1、2021 1 届届 “武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟”高三起点联考数学试题高三起点联考数学试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数 1 z在复平面内对应的点为1,3， 2 2zi (i为虚数单位)，则复数 1 2 z z 的虚部为( ). A. 7 5 B. 7 5 C. 7 i 5 D. 7 i 5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，先得到 1 1 3zi ，再由复数的除法运算求出 1 2 z z ，即可得出其虚部. 【详解】因为复数 1 z在复平
2、面内对应的点为1,3，所以 1 1 3zi ， 又 2 2zi ， 所以 1 2 1 321 32631 717 2224 1555 iiziiii i ziii ， 因此其虚部为 7 5 . 故选：B. 【点睛】本题主要考查求复数的虚部，考查复数的除法运算，涉及复数的几何意义，属于基础题型. 2. 设xR，则“ 2x ”是“ 2 2x ”的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 求出 2 22xx 或 2x ，再根据集合间的关系，即可得答案； 【详解】 2 22xx 或 2x ， 2x 2x 或 2x
3、， 但后面推不出前面， “2x ”是“ 2 2x ” 充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查利用集合间的关系求解充分不必要条件，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础 题. 3. 周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益 相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、 秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和 为 49.5 尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为 10.5尺，则立秋的晷长为( ) A. 1.5尺 B. 2.5 尺 C. 3
4、.5 尺 D. 4.5尺 【答案】D 【解析】 【分析】 设等差数列 n a的首项为 1 a，公差为 d，根据题意列出方程组求解即可. 【详解】夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成 等差数列 n a，设其首项为 1 a，公差为 d， 根据题意 91 3 1 115 =1.5 10. 49.593649.5 365.5110 Sa aaa ad dad ， 立秋的晷长为 4 1.534.5a . 故选：D 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、求和公式，属于基础题. 4. 若正数 , x y满足 13 5 yx ，则34xy的最小值是( ) A. 24
5、 5 B. 28 5 C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正数 , x y满足 13 5 yx ，可得 1 13 1 5yx ，则 113 34(34 ) 5 xyxy yx ，展开利用基本不 等式即可求得结果. 【详解】正数 , x y满足 13 5 yx ， 则 11313121312 34(34 )131325 555 xyxy xyxy yxyxyx ， 当且仅当21xy时取等号， 34xy 的最小值是 5. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题方法为“1”的代换法，考查分析理解，计算求值的能力，属 基础题. 5. 已知函数 f x是定义在 R
6、上的奇函数，且在() 0,+?上单调递减，30f ，则不等式10f x 的解集为( ) A. 3,3 B. , 21,4 C. , 41,2 D. 30 3, U 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得函数的大致图象，据此分析可得关于x的取值范围，即可得 答案. 【详解】根据题意，函数 f x是定义在 R上的奇函数，且在( ) 0,+?上单调递减， 则 f x在( ) ,0-?上递减， 又由30f ，则 30f，则函数 f x的草图如图： 若10f x，则有13x 或01 3x ，解得2x或14x 即不等式的解集为 , 21,4 ； 故选：B. 【点睛】本题考
7、查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意作出函数的简图，分析不等式的解集. 6. 已知两点1,2A，3,6B，动点M在直线 yx 上运动，则MAMB的最小值为( ) A. 2 5 B. 26 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意画出图形，结合图形求出点A关于直线y x 的对称点 A ，则A B 即为MAMB的最小值. 【详解】根据题意画出图形，如图所示： 设点A关于直线y x 的对称点2,1 A ， 连接A B，则A B 即为MAMB的最小值，且 22 =3 2+ 6 1 = 26AB . 故选：B. 【点睛】本题考查了动点到定点距离之和最小值问题，解题方法是求出定点关于
8、直线对称的点坐标，然后 运用两点之间的距离公式求出最值. 7. 如图，直四棱柱 1111 ABCDABC D的底面是菱形， 1 2AAAB，60BAD，M是 1 BB的中点，则 异面直线 1 AM与 1 BC所成角的余弦值为( ) A. 10 5 B. 1 5 C. 1 5 D. 10 5 【答案】D 【解析】 【分析】 用向量 1 ,AB BC BB分别表示 11 ,AM BC,利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】由题意可得 22 111111111 1 ,5, 2 AMABBMABBBAMABBM 22 1111 ,2 2BCBCBB BCBCBB ， 2 11 1 11 11 11 1
9、 1 2 2 cos, 2 102 10 ABBBBCBB AB BCBB AM BC AM BC AM BC 0 1 2 2 cos604 10 2 . 52 10 故选：D 【点睛】本题主要考查用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题. 8. 已知某 7 个数据的平均数为 5，方差为 4，现又加入一个新数据 5，此时这 8 个数的方差 2 s为( ) A. 5 2 B. 3 C. 7 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 由平均数公式求得原有 7个数的和，可得新的 8 个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式 可得新方差 【详解】因为 7 个数据的平均数为 5，方
10、差为 4，现又加入一个新数据 5，此时这 8 个数的平均数为x，方 差为 2 s，由平均数和方差的计算公式可得 7 55 5 8 x ， 2 2 7 4557 82 s . 故选：C. 【点睛】本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键 9. 6 21xy的展开式中， 3 xy的系数为( ). A. 120 B. 480 C. 240 D. 320 【答案】A 【解析】 【分析】 直接根据三项的二项展开式的特点，写出 3 xy项，即可得答案； 【详解】 6 21xy的展开式中， 3 xy项是由 6 个因式21xy中， 1 个因式出2x，3 个因式出y，2 个因式出1， 含 3
11、 xy的项为 31332 652 (2 )1120CxCyCxy ， 3 xy的系数为120， 故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意根据二项 式定理知识的生成过程，直接求解. 10. 已知圆O： 22 1xy上恰有两个点到直线l： 1ykx的距离为 1 2 ，则直线l的倾斜角的取值范围 为( ) A. 2 0, 323 B. 2 0, 33 C. 2 , 3 223 U D. 2 , 3 23 【答案】B 【解析】 【分析】 根据圆心到直线的距离 1 3 , 2 2 d 可求直线斜率的取值范围，从而可求倾斜角的取值范围. 【详解】设圆
12、心到直线的距离为d. 因为圆O： 22 1xy上恰有两个点到直线l： 1ykx的距离为 1 2 ， 故 1 3 , 2 2 d ，所以 2 113 22 1k ，解得33k， 故倾斜角的范围为 2 0, 33 ， 故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意根据圆上到直线的距离等于定值的点的个数确定圆心到直线 的距离的范围，本题属于中档题. 11. 已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第 6 次移动后，该质点恰好回 到初始位置的概率是( ) A. 1 4 B. 5 16 C. 3 8 D. 1 2 【答案】B 【解析】 【分析】 将问题转化为一个数为零，每次
13、加1或者减1，经过 6次后，结果还是零的问题.用古典概型的概率计算公式 即可求得结果. 【详解】该问题等价于：一个数据为零，每次加1或者减1，经过 6次后，结果还是零的问题. 则每次都有加 1 或者减 1两种选择，共有 6 264种可能； 要使得结果还是零，则只需 6次中出现 3次加 1，剩余 3次为减 1， 故满足题意的可能有： 3 6 20C 种可能. 故满足题意的概率 205 6416 P . 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属基础题. 12. 若函数 2 ( )24 x f xxmxe 在区间2，3上不是单调函数，则实数 m的取值范围是( ) A. 20 17 , 32
14、 B. 20 17 , 32 C. 20 5, 3 D. 20 5, 3 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求出导函数，使 fx 在区间(2,3)上有解，分离参数可得 2 22 42(1)4 11 x mx xx ，设 1,(3,4)xt t ，从而可得 2 2( )mtg t t ，利用导数即可求解. 【详解】因为函数 2 ( )24 x f xxmxe ， 所以 22 ( )24(4)2(4)4 xxx fxexmxexmexm xm ， 若 ( )f x在区间(2,3)上不是单调函数， 则( )0fx 在区间(2,3)上有解， 即 2 2(4)40 xm xm在区间(2,3)上有解，
15、即 22 22(1)4(1)22 42(1)4 111 xxx mx xxx 设1,(3,4)xt t ，则 2 2( )mtg t t ， 2 2 ( )20g t t ， 2017 (3)( )(4) 32 gg tg 所以 2017 32 m， 实数m的取值范围是 20 17 , 32 ， 故选：B. 【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，分离参数法求参数的取值范围，属于中档题. 二、填空题：二、填空题： 13. 已知向量1,1a ，1,bk ，若 aba rrr ，则k的值为_. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据向量垂直则数量积零，即可由坐标计算求得结果. 【详解】容易知a b
16、 2,1 k 因为 aba rrr ， 故可得210k ， 解得3k . 故答案为：3. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标计算，属简单题. 14. 2018年 5 月至 2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅 几个月，蝗虫数量增长了 8000倍，引发了蝗灾，到 2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日 增长率为 5%，最初有 0 N只，则经过_天能达到最初的 16000倍(参考数据： ln1.050.0488,ln1.50.4055,ln16007.3778 ，ln160009.6803. 【答案】199 【解析】 【分析】 设过x天能达到最
17、初的 16000 倍，得到方程 00 (10.05)16000 x NN，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】设过x天能达到最初的 16000 倍， 由已知 00 (10.05)16000 x NN，解得 ln16000 198.4 ln1.05 x ， 又因为xN，所以过 199 天能达到最初的 16000倍. 故答案为：199. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出方程，结合对数的运算公式求 解是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 15. 双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 ,0Fc 、 2 ,0F c，过 1 F
18、且斜率为 3的直 线与双曲线的左、 右两支分别交于点A、B(B在右侧)， 若 22 0BABFAF， 则C的离心率为_. 【答案】1 13 2 【解析】 【分析】 先由 22 0BABFAF，得出 2 BFBA，再由双曲线的定义，求出 11 2AFBFBAa， 21 24AFaAFa，根据直线斜率得到 12 60AFF，由余弦定理列出方程求解，即可得出结果. 【详解】由 22 22222 0BABFAFBABFBFBABFBA得 2 BFBA， 又由题意可得，A为双曲线左支上的点，B为双曲线右支上的点， 根据双曲线的定义可得， 12 2BFBFa， 21 2AFAFa， 所以 11 2AFBF
19、BAa，因此 21 24AFaAFa， 因为直线AB的斜率为 3，所以 12 60AFF， 又 12 2FFc， 所以 222 22222 1122 112 44163 cos60 2422 AFFFAFacaca AF FFacac ， 即 22 30caca，所以 2 30ee ， 解得 113 2 e 或 113 2 e (舍，双曲线的离心率大于 1). 故答案为：1 13 2 . 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的定义和双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 16. 在数列 n a中， 1 1a ，且 1 31 n nn aa ，则数列 n a的前 2021 项和为_.
20、【答案】 2022 31 8 【解析】 【分析】 由已知条件可得 1 1 11 ( 1)3(=1) 44 nn nn aa ，即得数列的通项公式 31 ( 1) 44 n n n a ，从而可得前 2021项和. 【详解】由 1 31 n nn aa 可得 1 1 11 ( 1)3(=1) 44 nn nn aa ， 所以数列 1 ( 1) 4 n n a 是首项为 3 4 ，公比为 3的等比数列，所以 31 ( 1) 44 n n n a ， 212 21221 212 3131 ( 1)( 1)3 4444 nn nnn nn aa ， 1234202020 1010 20212022 2
21、021220191 3 1 9 3 1 311 4489 Saaaaaaa 故答案为： 2022 31 8 【点睛】本题考查由递推关系式求通项，考查求数列的前 n项和，考查运算求解能力，属于中档题. 三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知 n a 是公差不为零的等差数列， 3 7a ，且 249 ,a a a成等比数列 (1)求 n a的通项公式； (2)设 1 1 n nn b aa ，求数列 n b 的前n 项和 n S. 【答案】(1)32 n an；(2) 31 n n S n . 【解析】 【分析】 (
22、1)根据题意，用等差数列的基本量转化条件，求得首项和公差，则问题得解； (2)根据(1)中所求，用裂项求和法即可求得结果. 【详解】(1)设 n a的公差为d，因为 2 a， 4 a ， 9 a成等比数列 2 429 aa a，可得 2 111 (3 )8adadad， 2 1 3da d，0d ，所以 1 3da， 又 31 27aadQ解得 1 1a ，3d ， 32 n an； (2) 1 11111 (32)(31)3 3231 n nn b aannnn 12 1 111 11111 3 143 473 3231 nn Sbbb nn 1 11 3 13131 n n S nn 【点
23、睛】本题考查利用等差数列的基本量求通项公式，以及用裂项求和法求数列的前n项和，涉及等比中 项的应用，属中档题. 18. 已知函数 sin0,0 6 f xAxA 只能同时 满足下列三个条件中的两个：函数 f x的 最大值为 2；函数 f x的图象可由 2sin 4 yx 的图象平移得到；函数 f x图象的相邻两条 对称轴之间的距离为 2 . (1)请写出这两个条件序号，并求出 f x的解析式； (2)求方程 10f x 在区间 ,上所有解的和. 【答案】(1)满足的条件为； 2sin 2 6 f xx (2) 2 3 【解析】 【分析】 (1)根据题意，条件互相矛盾，所以为函数 sin 6 f
24、 xAx 满足的条件之一，根据条件， 可以确定函数的最小正周期，进而求得的值，并对条件作出判断，最后求得函数解析式； (2)将 2sin 2 6 f xx 代入方程 10f x ，求得 1 sin 2 62 x ，从而确定出 22 66 xkk Z或 7 22 66 xkkZ，结合题中所给的范围，得到结果. 【详解】(1)函数 sin 6 f xAx 满足的条件为； 理由如下：由题意可知条件互相矛盾， 故为函数 sin 6 f xAx 满足的条件之一， 由可知，T ，所以2，故不合题意， 所以函数 sin 6 f xAx 满足的条件为； 由可知2A，所以 2sin 2 6 f xx ； (2)
25、因为 10f x ，所以 1 sin 2 62 x ， 所以 22 66 xkk Z或 7 22 66 xkkZ， 所以 6 xkk Z或 2 xkkZ， 又因为,x ，所以 x 的取值为 6 ， 5 6 ， 2 ， 2 ， 所以方程 10f x 在区间,上所有的解的和为 2 3 . 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦型函数的性质，结合性质确定函数解 析式，届三角方程，属于简单题目. 19. 如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，PAPC，BDPA ，E 是BC上一点，且 3ECBE，设ACBDO. (1)证明：PO平面ABCD； (2)若60BAD，PAP
26、E，求二面角APEC的余弦值. 【答案】(1)见解析(2) 15 5 【解析】 【分析】 (1)由已知可得BDAC，BDPA， 由直线与平面垂直的判定可得BD 平面PAC， 得到BDPO， 再由POAC，进一步得到PO平面ABCD； (2)由(1)知，PO平面ABCD，BDAC，以 O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为 x， y，z轴建立空间直角坐标系，设四边形ABCD的边长为 4，POa，由PAPE列式求解 a，可得所用 点的坐标，再求出平面PAE与平面PEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 APEC的余弦值. 【详解】(1)证明：四边形ABCD是菱形，O是AC的中
27、点，BDAC， BDPA，PAACA，BD 平面PAC， PO平面PAC，BDPO. PAPC，O是AC的中点，POAC. AC 平面ABCD，BD 平面ABCD，ACBDO， PO平面ABCD； (2)解：由(1)知，PO平面ABCD，BDAC. 以 O为坐标原点，以OA，OB，OP所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系. 设四边形ABCD的边长为 4，POa. 四边形ABCD是菱形，60BAD，ABD与BCD都是等边三角形. 2 3OAOC. 0,0,Pa，2 3,0,0A，2 3,0,0C ， 3 3 ,0 22 E ， 2 3,0,PAa， 3 3 , 22 PEa ， 3 33
28、 ,0 22 EC . PAPE， 3 3 2 3,0,0 22 PA PEaa ， 即 2 30a ，得3a . 2 3,0,3PA， 3 3 ,3 22 PE . 设平面PAE的法向量为 111 ,mx y z， 由 11 111 2 330 33 30 22 m PAxz m PExyz ，取 1 2z ，得 5 3 1,2 3 m ； 设平面PEC的一个法向量为 222 ,nxy z， 由 22 222 3 33 0 22 33 30 22 n ECxy n PExyz ，取 2 1x ，得 1, 3,2n . 设二面角APEC的平面角为，由图可得，为钝角， 则 15 cos 5 m
29、n mn . 二面角APEC的余弦值为 15 5 . 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间 角，是中档题. 20. 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直 线75120 xy相切 (1)求椭圆C的方程； (2)设 ( 4,0)A ，过点(3,0)R作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线 16 3 x 于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为 1 k、 2 k，试问： 12 k k是否为定值？若是，求出该 定值，若不是，请说明理由
30、 【答案】(1) 22 1 1612 xy ;(2) 12 k k为定值 12 7 . 【解析】 试题分析：(1)根据离心率、直线与圆相切建立关于, ,a b c的方程组，过得, ,a b c，从而得到椭圆的方程；(2) 设 11 ( ,)P x y， 22 (,)Q xy，直线PQ的方程为3xmy，联立椭圆方程消去x，得到关于y的方程，再利 用韦达定理得到 12 ,y y之间的关系，从而得到 12 k k的关系 试题解析：(1)由题意得 222 1 , 2 12 , 75 , c a b abc 解得 4, 2 3, 2, a b c 故椭圆C的方程为 22 1 1612 xy (2)设 1
31、1 ( ,)P x y， 22 (,)Q xy，直线PQ的方程为3xmy，由 22 1, 16 12 3, xy xmy 得 22 (34)18210mymy 12 2 18 34 m yy m ， 12 2 21 34 y y m ， 由A，P，M三点共线可知， 1 1 16 4 3 M yy x ，所以 1 1 28 34 M y y x ； 同理可得 2 2 28 34 N y y x 所以 12 9 1616 49 33 33 NMNM yy yy k k 12 12 16 (4)(4) y y xx 因为 1212 (4)(4)(7)(7)xxmymy 2 1212 7 ()49m
32、y ym yy， 所以 12 12 2 1212 16 7 ()49 y y k k m y ym yy 2 2 22 21 16 12 34 2118 7 749 3434 m mm mm 考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、椭圆的几何性质；3、直线的斜率 【方法点睛】解答直线与椭圆位置关系的相关问题时，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消 元、化简，再应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦长问题利用弦长公式AB 2 12 1 kxx或AB解决，往往会更简单 21. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间， 我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩.防护服、 消毒水等防疫物品， 保障抗疫一
33、线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质 量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了 100个，将其质量指标值 分成以下五组：100,110，110,120，120130,，130140,，140,150，得到如下频率分布直方图. (1)规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于 130 的为二级口罩，质量指 标值不低于 130 的为一级口罩.现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取 8 个口罩，再从中抽取 3 个， 记其中一级口罩个数为X，求X的分布列及数学期望； (2)在 2020 年“五一”劳
34、动节前，甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加A店一个订单“秒杀”抢 购，同时乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加B店一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由 2,n nn N个该型号口罩构成.假定甲、 乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率均为 2 1 2n ， 记甲，乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为X，Y. 求X的分布列及数学期望E X； 当Y的数学期望 E Y取最大值时正整数n的值. 【答案】(1)分布列见解析；期望为 3 4 ；(2)分布列见解析；期望为 2 2 2n ；n的值为 2. 【解析】 【分析】 (1)由题意，根据分层抽样，确定抽取的二级、一级口罩个数分别为
35、 6，2，得出X的可能取值，求出对应 的概率，即可得出分布列，从而可求出期望； (2)先由题意，得到X的可能取值，求出对应的概率，即可得出分布列，从而求出对应的期望； 根据题意，得到YnX，由(1)的结果，根据期望的运算性质，即可求出结果. 【详解】(1)由题意，样本中一级口罩和二级口罩的频率之比为： 0.20.05 : 1 0.2 0.051:3，按 分层抽样抽取 8 个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为 6，2. 故X的可能取值为 0，1，2. 30 62 3 8 5 0 14 CC P X C ， 21 62 3 8 15 1 28 CC P X C ， 12 62 3 8 3 2 2
36、8 CC P X C ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 5 14 15 28 3 28 所以 51533 012 1428284 E X . (2)由题知，X的可能取值为 0，1，2， 2 2 1 01 2 P X n ， 22 11 12 1 22 P X nn ， 4 1 2 2 P X n ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 2 2 1 1 2n 22 11 2 1 22nn 4 1 2n 所以 4222 22 22 11 2 1 22 E X nnnn . 因为YnX，所以 2 2221 4 44 2 4 24 n E YnE X n n n n n ， 当且仅当2n时取
37、等号，所以 E Y取最大值时，n的值为 2. 【点睛】本题主要考查求离散型随机变量的分布列和期望，熟记离散型随机变量的分布列和期望的概念， 以及期望的运算性质即可，属于常考题型. 22. 设 2 sincos ,4f xxxx g xx. (1)讨论 f x在, 上的单调性； (2)令 4h xg xf x，试证明 h x在R上有且仅有三个零点. 【答案】(1) ( )f x的单调递增区间是, 0, 22 ，递减区间是,0 , 22 ；(2)证明见解析. 【解析】 分析】 (1)首先求导得到 ( )cosfxxx ，再根据导函数的正负性即可得到函数的单调区间. (2)首先根据 2 ( )44
38、sin4cosh xxxxx，(0)0h得到0 x是( ) h x的一个零点，再根据( )h x是偶 函数得到( )h x在R上的零点个数，只需确定0 x时，( )h x的零点个数即可，再求出( )h x在0 x时的单 调性和最值，确定其零点个数即可. 【详解】( )sincossincosfxxxxxxx ， 令( )0fx ，则0 x或 2 x . , 2 x 时，( )0fx ， ( )f x单调递增， ,0 2 x 时( )0fx ， ( )f x单调递减， 0, 2 x 时，( )0fx ， ( )f x单调递增， , 2 x 时，( )0fx ， ( )f x单调递减. ( )f
39、x 的单调递增区间是, 0, 22 ， 递减区间是,0 , 22 . (2) 2 ( )44 sin4cosh xxxxx， 因为(0)0h，所以0 x是( )h x的一个零点. 22 ()()44()sin()4cos()44 sin4cos( )hxxxxxxxxxh x 所以( )h x是偶函数， 即要确定( )h x在R上的零点个数，需确定0 x时，( )h x的零点个数即可. 当0 x时，( )24 cos2 (1 2cos )h xxxxxx 令( )0h x ，即 1 cos2 23 xxkx ，或2 3 xkx ()kN. (0,) 3 x 时，( )0, ( )h xh x单
40、调递减， 且 2 2 3 ()20 393 h ， 5 (,) 3 3 x 时，( )0h x ，( )h x单调递增， 且 2 52510 3 ()20 393 h ( )h x 在 5 (0,) 3 有唯一零点 当 5 3 x时，由于sin1x，cos1x. 2 ( )44 sin4cosh xxxxx 22 4444( )xxxxt x 而( )t x在 5 (,) 3 单调递增， 5 ( )()0 3 t xt 所以( )0h x 恒成立，故( )h x在 5 (,) 3 无零点， 所以( )h x在(0,)有一个零点， 由于( )h x是偶函数，所以( )h x在(,0)有一个零点，而(0)0h， 综上( )h x在R有且仅有三个零点. 【点睛】本题第一问考查利用导数求函数的单调区间，第二问考查利用导数求函数的零点，同时考查了分 类讨论的思想，属于难题.
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