1、2021 年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷（四）年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷（四） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.） 1 （3 分）|5|的倒数是（ ） A B C5 D5 2 （3 分）2021 年的河南春晚火了，在网上搜索关键词“唐宫夜宴“出现相关词条约 560 万个用科学记 数法将数据“560 万”表示为（ ） A560104 B5.6106 C5.6107 D0.56108 3 （3 分）如图所示，是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形的俯视图，
2、方框内数字为对应位置上的小 正方体的个数，它的左视图是（ ） A B C D 4 （3 分）下列各运算中，计算正确的是（ ） Am6m3m2 B （2m2）36m6 C （m+n）2m2+n2 D （m）3m32m3 5 （3 分）在一个暗盒内有 3 张除颜色不同其他完全相同的卡片，其中红色卡片有 2 张，蓝色卡片有 1 张， 现在随机抽取一张，放回后摇匀再抽取 1 张，则两次抽到都是红色卡片的概率为（ ） A B C D 6 （3 分）某单位招聘大堂经理，考核项目为个人形象、交际能力、专业知识三个项目，且权重之比为 2： 3：5，应聘者高颖三个方面的得分依次为 80，90，80，则她的最终得
3、分为（ ） A79 B83 C85 D87 7 （3 分）若关于 x 的一元二次方程（x+1）2ax0 有两个不相等的实数根，则 a 的值可以是（ ） A3 B2 C1 D1 8（3 分） 已知二次函数 yx2+ （2m1） x3， 当 x1 时， y 随 x 的增大而减小， 而 m 的取值范围是 （ ） Am Bm Cm Dm 9 （3 分）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，ABBC4，以点 B 为圆心，以适当长度为半径作弧，分 别交 BA、BC 于点 M、N，再分别以 M、N 为圆心，以大于MN 的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射 线 BP 交 AD 于点 E交 CD 的延长线于点
4、F，则 DF 的长度为（ ） A B2 C D3 10 （3 分）如图所示，正方形 ABCD 的边长为 4cm点 P 是 BC 的中点，动点 M 从点 D 向点 A 运动，速度 为 2cm/s到点 A 时停止运动；同时，动点 N 从点 P 出发沿 PCD 运动，点 N 的速度为 3cm/s设点 M 的运动时间为 x 秒，DMN 的面积为 y，能大致刻画 y 与 x 的函数关系的图象是（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）计算（） 1 12 （3 分）不等式组的解集为 13 （3 分）一副三角板如图所示所置，已知斜边互相平
5、行，则1 的度数为 14（3 分） 在线段 BG 上取点 C， 分别以 BC、 CG 为边在 BC 的同一侧构造正方形 ABCD 和正方形 ECGF 点 P、Q 分别是 BC、EF 的中点连接 PQ，若 BG8，则线段 PQ 的最小值为 15 （3 分）如图所示，ABC 中，BAC105，ACB45，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 45得对 应DEC，若 BC2，则线段 AB 扫过的阴影面积为 三、简答题（本大题共三、简答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （1+），其中 a 为1，0，1，2，3 中的一个合适的数字 17 （9 分）如
6、图所示，BC 为O 的直径点 A 为 BC 上方圆周上一动点，过点 O 作 OFAB，分别交 AC、 圆周于 D、G 两点，作射线 CG 交 AF 于点 E已知FACO （1）求证：AF 为O 的切线； （2）填空：连接 AO、AG，当ACO 时，四边形 AOCG 是菱形； 若已知 AC2AB4，则 OF 18 （9 分）复学之后，某校要求各班必须配备额温枪并全员测温打卡登记，如图所示为依据九（2）班学生 5 月 6 日温测数据绘制的不完整统计图表，已知当日温测 1 次的同学人数占全班人数的 12%请结合以 上信息解答下列问题： （1）九（2）班学生人数为 ； （2）温测 3 次的人数为 m，
7、温测 4 次的人数为 n，且 m2n+1，请补全统计图； （3）若绘制扇形统计图，温测 4 次的同学人数所对应扇形的圆心角的度数为 （4）已知该校共有 2200 名学生请你估计该校当日温测不少于 3 次的人数 19 （9 分）某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点 E 处测得塔帽 A 的仰角为 30，在点 E 的正下 方 23 米处的点 D 处测得塔帽 A 的仰角为 53， 请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离 AC 的高度（计 算结果精确到 0.1 米，参考数据：1.732，sin530.80，cos530.60，tan53） 20 （9 分）如图所示，直线 y3 交函数 y的图象于 A
8、、B 两点，已知点 C 坐标为（0，1） ，直线 AC 交 x 轴于点 D，连接 BD （1）将直线 AC 向上平移 m 个单位，恰与函数 y图象的左半支有唯一交点，求 m 的值； （2）在线段 AD 上取点 P，使ABPADB，求点 P 的坐标 21 （10 分）某山地车行八月份购进甲，乙两种品牌的山地车共 45 辆，花费 39000 元已知甲、乙两种车 型的进价分别为 800 元和 950 元，且甲、乙两品牌的单利润分别为 100 元和 150 元 （1）求该车行八月份购进甲、乙两种品牌的山地车各多少辆？ （2）由于行情良好，该车行计划九月份再购进甲、乙品牌山地车 60 辆，在货款为 50
9、000 元的情况下， 如何进货才能使得八月份销售利润最大？ 22 （10 分）问题发现 （1）如图 1，在 RtABC 中，BAC90，ABAC4，点 D 在 BC 边上，且 BD3CD，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 90得到线段 AE，连接 DE，BE，则 BE+BD 的值为 类比探究 （2）如图 2，在（1）的条件下，点 P 为 AB 边上的中点，BD3CD，将线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90 得到线段 PE，连接 BE，则 BE+BD 的值会发生改变吗？请说明你的理由 拓展延伸 （3）如图 3，在钝角ABC 中，ABAC，BAC，点 P 在边 BA 的延长线上，BPk，连接
10、PD，将 线段 PD 绕点 P 顺时针旋转，旋转角EPD，连接 DE，则 BE+BD （请用含有 k， 的式子表示） 23 （11 分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx2 与 x 轴交于 A（2，0） 、B（1，0）两 点，与 y 轴交于点 C （1）试求抛物线的解析式； （2）作直线 AC，点 E 为线段 AC 上一动点，过点 E 作 DEAC，交抛物线于点 D，交 y 轴于点 F，请 问在点 E 的移动过程中 DE 是否存在最大值，如果有，求出此时点 D 的坐标，如果没有，请说明理由； （3）在（2）的条件下，点 N 是 x 轴上的一个动点，点 M 是坐标平面内的一点，
11、是否存在这样的点 N， 使得以 D、F、M、N 四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点 N 的坐标；如果不存在，请说明理 由 2021 年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷（四）年河南省重点中学中考数学内部摸底试卷（四） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.） 1 （3 分）|5|的倒数是（ ） A B C5 D5 【解答】解：|5|5，5 的倒数是， |5|的倒数是 故选：A 2 （3 分）2021 年的河南春晚火了，在网上搜索关键
12、词“唐宫夜宴“出现相关词条约 560 万个用科学记 数法将数据“560 万”表示为（ ） A560104 B5.6106 C5.6107 D0.56108 【解答】解：560 万56000005.6106， 故选：B 3 （3 分）如图所示，是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形的俯视图，方框内数字为对应位置上的小 正方体的个数，它的左视图是（ ） A B C D 【解答】解：该几何体的左视图为： 故选：A 4 （3 分）下列各运算中，计算正确的是（ ） Am6m3m2 B （2m2）36m6 C （m+n）2m2+n2 D （m）3m32m3 【解答】解：A、原式m6 3m3，故此选项计
13、算错误； B、原式8m6，故此选项计算错误； C、原式m2+2mn+n2，故此选项计算错误； D、原式2m3，故此选项计算正确； 故选：D 5 （3 分）在一个暗盒内有 3 张除颜色不同其他完全相同的卡片，其中红色卡片有 2 张，蓝色卡片有 1 张， 现在随机抽取一张，放回后摇匀再抽取 1 张，则两次抽到都是红色卡片的概率为（ ） A B C D 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 9 种等可能的情况数，其中两次抽到都是红色卡片的有 4 种， 则两次抽到都是红色卡片的概率为 故选：C 6 （3 分）某单位招聘大堂经理，考核项目为个人形象、交际能力、专业知识三个项目，且权重之比为 2： 3：5
14、，应聘者高颖三个方面的得分依次为 80，90，80，则她的最终得分为（ ） A79 B83 C85 D87 【解答】解：她的最终得分为83（分） ， 故选：B 7 （3 分）若关于 x 的一元二次方程（x+1）2ax0 有两个不相等的实数根，则 a 的值可以是（ ） A3 B2 C1 D1 【解答】解：方程整理得，x2+（2a）x+10 根据题意得（2a）240， 解得 a4 或 a0 故选：D 8（3 分） 已知二次函数 yx2+ （2m1） x3， 当 x1 时， y 随 x 的增大而减小， 而 m 的取值范围是 （ ） Am Bm Cm Dm 【解答】解：yx2+（2m1）x3， 对称轴
15、为 x， a10， 抛物线开口向下， 在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小， 1，解得 m， 故选：D 9 （3 分）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，ABBC4，以点 B 为圆心，以适当长度为半径作弧，分 别交 BA、BC 于点 M、N，再分别以 M、N 为圆心，以大于MN 的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射 线 BP 交 AD 于点 E交 CD 的延长线于点 F，则 DF 的长度为（ ） A B2 C D3 【解答】解：由作图可知，BF 平分ABC， ABECBF， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD4，BCAD，BC6，ABCF，
16、 FABE， FCBF， CFCB6， DFCFCD642， 故选：B 10 （3 分）如图所示，正方形 ABCD 的边长为 4cm点 P 是 BC 的中点，动点 M 从点 D 向点 A 运动，速度 为 2cm/s到点 A 时停止运动；同时，动点 N 从点 P 出发沿 PCD 运动，点 N 的速度为 3cm/s设点 M 的运动时间为 x 秒，DMN 的面积为 y，能大致刻画 y 与 x 的函数关系的图象是（ ） A B C D 【解答】解：当点 N 在 CP 上时， P 为 BC 的中点，BC4cm， CP2cm， PN3xCP， 0 x， 又MD2x， y4x（0 x） ； 当点 N 在 C
17、D 上时， 3x2， 解得 x， DNDC（3x2）63x，MD2x， 3x2+6x（x） ， 当 x2 时，M 到达点 A，停止运动 综上所述，能大致刻画 y 与 x 的函数关系的图象是选项 C 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）计算（） 1 5 【解答】解：原式2+35 故答案为：5 12 （3 分）不等式组的解集为 x3 【解答】解：解不等式 2x3，得：x3， 解不等式 1+xx+2，得：x， 则不等式组的解集为x3， 故答案为：x3 13 （3 分）一副三角板如图所示所置，已知斜边互相平行，则1 的度数为 75 【解答】
18、解：两三角板的斜边互相平行， EFCACD45 ACB30， GCDACDACB453015， 又GDC90， DGC180901575， 175 故答案为：75 14（3 分） 在线段 BG 上取点 C， 分别以 BC、 CG 为边在 BC 的同一侧构造正方形 ABCD 和正方形 ECGF 点 P、Q 分别是 BC、EF 的中点连接 PQ，若 BG8，则线段 PQ 的最小值为 4 【解答】解：过点 Q 作 QHBG，交 BG 于点 H， 设 BCx，则 CG8x， 四边形 ABCD 和 ECGF 是正方形，P、Q 分别是 BC、EF 的中点，且 BG8， H 为 CG 中点， PH4，QHC
19、G8x， 在 RtPHQ 中， PQ2PH2+QH242+（8x）2（x8）2+1616， 当 x8 时，PQ2有最小值， 及 PQmin4， 当点 C 和点 G 重合时，PQ 最小，最小值为 4 故答案为：4 15 （3 分）如图所示，ABC 中，BAC105，ACB45，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 45得对 应DEC，若 BC2，则线段 AB 扫过的阴影面积为 【解答】解：作 AMBC 于 M， BAC105，ACB45， CAM45， BAM60， MCAM，BMAM， （1+）AMBC2， AM1， AC， 扇形 BCE 的面积是，SCDESABC2（1）1，S扇形CAD 故 S阴
20、影部分S扇形BCE+SCADSABCS扇形CADS扇形BCES扇形CAD 故答案为 三、简答题（本大题共三、简答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （1+），其中 a 为1，0，1，2，3 中的一个合适的数字 【解答】解： （1+） ， a10，a（a3）0， （a3） （a+1）0， a1，a3，a0， a2， 当 a2 时，原式2 17 （9 分）如图所示，BC 为O 的直径点 A 为 BC 上方圆周上一动点，过点 O 作 OFAB，分别交 AC、 圆周于 D、G 两点，作射线 CG 交 AF 于点 E已知FACO （1）求证：AF
21、 为O 的切线； （2）填空：连接 AO、AG，当ACO 30 时，四边形 AOCG 是菱形； 若已知 AC2AB4，则 OF 5 【解答】 （1）证明：连接 OA BC 是直径， BAC90， OFAB， ODCBAC90， OCOA， ACOCAO， CAO+AOD90，FACO， F+AOD90， OAF90， AFOA， AF 是O 的切线 （2）解：连接 AG当ACO30时，四边形 AOCG 是菱形 理由：OAOC， OCAOAC30， AOC120， ODAC， AOGCOG60， OAOGOC， AOG，COG 都是等边三角形， OAGCGOC， 四边形 AOCG 是菱形 解：在
22、 RtABC 中，AC2AB4， AB2，BC2， OAOBOC， FACB，OAFBAC90， ABCAOF， ， ， OF5 故答案为：5 18 （9 分）复学之后，某校要求各班必须配备额温枪并全员测温打卡登记，如图所示为依据九（2）班学生 5 月 6 日温测数据绘制的不完整统计图表，已知当日温测 1 次的同学人数占全班人数的 12%请结合以 上信息解答下列问题： （1）九（2）班学生人数为 50 人 ； （2）温测 3 次的人数为 m，温测 4 次的人数为 n，且 m2n+1，请补全统计图； （3）若绘制扇形统计图，温测 4 次的同学人数所对应扇形的圆心角的度数为 50.4 （4）已知该
23、校共有 2200 名学生请你估计该校当日温测不少于 3 次的人数 【解答】解： （1）由统计图可知，温测 1 次的同学有 6 人，占占全班人数的 12%， 则九（2）班学生人数为：612%50（人） ， 故答案为：50 人； （2）由题意得，6+10+12+m+n60，即 6+10+12+2n+1+n50， 解得，n7，则 m15， 补全统计图如图所示； （3）温测 4 次的同学人数所对应扇形的圆心角的度数为：36050.4， 故答案为：50.4； （4）估计该校当日温测不少于 3 次的人数为：22001496（人） 19 （9 分）某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点 E 处测得塔帽
24、A 的仰角为 30，在点 E 的正下 方 23 米处的点 D 处测得塔帽 A 的仰角为 53， 请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离 AC 的高度（计 算结果精确到 0.1 米，参考数据：1.732，sin530.80，cos530.60，tan53） 【解答】解：连接 DE，如图所示： 由题意得：DECD，BEAC，DCAC，DE23 米， ABECBECCDE90， 四边形 BCDE 是矩形， BECD，BCDE23 米， AEB30， BEAB， 在 RtACD 中，tanADCtan53， ACCD， 设 ABx 米，则 CDBEx 米，ACx 米， BCACAB23， xx23， 解
25、得：x17.6， ACAB+BC17.6+2340.6（米） ， 答：塔帽与地面的距离 AC 的高度约为 40.6 米 20 （9 分）如图所示，直线 y3 交函数 y的图象于 A、B 两点，已知点 C 坐标为（0，1） ，直线 AC 交 x 轴于点 D，连接 BD （1）将直线 AC 向上平移 m 个单位，恰与函数 y图象的左半支有唯一交点，求 m 的值； （2）在线段 AD 上取点 P，使ABPADB，求点 P 的坐标 【解答】解（1）y， 与 y3 交点 A（2，3）B（2，3） ， C（0，1） ， AC 为 yx+1， 向上平移 m 单位后：yx+1+m， 即，在 x0 只有 1 解
26、， 即 x2+（1+m）x+60 在 x0 只有 1 解，且 x0 代入得， 02+（1+m）0+60，即情况不存在， ， m21； （2）D：yx+1，y0 时 x1， D（1，0） ，在坐标轴中如图所示， 若ABPADB， 则BAPDAB， 即PBADBA， 只有PBABDA， 即ABPADB， PBABDA，BPADBA ， APBA， P （xAAP，yAAP） ， 即 P（2，3） ，P（，） 21 （10 分）某山地车行八月份购进甲，乙两种品牌的山地车共 45 辆，花费 39000 元已知甲、乙两种车 型的进价分别为 800 元和 950 元，且甲、乙两品牌的单利润分别为 100
27、元和 150 元 （1）求该车行八月份购进甲、乙两种品牌的山地车各多少辆？ （2）由于行情良好，该车行计划九月份再购进甲、乙品牌山地车 60 辆，在货款为 50000 元的情况下， 如何进货才能使得八月份销售利润最大？ 【解答】解： （1）设该车行八月份购进甲种品牌的山地车 x 辆，购进乙种品牌的山地车 y 辆， 根据题意得：， 解得：， 答：该车行八月份购进甲种品牌的山地车 25 辆，购进乙种品牌的山地车 20 辆； （2）设该车行计划九月份再购进甲种品牌的山地车 a 辆，则购进乙种品牌的山地车（60a）辆， 800a+950（60a）50000， 解得：a，且 a 是整数， 设九月份销售利
28、润为 W 元， W100a+150（60a）50a+9000， 500， W 随 a 的增大而减小， 当 a47 时，W 最大，W5047+90006650（元） ， 604713（辆） 答： 该车行计划九月份再购进甲种品牌的山地车 47 辆， 则购进乙种品牌的山地车 13 辆， 销售利润最大 22 （10 分）问题发现 （1）如图 1，在 RtABC 中，BAC90，ABAC4，点 D 在 BC 边上，且 BD3CD，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 90得到线段 AE，连接 DE，BE，则 BE+BD 的值为 4 类比探究 （2）如图 2，在（1）的条件下，点 P 为 AB 边上的中点，
29、BD3CD，将线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90 得到线段 PE，连接 BE，则 BE+BD 的值会发生改变吗？请说明你的理由 拓展延伸 （3）如图 3，在钝角ABC 中，ABAC，BAC，点 P 在边 BA 的延长线上，BPk，连接 PD，将 线段 PD 绕点 P 顺时针旋转，旋转角EPD，连接 DE，则 BE+BD 2ksin （请用含有 k， 的式子表示） 【解答】解： （1）如图 1 中， EADBAC90， BAECAD， ADAE，ABAC， BAECAD（SAS） ， BEDC， BE+BDBD+DCBC， ABAC4，BAC90， BC4， BE+BD4， 故答案为：4 （
30、2）BE+BD 的值不会发生改变，理由如下： 作 DMAC 交 AB 于 M，过点 P 作 PNBC 交 MD 于 N， ABAC，BAC90， ABCC45， MDAC， BMDBAC90， BMD 是等腰直角三角形， DMBM， PNBC， MPNABC45， PMN 是等腰直角三角形， PMNM， BMPMDMNM， PBDN， 由（1） ，知 BC4，BD3CD， BD3， BMBDcos453， P 为 AB 边上的中点， APBPAB2， MNPMBMBP321， PN， BPE+DPM90，PDM+DPM90， BPEPDM， PDPE， PBEDNP（SAS） ， BEPN，
31、BE+BD； （3）如图 3 中，作 PHAC 交 BC 的延长线于 H，作 PMBC 于 M ACPH， ACBH，BPHBAC， ABAC， ABCACB， PBHH， PBPH， EPDBPH， BPEHPD， PEPD，PBPH， EPBDPH（SAS） ， BEDH， BE+BDBD+DHBH， PBPH，PMBH， BMMH，BPMHPM， BMMHBDsin BD+BEBH2ksin 故答案为：2ksin 23 （11 分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx2 与 x 轴交于 A（2，0） 、B（1，0）两 点，与 y 轴交于点 C （1）试求抛物线的解析式；
32、（2）作直线 AC，点 E 为线段 AC 上一动点，过点 E 作 DEAC，交抛物线于点 D，交 y 轴于点 F，请 问在点 E 的移动过程中 DE 是否存在最大值，如果有，求出此时点 D 的坐标，如果没有，请说明理由； （3）在（2）的条件下，点 N 是 x 轴上的一个动点，点 M 是坐标平面内的一点，是否存在这样的点 N， 使得以 D、F、M、N 四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点 N 的坐标；如果不存在，请说明理 由 【解答】解： （1）把点 A（2，0） 、B（1，0）分别代入 yax2+bx2，得 ， 解得， 所以抛物线的解析式为：yx2+x2； （2）存在， 过点 D 作
33、x 轴的垂线，交直线 AC 于点 P，如图 1， 将 x0 代人 yx2+x2 中，得 y2， C（0，2） 设直线 AC 的解析式为 ymx+n， 将点 A（2，0） ，C（0，2）代人 ymx+n 中， 得， 解得， 直线 AC 的解析式为 yx2 OAOC2，AOC90， ACO45 PDCF，DEAC， DPEACO45，PED90， PED 为等腰直角三角形 DEPEPD 设点 D 的坐标为（k，k2+k2） ，则点 P 的坐标为（k，k2） ， PDk2（k2+k2）k22k（k+1）2+1 10， 当 k1 时，PD 有最大值，此时 DE 的值也最大， 点 D 的坐标为（1，2）
34、 ； （3）存在这样的点 N，使得以 D，F，M，N 四点组成的四边形是矩形 当 DF 是矩形的边时，有以下两种情况： （i）当四边形 M1N1FD 为矩形时，连接 DC，如解图 2 由（2）可知 D（1，2） ，C（0，2） ，ACO45，DFAC， DFC45 又点 D 与点 C 的纵坐标相同， DFC 是等腰直角三角形 FCDC1 OFOCFC1 点 F 的坐标为（0，1） N1FO90DFC45， N1OOF1 点 N 的坐标为（1，0） （ ii）当四边形 M2N2DF 为矩形时，过点 D 作 DGx 轴交于点 G，连接 DC，如解图 3 由（ i ）可知DFC45， N2DG45， N2DG 是等腰直角三角形 GN2GD2 又OGDG1， ON2GN2+OG3 N2的坐标为（3，0） ； 当 DF 是矩形的对角线时，设点 N3的坐标为（x，0） ， 则有 N3F2x2+1，N3D2（x+1）2+22，DF22 点 N3为直角顶点， N3F2+N3D2DF2 x2+1+（x+1）2+222，整理得 x2+（x+1）23，此方程无解 此种情况不存在 综上所述，满足条件的点 N 的坐标为（1，0）或（3，0）
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