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    2021年中考数学专题复习 专题53 中考几何动态试题解法(教师版含解析)

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    2021年中考数学专题复习 专题53 中考几何动态试题解法(教师版含解析)

    1、专题专题 53 53 中考几何动态试题解法中考几何动态试题解法 一、动态问题概述一、动态问题概述数数 1.就运动类型而言,有函数中的动点问题有图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性 问题等。怎 2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题有点动、线动、面动三大类。怎样 3.就图形变化而言,有轴对称(翻折)、平移、旋转(中心对称、滚动)等。 4.动态问题一般分两类,一类是代数综合方面,在坐标系中有动点,动直线,一般是利用多种函数交叉求 解。另一类就是几何综合题,在梯形,矩形,三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分 析能力进行考察。所以说,动态问题是中考数学当中的重中之

    2、重,属于初中数学难点,综合性强,只有完 全掌握才能拿高分。 二、动点与函数图象问题常见的四种类型二、动点与函数图象问题常见的四种类型 1.三角形中的动点问题:动点沿三角形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象。 2.四边形中的动点问题:动点沿四边形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象。 、 3.圆中的动点问题:动点沿圆周运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象。怎样解决好 4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题:动点沿直线、双曲线、抛物线运动,根据问题中的常量与变量之 间的关系,判断函数图象。 三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型三、图形运动

    3、与函数图象问题常见的三种类型寸寸 1.线段与多边形的运动图形问题:把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形,根据问题中的常量与 变量之间的关系,进行分段,判断函数图象。 2.多边形与多边形的运动图形问题:把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形,根据问题 中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象。怎样解决好中考数 3.多边形与圆的运动图形问题:把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形,或把一个三角形或四 边形沿一定方向运动经过一个圆,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象。 四、动点问题常见的四种类型解题思路四、动点问题常见的四种类型解题思路 1.三角

    4、形中的动点问题:动点沿三角形的边运动,通过全等或相似,探究构成的新图形与原图形的边或角 的关系。 2.四边形中的动点问题:动点沿四边形的边运动,通过探究构成的新图形与原图形的全等或相似,得出它 们的边或角的关系。 3.圆中的动点问题:动点沿圆周运动,探究构成的新图形的边角等关系。 4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题:动点沿直线、双曲线、抛物线运动,探究是否存在动点构成的三 角形是等腰三角形或与已知图形相似等问题。 五、解决动态问题一般步骤五、解决动态问题一般步骤 (1)用数量来刻画运动过程。因为在不同的运动阶段,同一个量的数学表达方式会发生变化,所以需要分类 讨论。有时符合试题要求的情况不止

    5、一种,这时也需要分类讨论。 (2)画出符合题意的示意图。 (3)根据试题的已知条件或者要求列出算式、方程或者数量间的关系式。 【例题【例题 1 1】(2020(2020连云港连云港) )如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为 2 的O与x轴的正半轴交于点A,点B 是O上一动点,点C为弦AB的中点,直线y= 3 4x3 与 x轴、y轴分别交于点D、E,则CDE面积的最小 值为 【答案】2 【分析】如图,连接OB,取OA的中点M,连接CM,过点M作MNDE于N首先证明点C的运动轨迹是 以M为圆心,1 为半径的M,设M交MN于C求出MN,当点C与C重合时,CDE的面积最小 【解析】如图,连接OB,取

    6、OA的中点M,连接CM,过点M作MNDE于N ACCB,AMOM, MC= 1 2OB1, 点C的运动轨迹是以M为圆心,1 为半径的M,设M交MN于C 直线y= 3 4x3 与 x轴、y轴分别交于点D、E, D(4,0),E(0,3), OD4,OE3, DE= 32+ 42=5, MDNODE,MNDDOE, DNMDOE, = , 3 = 3 5, MN= 9 5, 当点C与C重合时,CDE的面积最小,最小值= 1 2 5(9 5 1)2 【对点练习】【对点练习】(2020(2020 年浙江台州模拟年浙江台州模拟) )如图所示,在ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,以边 AB 的中

    7、点 O 为圆 心, 作半圆与 AC 相切, 点 P, Q 分别是边 BC 和半圆上的动点, 连接 PQ, 则 PQ 长的最大值与最小值的和是( ) A6 B2+1 C9 D 【答案】C 【解析】如图,设O 与 AC 相切于点 E,连接 OE,作 OP1BC 垂足为 P1交O 于 Q1, 此时垂线段 OP1最短,P1Q1最小值为 OP1OQ1, AB=10,AC=8,BC=6, AB 2=AC2+BC2,C=90, OP1B=90,OP1AC AO=OB,P1C=P1B,OP1=AC=4, P1Q1最小值为 OP1OQ1=1, 如图,当 Q2在 AB 边上时,P2 与 B 重合时, P2Q2最大

    8、值=5+3=8, PQ 长的最大值与最小值的和是 9 【点拨】设O 与 AC 相切于点 E,连接 OE,作 OP1BC 垂足为 P1交O 于 Q1,此时垂线段 OP1最短,P1Q1最 小值为 OP1OQ1, 求出 OP1, 如图当 Q2在 AB 边上时, P2 与 B 重合时, P2Q2最大值=5+3=8, 由此不难解决问题 【例题【例题 2 2】(2020(2020重庆重庆) )如图,在 RtABC中,BAC90,ABAC,点D是BC边上一动点,连接AD,把 AD绕点A逆时针旋转 90,得到AE,连接CE,DE点F是DE的中点,连接CF (1)求证:CF= 2 2 AD; (2)如图 2 所

    9、示,在点D运动的过程中,当BD2CD时,分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在 的数量关系,并证明你猜想的结论; (3)在点D运动的过程中, 在线段AD上存在一点P, 使PA+PB+PC的值最小 当PA+PB+PC的值取得最小值时, AP的长为m,请直接用含m的式子表示CE的长 【答案】见解析。 【分析】(1)由“SAS”可证BADCAE,可得ABDACE45,可求BCE90,由直角三角形的 性质和等腰直角三角形的性质可得结论; (2)过点G作GHBC于H,设CDa,可得BD2a,BC3a,ABAC= 32 2 a,由全等三角形的性质可得BD CE2a,由锐角三角函数可求GH2CH

    10、,可求CHa,可求BG的长,即可求AG= 2 2 a= 2 2 CD= 2 6 BC; (3)将BPC绕点B顺时针旋转 60得到BNM,连接PN,可得当点A,点P,点N,点M共线时,PA+PB+PC 值最小, 由旋转的性质可得BPN是等边三角形, CBM是等边三角形, 可得BPNBNP60,BMCM, 由直角三角形的性质可求解 证明:(1)ABAC,BAC90, ABCACB45, 把AD绕点A逆时针旋转 90,得到AE, ADAE,DAE90BAC, BADCAE,DE= 2AD, 又ABAC, BADCAE(SAS), ABDACE45, BCEBCA+ACE90, 点F是DE的中点, C

    11、F= 1 2DE= 2 2 AD; (2)AG= 2 6 BC, 理由如下:如图 2,过点G作GHBC于H, BD2CD, 设CDa,则BD2a,BC3a, BAC90,ABAC, ABAC= 2 = 32 2 a, 由(1)可知:BADCAE, BDCE2a, CFDF, FDCFCD, tanFDCtanFCD, = =2, GH2CH, GHBC,ABC45, ABCBGH45, BHGH, BG= 2BH BH+CHBC3a, CHa,BHGH2a, BG22a, AGBGAB= 2 2 a= 2 2 CD= 2 6 BC; (3)如图 31,将BPC绕点B顺时针旋转 60得到BNM,

    12、连接PN, BPBN,PCNM,PBN60, BPN是等边三角形, BPPN, PA+PB+PCAP+PN+MN, 当点A,点P,点N,点M共线时,PA+PB+PC值最小, 此时,如图 32,连接MC, 将BPC绕点B顺时针旋转 60得到BNM, BPBN,BCBM,PBN60CBM, BPN是等边三角形,CBM是等边三角形, BPNBNP60,BMCM, BMCM,ABAC, AM垂直平分BC, ADBC,BPD60, BD= 3PD, ABAC,BAC90,ADBC, ADBD, 3PDPD+AP, PD= 3:1 2 m, BD= 3PD= 3:3 2 m, 由(1)可知:CEBD= 3

    13、:3 2 m 【对点练习】【对点练习】如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AB4,DAB120,动点P从点A出 发,以每秒 2 个单位的速度沿AC向终点C运动过P作PEAB交AB于点E,作PFAD交AD于点F,设 四边形AEPF与ABD的重叠部分的面积为S,点P的运动时间为t (1)用含t的代数式表示线段BE的长; (2)当点P与点O重合时,求t的值; (3)求S与t之间的函数关系式; (4)在点P出发的同时,有一点Q从点C出发,以每秒 6 个单位的速度沿折线CDAB运动,设点Q关 于AC的对称点是Q,直接写出PQ与菱形ABCD的边垂直时t的值 【答案】见解析。 【解析】(1)

    14、如图 1 中, 四边形ABCD是菱形, ABBCCDAD,CADCABDAB60, ADC,ABC都是等边三角形, PEAB,PA2t, PEA90,APE30, AEPAt, BEABAE4t (2)当点P与点O重合时,PAOA22t, t1 时,点P与点O重合 (3)当 0t1 时,如图 1 中,重叠部分是四边形PEAF,S2ttt 2 当 1t2 时,如图 2 中,重叠部分是五边形AEMNF,SS四边形PEAFSPMNt 2 () 2 t 2+ t (4)如图 41 中,当PQBC时,易知PC2CQ,可得 42t26t,解得t 如图 42 中,当点Q与点F重合时,PQAB,则有:6t+t

    15、8,t 如图 43 中,当点Q与点E重合时,PQAD,则有:6t8+t,t, 综上所述,满足条件的t的值为s或s或s 【点拨】本题是几何图形中的动点综合题问题,可以用一下思路解决:(1)解直角三角形求出AE即可解决 问题 (2)根据PAOA,构建方程即可解决问题 (3)分两种情形分别画出图形解决问题即可 (4)分三种情形: 如图 41 中, 当PQBC时 如图 42 中, 当点Q与点F重合时 如图 43 中, 当点Q与点E重合时,分别求解即可 【例题【例题 3 3】(2020(2020苏州苏州) )如图,已知MON90,OT是MON的平分线,A是射线OM上一点,OA8cm动 点P从点A出发,以

    16、 1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动,与此同时,动点Q从点O出发,也以 1cm/s 的速度沿ON竖直向上作匀速运动连接PQ,交OT于点B经过O、P、Q三点作圆,交OT于点C,连接PC、 QC设运动时间为t(s),其中 0t8 (1)求OP+OQ的值; (2)是否存在实数t,使得线段OB的长度最大?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由 (3)求四边形OPCQ的面积 【答案】见解析。 【分析】(1)由题意得出OP8t,OQt,则可得出答案; (2)如图,过点B作BDOP,垂足为D,则BDOQ设线段BD的长为x,则BDODx,OB= 2BD= 2x, PD8tx,得出 = ,则 8; 8;

    17、= ,解出 x= 8;2 8 由二次函数的性质可得出答案; (3)证明PCQ是等腰直角三角形则SPCQ= 1 2PCQC= 1 2 2 2 2 2 PQ= 1 4PQ 2在 RtPOQ 中,PQ 2OP2+OQ2 (8t) 2+t2由四边形 OPCQ的面积SSPOQ+SPCQ可得出答案 【解析】(1)由题意可得,OP8t,OQt, OP+OQ8t+t8(cm) (2)当t4 时,线段OB的长度最大 如图,过点B作BDOP,垂足为D,则BDOQ OT平分MON, BODOBD45, BDOD,OB= 2BD 设线段BD的长为x,则BDODx,OB= 2BD= 2x,PD8tx, BDOQ, =

    18、, 8; 8; = , x= 8;2 8 OB= 2 8;2 8 = 2 8 ( 4)2+ 22 当t4 时,线段OB的长度最大,最大为 22cm (3)POQ90, PQ是圆的直径 PCQ90 PQCPOC45, PCQ是等腰直角三角形 SPCQ= 1 2PCQC= 1 2 2 2 2 2 PQ= 1 4PQ 2 在 RtPOQ中,PQ 2OP2+OQ2(8t)2+t2 四边形OPCQ的面积SSPOQ+SPCQ= 1 2 + 1 4 2, = 1 2(8 ) + 1 4(8 ) 2 + 2, 4t 1 2 2 + 1 2 2 +164t16 四边形OPCQ的面积为 16cm 2 【对点练习】

    19、【对点练习】(2019(2019山东潍坊山东潍坊) )如图,直线yx+1 与抛物线yx 24x+5 交于 A,B两点,点P是y轴上的 一个动点,当PAB的周长最小时,SPAB 【答案】 【解析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称最短路径问题,解答本题的关键是明确题 意,利用数形结合的思想解答 根据轴对称,可以求得使得PAB的周长最小时点P的坐标,然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度, 即可求得PAB的面积,本题得以解决 , 解得,或, 点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,5), AB3, 作点A关于y轴的对称点A,连接AB与y轴的交于P,则此时PAB的周长最小, 点A的坐

    20、标为(1,2),点B的坐标为(4,5), 设直线AB的函数解析式为ykx+b, ,得, 直线AB的函数解析式为yx+, 当x0 时,y, 即点P的坐标为(0,), 将x0 代入直线yx+1 中,得y1, 直线yx+1 与y轴的夹角是 45, 点P到直线AB的距离是:(1)sin45, PAB的面积是:, 【点拨】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称最短路径问题,解答本题的关键是明确题 意,利用数形结合的思想解答 一、选择题一、选择题 1 1(2019(2019 海南海南) )如图,在 RtABC中,C90,AB5,BC4点P是边AC上一动点,过点P作PQ AB交BC于点Q,D为线段P

    21、Q的中点,当BD平分ABC时,AP的长度为( ) A B C D 【答案】B 【解析】根据勾股定理求出AC,根据角平分线的定义、平行线的性质得到QBDBDQ,得到QBQD,根 据相似三角形的性质列出比例式,计算即可 解:C90,AB5,BC4, AC3, PQAB, ABDBDQ,又ABDQBD, QBDBDQ, QBQD, QP2QB, PQAB, CPQCAB, ,即, 解得,CP, APCACP 2.(20192.(2019四川省达州市四川省达州市) )如图, 边长都为 4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置,AB与EF在一条直线上, 点A与点F重合现将EFG沿AB方向以每秒 1 个

    22、单位的速度匀速运动,当点F与B重合时停止在这个 运动过程中,正方形ABCD和EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是( ) A B C D 【答案】C 【解析】 根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式, 从而可以判断哪个选项中的图象符合题意, 本题得以解决 当 0t2 时,S,即S与t是二次函数关系,有最小值(0,0),开口向上, 当 2t4 时,S,即S与t是 二次函数关系,开口向下, 由上可得,选项C符合题意。 3 3(2019(2019山东泰安山东泰安) )如图,矩形ABCD中,AB4,AD2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中点, 连接PB,则PB的最小值是

    23、( ) A2 B4 C D 【答案】D 【解析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2,再根据垂线段最短可得当BPP1P2时,PB 取得最小值;由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1P1P2,故BP的最小值为BP1的长,由勾股定理求解 即可如图: 当点F与点C重合时,点P在P1处,CP1DP1, 当点F与点E重合时,点P在P2处,EP2DP2, P1P2CE且P1P2CE 当点F在EC上除点C、E的位置处时,有DPFP 由中位线定理可知:P1PCE且P1PCF 点P的运动轨迹是线段P1P2, 当BPP1P2时,PB取得最小值 矩形ABCD中,AB4,AD2,E为AB的中点, CBE

    24、、ADE、BCP1为等腰直角三角形,CP12 ADECDECP1B45,DEC90 DP2P190 DP1P245 P2P1B90,即BP1P1P2, BP的最小值为BP1的长 在等腰直角BCP1中,CP1BC2 BP12 PB的最小值是 2 4 4(2019(2019山东潍坊山东潍坊) )如图,在矩形ABCD中,AB2,BC3,动点P沿折线BCD从点B开始运动到点 D设 运动的路程为x,ADP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是( ) AB CD 【答案】D 【解析】由题意当 0 x3 时,y3,当 3x5 时,y3(5x)x+由此即可判断 由题意当 0 x3 时,y3, 当 3

    25、x5 时,y3(5x)x+ 5.(20195.(2019湖北武汉湖北武汉) )如图,AB是O的直径,M、N是(异于 A.B)上两点,C是上一动点,ACB的角平 分线交O于点D,BAC的平分线交CD于点E当点C从点M运动到点N时,则 C.E两点的运动路径长的 比是( ) A B C D 【答案】A 【解析】本题考查弧长公式,圆周角定理,三角形的内心等知识,解题的关键是理解题意,正确寻找点的 运动轨迹,属于中考选择题中的压轴题 如图, 连接EB 设OAr 易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上, 运动轨迹是, 点C的运动轨迹是, 由题意MON2GDF,设GDF,则MON2,利用弧长公式计算即可解决问

    26、题 AB是直径,ACB90, E是ACB的内心,AEB135, ACDBCD, ,ADDBr,ADB90, 易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上,运动轨迹是,点C的运动轨迹是, MON2GDF,设GDF,则MON2 6.(20196.(2019甘肃武威甘肃武威) )如图,在矩形ABCD中,ABAD,对角线AC,BD相交于点O,动点P由点A出发,沿 ABBCCD向点D运动设点P的运动路程为x,AOP的面积为y,y与x的函数关系图象如图所示, 则AD边的长为( ) A3 B4 C5 D6 【答案】B 【解析】本题主要考查动点问题的函数图象,解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程,找到 分界

    27、点极值,结合图象得到相关线段的具体数值 当P点在AB上运动时,AOP面积逐渐增大,当P点到达B点时,AOP面积最大为 3 AB3,即ABBC12 当P点在BC上运动时,AOP面积逐渐减小,当P点到达C点时,AOP面积为 0,此时结合图象可知P点 运动路径长为 7, AB+BC7 则BC7AB,代入ABBC12,得AB 27AB+120,解得 AB4 或 3, 因为ABAD,即ABBC, 所以AB3,BC4 二、填空题二、填空题 7 7(2019(2019 桂林桂林) )如图,在矩形ABCD中,AB,AD3,点P是AD边上的一个动点,连接BP,作点A关 于直线BP的对称点A1,连接A1C,设A1

    28、C的中点为Q,当点P从点A出发,沿边AD运动到点D时停止运动, 点Q的运动路径长为 【答案】 【解析】如图,连接BA1,取BC使得中点O,连接OQ,BD 四边形ABCD是矩形, BAD90, tanABD, ABD60, A1QQC,BOOC, OQBA1AB, 点Q的运动轨迹是以O为圆心,OQ为半径的圆弧,圆心角为 120, 点Q的运动路径长 8如图,AB 是O 的弦,AB=5,点 C 是O 上的一个动点,且ACB=45,若点 M、N 分别是 AB、AC 的中 点,则 MN 长的最大值是 【答案】 【解析】如图,点 M,N 分别是 AB,AC 的中点, MN=BC, 当 BC 取得最大值时,

    29、MN 就取得最大值,当 BC 是直径时,BC 最大, 连接 BO 并延长交O 于点 C,连接 AC, BC是O 的直径, BAC=90 ACB=45,AB=5, ACB=45, BC=5, MN最大= 故答案为: 【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理,解题的关键是了解当什 么时候 MN 的值最大,难度不大 9(2020 湖北随州模拟)如图,AOB的边OB与x轴正半轴重合,点P是OA上的一动点,点N(3,0)是OB 上的一定点,点M是ON的中点,AOB30,要使PMPN最小,则点P的坐标为_ 【答案】(3 2, 3 2 ), 【解析】作点N关于OA的对称点N,连

    30、接MN交OA于点P,则点P为所求 显然ONON,NON2AOB23060, ONN为等边三角形,MNON, OM3 2,则 PMOMtan303 2 3 3 3 2 , 点P的坐标为(3 2, 3 2 ) 10.10.( (20192019四川广安四川广安) )如图1 . 8,在四边形ABCD中,ADBC, 30B,直线ABl .当直线l沿射线 BC方向,从点B开始向右平移时,直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F.设直线l向右平移的 距离为x,线段EF的长为y,且y与x的函数关系如图2 . 8所示,则四边形ABCD的周长是 . x y MN O A P B x y M N N O A

    31、P B 【答案】【答案】102 3 【解析】由题意和图像易知BC=5,AD=7-4=3 当BE=4 时(即F与A重合),EF=2,又因为lAB且B=30,所以AB=32, 因为当F与A重合时, 把CD平移到E点位置可得三角形AED为正三角形, 所以CD=2, 故答案时102 3. 三、解答题三、解答题 11(2020(2020铜仁市铜仁市) )如图,已知抛物线yax 2+bx+6 经过两点 A(1,0),B(3,0),C是抛物线与y轴的交 点 (1)求抛物线的解析式; (2)点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设PBC的面积为S,求S关于m的函数表达 式(指出自变量m的取值

    32、范围)和S的最大值; (3)点M在抛物线上运动,点N在y轴上运动,是否存在点M、点N使得CMN90,且CMN与OBC相 似,如果存在,请求出点M和点N的坐标 【答案】见解析。 【分析】(1)根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式; (2)过点P作PFy轴,交BC于点F,利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标,根据点B、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式,设点P的坐标为(m,2m 2+4m+6),则点 F的坐标为(m, 2m+6),进而可得出PF的长度,利用三角形的面积公式可得出SPBC3m 2+9m,配方后利用二次函数的性 质即可求出PBC面积的最大值;

    33、(3)分两种不同情况, 当点M位于点C上方或下方时, 画出图形, 由相似三角形的性质得出方程, 求出点M, 点N的坐标即可 【解析】(1)将A(1,0)、B(3,0)代入yax 2+bx+6, 得: + 6 = 0 9 + 3 + 6 = 0,解得: = 2 = 4 , 抛物线的解析式为y2x 2+4x+6 (2)过点P作PFy轴,交BC于点F,如图 1 所示 当x0 时,y2x 2+4x+66, 点C的坐标为(0,6) 设直线BC的解析式为ykx+c, 将B(3,0)、C(0,6)代入ykx+c,得: 3 + = 0 = 6 ,解得: = 2 = 6 , 直线BC的解析式为y2x+6 点P(

    34、m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动, 点P的坐标为(m,2m 2+4m+6),则点 F的坐标为(m,2m+6), PF2m 2+4m+6(2m+6)2m2+6m, SPBC= 1 2PFOB3m 2+9m3(m3 2) 2+27 4 , 当m= 3 2时,PBC 面积取最大值,最大值为27 4 点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动, 0m3 (3)存在点M、点N使得CMN90,且CMN与OBC相似 如图 2,CMN90,当点M位于点C上方,过点M作MDy轴于点D, CDMCMN90,DCMNCM, MCDNCM, 若CMN与OBC相似,则MCD与OBC相似, 设

    35、M(a,2a 2+4a+6),C(0,6), DC2a 2+4a,DMa, 当 = = 3 6 = 1 2时,COBCDMCMN, ;22:4 = 1 2, 解得,a1, M(1,8), 此时ND= 1 2DM= 1 2, N(0,17 2 ), 当 = = 1 2时,COBMDCNMC, ;2 2:4 = 1 2, 解得a= 7 4, M(7 4, 55 8 ), 此时N(0,83 8 ) 如图 3,当点M位于点C的下方, 过点M作MEy轴于点E, 设M(a,2a 2+4a+6),C(0,6), EC2a 24a,EMa, 同理可得:2 2;4 = 1 2或 22;4 =2,CMN与OBC相

    36、似, 解得a= 9 4或 a3, M(9 4, 39 8 )或M(3,0), 此时N点坐标为(0,3 8)或(0, 3 2) 综合以上得,M(1,8),N(0,17 2 )或M(7 4, 55 8 ),N(0,83 8 )或M(9 4, 39 8 ),N(0,3 8)或 M(3,0),N(0, 3 2),使 得CMN90,且CMN与OBC相似 12(2020(2020嘉兴嘉兴) )在篮球比赛中,东东投出的球在点A处反弹,反弹后球运动的路线为抛物线的一部分(如 图 1 所示建立直角坐标系),抛物线顶点为点B (1)求该抛物线的函数表达式 (2)当球运动到点C时被东东抢到,CDx轴于点D,CD2.

    37、6m 求OD的长 东东抢到球后,因遭对方防守无法投篮,他在点D处垂直起跳传球,想将球沿直线快速传给队友华华, 目标为华华的接球点E(4,1.3)东东起跳后所持球离地面高度h1(m)(传球前)与东东起跳后时间t(s)满足 函数关系式h12(t0.5) 2+2.7(0t1);小戴在点 F(1.5,0)处拦截,他比东东晚 0.3s垂直起跳,其 拦截高度h2(m)与东东起跳后时间t(s)的函数关系如图 2 所示(其中两条抛物线的形状相同) 东东的直线传 球能否越过小戴的拦截传到点E?若能,东东应在起跳后什么时间范围内传球?若不能,请说明理由(直线 传球过程中球运动时间忽略不计) 【答案】见解析。 【分

    38、析】(1)设ya(x0.4) 2+3.32(a0),将 A(0,3)代入求解即可得出答案; (2)把y2.6 代入y2(x0.4) 2+3.32,解方程求出 x,即可得出OD1m; 东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图 2, 设MDh1,NFh2, 当点M,N,E三点共线时, 过点E作EGMD于点G,交NF于点H,过点N作NPMD于点P,证明MPNNEH,得出 = ,则 NH 5MP分不同情况:()当 0t0.3 时,()当 0.3t0.65 时,()当 0.65t1 时,分别求出t 的范围可得出答案 【解析】(1)设ya(x0.4) 2+3.32(a0), 把x0,y3 代入,解

    39、得a2, 抛物线的函数表达式为y2(x0.4) 2+3.32 (2)把y2.6 代入y2(x0.4) 2+3.32, 化简得(x0.4) 20.36, 解得x10.2(舍去),x21, OD1m 东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点E 由图 1 可得,当 0t0.3 时,h22.2 当 0.3t1.3 时,h22(t0.8) 2+2.7 当h1h20 时,t0.65, 东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图 2, 设MDh1,NFh2, 当点M,N,E三点共线时,过点E作EGMD于点G,交NF于点H,过点N作NPMD于点P, MDNF,PNEG, MHEN,MNPNEH, MPNNE

    40、H, = , PN0.5,HE2.5, NH5MP ()当 0t0.3 时, MP2(t0.5) 2+2.72.22(t0.5)2+0.5, NH2.21.30.9 52(t0.5) 2+0.50.9, 整理得(t0.5) 20.16, 解得1= 9 10(舍去),2 = 1 10, 当 0t0.3 时,MP随t的增大而增大, 1 10 3 10 ()当 0.3t0.65 时,MPMDNF2(t0.5) 2+2.72(t0.8)2+2.71.2t+0.78, NHNFHF2(t0.8) 2+2.71.32(t0.8)2+1.4, 2(t0.8) 2+1.45(1.2t+0.78), 整理得t

    41、24.6t+1.890, 解得,1= 23:285 10 (舍去),2= 23;285 10 , 当 0.3t0.65 时,MP随t的增大而减小, 3 10 23;285 10 ()当 0.65t1 时,h1h2,不可能 给上所述,东东在起跳后传球的时间范围为 1 10 23;285 10 13(2020(2020黔东南州黔东南州) )已知抛物线yax 2+bx+c(a0)与 x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交 于点C(0,3),顶点D的坐标为(1,4) (1)求抛物线的解析式 (2)在y轴上找一点E,使得EAC为等腰三角形,请直接写出点E的坐标 (3)点P是x轴上的动点,点Q是

    42、抛物线上的动点,是否存在点P、Q,使得以点P、Q、B、D为顶点,BD为 一边的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P、Q坐标;若不存在,请说明理由 【答案】见解析。 【分析】(1)根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式,再将点C坐标代入求解,即可得出结论; (2)先求出点A,C坐标,设出点E坐标,表示出AE,CE,AC,再分三种情况建立方程求解即可; (3)利用平移先确定出点Q的纵坐标,代入抛物线解析式求出点Q的横坐标,即可得出结论 【解析】(1)抛物线的顶点为(1,4), 设抛物线的解析式为ya(x1) 24, 将点C(0,3)代入抛物线ya(x1) 24 中,得 a43, a1, 抛物线的

    43、解析式为ya(x1) 24x22x3; (2)由(1)知,抛物线的解析式为yx 22x3, 令y0,则x 22x30, x1 或x3, B(3,0),A(1,0), 令x0,则y3, C(0,3), AC= 10, 设点E(0,m),则AE= 2+ 1,CE|m+3|, ACE是等腰三角形, 当ACAE时,10 = 2+ 1, m3 或m3(点C的纵坐标,舍去), E(0,3), 当ACCE时,10 =|m+3|, m310, E(0,3+10)或(0,310), 当AECE时,2+ 1 =|m+3|, m= 4 3, E(0, 4 3), 即满足条件的点E的坐标为(0,3)、(0,3+10)

    44、、(0,310)、(0, 4 3); (3)如图,存在,D(1,4), 将线段BD向上平移 4 个单位,再向右(或向左)平移适当的距离,使点B的对应点落在抛物线上,这样 便存在点Q,此时点D的对应点就是点P, 点Q的纵坐标为 4, 设Q(t,4), 将点Q的坐标代入抛物线yx 22x3 中得,t22t34, t1+22或t122, Q(1+22,4)或(122,4), 分别过点D,Q作x轴的垂线,垂足分别为F,G, 抛物线yx 22x3 与 x轴的右边的交点B的坐标为(3,0),且D(1,4), FBPG312, 点P的横坐标为(1+22)21+22或(122)2122, 即P(1+22,0)

    45、、Q(1+22,4)或P(122,0)、Q(122,4) 14(2020(2020遂宁遂宁) )如图,抛物线yax 2+bx+c(a0)的图象经过 A(1,0),B(3,0),C(0,6)三点 (1)求抛物线的解析式 (2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称,直线AN交抛物线于点D,直线BE交AD于点E,若 直线BE将ABD的面积分为 1:2 两部分,求点E的坐标 (3)P为抛物线上的一动点,Q为对称轴上动点,抛物线上是否存在一点P,使A、D、P、Q为顶点的四边形 为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】见解析。 【分析】(1)设抛物线解析式为:ya(x1

    46、)(x3),把点C坐标代入解析式,可求解; (2)先求出点M,点N坐标,利用待定系数法可求AD解析式,联立方程组可求点D坐标,可求SABD= 1 2 2 66,设点E(m,2m2),分两种情况讨论,利用三角形面积公式可求解; (3)分两种情况讨论,利用平行四边形的性质可求解 【解析】(1)抛物线yax 2+bx+c(a0)的图象经过 A(1,0),B(3,0), 设抛物线解析式为:ya(x1)(x3), 抛物线ya(x1)(x3)(a0)的图象经过点C(0,6), 6a(01)(03), a2, 抛物线解析式为:y2(x1)(x3)2x 28x+6; (2)y2x 28x+62(x2)22,

    47、顶点M的坐标为(2,2), 抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称, 点N(2,2), 设直线AN解析式为:ykx+b, 由题意可得:0 = + 2 = 2 + , 解得: = 2 = 2, 直线AN解析式为:y2x2, 联立方程组得: = 2 2 = 2 2 8 + 6, 解得: 1= 1 1= 0, 2= 4 2= 6, 点D(4,6), SABD= 1 2 266, 设点E(m,2m2), 直线BE将ABD的面积分为 1:2 两部分, SABE= 1 3SABD2 或 SABE= 2 3SABD4, 1 2 2(2m2)2 或1 2 2(2m2)4, m2 或 3, 点E(2,2)或(3,4); (3)若AD为平行四边形的边, 以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形, ADPQ, xDxAxPxQ或xDxAxQxP, xP41+25 或xP24+11, 点P坐标为(5,16)或(1,16); 若AD为平行四边形的对角线, 以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形, AD与PQ互相平分, : 2 = : 2 , xP3, 点P坐标为(3,0), 综上所述:当点P坐标为(5,16)


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