1、浙江省杭州市浙江省杭州市 2021 年中考数学仿真模拟卷年中考数学仿真模拟卷 一、单选题（共一、单选题（共 10 题；共题；共 30 分）分） 1.下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2.计算 的结果为（ ） A. B. C. D. 3.下列方程中是一元一次方程的是（ ） A. x12x B. 2 C. x+3y+2 D. x 210 4.在 中， ， ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 5.已知点 P(a，a1)在平面直角坐标系的第二象限，则 a 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 6.如图，直线 （ ）与直线 （ ）交于点 ，则关于 的不 等式 的
2、解集为（ ） A. B. C. D. 7.已知一组数据的 4，a，7，b，5 的众数是 5，则这组数据的中位数是（ ） A. 4 B. 7 C. 5 D. 不能确定 8.已知执物线 yax22axac （a0） 与 y 轴的正半轴相交， 直线 ABx 轴， 且与该抛物线相交于 A （x1 ， y1）B（x2 ， y2）两点，当 xx1x2时，函数值为 p；当 x 时，函数值为 q.则 pq 的值为（ ） A. a B. c C. ac D. ac 9.如图，在 中， ， 于 D，O 为 的内切圆，设O 的半径为 R， AD 的长为 h，则 的值为（ ） A. B. C. D. 10.已知， 平
3、面直角坐标系中， 直线 y1=x+3 与抛物线 y2= +2x 的图象如图， 点 P 是 y2 上的一个动点， 则点 P 到直线 y1 的最短距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共二、填空题（共 6 题；共题；共 24 分）分） 11.计算： _. 12.如图，直线 ， ， ，点 在直线 上， ，若 ，则 的度 数为_. 13.若 a + = 3，则 a 2 + = _. 14.如图，点 P 为O 外一点，PA，PB 分别与O 相切于点 A，B，APB90.若O 的半径为 2，则图中阴 影部分的面积为_（结果保留 ）. 15.背面完全一样的四张卡片上分别写有数字 2、5、0、3，
4、从中任取一张，并用这张卡片上的数字与 1 的差 作为 k 值，抽到能使一元二次方程 有解的卡片概率是_. 16.如图，在矩形 中， ，点 是 边上的中点，点 M 是 边上的一动点 连接 ，将 沿 折叠，若点 B 的对应点 ，连接 ，当 为直角三角形时 的长为_ 三、解答题（共三、解答题（共 7 题；共题；共 66 分）分） 17.解分式方程： . 18.世界卫生组织预计：到 2025 年，全世界将会有一半人面临用水危机.为了倡导“节约用水，从我做起”，某 县政府决定对县直属机关 500 户家庭一年的月平均用水量进行调查，调查小组随机抽查了部分家庭的月平 均用水量（单位：吨），并将调查结果绘制成
5、如图所示的条形统计图和扇形统计图. 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）求被调查家庭的月平均用水量的中位数_吨、众数_吨； （3）估计该县直属机关 户家庭的月平均用水量不少于 吨的约有多少户？ 19.如图， AB 是O 的直径， 点 C 是O 上一点， 过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 D， 过点 D 作 DEAD 交 AC 的延长线于点 E. （1）求证：DCDE； （2）若 BD1，DE3，求O 的半径. 20.如图，边长为 2 的正方形 的顶点 在 轴正半轴上，反比例函数 的图象在第一象限 的图象经过点 ，交 于 . （1）当点 的坐标为
6、时，求 和 的值; （2）若点 是 的中点，求 的长. 21.如图， 平行四边形 的对角线 、 交于点 O， 分别过点 C、 D 作 CFBD， DFAC， 连接 交 于点 E. （1）求证： ； （2）当 满足什么条件时，四边形 为菱形？请说明理由. 22.已知：如图一次函数 y x1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数 y x2bxc 的图象与一次函数 y x1 的图象交于 B、C 两点，与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为（1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形 BDEC 的面积 S； （3）在 x 轴上是否存在点 P，使得 PBC 是以 P
7、 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不 存在，请说明理由 23.定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”. （1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是_. （2）如图 1，在“完美四边形”ABCD 中，ABADCD2，BC ，AC3，求线段 BD 的长. （3）如图 2，O 内接四边形 EFGH，GE 为O 的直径. 求证：四边形 EFGH 为“完美四边形”. 若 EF6，FG8，FH 是否存在一个值使四边形 EFGH 的面积最大？若存在，求出 FH 的值；若不存在， 请说明理由. 答案解析答案解析 一、单选题 1.【答
8、案】 D 【考点】分式的约分，同类二次根式，含乘方的有理数混合运算，幂的乘方 【解析】【解答】A. ，选项 A 不符合题意； B. ，选项 B 不符合题意； C. ，选项 C 不符合题意； D. ，选项 D 符合题意 故答案为：D 【分析】根据有理数的运算法则、幂的乘方的性质、二次根数的性质及分式的约分依次计算各项后即可解 答 2.【答案】 B 【考点】平方差公式及应用 【解析】【解答】解： = = = ， 故答案为：B. 【分析】根据平方差公式，用完全相同的项的平方减去互为相反数的项的平方可得结果. 3.【答案】 A 【考点】一元一次方程的定义 【解析】【解答】解：A、x12x 是一元一次方
9、程，符合题意； B、 2 不是整式方程，是分式方程，不符合题意； C、x+3y+2 中含有两个未知数，是二元一次方程，不符合题意； D、x210 中的未知数的最高次数是 2，是一元二次方程，不符合题意. 故答案为：A. 【分析】 一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为 1 且两边都为整式的等式 . 4.【答案】 C 【考点】勾股定理，解直角三角形 【解析】【解答】解：在 中， ， ， 设 AB=3x，BC=x， ， ， 故答案为：C. 【分析】利用锐角三角函数的定义可证得 AB 与 BC 的比值，设 AB=3x，BC=x，利用勾股定理表示出 AC 的 长；然后利用锐角三角函数的定义
10、可求出 tanA 的值. 5.【答案】 A 【考点】在数轴上表示不等式组的解集，点的坐标与象限的关系 【解析】【解答】解：点 P（-a，a-1）在平面直角坐标系的第二象限， ， 解得：a1， 表示在数轴上，如图所示： ， 故答案为：A. 【分析】 在平面直角坐标系的第二象限的点的横坐标为负数， 纵坐标为正数， 据此建立关于 a 的不等式组， 再求出不等式组的解集；由此可得答案. 6.【答案】 C 【考点】一次函数与不等式（组）的综合应用 【解析】【解答】解：由图可知，关于 x 的不等式 kxbmx 的解是 x1. 故答案为：C. 【分析】根据函数图象交点左侧直线 ykxb 图象在直线 ymx
11、图象的下面，即可得出不等式 kxbmx 的解集. 7.【答案】 D 【考点】中位数，众数 【解析】【解答】解：数据的 4, a, 7, b, 5 的众数是 5， a、b 中至少有 1 个为 5，且另外一个数不能是 4 或 7, 不能确定数据 a、b 的具体数值， 这组数据的中位数不能确定， 故答案为：D. 【分析】先根据众数的定义判断 a、b 的取值情况，由于不能确定数据 a、b 的具体数值，从而得出答案. 8.【答案】 A 【考点】二次函数图象上点的坐标特征，二次函数 y=ax2+bx+c 的性质 【解析】【解答】解：由题意可得： y=a(x2-2x+1)-c=a(x-1)2-c， 该抛物线
12、的对称轴为 x=1， x1+x2=21=2， p=a-c， ， q=-c， p-q=a-c-(-c)=a-c+c=a， 故答案为：A. 【分析】用配方法把二次函数的解析式配成顶点式得 y=a(x-1)2-c，于是可得对称轴为 x=1,由抛物线是轴对 称图形可得对称轴与 x 轴的交点就是线段 AB 的中点，则 x1+x2=2，再结合已知可得 p=a-c，q=-c；再求差即 可求解. 9.【答案】 B 【考点】三角形的面积，三角形的内切圆与内心 【解析】【解答】解：如图，令 分别与 的三边切于 P，Q，T，连接 = = 又 又 故答案为：B. 【分析】如图，令 分别与 的三边切于 P，Q，T，连接
13、 ， 得 出 ， 由 ， 可求出 ， 从而得出 结论. 10.【答案】 B 【考点】二次函数与一次函数的综合应用 【解析】【解答】解：设过点 P 平行直线 y1的解析式为 y=x+b， 当直线 y=x+b 与抛物线只有一个交点时，点 P 到直线 y1的距离最小， 由 - ，消去 y 得到：x2-2x+2b=0， 当 =0 时，4-8b=0， b= ， 直线的解析式为 y=x+ ， 如图设直线 y1交 x 轴于 A，交 y 轴于 B，直线 y=x+ 交 x 轴于 C，作 CDAB 于 D，PEAB 于 E，则 A（-3， 0），B（0，3），C（- ，0）, OA=OB=3，OC= ，AC= ，
14、 DAC=45， CD= = ， ABPC，CDAB，PEAB， PE=CD= ， 故答案为：B 【分析】设过点 P 平行直线 y1的解析式为 y=x+b，当直线 y=x+3 与抛物线只有一个交点时，点 P 到直线 y1 的距离最小，如图设直线 y1交 x 轴于 A，交 y 轴于 B，直线 y=x+ 交 x 轴于 C，作 CDAB 于 D，PEAB 于 E，想办法求出 CD 的长即可解决问题. 二、填空题 11.【答案】 3 【考点】0 指数幂的运算性质，负整数指数幂的运算性质 【解析】【解答】原式= =3， 故答案是：3. 【分析】由 0 指数幂的意义“任何一个不为 0 的数的 0 次幂等于
15、 1”可得( ) 1；由负整数指数幂 的意义“任何一个不为 0 的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（ ） -1=2,再由有理数 的加法法则计算即可求解. 12.【答案】 20 【考点】平行线的性质 【解析】【解答】如图， ， 与 是对顶角， ， ，点 C 在直线 b 上， ， ， ； 故答案是：20. 【分析】 由对顶角相等可得1=3， 由两直线平行同旁内角互补可得2+BCD+3=180， 把3 和BCD 的度数大地如计算即可求解. 13.【答案】 7 【考点】完全平方公式及运用 【解析】【解答】a 3， （a ） 2=9 a22 9， a2 927. 故答案为：7. 【
16、分析】把已知条件两边平方，然后整理即可求解.完全平方公式：（ab）2a22abb2. 14.【答案】 4- 【考点】扇形面积的计算，切线长定理，几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：连接 OA，OB， PA，PB 分别与O 相切于点 A，B， OAAP，OBPB，PA=PB， OAP=OBP=90=BPA， 四边形 OBPA 是正方形， AOB=90， 阴影部分的面积=S正方形OBPA-S扇形AOB则=22- =4-. 故答案为：4-. 【分析】连接 OA，OB，由切线长定理可得 PA=PB，OAP=OBP=90=BPA，根据有三个角是直角的四 边形是矩形，然后根据有一组邻边相等的矩
17、形是正方形可得四边形 OBPA 是正方形，则AOB=90，由图形 的构成得 S阴影=S正方形OBPA-S扇形AOB即可求解. 15.【答案】 【考点】一元二次方程根的判别式及应用，概率的简单应用 【解析】【解答】方程有解，必须满足 ，所以另一个 数必须小于等于 3，故是 0，2，3，故概率是 【分析】利用一元二次方程有解，可得到 b2-4ac0，建立关于 k 的不等式，求出不等式的解集；再根据其 解集，可得到能使方程有解的个数，然后利用概率公式可求解. 16.【答案】 5 或 【考点】翻折变换（折叠问题），三角形的综合 【解析】【解答】解：当 为直角三角形时， 当 时， N 为 中点， ， ，
18、 ，即 ， 点 的对应点 不能落在 所在直线上， ，故该情况不存在； 如图 1， 当 时， ， 由折叠的性质得： ， ， ，得 ； 如图 2， 当 时， ，故 ， ， 三点共线， 设 ，则 ， 在 中， ，则 ， 在 中， 由勾股定理可得 ，即 ， 解得 ，即 综上所述，满足条件的 的值为 5 或 【分析】分类讨论，根据折叠的性质和勾股定理计算求解即可。 三、解答题 17.【答案】 解：去分母得：（x2）216（x+2）2 ， 整理得：8x16， 解得：x2， 经检验 x2 是增根，分式方程无解. 【考点】解分式方程 【解析】【分析】 解分式方程，先在方程两边同时乘以各分母的最简公分母，去分母
19、，转化成整式方程， 解整式方程后再检验是否增根. 18.【答案】 （1）解：1020%=50（户），5040%=20（户）， 补全条形统计图如图所示： （2）11；11 （3）解：500（10%+20%+10%）=200（户）， 答：该县直属机关 500 户家庭的月平均用水量不少于 12 吨的约有 200 户. 【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，中位数，众数 【解析】【解答】解：（2）用水量最多的是 11 吨，共有 20 户，因此用水量的众数为 11 吨，将这 50 户的 用水量从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是 11 吨，因此中位数是 11 吨， 故答案为：11，11；
20、【分析】（1）调查的家庭总户数=月平均用水量 10 吨的户数月平均用水量吨的户数所占的百分比，列式 计算可求出结果；再求出月平均用水量 11 吨的户数；然后补全条形统计图. （2）利用求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均 数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，就可得出答案. （3）用该县直属机关的家庭户数月平均用水量不少于 12 吨的家庭户数所占的百分比，然后列式计算可 求出结果. 19.【答案】 （1）证明：连接 BC，OC， CD 是O 的切线， OCCD， OCBDCB90， AB 是O 的直径， ACB90， ACOOCB90，
21、 ACODCB， OAOC， AACO， ADCB， DEAD， AEAABC90， ABCE， ABCCDBDCB，DCEACDB， DCEABC， DCEE， CDDE； （2）解：BCDA，CDBADC， BCDCAD， ， BD1，DCDE3， ， AD9， ABADBD8， O 的半径为 4. 【考点】圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）连接 BC，OC，利用切线的性质可证得 OCCD，可得到OCBDCB90；再利 用圆周角定理可得ACB=90，利用余角的性质可证得ACODCB，利用等腰三角形的性质去证明A DCB；然后利用垂直的定义及三角形的外角的
22、性质可推出DCE=E，利用等角对等边，可证得结论. （2）利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得 BCDCAD；再利用相似三角形的对应边成比例 可求出 AD 的长；然后根据 AB=AD-BD，代入计算求出 AB 的长. 20.【答案】 （1）解：正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 的坐标为（3，n）， OB=3，AB=AD=2， D（1，2）， 反比例函数 y= 在第一象限的图象经过点 D， k=12=2， 反比例为：y= ， 反比例函数 y= 在第一象限的图象交 BC 于 E， n= ； （2）解：设 D（x，2）则 E（x+2，1）， 反比例函数 y= 在第一象限的图象经过点 D、
23、点 E， 2x=x+2， 解得 x=2， D（2，2）， OA=AD=2， OD= . 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】 【分析】 （1） 由正方形的性质和点 E 的坐标可求得点 D 的坐标， 然后用待定系数法可求得 k 的值， 再把点 E 的坐标代入解析式可求得 n 的值； （2） 设 D（x，2），由线段中点的定义可得 E（x+2，1），由题意把点 D、E 的坐标代入反比例函数的 解析式计算可求得 D 的坐标，在直角三角形 AOD 中，根据勾股定理即可求得 OD 的值. 21. 【答案】 （1） 证明： CFBD， DFAC， 四边形 是平行四边形， ， ， 四边形 是平行
24、四边形， ， ， 又 ， ； （2）解：当 满足 时，四边形 为菱形.理由如下： 四边形 与四边形 都是平行四边形，又 ，四边形 是矩形， ， ， ， ，四边形 为菱形. 【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，三角形全等的判定（AAS） 【解析】【分析】（1）根据已知条件可判断四边形 是平行四边形，根据平行四边形的性质结合全等 三角形的判定方法即可证明 ； （2）当 ，可证明四边形 是矩形，根据矩形的性质可以得出 ，进而根 据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形 为菱形. 22.【答案】 （1）解：将 B（0，1），D（1，0）的坐标代入 y x 2bxc 得 得解
25、析式 y x 2 x1 （2）解：设 C（x0 ， y0），则有 解得 C（4，3） 由图可知：SS ACES ABD 又由对称轴为 x 可知 E（2，0） S AE y0 ADOB 43 31 （3）解：设符合条件的点 P 存在，令 P（a，0）： 当 P 为直角顶点时，如图：过 C 作 CFx 轴于 F Rt BOPRt PFC， 即 整理得 a24a30解得 a1 或 a3 所求的点 P 的坐标为（1，0）或（3，0） 综上所述：满足条件的点 P 共有二个 【考点】待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）待定系数法求出参数 b、c,得到二次函数的解析式
26、（2）写出 BDEC 四点坐标， SS ACES ABD ，代值求解即可 （3）设出 P 点坐标，据勾股定理逆定理求解即可 23.【答案】 （1）正方形、矩形 （2）解：由“完美四边形”的定义可知： ， . （3）解：如图，在 GE 上取一点 M，使GFM=HFE， FGM=FHE（同弧所对的圆周角相等）， ， GFM=HFE， GFH=MFE， 又GHF=MEF， ， ， ， 四边形 EFGH 为“完美四边形”. 存在； 理由：如下面图，GE 是直径， EFG=90， ， 的面积为 要使四边形 GFEH 面积最大，则只需 面积最大， 作 HNGE，垂足为 N， 则 HN 的值最大时， 面积就
27、最大， 因为 H 点到直径 DE 的垂线段的长最大为半径，即垂足 N 点在原点时最大； 如下面图，当 O 点与 N 点重合时， 由 GE 是直径， GHE=90， HN 垂直平分 GE， HG=HE， ； 由它是“完美四边形”， ， 存在，当 时，面积最大. 【考点】圆的综合题 【解析】【解答】解：（1）正方形、矩形 理由如下：如图，设正方形边长为 a， 对角线长为 ， 所以对角线的积为 ， 因为两组对边的积的和为 ， 正方形为“完美四边形”. 如图，设矩形的两邻边长分别为 b 和 c， 矩形的对角线长为 ， 矩形的对角线长相等， 矩形对角线的积为 ， 又矩形对边的积分别为 和 ， 则对边积的
28、和为 矩形为“完美四边形”. 如图，设菱形的两条对角线长的一半分别为 m 和 n， 菱形的边长为 ， 菱形的四条边相等， 菱形的对边的积的和为 ， 菱形的对角线的积为 ， 令 ， 只有当 时，该菱形才为“完美四边形”， 当 时，则它不是“完美四边形”， 菱形不是“完美四边形”. 综上可知：只有正方形和矩形是“完美四边形”. 【分析】（1）根据“完美四边形”定义并结合矩形、菱形、正方形的性质计算即可判断求解； （2）根据“完美四边形”定义可得关于 BD 的方程，解方程可求解； （3）在 GE 上取一点 M，使GFM=HFE，由同弧所对的圆周角相等可得FGM=FHE，根据有 两个角对应相等的两个三
29、角形相似可得 FGMFHE，于是可得比例式 ；同理可得 FGHFME，于是可得比例式 ， 则 GH FE=FH ME，根据“完美四边形”定义计算即可判断 四边形 EFGH 为“完美四边形”； 存在；理由： 由直径所对的圆周角是直角可得EFG=90，用勾股定理可求得 GE 的值，而 S GEF= EFGF， 所以 S 四边形GFEH=2S GEF； 要使四边形 GFEH 面积最大， 则只需 GEH 的面积最大即可。 作 HNGE，垂足为 N，当 HN 的值最大时， GEH 的面积就最大，因为 H 点到直径 DE 的垂线段的长最 大为半径，即垂足 N 点在原点时最大，由圆周角定理和“完美四边形 的定义即可求解.
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