1、2021 年北京市石景山区中考数学二模试卷年北京市石景山区中考数学二模试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1 （2 分）单项式xy2的系数是（ ） A1 B1 C2 D3 2 （2 分）在下面四个几何体中，左视图是三角形的是（ ） A B C D 3 （2 分）如图，直线 ABCD，AB 平分EAD，1100，则2 的度数是（ ） A60 B50 C40 D30 4 （2 分）若 a，b，c 分别表示的相反数、绝对值、倒数，则下列结论正确的是（ ） Aab
2、Bbc Cac Db2c 5 （2 分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 183 183 182 182 方差 5.7 3.5 6.7 8.6 要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 6 （2 分）如图，点 A，B，C 在O 上，AOB100，OBC20，则OAC 的度数为（ ） A20 B25 C30 D40 7 （2 分）如图所示，在正方形 ABCD 中，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部分） ，得到长为 c 的正方形，则下列等式成立的是（ ） Aa+bc Ba2+b
3、2c2 Cc2（a+b） （ab） Dc2（a+b）24ab 8 （2 分）如图是利用平面直角坐标系画出的首钢园中部分场馆建筑的分布图，若这个坐标系分别以正东、 正北方向为 x 轴、y 轴的正方向，表示群明湖的点的坐标为（2，0） ，表示冰壶馆的点的坐标为（3， 2） ，则表示下列场馆建筑的点的坐标正确的是（ ） A滑雪大跳台（5，0） B五一剧场（3，2） C冬奥组委会（5，4） D全民畅读艺术书店（5，0） 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）写出一个比 0 大且比 2 小的无理数 10 （2 分）一个不透明的盒子中装有 4 个黄球
4、，3 个红球和 2 个绿球，这些球除了颜色外无其他差别从 中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是 11 （2 分）若一个正多边形的内角是外角的 3 倍，则这个正多边形的边数为 12 （2 分）已知二元一次方程 2x3y10，若 x 与 y 互为相反数，则 x 的值为 13 （2 分）如图，在四边形 ACBD 中，ACB90，ABAD，E 是 BD 中点，过点 E 作 EFAD 交 AB 于点 F，连接 CF请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件） ： ； 14 （2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（a，b）在双曲线 y上若 a0，则点 A 在第 象限 15 （2 分）某店家进
5、一批应季时装共 400 件，要在六周内卖完，每件时装成本 500 元前两周每件按 1000 元标价出售，每周只卖出 20 件为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查并得出每周时装销售数量 与时装价格折扣的关系如下： 价格折扣 原价 9 折 8 折 7 折 6 折 5 折 每周销售数量（单位：件） 20 25 40 90 100 150 为盈利最大，店家选择将时装打折销售，后四周最多盈利 元 16 （2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A（0，1） ，B（1，1） ，有以下 4 种说法： 一次函数 yx 的图象与线段 AB 无公共点； 当 b0 时，一次函数 yx+b 的图象与线段 AB 无公
6、共点； 当 k1 时，反比例函数 y的图象与线段 AB 无公共点； 当 b1 时，二次函数 yx2bx+1 的图象与线段 AB 无公共点 上述说法中正确的是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27-28 题，每小题题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17 （5 分）计算：|4|+（3.14）06tan30 18 （5 分）解不等式x1，并把它的解集在数轴上表示出来 19 （5 分）已知 2x2+3y21
7、，求代数式（2x+y）24y（xy）的值 20 （5 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m20 有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的 m 的值，并求此时方程的根 21 （5 分）如图，在ABC 中，点 D 是线段 AB 的中点 求作：线段 DE，使得点 E 在线段 AC 上，且 DEBC 作法：分别以点 A，C 为圆心，大于AC 长为半径作弧，两弧相交于点 M，N 两点； 作直线 MN，交 AC 于点 E； 连接 DE 所以线段 DE 即为所求的线段 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） ；
8、（2）完成下面的证明 证明：AMCM，ANCN， MN 是 AC 的垂直平分线（ ） （填推理的依据） 点 E 是 AC 的中点 点 D 是 AB 的中点， DEBC（ ） （填推理的依据） 22 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，CEAD 于点 E，延长 DA 至点 F，使得 EFDA，连接 BF， CF （1）求证：四边形 BCEF 是矩形； （2）若 AB3，CF4，DF5，求 EF 的长 23 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：yk（x1）+3（k0）经过一个定点 P，直线 l 与反比例 函数 y（x0）图象相交于点 P （1）直线 l：yk（x1） +3（k
9、0）可以看成是直线 ykx+3（k0） 沿 x 轴向 （填“左”或 “右” ） 平移 1 个单位得到的，请直接写出定点 P 的坐标； （2）求 m 的值； （3）直线 ykxk+3（k0）与 x 轴、y 轴分别交于点 M，N若 PM2PN，求 k 的值 24 （6 分） 如图， AD 是O 的直径， P 是O 外一点， 连接 PO 交O 于点 C， PB， PD 分别切O 于点 B， D，连接 AB，AC （1）求证：ABOP； （2）连接 PA，若 PA2，tanBAD2，求 PC 长 25 （6 分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在北京举
10、行，石景山区作为 北京冬奥组委机关驻地和冬奥会滑雪大跳台赛事场地，将迎来作为“双奥之区”的高光时刻随着冬奥 会的脚步越来越近， 石景山教育系统大力普及青少年冰雪运动项目和知识， 越来越多的青少年走向冰场、 走进雪场、 了解冰雪运动知识 某校在距离冬奥会开幕倒计时 300 天之际开展了一次冬奥知识答题竞赛， 七、八年级各有 200 名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了 20 名学生的成绩进行调查分析，过程如下（数据不完整） 收集数据 七年级 66 70 71 78 71 78 75 78 58 a 63 90 80 85 80 89 85 86 80 87 八年
11、级 61 65 74 70 71 74 74 76 63 b 91 85 80 84 87 83 82 80 86 c 整理、描述数据 成绩 x/分数 七年级成绩统计情况 八年级成绩统计情况 频数 频率 频数 频率 50 x59 1 0.05 0 0 60 x69 2 0.10 3 0.15 70 x79 6 0.30 80 x89 m 10 0.50 90 x100 1 0.05 1 0.05 （说明：成绩 80 分及以上为优秀，6079 分为合格，60 分以下为不合格） 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 77.5 79 80 八年
12、级 77.4 n 74 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a ，m ，n ； （2）在此次竞赛中，小冬的成绩在七年级能排在前 50%，在八年级只能排在后 50%，那么估计小冬的 成绩可能是 ； （3）估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为 26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 yx2+bx+c （1）当 b2 时， 若 c4，求该函数最小值； 若 2x3，则此时 x 对应的函数值的最小值是 5，求 c 的值； （2）当 c2b 时，若对于任意的 x 满足 bxb+2 且此时 x 所对应的函数值的最小值是 12，直接写出 b 的值 27 （7 分）已知等边ABC，
13、D 为边 BC 中点，M 为边 AC 上一点（不与 A，C 重合） ，连接 DM （1）如图 1，点 E 是边 AC 的中点，当 M 在线段 AE 上（不与 A，E 重合）时，将 DM 绕点 D 逆时针旋 转 120得到线段 DF，连接 BF 依题意补全图 1； 此时 EM 与 BF 的数量关系为： ，DBF （2） 如图 2， 若 DM2MC， 在边 AB 上有一点 N， 使得NDM120 直接用等式表示线段 BN， ND， CD 之间的数量关系，并证明 28 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于M 内的一点 P，若在M 外存在点 P，使得 MP2MP，则 称点 P 为M 的二倍点
14、（1）当O 的半径为 2 时， 在 T1（1，0） ，T2（1，1） ，T3（，）三个点中，是O 的二倍点的是 ； 已知一次函数 ykx+2k 与 y 轴的交点是 A（0，a） ，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是O 的二倍点，求 a 的取值范围 （2）已知点 M（m，0） ，B（0，） ，C（1，） ，M 的半径为 2，若线段 BC 上存在点 P 为M 的二倍点，直接写出 m 的取值范围 2021 年北京市石景山区中考数学二模试卷年北京市石景山区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）下面各题均有
15、四个选项，符合题意的选项只有一个分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1 （2 分）单项式xy2的系数是（ ） A1 B1 C2 D3 【分析】根据单项式的系数概念即可求出答案 【解答】解：单项式xy2的系数是1， 故选：A 【点评】本题考查单项式，解题的关键是正确理解单项式的系数，本题属于基础题型 2 （2 分）在下面四个几何体中，左视图是三角形的是（ ） A B C D 【分析】根据几何体的左视图是从物体的左面看得到的图形，得到四个图形的左视图，结合选项得到答 案 【解答】解：A、左视图是矩形，故本选项不合题意； B、左视图是等腰三角形，故本选项符合题意； C、左视图是矩形，故
16、本选项不合题意； D、左视图是矩形，故本选项不合题意； 故选：B 【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握三视图的定义是解题的关键，主视图、左视图、俯视图是 分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形 3 （2 分）如图，直线 ABCD，AB 平分EAD，1100，则2 的度数是（ ） A60 B50 C40 D30 【分析】根据邻补角的定义、角平分线的定义及平行线的性质求解即可 【解答】解：1100， EAD180180， AB 平分EAD， EABBADEAD40， ABCD， 2EAB40， 故选：C 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键 4 （2 分）若 a
17、，b，c 分别表示的相反数、绝对值、倒数，则下列结论正确的是（ ） Aab Bbc Cac Db2c 【分析】分别计算出 a，b，c 的值，比较大小即可 【解答】解：a，b，c， acb，故 A，B，C 选项错误，不符合题意； 2c2b， D 选项正确，符合题意， 故选：D 【点评】本题考查了实数，比较出 a，b，c 的大小是解题的关键 5 （2 分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 183 183 182 182 方差 5.7 3.5 6.7 8.6 要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（ ） A甲 B乙
18、C丙 D丁 【分析】根据方差的意义求解即可 【解答】解：由表格知，乙的方差最小， 所以乙运动员发挥最稳定， 故选：B 【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程 度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好 6 （2 分）如图，点 A，B，C 在O 上，AOB100，OBC20，则OAC 的度数为（ ） A20 B25 C30 D40 【分析】连接 OC，由圆周角定理得出ACB50，由等腰三角形的性质可得出答案 【解答】解：连接 OC， AOB100， ACBAOB50， OBOC， OBCOCB20， ACOACBOCB5
19、02030， OCOA， ACOOAC30， 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，正确利用圆周角定理求得ACB 的度数是关键 7 （2 分）如图所示，在正方形 ABCD 中，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部分） ，得到长为 c 的正方形，则下列等式成立的是（ ） Aa+bc Ba2+b2c2 Cc2（a+b） （ab） Dc2（a+b）24ab 【分析】用两种方法表示剩下正方形的面积，列出等式，化简即可得到答案 【解答】解：由图可得剩下正方形面积为： （a+b）24ab， 根据正方形面积公式，剩下正方形面积也可以表示为：c2， （a+b）24abc2，化简得
20、a2+b2c2， 故选：B 【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是用两种方法表示剩下正方形的面积 8 （2 分）如图是利用平面直角坐标系画出的首钢园中部分场馆建筑的分布图，若这个坐标系分别以正东、 正北方向为 x 轴、y 轴的正方向，表示群明湖的点的坐标为（2，0） ，表示冰壶馆的点的坐标为（3， 2） ，则表示下列场馆建筑的点的坐标正确的是（ ） A滑雪大跳台（5，0） B五一剧场（3，2） C冬奥组委会（5，4） D全民畅读艺术书店（5，0） 【分析】 根据群明湖的点的坐标和冰壶馆的点的坐标， 建立平面直角坐标， 进而得出馆建筑的点的坐标 【解答】解：滑雪大跳台（5，0） ，五一剧场
21、（3，4） ，冬奥组委会（5，8） ，全民畅读艺术书店（0， 5） ； 故选：A 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）写出一个比 0 大且比 2 小的无理数 （答案不唯一） 【分析】只需要写出一个符合题意的无理数即可 【解答】解：比 0 大比 2 小的无理数都可以，如：， 故答案为：（答案不唯一） 【点评】本题考查了无理数的比较大小，掌握无理数的定义是解题的关键 10 （2 分）一个不透明的盒子中装有 4 个黄球，3 个红球和 2 个绿球，这些球除了颜色外无其他差别从
22、 中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是 【分析】直接根据概率公式求解 【解答】解：盒子中装有 4 个黄球，3 个红球和 2 个绿球，共有 9 个球， 从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是； 故答案为： 【点评】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数除以所有可能出 现的结果数 11 （2 分）若一个正多边形的内角是外角的 3 倍，则这个正多边形的边数为 8 【分析】设正多边形的边数为 n，利用多边形的内角和公式和外角和定理即可解答 【解答】解：设正多边形的边数为 n，由题意得： （n2） 1803360， 解得：n8， 故答案为：8 【点评】本题考查多
23、边形的内角（和）与外角（和） ，熟记多边形的内角和公式及外角和为 360是解答 的关键 12 （2 分）已知二元一次方程 2x3y10，若 x 与 y 互为相反数，则 x 的值为 2 【分析】由 x 与 y 互为相反数得 yx，代入 2x3y10 即可得答案 【解答】解：x 与 y 互为相反数， yx， 把 yx 代入 2x3y10 得： 2x3（x）10，即 5x10， x2， 故答案为：2 【点评】 本题考查解二元一次方程组， 解二元一次方程组基本思想是消元， 代入消元法是常用方法之一， 本题关键即是用代入消元法把“二元”化为“一元” 13 （2 分）如图，在四边形 ACBD 中，ACB9
24、0，ABAD，E 是 BD 中点，过点 E 作 EFAD 交 AB 于点 F，连接 CF请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件） ： BFEF ； BFEBAD 【分析】 由等边对等角得到DABD， 再由两直线平行， 同位角相等得到DBEF， 即得ABD BEF，由等角对等边即得结果； 由两直线平行，同位角相等即可的结果 【解答】解：ABAD， DABD， EFAD， DBEF， ABDBEF， BFEF EFAD， BFEBAD 故答案为：BFEF；BFEBAD 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键 14 （2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（a，b
25、）在双曲线 y上若 a0，则点 A 在第 二 象 限 【分析】把点 A（a，b）代入 y得，ab1，由 a0，得出 b0，即可判定点 A 在第二象限 【解答】解：点 A（a，b）在双曲线 y上 ab1，a0， b0， 点 A 在第二象限， 故答案为二 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握坐标系中点的坐标特征是解题的关键 15 （2 分）某店家进一批应季时装共 400 件，要在六周内卖完，每件时装成本 500 元前两周每件按 1000 元标价出售，每周只卖出 20 件为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查并得出每周时装销售数量 与时装价格折扣的关系如下： 价格折扣 原价 9
26、 折 8 折 7 折 6 折 5 折 每周销售数量（单位：件） 20 25 40 90 100 150 为盈利最大，店家选择将时装打折销售，后四周最多盈利 72000 元 【分析】前两周每周只卖了 20 件，还剩下 360 件，后四周每天至少要卖 90 件，所以分别计算 7 折，6 折，5 折的盈利即可 【解答】解：400202360（件） ， 要在六周内卖完，后四周，每周至少要卖 360490（件） ， 当打七折时，售价为 700 元，成本为 500 元，故共盈利（700500）36072000（元） ， 当打六折时，售价为 600 元，成本为 500 元，故共盈利（600500）36036
27、000（元） ， 当打五折时，售价为 500 元，成本为 500 元，故共盈利 0 元， 故答案为：72000 【点评】本题考查了函数的表示方法，解题时注意原价，9 折，8 折不用计算，因为完不成任务 16 （2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A（0，1） ，B（1，1） ，有以下 4 种说法： 一次函数 yx 的图象与线段 AB 无公共点； 当 b0 时，一次函数 yx+b 的图象与线段 AB 无公共点； 当 k1 时，反比例函数 y的图象与线段 AB 无公共点； 当 b1 时，二次函数 yx2bx+1 的图象与线段 AB 无公共点 上述说法中正确的是 【分析】根据一次函数、反比例函数、
28、二次函数图象上点的坐标特征以及它们的性质即可判断 【解答】解：一次函数 yx 的图象经过点（1，1） ， 一次函数 yx 的图象与线段 AB 有公共点，故错误； b0， 1+b1， 一次函数 yx+b 的图象经过点（1，1+b） ， b0 时，一次函数 yx+b 的图象与线段 AB 无公共点，故正确； 当 x1 时，反比例函数 yk1， 当 k1 时，反比例函数 y的图象与线段 AB 无公共点，故正确； 二次函数 yx2bx+1 的图象经过点（0，1） ， 二次函数 yx2bx+1 的图象与线段 AB 有公共点，故错误； 故答案为 【点评】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图象上点的坐标
29、特征，熟练掌握正比例函数、一 次函数、二次函数、反比例函数的性质是解题的关键 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27-28 题，每小题题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17 （5 分）计算：|4|+（3.14）06tan30 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简 得出答案 【解答】解：原式4+126 4+122 1 【点评】此题主要考查了实数运算，
30、正确化简各数是解题关键 18 （5 分）解不等式x1，并把它的解集在数轴上表示出来 【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，求出解集，表示在数轴上即可 【解答】解：去分母得：x13x3， 移项合并得：2x2， 解得：x1 将解集表示在数轴上如下： 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要 注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变 19 （5 分）已知 2x2+3y21，求代数式（2x+y）24y（xy）的值 【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，整体代入计算即可 【解答】解： （2x+y
31、）24y（xy） 4x2+4xy+y24xy+5y2 4x2+6y2， 2x2+3y21， 原式2（2x2+3y2）2 【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键 20 （5 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m20 有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的 m 的值，并求此时方程的根 【分析】 （1）根据关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m20 有两个不相等的实数根，则0，列出 不等式，即可求出 m 的取值范围 （2）根据方程的两个根都是整数，确定出 m 的值，经检验即
32、可得到满足题意的 m 的值，并求出方程的 根（答案不唯一） 【解答】解： （1）关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m20 有两个不相等的实数根， （2m+1）24m20， 解得：m （2）利用求根公式表示出方程的解为 x， 方程的解为整数， 4m+1 为完全平方数， 则当 m 的值为 0 时，方程为：x2+x0， 解得：x10，x21（不唯一） 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两 个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根 21 （5 分）如图，在ABC 中，点 D 是线段 AB 的中点 求作
33、：线段 DE，使得点 E 在线段 AC 上，且 DEBC 作法：分别以点 A，C 为圆心，大于AC 长为半径作弧，两弧相交于点 M，N 两点； 作直线 MN，交 AC 于点 E； 连接 DE 所以线段 DE 即为所求的线段 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明 证明：AMCM，ANCN， MN 是 AC 的垂直平分线（ 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ） （填推理的依据） 点 E 是 AC 的中点 点 D 是 AB 的中点， DEBC（ 三角形中位线性质 ） （填推理的依据） 【分析】 （1）根据几何语言画出对应的几何图形即可； （2）
34、先根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理判断 MN 是 AC 的垂直平分线， 则点 E 是 AC 的中点， 然后根据三角形中位线性质得到 DEBC 【解答】 （1）解：如图， （2）证明：AMCM，ANCN， MN 是 AC 的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上） ； 点 E 是 AC 的中点 点 D 是 AB 的中点， DEBC（三角形中位线性质） 故答案为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；三角形中位线性质 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几 何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形
35、的性质，结合几何图形的基本 性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 22 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，CEAD 于点 E，延长 DA 至点 F，使得 EFDA，连接 BF， CF （1）求证：四边形 BCEF 是矩形； （2）若 AB3，CF4，DF5，求 EF 的长 【分析】 （1）由平行四边形的性质得 ADBC，ADBC，再由 EFDA，得 EFBC，EFBC，则四边 形 BCEF 是平行四边形，再证CEF90，即可得出结论； （2）由勾股定理的逆定理证CDF 是直角三角形，DCF90，再由面积法求出 CE，然后由 矩形的性质得FBC90，BFCE，最后由勾股定理求解即可
36、【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， EFDA， EFBC，EFBC， 四边形 BCEF 是平行四边形， 又CEAD， CEF90， 平行四边形 BCEF 是矩形； （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB3， CF4，DF5， CD2+CF2DF2， CDF 是直角三角形，DCF90， CDF 的面积DFCECFCD， CE， 由（1）得：EFBC，四边形 BCEF 是矩形， FBC90，BFCE， BC， EF 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理以及 三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定
37、与性质是解题的关键 23 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：yk（x1）+3（k0）经过一个定点 P，直线 l 与反比例 函数 y（x0）图象相交于点 P （1） 直线 l： yk （x1） +3 （k0） 可以看成是直线 ykx+3 （k0） 沿 x 轴向 右 （填 “左” 或 “右” ） 平移 1 个单位得到的，请直接写出定点 P 的坐标； （2）求 m 的值； （3）直线 ykxk+3（k0）与 x 轴、y 轴分别交于点 M，N若 PM2PN，求 k 的值 【分析】 （1）由平移的性质得出向右平移，再令 x10，求出定点 P 的坐标； （2）将点 P 的坐标代入反比例函数
38、解析式中，即可得出结论； （3）先求出点 M，N 的坐标，进而得出 PM2，PN2，利用 PM2PN，建立方程求解，即可得出结论 【解答】解： （1）yk（x1）+3（k0）可以看成是直线 ykx+3（k0）沿 x 轴向右平移 1 个单位得 到的， 针对于 yk（x1）+3（k0） ， 令 x10，即 x1 时，y3， 定点 P（1，3） ， 故答案为右； （2）由（1）知 P（1，3） ， 点 P 在反比例函数 y的图象上， m133； （3）针对于直线 ykxk+3（k0） ， 令 x0 则 yk+3， N（0，k+3） ， 令 y0，则 kxk+30， x1， M（1，0） ， 由（1）
39、知，P（1，3） ， PM2（11）2+32+9，PN212+k2k2+1， PM2PN， PM24PN2， +94（k2+1） ， 4k45k290， （4k29） （k2+1）0， k或 k 【注】 （3） 的第二种方法提示： 分 k 大于 0 和小于 0 两种情况， 利用相似三角形的性质求出点 M 的坐标， 再将点 M 的坐标代入直线解析式中，即可得出结论 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，两点间的距离公式，用方程 的思想解决问题是解本题的关键 24 （6 分） 如图， AD 是O 的直径， P 是O 外一点， 连接 PO 交O 于点 C， PB， PD
40、分别切O 于点 B， D，连接 AB，AC （1）求证：ABOP； （2）连接 PA，若 PA2，tanBAD2，求 PC 长 【分析】 （1）连接 BD，由切线的性质得出 PBPD，DPOBPO，得出BADCOD，则可得出 结论； （2）由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案 【解答】 （1）证明：连接 BD， PB，PD 分别切O 于点 B，D， PBPD，DPOBPO， BDPO， ， BADCOD， ABOP； （2）解：由（1）得BADPOD， PD 切O 于点 D， PDOD， tanPOD， AD2OD， 在 RtPDA 中，PDA90，PA2， ADPD2， ODOC1， 在
41、RtPDO 中，PDO90，PD2，OD1， PO， PCPOCO1 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的 识别图形是解题的关键 25 （6 分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在北京举行，石景山区作为 北京冬奥组委机关驻地和冬奥会滑雪大跳台赛事场地，将迎来作为“双奥之区”的高光时刻随着冬奥 会的脚步越来越近， 石景山教育系统大力普及青少年冰雪运动项目和知识， 越来越多的青少年走向冰场、 走进雪场、 了解冰雪运动知识 某校在距离冬奥会开幕倒计时 300 天之际开展了一次冬奥知识答题竞赛， 七
42、、八年级各有 200 名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了 20 名学生的成绩进行调查分析，过程如下（数据不完整） 收集数据 七年级 66 70 71 78 71 78 75 78 58 a 63 90 80 85 80 89 85 86 80 87 八年级 61 65 74 70 71 74 74 76 63 b 91 85 80 84 87 83 82 80 86 c 整理、描述数据 成绩 x/分数 七年级成绩统计情况 八年级成绩统计情况 频数 频率 频数 频率 50 x59 1 0.05 0 0 60 x69 2 0.10 3 0.15 70 x79 6
43、 0.30 80 x89 m 10 0.50 90 x100 1 0.05 1 0.05 （说明：成绩 80 分及以上为优秀，6079 分为合格，60 分以下为不合格） 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 77.5 79 80 八年级 77.4 n 74 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a 80 ，m 0.45 ，n 80 ； （2）在此次竞赛中，小冬的成绩在七年级能排在前 50%，在八年级只能排在后 50%，那么估计小冬的 成绩可能是 80 ； （3）估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为 210 【分析】 （1） 根据平
44、均数可求出 a 的值， 再根据频数统计可得出 m 的值， 利用中位数的意义可得 n 的值； （2）利用中位数的意义以及七、八年级学生具体成绩判断即可； （3）求出七、八年级优秀的人数即可 【解答】解： （1）（66+70+71+78+71+78+75+78+58+a+63+90+80+85+80+89+85+86+80+87）77.5， 解得 a80， 七年级这 20 名同学的成绩在 80 x90d 的有 9 人，即 m9200.45， 将八年级 20 名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的都是 80， 因此中位数是 80， 即 n80， 故答案为：80，0.45，80； （2）七年级
45、低于 80 分的有 10 人，大于或大于 80 分的有 10 人，而八年级低于 80 分的有 9 人，高于或 等于 80 分的有 11 人， 因此在七年级能排在前 50%，在八年级只能排在后 50%，他的成绩可能是 80 分， 故答案为：80； （3）200（0.45+0.05）+200（0.50+0.05） 100+110 210（人） ， 故答案为：210 【点评】本题考查中位数、众数、平均数，频数分布表，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握频数、 频率、总数之间的关系是正确解答的前提 26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 yx2+bx+c （1）当 b2 时， 若
46、c4，求该函数最小值； 若 2x3，则此时 x 对应的函数值的最小值是 5，求 c 的值； （2）当 c2b 时，若对于任意的 x 满足 bxb+2 且此时 x 所对应的函数值的最小值是 12，直接写出 b 的值 【分析】 （1）利用配方法，把二次函数的解析式写成顶点式即可 由题意，判断出 x2 时，y5，利用待定系数法可得结论 （2）当 c2b 时，yx2+bx+2b，图象开口向上，对称轴为直线 x，分三种情形：当b， 即 b0 时，当 bb+2 时， 即b0， 当b+2，即 b，分别利用待定系数法， 构建方程求解即可 【解答】解： （1）由题意，二次函数的解析式为 yx22x+4（x1）2
47、+3， 顶点坐标为（1，3） ， 函数的最小值为 3 yx22x+c， 对称轴 x1， 2x3，则此时 x 对应的函数值的最小值是 5， x2 时，y5， 544+c， c5 （2）当 c2b 时，yx2+bx+2b，图象开口向上，对称轴为直线 x， 当b，即 b0 时， 在自变量 x 的值满足 bxb+2 的情况下，y 随 x 的增大而增大， 当 xb 时，yb2+bb+2b2b2+2b 最小值， 2b2+2b12，解得，b13（舍去） ，b22； 当 bb+2 时，即b0， x，y 的值最小， b2+2b12，方程无解 当b+2，即 b， 在自变量 x 的值满足 bxb+2 的情况下，y 随 x 的增大而减小， 故当 xb+2 时，y（b+2）2+b（b+2）+2b2b2+6b+4 为最小值， 2b2+6b+412解得，b11（舍去） ，b24； 综上所述，满足条件的 b 的值为 2 或4 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质， 分类讨论思想的运用是解题的关键 27 （7 分）已知等边ABC，D 为边 BC 中点，M 为边 AC 上一点（不与 A，C 重合） ，连接 DM （1）如图 1，点 E 是边 AC 的中点，当 M 在线段 AE 上（不与 A，E
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