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    初二数学讲义春季 直升班 第1讲 二次根式(一)教师版

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    初二数学讲义春季 直升班 第1讲 二次根式(一)教师版

    1、 第第 1 1 讲讲 二次根式(一)二次根式(一) 模块一:二次根式的基本概念模块一:二次根式的基本概念 1二次根式:二次根式: 一般地,形如(0)a a 的代数式叫做二次根式,a 叫做被开方数 2n 次根式:次根式: 形如 n a的代数式叫做 n 次根式,其中若 n 为偶数,则必须满足0a 3最简二次根式:最简二次根式: 满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式: 一般地,被开方数不含分母,即被开方数是整数或整式; 被开方数中不含有能开方的因数或因式 4两个重要性质:两个重要性质: (0,0)abab ab;(0,0) aa ab bb 5同类二次根式:同类二次根式: 几个二次根式化成最简

    2、二次根式之后,如果被开方数相同,则这几个根式叫做同类二次根式 模块二:二次根式的四则运算模块二:二次根式的四则运算 1乘除法:乘除法: (0,0)abab ab;(0,0) aa ab bb 2加减法:加减法: ()a mb mabm,()a mb mabm 3混合运算:混合运算: 遵循有理式中的运算顺序,运算律和乘法公式等仍然适用 4乘法公式的推广:乘法公式的推广: 12312312 (0,0,0) nnn aaaaaaaaaaa; 2 ()2ababab; ()()ababab 5二次根式的分母有理化二次根式的分母有理化 定义:定义:在二次根式中,将无理数的分母化为有理数的过程 方法:方法

    3、:分子分母同时乘以有理化因式(有理化因式是指相乘之后使分母变为有理数的因式) 6 (1)单项根式的分母有理化,同乘以分母本身例: 1a aa (2)两项根式的分母有理化,同乘以使分母构成平方差公式的因式 例: 1ab abab 12.(3)分母有理化和最简是对二次根式结果的两大要求 模块三:二次根式的基本题型(方法)模块三:二次根式的基本题型(方法) 1分母有理化+知二推二 2暴算;移项平方后,运用整体代入或者降次思想(巧算) 3裂项相消、换元等 (1)当 x 取何值时,下列二次根式在实数范围内有意义 2 3 x x ;213xx; 12 21 xx x ; 3 12 21 xx x (2)在

    4、二次根式 1 7 、0.5、 2 x、 2 1a 中,是最简二次根式的是_ (3)将下列二次根式化成最简二次根式: 18;48;75;80;90; 1 32 2 ; 27 4 ; 32 9 【解析】【解析】(1)2x且3x ; 1 3 2 x ;12x ; 1 2 2 x; (2) 2 1a ; (3)3 2;4 3;5 3;4 5;3 10;2 2; 3 3 2 ; 4 2 3 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查最简二次根式的判定以及二次根式的化简 (1)数必须是整数,式子必须是整式; (2)根号下不能含有可开方因子 建议:讲解二次根式的化简,通过最特殊的开始让学生们做大量的练习

    5、 (开火车) (1)已知最简根式2aab与7 a b 是同类二次根式,则a _,b _ (2)在1,2,3,20这 20 个式子中,与2是同类二次根式的共有_个 (3)在1,2,3,1999这 1999 个式子中,与2000是同类二次根式的共有_个 (4)方程2016xy的整数解有_组 【解析】【解析】(1)根据同类二次根式定义可知: 2 27 ab ab ,解之得 3 1 a b (2)2,2 2,3 2与2同类,共 3 个 (3)200020 5,所以5,2 5,19 5与2000同类,共 19 个 (4)x,y,2016为同类二次根式,201612 14, 原方程为:12 14xy设14

    6、xm,14yn, 12mn,0m 、1、2、11、12,m、n 的值有 13 组, 故原方程的整数解有 13 组 模块一 二次根式的基本概念 例题1 例题2 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查同类二次根式的概念,相对较难 计算下列各式: (1) 233 1 98200(3)(10) 2 (2) 2275 111 33549 (3) 2 451880( 25) (4) 2 155 12( 32)13 34 【解析】【解析】(1)132 2; (2) 7 5 ; (3)2 2; (4)62 3 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要练习二次根式的四则运算: (1)加减法:先化简二次

    7、根式,然后合并同类二次根式; (2)乘除法:二次根式的除法转化为乘法 计算下列各式: (1) 4 273327 92 aa aaa (2) 2 2 225 544 abcbc bca (3)2(1)(1) 312 xyy xxx 【解析】【解析】(1)3a; (2) 2 ab ; (3)1x 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要练习含字母的二次根式的计算,实际上方法是一样的 将下列二次根式分母有理化: 1 3 ; 1 21 ; 2 53 ; 2 33 ; 1 62 ; 4 3 22 5 ; 3 52 3 3 52 3 ; ab ab 【解析】【解析】 3 3 ;21;53; 3 26 6

    8、 ; 62 4 ;6 24 5; 194 15 11 ; 模块二 二次根式的四则运算 例题3 例题4 例题5 法 1:当ab时, ()() ()() ababab ab ababab , 当ab时,原式0; 法 2: ()()ababab ab abab 【教师备课提示】【教师备课提示】最终结果分母不能有根式;这道题主要大量练习分母有理化注意第(8)题如果使用分母有 理化一定注意要讨论 计算下列各式: (1) 1617 (2 311) (2 311) (2)(56)(5 22 3) (3)( 236)( 236) (4) 22 ( 1025)( 1025) (5) 2 2 11 2( 12)

    9、221 (6) 0 31 0.5(3)13 31 【解析】【解析】(1)原式 16 (2 311)(2 311) (2 311)2 311 (2)原式(56) 2(56)2(56)(56)19 2 (3)原式= 2+( 36) 2( 36) 2 =236 =23+6 26=6 27() (4)原式 22 ( 1025)( 1025)4 204 508 520 2 (三元完全平方法或平方差) (5)原式422+112 22 =0()() (6)原式 2 23122 +131=+232+ 3= 2222 () () 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要练习可以利用平方差公式进行二次根式的计算

    10、对于根号里面有小数可将小数换 成分数后进行计算 (1) (七中高新)已知 32 32 x , 32 32 y ,求代数式 2 2 () () xyxy xyxy 的值 (2) (石联半期) 23 23 x , 23 23 y ,则 22 22xxyy的值为_ 【解析】【解析】(1)52 6x ,52 6y ,则1xy ,10 xy, 原式 2 2 110101 99110 例题6 模块三 二次根式的基本题型 例题7 (2)74 3x ,74 3y ,则1xy ,14xy 原式 2 2()5387xyxy 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查分母有理化化简再运用知二推二求值 (1)设7

    11、1a ,则 32 312612aaa的值为_ (2) (树德实验半期)已知: 2012 20131 m ,则 543 22012mmm的值为_ 【解析】【解析】(1)17a ,则 2 26aa, 22 =3 (2 )6612a aaaa原式 2 366612aaa 2 6(2 ) 12aa 24; (2)20131m ,12013m , 原式 3232 (22012)(1)20130m mmmm 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查平方有理化(消根号)的化简求值 此类题型:法 1:代入暴算求值; 法 2:移项平方后运用整体代入或降次思想 (1) 1111 12233420152016

    12、 _ (2) 1111 2 123 22 34 33 4100 9999 100 _ 【解析】【解析】(1)原式2132432016201520161 12 141 ; (2)先找到它的通项公式: 111 (1)111nnn nnnnn 111 11 nn nnnn , 故原式 111111119 11 10102233499100 2 200520062007200812006 _ 【解析】【解析】令2005k,则 原式 2 (1)(2)(3)1(1)k kkkk 例题8 例题9 例题10 222 (3 )(32) 1(1)kk kkk 2222 (3 )2(3 ) 1(1)kkkkk 22

    13、 31 (21)2005kkkkk 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查换元法(糖葫芦) ;来求根式的值 (1) (树德实验半期)已知实数 a 满足 3 1 5 4 a a ,则 a 的取值范围是_ (2)下面各式: mm nn ; 1 mm m ;1 mn nm ; m mnm n 成立的是( ) A B C D (3)化简 3 a a _ (4)下面与2是同类二次根式的是( ) A 1 4 B12 C8 D21 (5)方程1998xy的整数解有_组 【解析】【解析】(1)4a ; (2)B; (3)由题意知0a ,所以 3 aaa a aa . (4)C;(5)1998xy,为同

    14、类二次根式,19983 222, 原方程为:3 222xy 设222xm,222yn, 3mn,m、n 的值有四组, 即 0 3 m n , 1 2 m n , 2 1 m n , 3 0 m n , 故原方程的整数解有 4 组 第(2) 、 (3)题易错,可以讲一下 复习巩固 模块一 二次根式的基本概念 演练1 计算下列各式: (1)( 352)( 352) (2) 41 182 4512 53 【解析】【解析】(1)原式= 3+( 52) 3( 52) 2 =352=35+2 102=2 104() (2)原式 9251 121 53180 计算: (1) 20 12( 3)(3)2732

    15、 (2) 1 3 183 ( 32)( 23)8 323 (3) 22 2 +52( 25) 62 () (4) 22 (1) x xyxyxx y 【解析】【解析】(1)2 3; (2)33; (3)32; (4)1x (1) (实外半期)已知 1 23 x , 1 23 y ,则 22 232xxyy的值为_ (2) (育才半期)若 1 21 x , 1 21 y ,则 22 xxyy的值为_ 【解析】【解析】(1)25; (2)5 模块二 二次根式的四则运算 演练2 演练3 模块三 二次根式的基本题型 演练4 (1)当 51 2 a , 51 2 b 时,代数式 22 22 2aabb ab 的值是_ (2) (全国初中联赛题)当 11994 2 x 时,多项式 32001 (419971994)xx的值为( ) A1 B1 C22001 D 2001 2 【解析】【解析】(1) 5 5 ; (2)B 演练5


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