1、惠州市惠州市 2021 届高三第一次调研考试试题届高三第一次调研考试试题 数数 学学 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 50 分分每小题给出的四个选项中，只有每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，选对得一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得分，选错得 0 分分 1. 设集合 2 |560Mx xx，集合0Nx x， 则MN( ) A. 0 x x B. |3x x C. |2x x D. 23xx 【答案】A 【解析】 【分析】 解一元二次不等式得集合M，利用并集的概念即可. 【详解】由题意可得23Mxx，0Nx
2、 x， 所以MN0 x x ， 故选：A 【点晴】此题考一元二次不等式的解法和集合的并集，属于基础题. 2. 复数z满足(1 )1iz=i ，其中i为虚数单位，则复数z=( ) A. 1 i B. 1i C. i D. i 【答案】C 【解析】 【分析】 由复数除法的运算法则，化简复数 1 1 i zi i ，即可求解. 【详解】由题意，复数z满足(1)1iz=i ，可得 1112 1112 iiii zi iii . 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确运算是解答 的关键，着重考查推理与运算能力. 3. 已知 2 sin 3 ，则cos
3、( 2 )的值为( ) A. 5 3 B. 1 9 C. 1 9 D. 5 3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求得结果. 【详解】 2 2 21 cos2cos21 2sin1 2 39 . 故选：C. 点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角余弦公式求值，考查计算能力，属于基础题. 4. 已知向量,3ka，向量1,4b ，若ab ，则实数k ( ) A. 12 B. 12 C. 3 4 D. 3 4 【答案】B 【解析】 【分析】 ab，等价于0a b，计算可得. 【详解】由已知得13 40a bk ， 12k ， 故选 B 【点晴】此题考向量垂直的充要条件，属于
4、基础题. 5. 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，则直线 1 DA与直线AC所成角的余弦值为( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 1 2 D. 3 2 【答案】C 【解析】 【分析】 连接 1 CB，得到 11 / /CBDA，把异面直线 1 DA与直线AC所成角转化为直线 1 CB与直线AC所成角，在 1 ACB中，即可求解. 【详解】在正方体 1111 ABCDABC D中，连接 1 CB，可得 11 / /CBDA， 异面直线 1 DA与直线AC所成角，即为直线 1 CB与直线AC所成角， 因为 1 ACB是正三角形，所以 1 1 cos,cos 32 DA AC
5、 . 故选：C 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成角的概念，把异面直线所 成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查空间想象能力，以及计算能力. 6. 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线平行于直线 :250l xy ，则双曲线的离心率为 ( ) A. 1 2 B. 6 2 C. 3 2 D. 5 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由渐近线平行于直线: 250l xy 可得两直线斜率相等，即可求出离心率. 【详解】因为一条渐近线平行于直线: 250l xy ，可知两直线斜率相等， 由题知双曲线的一条渐近线方程为 1
6、2 yx ，则 1 2 b a ， 222 2 22 1 1 4 bca e aa ， 5 2 e . 故选：D 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 7. 张丘建算经是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元 466-485 年间其中记载着这么一 道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同已知第一日织布 5 尺，30 日共织布 390尺，则该女子织布每日增加( )尺 A. 4 7 B. 16 29 C. 8 15 D. 16 31 【答案】B 【解析】 【分析】 设等差数列为 n a的公差为d，根据首项 1 5a ， 30 390S，列出方程，
7、即可求解. 【详解】由题意，可知该女子每日织布数呈等差数列 n a， 设等差数列为 n a的公差为d，其中首项 1 5a ， 30 390S， 可得 30 29 5 30390 2 d ，解得 16 29 d . 故选:B 【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中正确理解题意，熟练应用等差数列 的前n项和公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查计算能力. 8. 函数 cosf xx x的部分图象的大致形状是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 运用排除法，由()cos()cos( )fxxxxxf x ，得出 f x为奇函数， ()cos0 66
8、6 f ， 可排除得选项 【详解】由()cos()cos( )fxxxxxf x ，所以 f x为奇函数，排除 A，C； 因为 f x 的大于 0的零点中，最小值为 2 ；又因为()cos0 666 f ，排除 B， 故选：D 【点睛】本题考查函数的图象的辨别，常从函数的奇偶性，特殊点的函数值的正负，函数的单调性运用排 除法，属于基础题 9. 根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区 至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为( ) A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 【答案】A 【解析】 【分析】 每个县区至少
9、派一位专家，基本事件总数36n，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数 6m，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率. 【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家 基本事件总数： 23 43 36nC A 甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数： 212 232 6mC C A 甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为： 61 366 m p n 本题正确选项：A 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 10. 若在定义域内存在实数 0 x，满足 00 ()()fxf x ，则称( )f x为“有点奇函数”，若 12
10、 ( )423 xx f xmm 为定义域R上“有点奇函数”，则实数m的取值范围是( ) A. 1 313m B. 1 32 2m C. 2 22 2m D. 2 213m 【答案】B 【解析】 根据“局部奇函数”的定义可知，函数()( )fxf x 有解即可， 即 1212 ()423(423) xxxx fxmmmm ， 2 442 (22 )2m60 xxxx m ， 即 22 (22 )2(22 )280 xxxx mm 有解即可， 设22 xx t ，则222 xx t ， 方程等价为 22 2280tm tm 在2t 时有解， 设 22 ( )228g ttm tm ， 对称轴 2
11、 2 m xm ， 若2m，则 22 44(28)0mm ， 即 2 8m ， 2 22 2m ，此时2 2 2m 若2m，要使 22 2280tm tm 在2t 时有解， 则 2 (2)0 0 m f ， 即 2 1313 2 32 3 m m m ， 解得132m， 综上：1 32 2m 选 B. 点睛:研究二次函数最值或单调性，一般根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论；研究二次方程在定 义区间有解，一般从开口方向，对称轴位置，判别式正负，以及区间端点函数值正负四个方面进行考虑. 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 10
12、 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部选对得有多项符合题目要求全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 11. 下列说法中正确的有( ) A. 不等式2 abab 恒成立 B. 存在 a，使得不等式 1 2a a 成立 C. 若, (0,)a b，则2 ba ab D. 若正实数 x，y满足21xy，则 21 8 xy 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据基本不等式的条件和结论对所有选择支分别判断 【详解】不等式2abab恒成立的条件是0a，0b，故 A不正确； 当 a为负数时，不等式 1 2a a
13、 成立.故 B正确； 由基本不等式可知 C正确； 对于 212144 (2 )4428 yxy x xy xyxyxyxy ， 当且仅当 4yx xy ，即 1 , 2 x 1 4 y 时取等号，故 D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，基本不等式的条件不能忘记，如果用基本不等式求最值一定要注意 一正二定三相等另外存在性命题举例可说明正确，全称性命题需证明才能说明正确性 12. 在空间中，已知, a b是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则下列选项中正确的是( ) A. 若/ab，且a，b，则/ / B. 若，且/a，b / ，则ab C. 若a与b相交，且a，b
14、，则与相交 D. 若ab，且/a，b / ，则 【答案】AC 【解析】 【分析】 用线面，面面平行垂直的性质判断进行判断. 【详解】若/ab，且,ab，即两平面的法向量平行，则/ /成立，故 A正确； 证明：如图，aP，过P在平面内作mnP， a,am,an Q，/ab，bm,bn ，b b ，故/ / 若，且ab/ ，则a与b互相平行或相交或异面，故 B 错误； 若, a b相交，且,ab，则, 相交成立. 证明：反证法 假设、不相交，则/ / 又,ab，所以/ab，矛盾. 故、相交,故 C 正确； 若ab，且ab/ ，则与平行或相交，故 D错误； 故选：AC 【点睛】此题为基础题，考查线、
15、面平行垂直性质及判断. 三、 填空题： 本题共三、 填空题： 本题共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5分， 共分， 共 20 分， 其中分， 其中 16 题第一个空题第一个空 3 分， 第二个空分， 第二个空 2分分 13. 函数 lnf xx在点 1,0处的切线方程为_ 【答案】10 xy 【解析】 【分析】 因为曲线 f(x)lnx 在点(1，0)处的切线的斜率为 f(1)，用点斜式求得函数 f(x)lnx 的图象在点(1，0) 处的切线方程 【详解】解：f(x) 1 x ，曲线 f(x)lnx 在点(1，0)处的切线的斜率为 f(1)1， 所以函数 f(x)lnx的图象在点(1，0)
16、处的切线方程是 y0 x1， 整理得 xy10 故答案为 xy10 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础 14. 二项式 7 21x的展开式中 3 x的系数是_ 【答案】280 【解析】 【分析】 求出展开式的通项，令x的指数为 3，即可求出系数. 【详解】展开式的第1r 项为 7 17(2 ) 1 rrr r TCx ， 故令73r ，即4r ， 所以 3 x的系数为 43 72 280C 故答案为：280. 【点睛】本题考查二项式展开式指定项的系数，属于基础题. 15. 若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_ 【答案】9
17、 【解析】 试题分析：1 109 MM xx . 【考点】抛物线的定义 【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线上的点到准线的距 离解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y轴的距离 16. 已知ABC，AB=AC=4，BC=2 点 D为 AB延长线上一点，BD=2，连结 CD，则BDC 的面积是 _，cosBDC=_ 【答案】 (1). 15 2 (2). 10 4 【解析】 取BC中点E，由题意：AEBC， ABE中， 1 cos 4 BE ABC AB ， 1115 cos,sin1 4164 DBCDBC ， 115 sin 22 BC
18、D SBDBCDBC 2ABCBDC ， 2 1 coscos22cos1 4 ABCBDCBDC ， 解得 10 cos 4 BDC或 10 cos 4 BDC (舍去) 综上可得，BCD面积为 15 2 ， 10 cos 4 BDC 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全 部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量 涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时 需要设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要的解
19、四、解答题：共四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知等差数列 n a的公差0d ，若 6 11a ，且 2514 ,a a a成等比数列. (1)求数列 n a的通项公式； (2)设 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前 n 项和 n S. 【答案】(1)21 n an(2) 21 n n 【解析】 【分析】 (1)由已知列式求得等差数列的首项与公差，则通项公式可求； (2)把数列 n a的通项公式代入 1 (21)(21) n b nn ，再由裂项相消法求数列 n b的前 n 项和 n S. 【详解】
20、解：(1) 6 11a ， 1 511ad 2514 ,a a a成等比数列， 2 5214 aa a， 2 111 413adadad 化简得 2 1 63a dd，0d ， 1 2ad 由可得， 1 a1,d2=, 所以数列的通项公式是21 n an; (2)由(1)得 1111 (21)(21)2 2121 n b nnnn 12 111111 1 23352121 nn Sbbb nn 11 1 22121 n nn 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了裂项相消法求数列的前n项和， 是中档题 18. 在ABC中，角、 、A BC的对边分别为a b c、 、，且
21、cos2cosbAcaB= (1)求角B的值； (2)若4a，ABC的面积为3，求ABC的周长 【答案】(1) 3 ；(2)513 【解析】 【分析】 (1)由正弦定理和题设条件， 求得2sincossin()CBAB， 进而得到2sincossinCBC， 得到 1 cos 2 B ， 即可求解； (2)由ABC的面积为3，利用三角形的面积公式，求得1c，再结合余弦定理，求得13b ，即可 求得ABC的周长 【详解】(1)由题意，在ABC中，满足cos2cosbAcaB= 根据正弦定理可得：2sincossincossincosCBBAAB，即2sincossin()CBAB， 又由ABC，
22、可得sin()sinABC，即2sincossinCBC， 又因为(0, )C，可得sin0C ，所以2cos1B，即 1 cos 2 B ， 因为0B， 所以 3 B (2)由ABC的面积为3，即 1 sin3 2 ABC SacB， 可得 13 43 22 c ，解得1c， 又由余弦定理 222 2cosbacacB，可得 222 1 412 4 113 2 b ， 解得 13b ， 所以ABC的周长为513labc 【点睛】 本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用， 其中在解有关三角形的题目时， 要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的
23、关键，着重考查了运 算与求解能力，属于基础题 19. 如图，底面ABCD 是边长为 1 的正方形，DE 平面ABCD， / /,3AFDE DEAF，BE与平面 ABCD所成角为 60. (1)求证：AC 平面BDE； (2)求二面角FBED的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 13 13 . 【解析】 【分析】 (1)由已知可得DEAC且ACBD，由线面垂直的判定定理即可得到证明；(2)以D为原点，DA方向 为 x轴，DC方向为 y轴，DE方向为 z 轴建立空间直角坐标系，利用已知条件求出平面BDE的一个法向 量和平面BDE的一个法向量，利用向量的夹角公式计算即可. 【详解】(1)证明：
24、DE 平面ABCD，AC 平面ABCD， 所以DEAC， 又底面ABCD是正方形， ACBD. BDDED， AC 平面BDE. (2)解：,DA DC DE两两垂直， 以D为原点，DA方向为 x轴，DC方向为 y轴，DE方向为 z轴建立空间直角坐标系， 由已知可得 0 60DBE， 3 ED DB ， 由1AD ，可知 6 2,6, 3 BDDEAF. 则 6 1,0,0 ,1,0,0,0,6 ,1,1,0 ,0,1,0 3 AFEBC ， 6 0, 1, 3 BF , 2 6 1,0, 3 EF . 设平面BDE的一个法向量为, ,nx y z， 则 0 0 n BF n EF ，即 6
25、0, 3 2 6 0, 3 yz xz 令6z ，则4,2, 6n . AC 平面BDE，则CA为平面BDE的一个法向量， 1, 1,0CA， 13 cos, 13 n CA， 二面角FBED为锐角， 二面角FBED的余弦值为 13 13 . 【点睛】 本题考查空间向量在立体几何中应用， 求解二面角大小的关键是正确解出两个半平面的法向量， 然后由法向量的夹角得出二面角的大小 20. 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0ab)的一个焦点为 3,0F，且该椭圆经过点 1 3, 2 P (1)求椭圆C的方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于不同两点A、B，试问在x轴上是否存在定点Q 使
26、得直线QA与直线 QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由 【答案】(1) 2 2 1 4 x y；(2)存在x轴上的定点 4 3 ,0 3 Q ，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称 【解析】 【分析】 (1)法 1：(待定系数法)由题意可得 222 3cab，将点的坐标代入椭圆的方程，联立求解可求得椭圆C 的方程；法 2：(定义法)，求得椭圆的另一个焦点，由椭圆的定义求得2a，可求得椭圆C的方程 (2)当直线l为非x轴时，设直线l的方程为30 xmy，与椭圆C的方程整理得 22 42 310mymy 设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 得韦达定理 12 2
27、 2 3 4 m yy m ， 12 2 1 4 y y m 将 问题转化为,AQ BQ的斜率互为相反数运用两点的斜率公式可求得点Q的坐标，验证当直线l为x轴时也 符合题意 【详解】(1)法 1： 【待定系数法】 由题意可得 222 3cab，又因为点在椭圆上得 22 31 1 4ab ，联立解得 2 4a ， 2 1b 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y； 法 2： 【定义法】 设另一个焦点为 1 3,0F ，则 1 FFP为直角三角形， 由勾股定理得 1 17 12 42 FP ，所以 1 24aPFPF，即2a，由 222 bac得 2 1b ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1
28、4 x y； (2)当直线l为非x轴时， 可设直线l的方程为30 xmy， 与椭圆C的方程联立得 2 2 30 1 4 xmy x y ， 整理得 22 42 310mymy 由 2 22 2 34 41601=m+m=m ， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，定点,0Q t (且 12 ,)tx tx构， 则由韦达定理可得 12 2 2 3 4 m yy m ， 12 2 1 4 y y m 直线QA与直线QB恰关于x轴对称，等价于,AQ BQ的斜率互为相反数 所以 12 12 0 yy xtxt ，即得 1221 0y xtyxt 又 11 30 xmy， 22 30 xmy，
29、得 11 = 3mxy， 22 = 3xmy 所以 1221 330ymytymyt，整理得 1212 320tyymy y 从而可得 22 2 31 320 44 m tm mm ，即2430mt， 所以当 4 3 3 t ，即 4 3 ,0 3 Q 时，直线QA与直线QB恰关于x轴对称成立 特别地，当直线l为x轴时， 4 3 ,0 3 Q 也符合题意 综上，存在x轴上的定点 4 3 ,0 3 Q ，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称 【点睛】本题考查求椭圆的方程，椭圆的定义的运用，直线与椭圆的位置关系之交点问题，关键在于将目 标条件转化到交点的坐标上去，属于中档题 21. 已知 6 名某
30、疾病病毒密切接触者中有 1名感染病毒， 其余 5名健康， 需要通过化验血液来确定感染者 血 液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康 (1)若从这 6名密切接触者中随机抽取 3名，求抽到感染者的概率； (2)血液化验确定感染者的方法有：逐一化验；平均分组混合化验：先将血液样本平均分成若干组，对 组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液 逐一化验，直至确定感染者 (i)采取逐一化验，求所需化验次数的分布列及数学期望； (ii)采取平均分组混合化验(每组血液份数相同)，求不同分组方法所需化验次数的数学期望你认为选择哪 种化验方案更合理？请说明
31、理由 【答案】(1) 1 2 ；(2)(i)分布列见解析，数学期望为10 3 ；(ii)分类讨论，答案见解析 【解析】 【分析】 (1)总数为 3 6 C，抽到感染者，则从余下 5 名某疾病病毒密切接触者中，再抽 2 人，有 2 5 C，从而求得抽到感 染者的概率； (2)分别求出方案(i)和方案(ii)的分布列和均值， 注意方案(ii)采取平均分组混合化验， 又平均分成 3 组和平 均分成 2 组两种情况，再通过对比得出结论. 【详解】(1)6名密切接触者中随机抽取 3 名共有 3 6 20C 种方法， 抽取 3 名中有感染者的抽法共有 12 15 10CC种方法， 所以抽到感染者的概率 2
32、 5 3 6 101 202 C P= C ； (2)(i)按逐一化验法，的可能取值是 1，2，3，4，5， 1 1 1 6 1 1 6 C P= C ， 11 51 2 6 1 2 6 C C P= A ， 21 51 3 6 1 3 6 A C P= A ， 31 51 4 6 1 4 6 A C P= A ， 415 515 55 66 111 5 663 A CA P=+= AA ， 5 表示第 5次化验呈阳性或前 5次化验都呈阴性(即不检验可确定第 6 个样本为阳性)， 分布列如下： 1 2 3 4 5 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 3 所以 1111110 666633
33、E=12345 ； (ii)平均分组混合化验，6个样本可按33，平均分成 2组，或者按2 2 2， ，分成 3 组 如果按33，分 2 组，所需化验次数为，的可能取值是 2，3， 1111 1111 1111 2323 1 2 3 CCCC P= CCCC ， 111111 121121 1212 2323 2 3 3 CC CCC C P= CACA ， 分布列如下： 2 3 P 1 3 2 3 128 333 E=2+3= 如果按2 2 2， ，分 3 组，所需化验次数为，的可能取值是 2，3， 1111 1111 1111 3232 1 2 3 CCCC P= CCCC ， 1111 2
34、121 1111 3232 2 =3 =1+1= 3 CCCC P CCCC ， 分布列如下： 2 3 P 1 3 2 3 128 333 E=2+3= 因为 EE=E， 所以我认为平均分组混合化验法较好，按2 2 2， ，或33，分组进行化验均可 【点睛】本题主要考查了随机事件概率的计算,以及离散型随机变量的分布列的均值与方差,属于中档题. 22. 已知函数( )ln() x f xax a (1)若0a，求 ( )f x的极值； (2)若 2 ln10 xx exmxexm ，求正实数m的取值范围 【答案】(1)极小值为1 2lna，无极大值；(2) 1 0, 2 e 【解析】 【分析】
35、(1)求导，由( )0fx 得xa，由 ( )f x的单调性可得； (2)分离参数得 2 ln 1 x x x exx m ，由(1)得ln1xx，所以 2 1 x xe m x ，(0,)x，即 min 2 () 1 x x m x e ，令 2 ( ) 1 x ex h x x ，(0,)x，求导求( )h x的最小值可得. 【详解】(1)因为0a，则函数定义域为0 +， 11 ( ) xa fx axax ， 若0 xa，则( )0fx ， ( )f x在(0, )a单调递减； 若xa，则( )0fx ， ( )f x在( ,)a 单调递增， x (0, )a a ( ,)a fx 0
36、( )f x 极小 所以当xa时， ( )f x的极小值为( )12lnf aa ，无极大值； (2) 2 (ln)0 x xxemxxm，则 2 ln 1 x x x exx m ， 由(1)知，当1a 时，( )lnf xxx在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增， 所以 min ( )11f xf，所以 ln1xx， 22 ln 11 x x xxxx xx ee ， 令 2 ( ) 1 x ex h x x ，(0,)x， 2 2 2 112 ( ) 1 xx eexxx h x x 2 2 111 1 x xxxe x ， 令( )g x 11 x xxe，0,x， ( )g x
37、1 x ex 0恒成立，所以 min ( )(0)g xg 0 0 10 1 0=e 所以( )0g x恒成立， 所以( )0h x (1,)x；( )0h x (0,1)x；( ) 0h x =1x=； 则 min ( )(1)h xh 1 2 11 112 ee = 所以 22 ln 11 x x xxxx xx ee 1 2 e ，当且仅当1x 时等号成立 所以，正实数m的取值范围为 1 0, 2 e 【点晴】利用导数,如何解决函数与不等式大题： 使用导数的方法研究不等式的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊 点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况因
38、为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工 具，因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两 者的结合点，不清楚解决技巧，解题技巧总结如下 (1)树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来)，如函数的单 调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式； (2)强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必 要的等价变形后，再去证明. 例如采用两边取对数(指数)，移项通分等等. 要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式； (3)巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决. 在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.
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