值是否为定值,若是,请求出这个值;若不是, 请说明理由 解:(1)如图 1, AB 是O 的直径, AMB90 , AMNBMN45 OMOB, OMBOBM30 , CMO45 30 15 ; (2)如图 2,连接 OA,OB,ON , AONBON 又OAOB, ONAB ODAB, DON90 OMON, OMNONM OMN+ONM+MOD+DON180 , MOD+2DMO90 ; (3)如图 3,延长 MB 至点 M,使 BMAM,连接 NM,作 NEMM于点 E 设 AMa,BMb 四边形 AMBN 是圆内接四边形, A+MBN18

    24、0 NBM+MBN180 , ANBM , ANBN, AMNBMN(SAS), MNNM,BMAMa NEMM于点 E ME2+(BN2BE2)MN2, 化简得 ab+NB216, AMMB+ANNB16 15 如图, O 是 ABC 的外接圆, AB 为O 的直径, 在 ABC 外侧作CADCAB, 过点 C 作 CDAD 于点 D,交 AB 延长线于点 P (1)求证:PC 是O 的切线; (2)若 tanBCP,ADBC4m2(m0),求O 的半径;(用含 m 的代数式表示) (3)如图 2,在(2)的条件下,作弦 CF 平分ACB,交 AB 于点 E,连接 BF,且 BF5,求线段

    25、PE 的长 解:(1)如图 1,连接 OC,则 OAOC, 则OACOCA,而CADCAB, 故DACOCA, ADCO,而 CDAD, COPD,故 PC 是O 的切线; (2)PC 是O 的切线,则BCPCAB,即 tan,则 sin,cos, DACCAB, ADCABC, 设圆的半径为 R,则 ACABcos2R, CDACsin , 故 ADBCACCD4m2, 故 Rm; (3)连接 OF、OC,CF 平分ACB,则 FOAB, ECP90 OCE,CEP90 OFC,而OCEOFC, ECPCEP,PCPE, BF5R,则 R5, ADACcos8,同理 CD4, COAD,即, 解得:PCPE


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