1、第 1 页 / 共 13 页 专题专题 12 韦达定理及其应用韦达定理及其应用 1.一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系(韦达定理韦达定理) 如果方程)0(0 2 acbxax的两个实数根是 21 xx，那么 a b xx 21 ， a c xx 21 。也就是说， 对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反 数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面：根与系数的关系的应用，主要有如下方面： (1)验根； (2)已知方程的一根，求另一根； (3)求某些代数式的值； (4)求作一个新方
2、程。 【例题【例题 1】 (2020泸州泸州)已知 x1， x2是一元二次方程 x24x70 的两个实数根， 则 x12+4x1x2+x22的值是 【答案】2 【分析】根据根与系数的关系求解 【解析】根据题意得则 x1+x24，x1x27 所以，x12+4x1x2+x22(x1+x2)2+2x1x216142 【对点练习】【对点练习】(2019 湖北仙桃湖北仙桃)若方程 x22x40 的两个实数根为，则2+2的值为( ) A12 B10 C4 D4 【答案】A 【解析】方程 x22x40 的两个实数根为， +2，4， 第 2 页 / 共 13 页 2+2(+)224+812 【例题【例题 2】
3、(2020江西江西)若关于 x 的一元二次方程 x2kx20 的一个根为 x1，则这个一元二次方程的另 一个根为 【答案】-2 【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为2，结合方程的一个根为 1，可求出方程的另一个 根，此题得解 【解析】a1，bk，c2， x1x22 关于 x 的一元二次方程 x2kx20 的一个根为 x1， 另一个根为212 【对点练习】【对点练习】 已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及 b 的值。 【答案】【答案】x1=3 b=-5 【解析】设方程的另一根为【解析】设方程的另一根为 x1，则由方程的根与系数关系得：，则由方程的根与系数关系得： 解得：解得：
4、 【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系 数的值。数的值。 【对点练习】【对点练习】(2019 年湖北省荆门市年湖北省荆门市)已知 x1，x2是关于 x 的方程 x2+(3k+1)x+2k2+10 的两个不相等实数根， 且满足(x11)(x21)8k2，则 k 的值为 【答案】1 第 3 页 / 共 13 页 【解析】根据根与系数的关系结合(x11)(x21)8k2，可得出关于 k 的一元二次方程，解之即可得出 k 的 值，根据方程的系数结合根的判别
5、式0，可得出关于 k 的一元二次不等式，解之即可得出 k 的取值范围， 进而即可确定 k 值，此题得解 x1，x2是关于 x 的方程 x2+(3k+1)x+2k2+10 的两个实数根， x1+x2(3k+1)，x1x22k2+1 (x11)(x21)8k2，即 x1x2(x1+x2)+18k2， 2k2+1+3k+1+18k2， 整理，得：2k2k10， 解得：k1，k21 关于 x 的方程 x2+(3k+1)x+2k2+10 的两个不相等实数根， (3k+1)241(2k2+1)0， 解得：k32或 k3+2， k1 【例题【例题 3】(2020随州随州)已知关于 x 的一元二次方程 x2+
6、(2m+1)x+m20 (1)求证：无论 m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根 x1，x2，且 x1+x2+3x1x21，求 m 的值 【答案】见解析。 【分析】(1)根据根的判别式得出(2m+1)241(m2)4m2+90，据此可得答案； (2)根据根与系数的关系得出 x1+x2(2m+1)，x1x2m2，代入 x1+x2+3x1x21 得出关于 m 的方程，解之 可得答案 【解析】(1)(2m+1)241(m2) 4m2+4m+14m+8 4m2+90， 无论 m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 第 4 页 / 共 13 页 (2)由根与系数的关系得
7、出， 由 x1+x2+3x1x21 得(2m+1)+3(m2)1， 解得 m8 【对点练习】【对点练习】(2019 湖北黄石湖北黄石)已知关于 x 的一元二次方程 x26x+(4m+1)0 有实数根 (1)求 m 的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为 x1.x2，且|x1x2|4，求 m 的值 【答案】见解析。 【解析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的 取值范围； 由根与系数的关系可得出 x1+x26， x1x24m+1， 结合|x1x2|4 可得出关于 m 的一元一次方程， 解之即可得出 m 的值 (1)关于 x 的一元二次方程
8、x26x+(4m+1)0 有实数根， (6)241(4m+1)0， 解得：m2 (2)方程 x26x+(4m+1)0 的两个实数根为 x1.x2， x1+x26，x1x24m+1， (x1x2)2(x1+x2)24x1x242，即 3216m16， 解得：m1 【例题【例题 4】(2020 湖北黄石模拟湖北黄石模拟)已知方程的两根，求作以为两根 的方程。 【答案】 【解析】由题意 第 5 页 / 共 13 页 故所求方程是： 即 【对点练习】【对点练习】(2019 山东淄博模拟山东淄博模拟)若 x1+x23，x12+x225，则以 x1，x2为根的一元二次方程是( ) Ax23x+20 Bx2
9、+3x20 Cx2+3x+20 Dx23x20 【答案】A 【解析】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0(a0)的两根时，x1+x2， x1x2利用完全平方公式计算出 x1x22，然后根据根与系数的关系写出以 x1，x2为根的一元二次方程 x12+x225， (x1+x2)22x1x25， 而 x1+x23， 92x1x25， x1x22， 以 x1，x2为根的一元二次方程为 x23x+20 第 6 页 / 共 13 页 一、选择题一、选择题 1. (2019江苏泰州江苏泰州)方程 2x2+6x10 的两根为 x1、x2则 x1+x2等于( ) A6 B6
10、 C3 D3 【答案】C 【解析】根据根与系数的关系即可求出答案 由于0， x1+x23， 2. (2019广东广东)已知 x1.x2是一元二次方程了 x22x=0 的两个实数根，下列结论错误的是( ) Ax1x2 Bx122x1=0 Cx1+x2=2 Dx1x2=2 【答案】D 【解析】因式分解 x(x-2)=0，解得两个根分别为 0 和 2，代入选项排除法. 3.(2019广西贵港广西贵港)若，是关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 的两实根，且+， 则 m 等于( ) A2 B3 C2 D3 【答案】B 【解析】利用一元二次方程根与系数的关系得到+2，m，再化简+，代入可求 解； ，
11、是关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 的两实根， +2，m， +， 第 7 页 / 共 13 页 m3 二、填空题二、填空题 4(2020内江内江)已知关于 x 的一元二次方程(m1)2x2+3mx+30 有一实数根为1，则该方程的另一个实数 根为 【答案】 【分析】把 x1 代入原方程求出 m 的值，进而确定关于 x 的一元二次方程，解出方程的根即可 【解析】把 x1 代入原方程得， (m1)23m+30，即：m25m+40， 解得，m4，m1(不合题意舍去)， 当 m4 时，原方程变为：9x2+12x+30，即，3x2+4x+10， 解得，x11，x2=-1/3 5.(2019 年江
12、西省年江西省)设 x1，x2是一元二次方程 x2x10 的两根，则 x1+x2+x1x2 【答案】0 【解析】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0(a0)的根与系数的关系：若方程两个为 x1，x2，则 x1+x2 ，x1x2直接根据根与系数的关系求解 x1、x2是方程 x2x10 的两根， x1+x21，x1x21， x1+x2+x1x2110 6.(2019 年四川攀枝花年四川攀枝花)已知 x1，x2是方程 x22x10 的两根，则 x12+x22 【答案】6 【解析】根据根与系数的关系变形后求解 x1、x2是方程 x22x10 的两根， x1+x22，x1x21， 第 8 页 / 共
13、 13 页 x12+x22(x1+x2)22x1x2222(1)6 7.(2019 年四川成都年四川成都)已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k10 的两个实数根，且 x12+x22x1x2 13，则 k 的值为 【答案】-2 【解析】根据“x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k10 的两个实数根，且 x12+x22x1x213” ，结合 根与系数的关系，列出关于 k 的一元一次方程，解之即可 根据题意得：x1+x22，x1x2k1， +x1x2 3x1x2 43(k1)13 8.(2019 四川泸州四川泸州)已知 x1，x2是一元二次方程 x2x40 的两实
14、根，则(x1+4)(x2+4)的值是 【答案】16 【解析】考查一元二次方程根与系数的关系 x1，x2是一元二次方程 x2x40 的两实根， x1+x21，x1x24， (x1+4)(x2+4) x1x2+4x1+4x2+16 x1x2+4(x1+x2)+16 4+41+16 4+4+16 16 三、解答题三、解答题 9(2020鄂州鄂州)已知关于 x 的方程 x24x+k+10 有两实数根 第 9 页 / 共 13 页 (1)求 k 的取值范围； (2)设方程两实数根分别为 x1、x2，且x1x24，求实数 k 的值 【答案】见解析。 【分析】(1)根据根的判别式即可求出答案 (2)根据根与
15、系数的关系即可求出答案 【解析】(1)164(k+1)164k4124k0， k3 (2)由题意可知：x1+x24，x1x2k+1， x1x24， x1x24， ， k5 或 k3， 由(1)可知：k5 舍去， k3 10(2020南充南充)已知 x1，x2是一元二次方程 x22x+k+20 的两个实数根 (1)求 k 的取值范围 (2)是否存在实数 k，使得等式k2 成立？如果存在，请求出 k 的值；如果不存在，请说明理由 【答案】见解析。 【分析】(1)根据方程的系数结合0，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出 k 的取值范围； (2)根据根与系数的关系可得出 x1+x22，x
16、1x2k+2，结合k2，即可得出关于 k 的方程，解之即可 第 10 页 / 共 13 页 得出 k 值，再结合(1)即可得出结论 【解析】(1)一元二次方程 x22x+k+20 有两个实数根， (2)241(k+2)0， 解得：k1 (2)x1，x2是一元二次方程 x22x+k+20 的两个实数根， x1+x22，x1x2k+2 k2， k2， k260， 解得：k1，k2 又k1， k 存在这样的 k 值，使得等式k2 成立，k 值为 11. (2019 黑龙江绥化黑龙江绥化)已知关于 x 的方程 kx23x+10 有实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)若该方程有两个实数根,分别为
17、 x1和 x2,当 x1+x2+x1x24 时,求 k 的值. 【答案】见解析。 【解析】根据根的判别式列出不等式,即可求得 k 的范围;由根与系数的关系,得到方程,即可解得 k 的值. (1)当 k0 时,方程是一元一次方程,有实数根,符合题意;当 k0 时,方程是一元二次方程,由题意得94k 0,k 9 4 ,综上所述,k 的取值范围是 k 9 4 . 第 11 页 / 共 13 页 (2)x1和 x2是该方程的两个实数根,x1+x2 3 k ,x1x2 1 k ,x1+x2+x1x24, 3 k + 1 k 4,解得 k1,经检验,k 1 是原分式方程的解,且 1 9 4 ,k 的值为
18、1. 12.(2019 孝感孝感)已知关于 x 的一元二次方程 x22(a1)x+a2a20 有两个不相等的实数根 x1，x2 (1)若 a 为正整数，求 a 的值； (2)若 x1，x2满足 x12+x22x1x216，求 a 的值 【答案】(1)a1，2(2)a1 【解析】根据关于 x 的一元二次方程 x22(a1)x+a2a20 有两个不相等的实数根，得到 2(a1)24(a2a2)0，于是得到结论； 根据 x1+x22(a1)，x1x2a2a2，代入 x12+x22x1x216，解方程即可得到结论 (1)关于 x 的一元二次方程 x22(a1)x+a2a20 有两个不相等的实数根， 2
19、(a1)24(a2a2)0， 解得：a3， a 为正整数， a1，2； (2)x1+x22(a1)，x1x2a2a2， x12+x22x1x216， (x1+x2)2x1x216， 2(a1)23(a2a2)16， 解得：a11，a26， a3， a1 13.已知：x1、x2是两个不相等的实数，且满足，那么求 的值。 第 12 页 / 共 13 页 【答案】2 【解析】由两个条件可得出为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形。 由题意，为的两个不等实根 因而有 又 14. 已知关于 x 的一元二次方程与有一个相同的根，求 k 的值。 【答案】0 或 -5 【解析】设方程两根、，方程的两根，则有： 由 当时，代入 当时，由 代入 则 代入 第 13 页 / 共 13 页 把代入中， 或
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