1、 第 1 页（共 29 页） 2021 年山东省济南市市中区中考数学一模试卷年山东省济南市市中区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1 （4 分）2021 的相反数是( ) A2021 B2021 C 1 2021 D 1 2021 2 （4 分）如图所示的几何体，它的俯视图正确的是( ) A B C D 3 （4 分）数字 98990000 用科学记数法表示为( ) A 8 0.9899 10 B 7 9.899 10 C 8 9.899 10 D 6 98.99 10 4 （4 分）小明在学习平行
2、线的性质后，把含有60角的直角三角板摆放在自己的文具上， 如图，/ /ADBC，若250 ，则1( ) A30 B40 C45 D50 5 （4 分）下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明则四幅图案中既是 轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A有害垃圾 B可回收物 C厨余 垃圾 D其他垃圾 6 （4 分）下列计算正确的是( ) A 224 aaa B 2 35 ()aa C 22 (2 )(2)4baabab D 2353 ()a ba b 第 2 页（共 29 页） 7 （4 分）化简 2 9 33 m mm 的结果是( ) A3m B3m C3m D 3 3 m m 8 （
3、4 分）某班 15 位同学每周体育锻炼时间情况如下表， 时间/h 5 6 7 8 人数（人) 2 6 5 2 其中众数和中位数分别是( ) A6h，7h B6h，6h C7h，6h D7h，7h 9 （4 分）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的 位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中 16DEcm，12EFcm，测得眼睛D离地面的高度为 1.8 米，他与“步云阁”的水平距距 离CD为104m，则“步云阁”的高度AB是( )m A75.5 B77.1 C79.8 D82.5 10 （4 分）关于x的一元二次方程 2 21xx
4、k，下列结论不正确的是( ) A当方程有实数根时2k B当1k 时，方程的实数根为 1 0 x ， 2 2x C当0k 时，方程一定有两个不相等的实数根 D若 1 x、 2 x为方程的两个实数根，则有 12 |1| |1|xx 11 （4 分）如图，曲线AB是抛物线 2 481yxx的一部分（其中A是抛物线与y轴的 交点，B是顶点） ， 曲线BC是双曲线(0) k yk x 的一部分 曲线AB与BC组成图形W 由 点C开始不断重复图形W形成一组 “波浪线” 若点(2020,)Pm，( , )Q x n在该 “波浪线” 上， 则mn的最大值为( ) 第 3 页（共 29 页） A5 B6 C20
5、20 D2021 12 （4 分）在平面直角坐标系中，定义直线yaxb为抛物线 2 yaxbx的特征直线， ( , )C a b为其特征点若抛物线 2 yaxbx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于 点E点F的坐标为(1,0)，/ /DECF若 1 tan2 2 ODE，则b的取值范围是( ) A 5 4 8 b B 1 0 2 b C 5 4 8 b 或 1 0 2 b D 5 4 8 b或 1 0 2 b 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分填空题请直楼填写答案， ）分填空题请直楼填写答案， ） 13 （4 分）分解因式： 2 3
6、xx 14 （4 分）一个仅装有球的不透明布袋里共有 4 个球（只有颜色不同） ，其中 3 个是红球， 1 个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为 15 （4 分）已知一个正多边形的每个内角都是150，则这个正多边形是正 边形 16 （4 分）如图，在边长为 8 的菱形ABCD中，60DAB，以点D为圆心、菱形的高DF 为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是 17 （4 分） “低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条 笔直的公路骑行前往乙地， 她与乙地之间的距离()y km与出发时间( )t h之间的函数关系如图 中线段AB所示，在小
7、丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之 间的距离()s km与出发时间( )t h之间的函数关系如图中折线段CDDEEF所示， 则E点坐 标为 第 4 页（共 29 页） 18 （4 分）如图，菱形ABCD边长为 4 厘米，60A，点M为AB的中点，点N是边AD 上任一点， 把A沿直线MN折叠， 点A落在图中的点E处， 当AN 厘米时，BCE是 直角三角形 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 ） 19 （6 分）计算： 0 8( 2021)4sin45
8、20 （6 分）解不等式组： 2(1)33 2 4 3 xx x x ，并写出它的所有整数解 21（6 分） 已知在矩形ABCD中， 点E在BC边上， 连接DE， 且D E B C ， 过点A作AFDE 于点F求证：ABAF 22 （8 分）加强劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，为了解学生参加各项劳动 的情况，某校对七年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你每周在家参加家 务劳动的时间是多少？” ，共有如下四个选项：A1 小时以下；B1 2小时（不包含 2 小时） ；C2 3小时（包含 2 小时） ；D3 小时以上 图、 图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图， 请你根据统
9、计国提供的信息解等以 下问题 第 5 页（共 29 页） （1）填空：本次问卷调查一共调查了 名学生； （2）请将图的条形统计图补充完整； （3）求出图中D部分所对应的圆心角度数； （4） 若该校共有 1800 名学生， 请你估计全校可能有多少名学生每周在家参加家务劳动的时 间在 2 小时以上（包含 2 小时）？ 23 （8 分）如图，AB是O的直径，C是O上一点，D是AC的中点，E为OD延长线 上一点，AE是O的切线，AC与BD交于点H，与CE交于点F （1）求证：2CAEC ； （2）若9DH ， 3 tan 4 C，求直径AB的长 24 （10 分）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒
10、精和消毒液两种消毒物资，供居民 使用 第一次购买酒精和消毒液若干， 酒精每瓶 10 元， 消毒液每瓶 5 元， 共花费了 350 元； 第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液， 由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了 30%和20%，只花费了 260 元 （1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？ （2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的 2 第 6 页（共 29 页） 倍，现有购买资金 200 元，则最多能购买消毒液多少瓶？ 25 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A、C分别在x轴和y轴的正 半轴上，顶点B的坐标为(4,2)，双
11、曲线(0) k yx x 交BC于点D，交AB于点F，其中 3 2 BD （1）求反比例函数 k y x 的表达式及F点坐标； （2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由； （3）点N在y轴正半轴上，反比例函数图象上是否存在一点M，使DMN是以DM为直 角边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 26 （12 分）在ABC中，ABAC，点D、E分别是BC、AC的中点，将CDE绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，连接BD、AE 观察猜想 （1）如图，当60BAC时，填空： AE BD ； 直线BD、AE所夹锐角为 ； 类比探究 （2）如图，当90BAC时，试判断 AE
12、 BD 的值及直线BD、AE所夹锐角的度数，并说 明理由； 第 7 页（共 29 页） 拓展应用 （3） 在 （2） 的条件下， 若2DE ， 将C D E绕着点C在平面内旋转， 当点D落在射线AC 上时，请直接写出 2 AE的值 27 （12 分）如图，二次函数 2 2yaxbx的图象与x轴交于点( 1,0)B 、点(4,0)C两点， 与y轴交于点A （1）求二次函数 2 2yaxbx的表达式； （2） 连接AC、AB， 若点N在线段BC上运动 （不与点B、C重合） ， 过点N作/ /MNAC， 交AB于点M，当AMN面积最大时，求N点的坐标； （3）在（2）的结论下，若点Q在第一象限，且t
13、an2CQN，线段BQ是否存在最值？如 果存在，请直接写出最值，如果不存在，请说明理由 第 8 页（共 29 页） 2021 年山东省济南市市中区中考数学一模试卷年山东省济南市市中区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1 （4 分）2021 的相反数是( ) A2021 B2021 C 1 2021 D 1 2021 【解答】解：2021 的相反数是：2021 故选：A 2 （4 分）如图所示的几何体，它的俯视图正确的是( ) A B C D 【解答】解：俯视图是
14、一个正六边形，正六边形内部有一个圆 故选：A 3 （4 分）数字 98990000 用科学记数法表示为( ) A 8 0.9899 10 B 7 9.899 10 C 8 9.899 10 D 6 98.99 10 【解答】解：用科学记数法表示 98990000，应记作 7 9.899 10 故选：B 4 （4 分）小明在学习平行线的性质后，把含有60角的直角三角板摆放在自己的文具上， 如图，/ /ADBC，若250 ，则1( ) A30 B40 C45 D50 【解答】解：如图，过F作/ /FGAD，则/ /FGBC， 第 9 页（共 29 页） 250EFG ， 又90AFE， 90504
15、0AFG ， 140AFG ， 故选：B 5 （4 分）下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明则四幅图案中既是 轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A有害垃圾 B可回收物 C厨余 垃圾 D其他垃圾 【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：A 6 （4 分）下列计算正确的是( ) A 224 aaa B 2 35 ()aa C 22 (2 )(2)4baabab D 23
16、53 ()a ba b 【解答】解：选项 222 :2A aaa，不符合题意； 选项 2 32 36 :()Baaa ，不符合题意； 选项 22 :(2 )(2)(2)(2)4Cbaabababab，符合题意； 选项 2363 :()Da ba b，不符合题意； 第 10 页（共 29 页） 故选：C 7 （4 分）化简 2 9 33 m mm 的结果是( ) A3m B3m C3m D 3 3 m m 【解答】解：原式 2 9 3 m m ， (3)(3) 3 mm m ， 3m 故选：B 8 （4 分）某班 15 位同学每周体育锻炼时间情况如下表， 时间/h 5 6 7 8 人数（人) 2
17、 6 5 2 其中众数和中位数分别是( ) A6h，7h B6h，6h C7h，6h D7h，7h 【解答】解：由表可知，数据 6 出现次数最多，有 6 次， 所以这组数据的众数为6h， 这组数据的中位数是第 8 个数据，而第 8 个数据是6h， 所以这组数据的中位数是6h， 故选：B 9 （4 分）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的 位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中 16DEcm，12EFcm，测得眼睛D离地面的高度为 1.8 米，他与“步云阁”的水平距距 离CD为104m，则“步云阁”的高度AB是( )m A75
18、.5 B77.1 C79.8 D82.5 【解答】解：在DEF和DCB中， 第 11 页（共 29 页） DD，90DEFDCB ， DEFDCB， DECD EFBC ， 即 16104 12BC ， 解得：78( )BCm， 1.5ACm， 1.87879.8( )ABACBCm， 即树高79.8m， 故选：C 10 （4 分）关于x的一元二次方程 2 21xxk，下列结论不正确的是( ) A当方程有实数根时2k B当1k 时，方程的实数根为 1 0 x ， 2 2x C当0k 时，方程一定有两个不相等的实数根 D若 1 x、 2 x为方程的两个实数根，则有 12 |1| |1|xx 【解
19、答】解：A、原方程可以化为 2 (1)xk，当0k时，方程有实数解，故A不正确 B、当1k 时，则 2 20 xx， 解得 1 0 x ， 2 2x 故B正确； C、当0k时，方程有实数根， 当0k 时，方程一定有两个不相等的实数根；故C正确； D、当0k时，由 2 (1)xk可以求得1xk ， 则有 12 |1| |1|xx故D正确； 故选：A 11 （4 分）如图，曲线AB是抛物线 2 481yxx的一部分（其中A是抛物线与y轴的 交点，B是顶点） ， 曲线BC是双曲线(0) k yk x 的一部分 曲线AB与BC组成图形W 由 点C开始不断重复图形W形成一组 “波浪线” 若点(2020,
20、)Pm，( , )Q x n在该 “波浪线” 上， 则mn的最大值为( ) 第 12 页（共 29 页） A5 B6 C2020 D2021 【解答】解： 22 4814(1)5yxxx ， 当0 x 时，1y ， 点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(1,5)， 点(1,5)B在(0) k yk x 的图象上， 5k， 点C在 5 y x 的图象上，点C的横坐标为 5， 点C的纵坐标是 1， 点C的坐标为(5,1)， 20205404， (2020,)Pm在抛物线 2 481yxx的图象上， 408011m ， 点( , )Q x n在该“波浪线”上， n的最大值是 5， mn的最大值为 6
21、 故选：B 12 （4 分）在平面直角坐标系中，定义直线yaxb为抛物线 2 yaxbx的特征直线， ( , )C a b为其特征点若抛物线 2 yaxbx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于 点E点F的坐标为(1,0)，/ /DECF若 1 tan2 2 ODE，则b的取值范围是( ) A 5 4 8 b B 1 0 2 b C 5 4 8 b 或 1 0 2 b D 5 4 8 b或 1 0 2 b 【解答】 解： 由题意知， 当0 x 时， 特征直线yb， 且其特征直线交y轴于点E， 则点(0, )Eb / /DECF， 第 13 页（共 29 页） ( 2 b D a ，0)，
22、1 tan2 2 ODE ， 1 2 2 OE OD ， 1 | 2 2 2 b b a 1 | 2 | 2 2 a， 1 1 4 a 或 1 1 4 a， / /DECF，/ /CEDF， CEDF， 由题意，得1 2 b a a ， 2 22baa ，即 11 2() 22 ba， 当 2 11 2() 22 ba时， 当 1 1 4 a 时，得， 5 4 8 b， 当 1 1 4 a时，得， 1 0 2 b， 综上所述： 5 4 8 b或 1 0 2 b， 故选：D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分填空题请直楼填写答案， ）分填空
23、题请直楼填写答案， ） 13 （4 分）分解因式： 2 3xx (3)x x 【解答】解：原式(3)x x， 故答案为：(3)x x 14 （4 分）一个仅装有球的不透明布袋里共有 4 个球（只有颜色不同） ，其中 3 个是红球， 1 个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为 1 4 【解答】解：因为袋子中共有 4 个球，其中黑球只有 1 个， 第 14 页（共 29 页） 所以从中任意摸出一个球，是红球的概率为 1 4 ， 故答案为： 1 4 15 （4 分）已知一个正多边形的每个内角都是150，则这个正多边形是正 十二 边形 【解答】解：外角是：18015030 ， 3603012 则
24、这个正多边形是正十二边形 故答案为：十二 16 （4 分）如图，在边长为 8 的菱形ABCD中，60DAB，以点D为圆心、菱形的高DF 为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是 32 316 【解答】解：四边形ABCD是边长为 8 的菱形， 8ADDCAB，/ /ABCD， 180CDADAB， 60DAB， 120CDA， 菱形ABCD的高是DF， 90DFA， 60DAB， 30ADF， 1 2 AFAD， 8AD ， 4AF， 2222 844 3DFADAF， 即4 3DEDGDF， 阴影部分的面积 2 120(4 3) 84 332 316 360 EDGABC
25、D SSS 扇形菱形 ， 第 15 页（共 29 页） 故答案为：32 316 17 （4 分） “低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条 笔直的公路骑行前往乙地， 她与乙地之间的距离()y km与出发时间( )t h之间的函数关系如图 中线段AB所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之 间的距离()s km与出发时间( )t h之间的函数关系如图中折线段CDDEEF所示， 则E点坐 标为 9 (5， 144) 5 【解答】解：由图可得， 小丽的速度为：362.2516(/ )km h， 小明的速度为：36 1 1620(/ )km
26、h ， 故点E的横坐标为： 9 3620 5 ，纵坐标是： 9144 (2016)(1) 55 ， 故答案为： 9 (5， 144) 5 18 （4 分）如图，菱形ABCD边长为 4 厘米，60A，点M为AB的中点，点N是边AD 上任一点，把A沿直线MN折叠，点A落在图中的点E处，当AN 1 或 2 厘米时， BCE是直角三角形 【解答】解：菱形ABCD边长为 4 厘米，点M为AB的中点， 2AMBM厘米， 由翻折可知： EMAMBM， MBEMEB， 第 16 页（共 29 页） 当90EBC时， 60A， 120ABC， 30MBEMEB ， 120BME， 30AMNEMN ， 90MN
27、A， 1 1 2 ANAM厘米； 当90BEC时， 点E落在菱形对角线AC上， 点M为AB的中点，MN为折痕， 此时BDAC于点E， 点N为AD的中点， 1 2 2 ANAD厘米 所以当1AN 或 2 厘米时，BCE是直角三角形 故答案为：1 或 2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 ） 19 （6 分）计算： 0 8( 2021)4sin45 【解答】解：原式 2 2 214 2 2 212 2 1 20 （6 分）解不等式组： 2(1)33 2 4 3 xx x x ，
28、并写出它的所有整数解 【解答】解： 2133 2 4 3 xx x x ， 解不等式得：1x ， 解不等式得：5x ， 原不等式组的解集为：15x， 第 17 页（共 29 页） 它的整数解为 2，3，4 21（6 分） 已知在矩形ABCD中， 点E在BC边上， 连接DE， 且D E B C ， 过点A作AFDE 于点F求证：ABAF 【解答】证明：四边形ABCD是矩形，AFDE， / /ADBC，ADBC，ABCD，90CAFD ， ADEDEC ， DEBC， ADDE， 在ADF和DEC中， 90AFDC ADEDEC ADDE ， ()ADFDEC AAS ， AFCD， AFAB；
29、22 （8 分）加强劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，为了解学生参加各项劳动 的情况，某校对七年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你每周在家参加家 务劳动的时间是多少？” ，共有如下四个选项：A1 小时以下；B1 2小时（不包含 2 小时） ；C2 3小时（包含 2 小时） ；D3 小时以上 图、 图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图， 请你根据统计国提供的信息解等以 下问题 第 18 页（共 29 页） （1）填空：本次问卷调查一共调查了 200 名学生； （2）请将图的条形统计图补充完整； （3）求出图中D部分所对应的圆心角度数； （4） 若该校共有 1800 名学
30、生， 请你估计全校可能有多少名学生每周在家参加家务劳动的时 间在 2 小时以上（包含 2 小时）？ 【解答】解： （1）10050%200（名)， 即本次问卷调查一共调查了 200 名学生， 故答案为：200； （2）选择D的学生有：200601003010（人)， 补全的条形统计图如右图所示； （3）图中D部分所对应的圆心角度数是： 10 36018 200 ， 即图中D部分所对应的圆心角度数是18； （4） 3010 1800360 200 （名)， 即估计全校可能有 360 名学生每周在家参加家务劳动的时间在 2 小时以上 第 19 页（共 29 页） 23 （8 分）如图，AB是O的直
31、径，C是O上一点，D是AC的中点，E为OD延长线 上一点，AE是O的切线，AC与BD交于点H，与CE交于点F （1）求证：2CAEC ； （2）若9DH ， 3 tan 4 C，求直径AB的长 【解答】解： （1）D是AC的中点， OEAC， 90AFE， 90EEAF， AE是O的切线， 90EAO， 90EAOE， EAFAOE ， 2AOEACD ， 2CAEACD ； 第 20 页（共 29 页） （2）连接AD， 在Rt ADH中，DACC ， 3 tantan 4 DACC， 9DH ， 12AD， 在Rt BDA中， 3 tantan 4 BC， 3 sin 5 B， 20AB
32、24 （10 分）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民 使用 第一次购买酒精和消毒液若干， 酒精每瓶 10 元， 消毒液每瓶 5 元， 共花费了 350 元； 第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液， 由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了 30%和20%，只花费了 260 元 （1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？ （2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的 2 倍，现有购买资金 200 元，则最多能购买消毒液多少瓶？ 【解答】 （1）解：设购买酒精x瓶，消毒液y瓶， 根据题意列方程组，得 105350 10(130
33、%)5(120%)260 xy xy 解得， 20 30 x y 答：每次购买的酒精和消毒液分别是 20 瓶，30 瓶； 第 21 页（共 29 页） （2）解：设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精2m瓶， 根据题意，得10 (1 30%) 25(120%)200mm ， 解得： 1001 11 99 m m为正整数， 11m 所以，最多能购买消毒液 11 瓶 25 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A、C分别在x轴和y轴的正 半轴上，顶点B的坐标为(4,2)，双曲线(0) k yx x 交BC于点D，交AB于点F，其中 3 2 BD （1）求反比例函数 k y x 的表达式
34、及F点坐标； （2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由； （3）点N在y轴正半轴上，反比例函数图象上是否存在一点M，使DMN是以DM为直 角边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）四边形ABCD是矩形， / /BCx轴， 点D纵坐标和点B纵坐标相同， 设( ,2)D x， 点(4,2)B，2BD ，且点B在点D右边， 3 4 2 x， 5 2 x， 第 22 页（共 29 页） 5 (2D，2)， 5k， 所求反比例函数表达式为： 5 y x ； 点F在线段AB上，设(4, )Fy， 将点F坐标代入反比例函数表达式，得 5 4 y ， 点F的
35、坐标为 5 (4, ) 4 ； （2）/ /DFAC，理由如下： 5 (4, ) 4 F，(4,2)B， 3 4 BF， 又4BC ，2AB ， 3 2 BD ， 1 2 BFBA BDBC 又BB ， BDFBCA， BDFBCA / /DFAC； （3）存在，M的坐标为 10 ( 9 ， 9 ) 2 或( 61，61，)理由如下： 当90MDN时， 过点D作y轴平行线，过M、N分别作x轴的平行线，与过点D的y轴平行线交于点G、 H， 第 23 页（共 29 页） MDN是等腰直角三角形， DMND，90MDN， 90MDGNDH， 又90MDGDMG， DMGNDH ， 又90GH ， (
36、)DMGNDH AAS ， NHDG， 5 (2D，2)， H的横坐标为 5 2 ， 5 2 NHDG， 设( , )M x y，则点G的纵坐标为y， 5 2 2 DGy， 9 2 y， 10 9 x， 点M的坐标为 10 ( 9 ， 9 ) 2 ； 当90DMN时， 过点M作x轴平行线交y轴于点P，过D分别作y轴的平行线，与过点M的x轴平行线交 于点Q， MDN是等腰直角三角形， 第 24 页（共 29 页） MNDM，90DMN， 90PMNQMD， 又90PMNPNM， PNMQMD， 又90MPNQ， ()MPNDQM AAS ， PMQD， 设( , )M x y，则点Q的纵坐标为y
37、， PMx，2QDy， 2xy ， 又 5 y x ， 5 2x x ， 解得：61x （舍去负值） ， 61y， ( 61M，61，)， 综上M的坐标为 10 ( 9 ， 9 ) 2 或( 61，61，) 26 （12 分）在ABC中，ABAC，点D、E分别是BC、AC的中点，将CDE绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，连接BD、AE 观察猜想 （1）如图，当60BAC时，填空： AE BD 1 ； 直线BD、AE所夹锐角为 ； 类比探究 第 25 页（共 29 页） （2）如图，当90BAC时，试判断 AE BD 的值及直线BD、AE所夹锐角的度数，并说 明理由； 拓展应用 （3） 在 （
38、2） 的条件下， 若2DE ， 将C D E绕着点C在平面内旋转， 当点D落在射线AC 上时，请直接写出 2 AE的值 【解答】解： （1）如图中，延长BD交AE的延长线于T，BT交AC于O ABAC，60BAC， ACB是等边三角形， CACB，60ACB， 1 2 CDBC， 1 2 CEAC，60ECDACB ， CDCE，BCDACE ， ()BCDACE SAS ， BDAE，CBDCAE ， 1 AE BD ， BOCAOT ， 60ATBACB ， 直线BD、AE所夹锐角为60， 故答案为 1，60 （2）如图中，设AC交BD于O，AE交BD于T 第 26 页（共 29 页） A
39、BAC，90BAC， ACB是等腰直角三角形， 2CBAC，45ACB， 1 2 CDBC， 1 2 CEAC，45ECDACB ， 2CDCE，BCDACE ， 2 BCCD ACCE ， BCDACE， 2 2 AEAC BEBC ，CBDCAE ， BOCAOT ， 45ATBACB ， 直线BD、AE所夹锐角为45 （3）如图1中，当点D落在线段AC上时，作EHAC于H 由题意，2DEEC，22CDDE， EHCD，90CED， 1 1 2 EHDHHCCD，22 2ACEC， 2 21AHACCH， 在Rt AEH中， 22222 (2 21)1104 2AEAHEH 如图2中，当点
40、D在AC的延长线上时，同法可得 222 (2 21)1104 2AE ， 第 27 页（共 29 页） 综上所述，满足条件的 2 AE的值为104 2 27 （12 分）如图，二次函数 2 2yaxbx的图象与x轴交于点( 1,0)B 、点(4,0)C两点， 与y轴交于点A （1）求二次函数 2 2yaxbx的表达式； （2） 连接AC、AB， 若点N在线段BC上运动 （不与点B、C重合） ， 过点N作/ /MNAC， 交AB于点M，当AMN面积最大时，求N点的坐标； （3）在（2）的结论下，若点Q在第一象限，且tan2CQN，线段BQ是否存在最值？如 果存在，请直接写出最值，如果不存在，请说
41、明理由 【解答】 （1）将( 1,0)B ，(4,0)C代入 2 2yaxbx，得 20 16420 ab ab ， 解得： 1 2 3 2 a b ， 抛物线解析式 2 13 2 22 yxx （2）过M作MDBC于D 第 28 页（共 29 页） 设( ,0)N n，MDh / /MNBC， BMNBAC， 2 () BMN BAC Sh AOS ， 2AO ， 1 2 4( 1)5 2 BAC S ， 11 (1) 22 BMN SMDBNh n ， 2 1 (1) 2 ( ) 25 h n h ， 22 5 n h ， AMNABNMBN SSS ， 11 22 BN AOBN h， 122 (1)(2) 25 n n ， 2 134 () 525 n ， 当 3 , 2 AMN nS时最小 此时点N的坐标为 3 ( ,0) 2 （3）BQ最小值为 5 375 5 84 解：如图： 第 29 页（共 29 页） 过点N作NEBC交AB于点E， 则CENCAO ， tantan2CENCAO， 以BE为直径，点F为圆心作圆F， 可知点Q在F上， CQNCEN， 当点B、Q、F三点共线时，BQ最小 BQBFFQ， 22 355 (1)( ) 248 5 375 5 84
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