1、 第 1 页（共 30 页） 2021 年北京市西城区中考数学一模试卷年北京市西城区中考数学一模试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）第分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1 （2 分）如图是某几何体的三视图，该几何体是( ) A圆柱 B三棱锥 C三棱柱 D正方体 2 （2 分）2021 年 2 月 27 日，由嫦娥五号带回的月球样品（月壤）正式入藏中国国家博物馆，盛放月球样 品的容器整体造型借鉴自国家博物馆馆藏的系列青铜“尊”造型，以体现稳重大方之感，它的容器整体外 部造型高38.44cm
2、，象征地球与月亮的平均间距约384400km将 384400 用科学记数法表示应为( ) A 4 38.44 10 B 5 3.844 10 C 4 3.844 10 D 6 0.3844 10 3 （2 分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( ) A B C D 4 （2 分）若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是( ) 第 2 页（共 30 页） A0ab B0ab Cba D2ab 5 （2 分）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的 2 倍，那么这个多边形的边数是( ) A4 B5 C6 D8 6 （2 分）如图，AB是O的直径，CD是弦（点C不
3、与点A，点B重合，且点C与点D位于直径AB两 侧） ，若110AOD，则BCD等于( ) A25 B35 C55 D70 7（2 分） 春回大地万物生，“微故宫” 微信公众号设计了互动游戏， 与大家携手走过有故宫猫陪伴的四季 游 戏规则设计如下：每次在公众号对话框中回复【猫春图】 ，就可以随机抽取 7 款“猫春图”壁纸中的一款， 抽取次数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风 纸鸢”的概率是( ) A 1 7 B 2 7 C 1 49 D 2 49 8 （2 分）风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮
4、风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系下表中列出了当气温为5 C 时，风寒温度 ( C)T 和风速(/ )v km h的几组对应值，那么当气温为5 C 时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是( ) 风速v（单位：/ )km h 0 10 20 30 40 风寒温度T（单位：C) 5 3 1 1 3 A正比例函数关系 B一次函数关系 第 3 页（共 30 页） C二次函数关系 D反比例函数关系 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）如果分式 3 2 x x 的值为 0，那么x的值为 2222aa 10 （2 分）将一副直
5、角三角板如图摆放，点A落在DE边上，/ /ABDF，则1 11 （2 分）比7大的整数中，最小的是 12 （2 分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，那么DAC与ACB的大小 关系为：DAC A C B（填“” ， “ ”或“” ) 13 （2 分）已知方程组 25 21 xy xy ，则xy的值为 14 （2 分）某公司销售一批新上市的产品，公司收集了这个产品 15 天的日销售额的数据，制作了如下的统 计图 关于这个产品销售情况有以下说法： 第 1 天到第 5 天的日销售额的平均值低于第 6 天到第 10 天的日销售额的平均值； 第 6 天到第 10 天日销售额的方差
6、小于第 11 天到第 15 天日销售额的方差； 第 4 页（共 30 页） 这 15 天日销售额的平均值一定超过 2 万元 所有正确结论的序号是 15 （2 分）将二次函数 2 yx的图象向右平移 3 个单位得到一个新函数的图象，请写出一个自变量x的取值 范围，使得在所写的取值范围内，上述两个函数中，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函 数的图象从左往右下降，写出的x的取值范围是 16 （2 分）某商家需要更换店面的瓷砖，商家打算用 1500 元购买彩色和单色两种地砖进行搭配，并且把 1500 元全部花完已知每块彩色地砖 25 元，每块单色地砖 15 元，根据需要，购买的单色地砖数要
7、超过彩 色地砖数的 2 倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的 3 倍，那么符合要求的一种购买方案是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 1721 题，毎小题题，毎小题 5 分，第分，第 22 题题 6 分，第分，第 23 题题 5 分，第分，第 2426 题，每小题，每小 题题 5 分，第分，第 2728 题，每小题题，每小题 5 分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17 （5 分）计算： 2 1 4sin60()12| 5| 3 18 （5 分）解不等式组 5(1)71, 12 , 34 xx xx 并求它的整数
8、解 19 （5 分）已知 2 340 xx，求代数式(21)(21)3 (1)xxx x的值 20 （5 分）阅读材料并解决问题： 已知：如图，AOB及内部一点P 求作：经过点P的线段EF，使得点E，F分别在射线OA，OB上，且OEOF 作法：如图 以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线OA，OB于点M，N； 连接NP，作线段NP的垂直平分线，得到线段NP的中点C； 连接MC并在它的延长线上截取CDMC； 作射线DP，分别交射线OB，OA于点F，E线段EF就是所求作的线段 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） ； 第 5 页（共 30 页） （2）完成下面的证明证明：连接
9、MN 由得，线段CN CP（填“” ， “ ”或“” ) 在MCN和DCP中， ， MCNDCP NMCPDC / /(MNEF )（填推理的依据） 又由得，线段OMON 可得OEOF 21 （5 分）奥林匹克森林公园南园（奥森南园）是深受北京长跑爱好者追捧的跑步地点小华和小萱相约 去奥森南园跑步踏青，奥森南园有 5 千米和 3 千米的两条跑道（如图所示） 小华选择了 5 千米的路线，小 萱选择了 3 千米的路线，已知小华平均每分钟比小萱平均每分钟多跑 100 米，两人同时出发，结果同时到 达终点求小萱的速度 22 （6 分） 如图， 在平行四边形ABCD中， 点E在BC的延长线上，2CEDE
10、BCDC的中点为F，DE 的中点为G，连接AF，FG 第 6 页（共 30 页） （1）求证：四边形AFGD为菱形； （2）连接AG，若2BC ， 3 tan 2 B ，求AG的长 23 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，直线yxb 与双曲线(0) k yk x 交于A，B两点，点A，点B 的横坐标 A x， B x满足 AB xx，直线yxb 与x轴的交点为(3,0)C，与y轴的交点为D （1）求b的值； （2）若2 A x ，求k的值； （3）当2ADBD时，直接写出k的取值范围 24 （6 分）国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是 人们选择
11、时参考的重要指标某汽车杂志根据当前汽车行业常用的两种续航里程测试标准（标准M和标准 )N，对市面上常见的 9 种车型进行了续航里程实测，并与这些厂家公布的工信部续航里程进行了对比，下 面是部分信息： a标准M下的实测续航里程数据为 324.8，355.8，378.2，385，403.7，407.9，441.2，445，463.2（单位： )km； b标准N下实测续航里程与工信部续航里程情况统计图（图1)； c标准N下实测续航里程频数分布直方图， 为方便记录，将续航里程设为x（单位：)km，数据分为AF 六组（图2) 第 7 页（共 30 页） 不同标准下实测续航里程统计表（单位：)km 标准M
12、下实测续航里程 标准N下实测续航里程 平均数 400.5 316.6 中位数 a b 根据信息回答以下问题： （1）补全图 2； （2） 不同标准下实测续航里程统计表中，a ， 在AF六组数据中，b所在的组是 （只填写AF 中的相应代号即可） ； 判断a与b的大小关系为a b（填“” ， “ ”或“” ) （3） 在选购纯电动汽车时， 实测续航里程与工信部续航里程的比值 （简称 “续航里程达成比” )越高越好， 但续航里程达成比受到实测时各种实际条件的限制只能达到一定比例，晓春打算为家里选购纯电动汽车， 如果在标准N下，他希望续航里程达成比不低于75%，请在图 1 中圈出实测续航里程不低于30
13、0km的车型 中，符合他要求的车型所对应的点 25 （6 分）如图，AB为O的弦，C为AB的中点，D为OC延长线上一点，DA与O相切，切点为A， 连接BO并延长，交O于点E，交直线DA于点F （1）求证：BD； （2）若4 2AF ， 1 sin 3 B ，求O的半径 第 8 页（共 30 页） 26 （6 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 22 21(0)yaxa xa与y轴交于点A，过点A作x轴的平 行线与抛物线交于点B （1）直接写出抛物线的对称轴； （2）若4AB ，求抛物线所对应的函数解析式； （3）已知点(4,1)P a，(0,1)Qa，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合
14、函数图象，求a的取值范 围 27 （7 分）如图，在ABC中，ABAC，90BAC，D是ABC内一点，ADCBAC 过点B作 / /BECD交AD的延长线于点E （1）依题意补全图形； （2）求证：CADABE ； （3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD相等的线段并加以证明 28 （7 分）对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在PQR使得 2 PQR SPQ ，则称 PQR为线段PQ的“等幂三角形” ，点R称为线段PQ的“等幂点” （1）已知(3,0)A 在点 1(1,3) P， 2(2,6) P， 3( 5,1) P ， 4(3, 6) P中，是
15、线段OA的“等幂点”的是 ； 若存在等腰OAB是线段OA的“等幂三角形” ，求点B的坐标； （2）已知点C的坐标为(2, 1)C，点D在直线3yx上，记图形M为以点(1,0)T为圆心，2 为半径的T 位于x轴上方的部分若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形” CDE为锐角三角形，直接 写出点D的横坐标 D x的取值范围 第 9 页（共 30 页） 2021 年北京市西城区中考数学一模试卷年北京市西城区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）第分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
16、题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1 （2 分）如图是某几何体的三视图，该几何体是( ) A圆柱 B三棱锥 C三棱柱 D正方体 【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形， 故该几何体是一个柱体， 又俯视图是一个三角形， 故该几何体是一个三棱柱 故选：C 2 （2 分）2021 年 2 月 27 日，由嫦娥五号带回的月球样品（月壤）正式入藏中国国家博物馆，盛放月球样 品的容器整体造型借鉴自国家博物馆馆藏的系列青铜“尊”造型，以体现稳重大方之感，它的容器整体外 部造型高38.44cm，象征地球与月亮的平均间距约384400km将 384400 用科学记数法表示应为( ) A
17、 4 38.44 10 B 5 3.844 10 C 4 3.844 10 D 6 0.3844 10 第 10 页（共 30 页） 【解答】解： 4 3844003.844 10 故选：C 3 （2 分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( ) A B C D 【解答】解：A等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； B平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； D既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意 故选：A 4 （2 分）若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示
18、，则以下结论正确的是( ) A0ab B0ab Cba D2ab 【解答】解：根据数轴，0a ，0b 0ab，0ab ，故A、B选项错误 43a ，23b 34a ba 故C错误 43a ，23b 2ab，故D正确 故选：D 5 （2 分）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的 2 倍，那么这个多边形的边数是( ) A4 B5 C6 D8 【解答】解：根据题意，得： (2) 180720n， 解得：6n 故选：C 第 11 页（共 30 页） 6 （2 分）如图，AB是O的直径，CD是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径AB两 侧） ，若110AOD，则BCD等于( ) A25 B
19、35 C55 D70 【解答】解：连接AC，如图： AB是O的直径， 90ACB， 110AOD， 55ACD， 35BCDACBACD ， 故选：B 7（2 分） 春回大地万物生，“微故宫” 微信公众号设计了互动游戏， 与大家携手走过有故宫猫陪伴的四季 游 戏规则设计如下：每次在公众号对话框中回复【猫春图】 ，就可以随机抽取 7 款“猫春图”壁纸中的一款， 抽取次数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风 纸鸢”的概率是( ) 第 12 页（共 30 页） A 1 7 B 2 7 C 1 49 D 2 49 【解答】解：把 7 款“猫春图”分别记为
20、A、B、C、D、E、F、G， 画树状图如图： 共有 49 个等可能的结果，小春两次都抽到“东风纸鸢”的结果有 1 个， 小春两次都抽到“东风纸鸢”的概率为 1 49 ， 故选：C 8 （2 分）风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮 风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系下表中列出了当气温为5 C 时，风寒温度 ( C)T 和风速(/ )v km h的几组对应值，那么当气温为5 C 时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是( ) 风速v（单位：/ )km h 0 10 20 30 40 风寒温度T（单位：C) 5 3 1 1 3
21、A正比例函数关系 B一次函数关系 C二次函数关系 D反比例函数关系 【解答】解：当气温为一定时，风寒温度T和风速v成一次函数关系， 设风寒温度T和风速v的关系式为：Tkvb， 根据题意，得： 5 103 b kb ， 第 13 页（共 30 页） 解得 0.2 5 k b ， 所以0.25Tv ， 故选：B 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）如果分式 3 2 x x 的值为 0，那么x的值为 3 2222aa 【解答】解：30 x ，且20 x ， 3x ， 故答案为：3 10 （2 分）将一副直角三角板如图摆放，点A落在DE边上，/
22、 /ABDF，则1 75 【解答】解：如图： / /ABDF， 245F 由外角的性质可得：1CABF ， 1304575 故答案为：75 11 （2 分）比7大的整数中，最小的是 3 【解答】解：479， 第 14 页（共 30 页） 273， 比7大的整数中，最小的是 3 故答案为：3 12 （2 分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，那么DAC与ACB的大小 关系为：DAC ACB（填“” ， “ ”或“” ) 【解答】解：如图， 由图形可知，/ /AECF， EACACF ， 1 tan 2 DE DAE AE ， 1 tan 3 BF BCF CF ， DAE
23、BCF ， 又DACDAEEAC ，ACBACFBCF ， DACACB 故答案为： 13 （2 分）已知方程组 25 21 xy xy ，则xy的值为 2 【解答】解： 25 21 xy xy 得，336xy 第 15 页（共 30 页） 2xy 故答案为：2 14 （2 分）某公司销售一批新上市的产品，公司收集了这个产品 15 天的日销售额的数据，制作了如下的统 计图 关于这个产品销售情况有以下说法： 第 1 天到第 5 天的日销售额的平均值低于第 6 天到第 10 天的日销售额的平均值； 第 6 天到第 10 天日销售额的方差小于第 11 天到第 15 天日销售额的方差； 这 15 天日
24、销售额的平均值一定超过 2 万元 所有正确结论的序号是 【解答】解：由图可知这 15 天的数据大概是：2，3，3.5，4，4.2，4.6，4.4，4.5，4.5，4.5，3.5，3.2，2， 1.8，0.8 第 1 天到第 5 天的日销售额的平均值3.57； 第 6 天到第 10 天的日销售额的平均值4.53.57，故正确； 由图中的数据可知，第 6 天到第 10 天日销售额的波动小于第 11 天到第 15 天日销售额的波动，即第 6 天到 第 10 天日销售额的方差小于第 11 天到第 15 天日销售额的方差；故正确； 这 15 天的平均值3.362，故正确 故答案为： 15 （2 分）将二
25、次函数 2 yx的图象向右平移 3 个单位得到一个新函数的图象，请写出一个自变量x的取值 范围，使得在所写的取值范围内，上述两个函数中，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函 数的图象从左往右下降，写出的x的取值范围是 03x剟 【解答】解：将二次函数 2 yx的图象向右平移 3 个单位得到新函数： 2 (3)yx， 函数图象如图所示： 第 16 页（共 30 页） 由 2 yx可知，当0 x 时，y随x的增大而增大，即函数的图象从左往右上升；0 x 时，y随x的增大而 减小，即函数的图象从左往右下降； 由 2 (3)yx，当3x 时，y随x的增大而增大，即函数的图象从左往右上升；当3
26、x 时，y随x的增大 而减小，即函数的图象从左往右下降 当03x剟时，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下降 故答案为：03x剟 16 （2 分）某商家需要更换店面的瓷砖，商家打算用 1500 元购买彩色和单色两种地砖进行搭配，并且把 1500 元全部花完已知每块彩色地砖 25 元，每块单色地砖 15 元，根据需要，购买的单色地砖数要超过彩 色地砖数的 2 倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的 3 倍，那么符合要求的一种购买方案是 购买 24 块 彩色地砖、60 块单色地砖（或购买 27 块彩色地砖、55 块单色地砖） 【解答】解：设购买x块彩色地砖，则购买1500
27、 25 15 x 块单色地砖， 依题意得： 150025 2 15 150025 3 15 x x x x ， 解得： 300300 1311 x， 又x，1500 25 15 x 均为正整数， x可以取 24，27 当24x 时，1500 25 60 15 x ； 当27x 时，1500 25 55 15 x 故答案为：购买 24 块彩色地砖、60 块单色地砖（或购买 27 块彩色地砖、55 块单色地砖） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 1721 题，毎小题题，毎小题 5 分，第分，第 22 题题 6 分，第分，第 23 题题 5 分，第分，第 2426 题，每小题
28、，每小 第 17 页（共 30 页） 题题 5 分，第分，第 2728 题，每小题题，每小题 5 分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17 （5 分）计算： 2 1 4sin60()12| 5| 3 【解答】解：原式 3 492 35 2 2 392 35 14 18 （5 分）解不等式组 5(1)71, 12 , 34 xx xx 并求它的整数解 【解答】解：解不等式5(1)71xx，得：3x ， 解不等式 12 34 xx ，得：2x ， 则不等式组的解集为23x ， 所以不等式组的整数解为1、0、1、2 19 （5 分）已知 2
29、340 xx，求代数式(21)(21)3 (1)xxx x的值 【解答】解：原式 22 41 33xxx 2 31xx， 当 2 34xx时， 原式4 1 3 20 （5 分）阅读材料并解决问题： 已知：如图，AOB及内部一点P 求作：经过点P的线段EF，使得点E，F分别在射线OA，OB上，且OEOF 作法：如图 以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线OA，OB于点M，N； 连接NP，作线段NP的垂直平分线，得到线段NP的中点C； 连接MC并在它的延长线上截取CDMC； 作射线DP，分别交射线OB，OA于点F，E线段EF就是所求作的线段 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹
30、） ； 第 18 页（共 30 页） （2）完成下面的证明证明：连接MN 由得，线段CN CP（填“” ， “ ”或“” ) 在MCN和DCP中， ， MCNDCP NMCPDC / /(MNEF )（填推理的依据） 又由得，线段OMON 可得OEOF 【解答】解： （1）图形如图所示： （2）连接MN 由作图可知，CNCP， 在MCN和DCP中， CMCD MCNDCP CNCP ， 第 19 页（共 30 页） ()MCNDCP SAS ， NMCPDC ， / /MNEF（内错角相等两直线平行） ， 又由得，线段OMON， 可得OEOF 故答案为：，内错角相等两直线平行 21 （5 分）
31、奥林匹克森林公园南园（奥森南园）是深受北京长跑爱好者追捧的跑步地点小华和小萱相约 去奥森南园跑步踏青，奥森南园有 5 千米和 3 千米的两条跑道（如图所示） 小华选择了 5 千米的路线，小 萱选择了 3 千米的路线，已知小华平均每分钟比小萱平均每分钟多跑 100 米，两人同时出发，结果同时到 达终点求小萱的速度 【解答】解：设小萱的速度为x米/分，则小华的速度为(100)x米/分， 5 千米5000米，3 千米3000米， 由题意得： 50003000 100 xx ， 解得150 x ， 经检验，150 x 是原方程的解，且符合题意 小萱的速度为 100 米/分 22 （6 分） 如图， 在
32、平行四边形ABCD中， 点E在BC的延长线上，2CEDEBCDC的中点为F，DE 的中点为G，连接AF，FG （1）求证：四边形AFGD为菱形； （2）连接AG，若2BC ， 3 tan 2 B ，求AG的长 第 20 页（共 30 页） 【解答】 （1）证明：四边形ABCD是平行四边形， / /ADBC，ADBC， F为DC的中点，G为DE的中点， / /FGCE， 1 2 FGCE， 即2CEFG， / /FGBC， / /FGAD， 22CEBCAD， ADFG， 四边形AFGD是平行四边形， 22CEDEBCAD，G为DE的中点， 2CEDG， ADDG， 四边形AFGD为菱形； （2
33、）解：四边形ABCD是平行四边形， 2ADBC，ADOB ， 四边形AFGD为菱形， AOGO，AGDF， 第 21 页（共 30 页） 3 tan 2 B ， 3 tan 2 ADO， 3 2 AO DO ， 设3AOx，2DOx， 222 AODOAD， 222 (3 )(2 )2xx， 2 13 13 x ， 6 13 13 AO， 12 13 2 13 AGAO 23 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，直线yxb 与双曲线(0) k yk x 交于A，B两点，点A，点B 的横坐标 A x， B x满足 AB xx，直线yxb 与x轴的交点为(3,0)C，与y轴的交点为D （1）求b的
34、值； （2）若2 A x ，求k的值； （3）当2ADBD时，直接写出k的取值范围 【解答】解： （1）把(3,0)代入yxb 得03b ， 3b （2）将2x 代入3yx 得231y ， 点A坐标为(2,1) 将(2,1)代入 k y x 得1 2 k ， 解得2k （3）由（1）得一次函数解析式为3yx 直线与y轴交点D的坐标为(0,3) 如图，当0k 时，直线与双曲线交点在第一象限， 第 22 页（共 30 页） 当2ADBD时点A为BD中点，设点A坐标为( ,) k m m ，点B坐标为( , )a b， 0 2 3 2 m a k m b ， k b a ， 3 2 2 k k m
35、m ， 解得mk， 2 2 k b m ， 将2y 代入3yx 中得1x ， 点B坐标为(1,2)，1 22k |k越大双曲线越远离坐标轴， 02k 当0k 时，交点B在第二象限，交点A在第四象限，作AE，BF垂直于y轴 第 23 页（共 30 页） 联立方程 3yx k y x ， 解得 394 2 A k x ， 394 2 B k x / /BFAE， BDFADE ， A B xAD BDx ， 当2ADBD时， 394 2 394 k k ， 解得18k， 18 24 （6 分）国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是 人们选择时参考的重要指
36、标某汽车杂志根据当前汽车行业常用的两种续航里程测试标准（标准M和标准 )N，对市面上常见的 9 种车型进行了续航里程实测，并与这些厂家公布的工信部续航里程进行了对比，下 面是部分信息： a标准M下的实测续航里程数据为 324.8，355.8，378.2，385，403.7，407.9，441.2，445，463.2（单位： )km； b标准N下实测续航里程与工信部续航里程情况统计图（图1)； c标准N下实测续航里程频数分布直方图， 为方便记录，将续航里程设为x（单位：)km，数据分为AF 六组（图2) 第 24 页（共 30 页） 不同标准下实测续航里程统计表（单位：)km 标准M下实测续航里
37、程 标准N下实测续航里程 平均数 400.5 316.6 中位数 a b 根据信息回答以下问题： （1）补全图 2； （2）不同标准下实测续航里程统计表中，a 403.7 ，在AF六组数据中，b所在的组是 （只填 写AF中的相应代号即可） ； 判断a与b的大小关系为a b（填“” ， “ ”或“” ) （3） 在选购纯电动汽车时， 实测续航里程与工信部续航里程的比值 （简称 “续航里程达成比” )越高越好， 但续航里程达成比受到实测时各种实际条件的限制只能达到一定比例，晓春打算为家里选购纯电动汽车， 如果在标准N下，他希望续航里程达成比不低于75%，请在图 1 中圈出实测续航里程不低于300k
38、m的车型 中，符合他要求的车型所对应的点 【解答】解： （1）由图 1 可得， C组的频数为 4，D组的频数为 1， 补全的图 2 如右图所示； （2）标准M下的实测续航里程数据为 324.8，355.8，378.2，385，403.7，407.9，441.2，445，463.2， 403.7a， 由图 1 可知，b在C组， ab， 第 25 页（共 30 页） 故答案为：403.7，C，； （3）由图 1 可知， 不低于300km的车型中对应的实际续航里程各数据约为：330，300，350，330，380，440，相对应的工程 部续航里程为：410，440，475，510，525，570，相
39、对应的“续航里程达成比”为：33041080%， 30044068%，35047574%，33051065%，38052572%，44057077%， 符合晓春要求的车型所对应的点如下图所示 25 （6 分）如图，AB为O的弦，C为AB的中点，D为OC延长线上一点，DA与O相切，切点为A， 连接BO并延长，交O于点E，交直线DA于点F （1）求证：BD； （2）若4 2AF ， 1 sin 3 B ，求O的半径 第 26 页（共 30 页） 【解答】解： （1）连接OA，AE， OAOB， BOAB ， DA与O相切， 90OAD， 90OABDACDCAD ， DOABB ； （2）BE是直
40、径， 90BAE， 1 sin 3 AE B AB ， 设AEx，3ABx， OAOE， OEAOAE ， 90OAEFAEBBEA ， FAEB， 又FF， FAEFBA， AEAFEF ABBFAF ， 1 3 AFEF BFAF ， 第 27 页（共 30 页） 14 2 33 EFAF， 1 3 AFBF， 14 2 4 2() 33 BE， 32 2 3 BE， 16 2 3 OB， O的半径为16 2 3 26 （6 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 22 21(0)yaxa xa与y轴交于点A，过点A作x轴的平 行线与抛物线交于点B （1）直接写出抛物线的对称轴； （2）若4
41、AB ，求抛物线所对应的函数解析式； （3）已知点(4,1)P a，(0,1)Qa，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范 围 【解答】解： （1）抛物线 22 21(0)yaxa xa， 抛物线的对称轴为直线 2 2 2 a xa a ； （2）由题意可知抛物线的对称轴为直线2x ， 2a ， 抛物线所对应的函数解析式为 2 281yxx或 2 281yxx； （3）当0a 时，抛物线过点(4,1)P a时，则 4 2 a a ，解得4a ， (0,5)Q， 此时，抛物线与线段PQ有一个公共点 当0a 时，抛物线过点(4,0)P a时，40a ，解得4a ， 第 28
42、 页（共 30 页） 此时，(0,0)Q，抛物线与线段PQ有一个公共点； 综上所述，当04a 或40a时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点 27 （7 分）如图，在ABC中，ABAC，90BAC，D是ABC内一点，ADCBAC 过点B作 / /BECD交AD的延长线于点E （1）依题意补全图形； （2）求证：CADABE ； （3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD相等的线段并加以证明 【解答】 （1）解：图形如图所示 （2）证明：/ /CDBE， CDEAEB ， ADCBAC ， ABCACBDACACDCDEAEB ， 180BAEABEAEB，2180BAEDAC
43、ABC ， 2180BAEABEABC ， CADABE 第 29 页（共 30 页） （3）解：结论：CDAE 理由：在AE的延长线上取一点T，使得CDCT， CDCT， TCDT ， / /CDBE， AEBT， ABAC，ABECAT ， ()ABECAT AAS ， AECT， CDAE 28 （7 分）对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在PQR使得 2 PQR SPQ ，则称 PQR为线段PQ的“等幂三角形” ，点R称为线段PQ的“等幂点” （1）已知(3,0)A 在点 1(1,3) P， 2(2,6) P， 3( 5,1) P ， 4(3, 6) P中，是线段
44、OA的“等幂点”的是 2 P， 4 P ； 若存在等腰OAB是线段OA的“等幂三角形” ，求点B的坐标； （2）已知点C的坐标为(2, 1)C，点D在直线3yx上，记图形M为以点(1,0)T为圆心，2 为半径的T 位于x轴上方的部分若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形” CDE为锐角三角形，直接 写出点D的横坐标 D x的取值范围 【解答】解： （1）(3,0)A，则3OA ， 2 9OA ， 1(1,3) P， 2(2,6) P， 3( 5,1) P ， 4(3, 6) P， _1 19 3 3 22 OAP S ， _2 1 369 2 OAP S ， _3 13 3 1 22
45、OAP S ， _4 1 369 2 OAP S ， 是线段OA的“等幂点”的是 2 P， 4 P； 若OBAB，OAB为OA的等幂三角形，则6 B y ， (1.5,6)B或(1.5, 6)B； 第 30 页（共 30 页） 若3OAOB，OAB为OA的等幂三角形，则6 B y ，即6OB ，显然不成立； 若3OAAB，OAB为OA的等幂三角形，则6 B y ，即6OB ，显然不成立； (1.5,6)B或(1.5, 6)B； （2）设( ,3)D m m ， (2, 1)C， 2222 (2)(2)288CDmmmm， 直线3yx与x轴交于但(3,0)，与y轴交于点(0, 3)，(1,0)T， 设CD与x轴交于点F，而45CFO， 点T到CD的距离为2， 存在点E使CD的等幂三角形CDE， CDE为锐角三角形， 且 2 1 2 CDE SCDCD h ， 则22 max h， 即22 2 2 |2|m， 3252 22 m ， 3252 22 D x
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