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    2021年中考数学分类专题突破22 四边形中的动点综合问题(含答案解析)

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    2021年中考数学分类专题突破22 四边形中的动点综合问题(含答案解析)

    1、专题专题 22 22 四边形中的动点综合问题四边形中的动点综合问题 1、 如图, 已知MON90 , A, B 分别是边 OM 和 ON 上的点, 四边形 ACDB 和四边形 OEFC 都是正方形 (1)当 OA2,OB1 时,求 OC 的长 (2)当 OB1,点 A 在直线 OM 上运动时,求 OC 的最小值 (3)设 S CDFy,OAx,求 y 关于 x 的函数关系式 解:(1)如图 1 所示,过点 C 作 CGOM 于点 G, 四边形 ACDB 是正方形, ABAC,BAC90 , MON90 ,AGC90 , BAO+ABO90 ,BAO+CAG90 , ABOCAG, AOBAGC

    2、(AAS) OA2,OB1, CGOA2,AGOB1, OG3, 在 Rt OGC 中,由勾股定理得: OC (2)如图 2 所示,由题意可得点 C 在直线 l:yx1 上运动, OC 的最小值为当 OC 与直线 l 垂直时,此时 OC, OC 的最小值为 (3)如图 3 所示,延长 OC 至点 H,使 CHOC,连接 AH,过点 C 作 CGOM, CDCA,CHCF,DCFACH90 +ACF, DCFACH(SAS), 由(1)知 AOBAGC(AAS), CGOA, C 是 OH 的中点, S ACHS OAC, S CDFy,OAx, yS OAH S OAC x2 y 关于 x 的

    3、函数关系式为 yx2 2、已知四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形,且 ABCE (1)如图 1,连接 BG、DE求证:BGDE; (2)如图 2,如果正方形 CEFG 绕点 C 旋转到某一位置恰好使得 CGBD,BGBD 求BDE 的度数; 若正方形 ABCD 的边长是,请求出 BCG 的面积 (1)证明:四边形 ABCD 和四边形 CEFG 为正方形, BCDC,CGCE,BCDGCE90 BCD+DCGGCE+DCG, BCGDCE 在 BCG 和 DCE 中, BCGDCE(SAS) BGDE; (2)解:连接 BE,如图 2 所示: 由(1)可知:BGDE, CGBD,

    4、DCGBDC45 , BCGBCD+DCG90 +45 135 , GCE90 , BCE360 BCGGCE360 135 90 135 , BCGBCE, 在 BCG 和 BCE 中, BCGBCE(SAS), BGBE, BGBDDE, BDBEDE, BDE 为等边三角形, BDE60 ; 延长 EC 交 BD 于点 H,过点 G 作 GNBC 于 N,如图 3 所示: 在 BCE 和 DCE 中, BCEBCG(SSS), BECDEC, EHBD,BHBD, BCCD , BDBC2, BE2,BH1, CH1, 在 Rt BHE 中,由勾股定理得:EH, CE1, BCG135

    5、, GCN45 , GCN 是等腰直角三角形, GNCG(1), S BCGBCGN(1) 3、如图,正方形 ABCD 的边长为 4cm,动点 P 从 A 点出发,在正方形的边上沿 ABCD 运动,设运动 的时间为 t(s), APD 的面积为 S(cm2),S 与 t 的函数图象如图所示,请回答下列问题: (1)点 P 在 AB 上运动时间为 s,在 CD 上运动的速度为 cm/s, APD 的面积 S 的最大值 为 cm2; (2)将 S 与 t 之间的函数关系式补充完整 S; (3)请求出运动时间 t 为几秒时, APD 的面积为 6cm2 解:(1)由函数图象可知,P 在 AB 上运动

    6、的时间为 4s,在 CD 上运动的时间为 2s, CD4cm, P 在 CD 上的运动速度为 4 22cm/s, P 在 BC 上运动时, APD 的面积最大为 8cm2 (2)当 0t4 时,P 在 AB 上运动, 由函数图象可知,P 在 AB 上的运动速度为 4 41cm/s, APt, SADAP2t 当 4t8 时,P 在 BC 上运动, APD 的面积为定值 8,即 S8 当 8t10 时,P 在 CD 上运动, DP42(t8)2t+20, SADDP4t+40 (3)当 P 在 AB 上时, 令 2t6,解得 t3s; 当 P 在 CD 上时, 令4t+406,解得 t 综上所述

    7、,当 t 为 3 秒或秒时, APD 的面积为 6cm2 4、已知,在 ABC 中,BAC90 ,ABC45 ,点 D 为直线 BC 上一动点(点 D 不与点 B、C 重合), 以 AD 为边做正方形 ADEF,连接 CF (1)如图,当点 D 在线段 BC 上时,直接写出线段 CF、BC、CD 之间的数量关系 (2)如图,当点 D 在线段 BC 的延长线上时,其他件不变,则(1)中的三条线段之间的数量关系还 成立吗?如成立,请予以证明,如不成立,请说明理由; (3)如图,当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时,且点 A、F 分别在直线 BC 两侧,其他条件不变; 若正方形 ADEF 的边长

    8、为 4,对角线 AE、DF 相交于点 O,连接 OC,请直接写出 OC 的长度 解:(1)BAC90 ,ABC45 , ACBABC45 , ABAC, 四边形 ADEF 是正方形, ADAF,DAF90 , BAD90 DAC,CAF90 DAC, BADCAF, 在 BAD 和 CAF 中, , BADCAF(SAS), BDCF, BD+CDBC, CF+CDBC; 故答案为:CF+CDBC; (2)CF+CDBC 不成立,存在 CFCDBC; 理由:BAC90 ,ABC45 , ACBABC45 , ABAC, 四边形 ADEF 是正方形, ADAF,DAF90 , BAD90 DAC

    9、,CAF90 DAC, BADCAF, 在 BAD 和 CAF 中, , BADCAF(SAS) BDCF BC+CDCF, CFCDBC; (3)BAC90 ,ABC45 , ACBABC45 , ABAC, 四边形 ADEF 是正方形, ADAF,DAF90 , BAD90 BAF,CAF90 BAF, BADCAF, 在 BAD 和 CAF 中, , BADCAF(SAS), ACFABD, ABC45 , ABD135 , ACFABD135 , FCD135 45 90 , FCD 是直角三角形 正方形 ADEF 的边长 4 且对角线 AE、DF 相交于点 O DFAD4,O 为 D

    10、F 中点 Rt CDF 中,OCDF 5、如图 1,已知正方形 ABCD,E 是线段 BC 上一点,N 是线段 BC 延长线上一点,以 AE 为边在直线 BC 的上方作正方形 AEFG (1)连接 GD,求证 DGBE; (2)连接 FC,求 tanFCN 的值; (3)如图 2,将图 1 中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD,AB3,BC8,E 是线段 BC 上一动点(不含端 点 B,C),以 AE 为边在直线 BC 的上方作矩形 AEFG,使顶点 G 恰好落在射线 CD 上当点 E 由 B 向 C 运动时,判断 tanFCN 的值是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由 解:(1

    11、)如图 1, 正方形 ABCD 和正方形 AEFG 中, BADEAG90 ,ABAD,AEAG, BAEGAD, BAEGAD(SAS), DGBE; (2)如图 2,过点 F 作 FMBN 于 M,则BAEFFME90 , BAE+AEBFEM+AEB90 , 即BAEFEM, 又 AEEF, BAEMEF(ASA), FMBE,EMAB, 又 BE+ECAB,EMEC+CM, CMFM, 在 Rt FCM 中,tanFCN1; (3)如图 2,过点 F 作 FMBN 于 M,则BAEFFME90 , BAE+AEBFEM+AEB90 , 即BAEFEM, 同理可证GADFEM, 又 AG

    12、EF, DAGMEF, BAEMEF, EMADBC8, 设 BEa,则 EMEC+CMBCBE+EC, CMBEa, , FM , tanFCN,即 tanFCN 的值为定值 6、 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 矩形 ABCD 的边 AB4, BC6 若不改变矩形 ABCD 的形状和大小, 当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时, 矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动 (1)当OAD30 时,求点 C 的坐标; (2)设 AD 的中点为 M,连接 OM、MC,当四边形 OMCD 的面积为时,求 OA 的长; (3)当点 A 移动到某一位置时,点 C 到点 O 的距离有

    13、最大值?若存在,求此时的值;若不存在,请 说明理由 解:(1)如图 1,过点 C 作 CEy 轴于点 E, 矩形 ABCD 中,CDAD, CDE+ADO90 , 又OAD+ADO90 , CDEOAD30 , 在 Rt CED 中,CECD2,DE2, 在 Rt OAD 中,OAD30 , ODAD3, 点 C 的坐标为(2,3+2); (2)M 为 AD 的中点, DM3,S DCM6, 又 S四边形OMCD , S ODM, S OAD9, 设 OAx、ODy,则 x2+y236,xy9, x2+y22xy,即 xy, 将 xy 代入 x2+y236 得 x218, 解得 x3(负值舍去

    14、), OA3; (3)OC 的最大值为 8, 如图 2,M 为 AD 的中点, OM3,CM5, OCOM+CM8, 当 O、M、C 三点在同一直线时,OC 有最大值 8, 连接 OC,则此时 OC 与 AD 的交点为 M,过点 O 作 ONAD,垂足为 N, CDMONM90 ,CMDOMN, CMDOMN, ,即, 解得 MN,ON, ANAMMN, 在 Rt OAN 中,OA, cosOAD 即 7、如图,在长方形 ABCD 中,AB4cm,BE5cm,点 E 是 AD 边上的一点,AE、DE 分别长 acm、bcm, 满足(a3) 2+|2a+b9|0动点 P 从 B 点出发,以 2c

    15、m/s 的速度沿 BCD 运动,最终到达点 D设 运动时间为 ts (1)a cm,b cm; (2)t 为何值时,EP 把四边形 BCDE 的周长平分? (3)另有一点 Q 从点 E 出发,按照 EDC 的路径运动,且速度为 1cm/s,若 P、Q 两点同时出发, 当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动求 t 为何值时, BPQ 的面积等于 6cm2 解:(1)(a3)2+|2a+b9|0, a30,2a+b90, a3,b3; 故答案为:3,3; (2)AE3cm,DE3cm, AD6cmBC, C四边形BCDEBC+CD+DE+EB18cm, EP 把四边形 BCDE 的周长平分, B

    16、E+BP9cm, 点 P 在 BC 上,BP4cm, t2s; (3)解:点 P 在 BC 上(0t3), S BPQ 2t 46, t ; 相遇前,点 P 在 CD 上(3t), S BPQ (4(t3)(2t6) 66, t ; 相遇后,点 P 在 CD 上(t5), S BPQ (t3)+(2t6)4 66, t5; 综上所述,当 ts 或s 或 5s 时, BPQ 的面积等于 6cm2 8、如图所示,四边形 ABCD 为平行四边形,AD13,AB25,DAB,且 cos,点 E 为直线 CD 上一动点,将线段 EA 绕点 E 逆时针旋转 得到线段 EF,连接 CF (1)求平行四边形

    17、ABCD 的面积; (2)当点 C、B、F 三点共线时,设 EF 与 AB 相交于点 G,求线段 BG 的长; (3)求线段 CF 的长度的最小值 解(1)如图 1,作 DKAB 于点 K, 将线段 EA 绕点 E 逆时针旋转 得到线段 EF, AEF,AEEF, 在 Rt DAK 中, cosDAKcos,且 AD13, AK5, DK 12, S平行四边形ABCDAB DK25 12300; (2)如图 2,延长 CD 至 H,作AHD, AHDADH, AHAD13, 过点 A 作 AMDH 于点 M, 由(1)知 AM12, DM5, DH10, FEHDEA+F+, DEAF, 在

    18、AEH 和 EFC 中, , AEHEFC(AAS), EHCF,CEAH13, DECDCE12,BFCFBC22139, BGCE, FBGFCE, , 即, BG ; (3)如图 3,延长 CD 至 P,使PADP,过点 F 作 FMBC,交 CD 于点 M,过点 FNCD, 交 CD 于点 N, 由(2)可知AEPEFM, 在 EAP 和 FEM 中 , EAPFEM(AAS), EMAP13,FMEP, 设 DEx,则 FMEP10+x,CM25(13+x)12x, FNFMsin(10+x),MNFMcos(10+x), CNCM+MN12x+(10+x), 在 Rt CFN 中,

    19、CF2CN2+NF2(208x2416x+56836), 对称轴 x1, 当 x1 时,CF 的值最小,CF 的最小值为 9、在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,点 A(5,0)在 x 轴的正半轴上,四边形 OABC 为平行四边形, 对角线 OBOA,BC 交 y 轴于点 D,且 S OABC20 (1)如图,求点 B 的坐标: (2)如图,点 P 在线段 OD 上,设点 P 的纵坐标为 t, PAB 的面积为 S,请用含 t 的式子表示 S; (3)在(2)的条件下,如图,点 Q 在 x 轴上,点 R 为坐标平面内一点,若OCBCBP45 ,且 四边形 PQBR 为菱形,求 t 的值并直

    20、接写出点 Q 的坐标 解:(1)点 A(5,0),OBOA, OAOB5, S OABCOA OD5OD20, OD4, 四边形 OABC 为平行四边形, BCAO,BCAO5, BDO90 , DB 3, 点 B(3,4); (2)点 P 的纵坐标为 t, OPt, DP4t, S (3+5) 4 3 (4t) 5 tt+10; (3)如图, 由(1)知,B(3,4),OA5,BCOA, C(2,4), CD2 取 OD 的中点 E,则 DEOD2, DECD, DCE45 , OCBOCE45 , OCBCBP45 , OCECBP, 过点 E 作 EFOC 于 F, CFE90 BDP,

    21、 CFEBDP, , 在 Rt CDE 中,CDDE2, CE2, 在 Rt ODC 中,CD2,OD4, OC2, CE 是 OCD 的中线, S OCES CDO 2 42 S OCEOCEFEF2, EF , 在 Rt CFE 中,根据勾股定理得,CF, , DP1, OPODDP3, t3, P(0,3), 设 Q(m,0), B(3,4), PQ2m2+9,BQ2(m3)2+16, 四边形 PQBR 为菱形, PQBQ, m2+9(m3)2+16, m , 即 Q(,0) 10、已知在四边形 ABCD 中,ADBC,ABBC,AD2,AB4,BC6 (1)如图 1,P 为 AB 边上

    22、一点,以 PD,PC 为边作平行四边形 PCQD,过点 Q 作 QHBC,交 BC 的 延长线于 H求证: ADPHCQ; (2)若 P 为 AB 边上任意一点,延长 PD 到 E,使 DEPD,再以 PE,PC 为边作平行四边形 PCQE请 问对角线 PQ 的长是否存在最小值?如果存在,请求出最小值;如果不存在,请说明理由 (3)如图 2,若 P 为 DC 边上任意一点,延长 PA 到 E,使 AEnPA(n 为常数),以 PE,PB 为边作 平行四边形 PBQE请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值;如果不存在, 请说明理由 解:(1)ADBC, ADCDCH,

    23、ADP+PDCDCQ+QCH, 四边形 PCQD 是平行四边形, PDCQ,PDCQ, PDCDCQ, ADPQCH, 在 ADP 和 HCQ 中, , ADPHCQ(AAS); (2)存在最小值,最小值为 10, 如图 1,作 QHBC,交 BC 的延长线于 H,设 PQ 与 DC 相交于点 G, PECQ, DPGCQG, , 由(1)可知,ADPQCH, Rt ADPRt QCH, , CH2AD4, BHBC+CH6+410, 当 PQAB 时,PQ 的长最小,即为 10; (3)存在最小值,最小值为( n+4 ), 如图 2,作 QHDC,交 CB 的延长线于 H,作 CKCD,交

    24、QH 的延长线于 K, PEBQ,AEnPA, , ADBC, ADP+DCH90 , CDQK, QHC+DCH180 , QHCADQ, PAD+PAGQBH+QBG90 ,PAGQBG, PADQBH, ADPBHQ, , BH2n+2, CHBC+BH6+2n+22n+8, 过点 D 作 DMBC 于 M,又DABABM90 , 四边形 ABMD 是矩形, BMAD2,DMAB4, MCBCBM624DM, DCM45 , HCK45 , CKCHcos45 ( 2n+8 )( n+4 ), 当 PQCD 时,PQ 的长最小,最小值为( n+4 ) 11、已知:如图,在 Rt ABC

    25、中,ACB90 ,BC8,AB10,点 P,E,F 分别是 AB,AC,BC 上 的动点,且 AP2CE2BF,连结 PE,PF,以 PE,PF 为邻边作平行四边形 PFQE (1)当点 P 是 AB 的中点时,试求线段 PF 的长 (2)在运动过程中,设 CEm,若平行四边形 PFQE 的面积恰好被线段 BC 或射线 AC 分成 1:3 的两 部分,试求 m 的值 (3)如图,设直找 FQ 与直线 AC 交于点 N,在运动过程中,以点 Q,N,E 为顶点的三角形能否构成 直角三角形?若能,请直接写出符合要求的 CE 的长;若不能,请说明理由 解:(1)如图,作 PHBC 于点 H, ACB9

    26、0 ,BC8,AB10, AC6 AP2CE2BF, 点 P 是 AB 的中点, PAPB5 CEBF,PH3,BHCH4, FH PF (2)如图,平行四边形 PFQE 的面积恰好被线段 BC 分成 1:3 的两部分时,则 EMPF PHBC, PHF90 ACB, PHAC, CEMHPF, PBHABC, PH2CE2m, , m 如图,平行四边形 PFQE 的面积恰好被线段 AC 分成 1:3 的两部分时,则 FDQD,QNPG, CFPG APGABC, , m m 的值为或 (3)如图,当QNE90 时,则点 N 与点 C 重合,设 CEx, PBHABC, , , x 如图,当Q

    27、NE90 时,则点 P 与点 B 重合, 则 2x10, x5 如图,当QNE90 时, FPRPES, , , x 经检验,x 值符合题意 综上,CE 的长为或 5 或 12、将一个矩形纸片 OABC 放置在平面直角坐标系中,点 O(0,0),点 A(8,0),点 C(0,6)P 是 边 OC 上的一点(点 P 不与点 O,C 重合),沿着 AP 折叠该纸片,得点 O 的对应点 O ()如图,当点 O落在边 BC 上时,求点 O的坐标; ()若点 O落在边 BC 的上方,OP,OA 与分别与边 BC 交于点 D,E 如图,当OAP30 时,求点 D 的坐标; 当 CDOD 时,求点 D 的坐

    28、标(直接写出结果即可) 解:()点 A(8,0),点 C(0,6),OABC 为矩形, ABOC6,OACB8,B90 根据题意,由折叠可知 AOPAOP, OAOA8 在 Rt AOB 中,BO2 COBCBO82 点 O的坐标为(82,6) ()OAP30 , OPA60 , OPAOPA, CPD180 OPAOPA60 OA8, OPOAtan30 CP6OP6 CDCPtan6068 点 D 的坐标为(68,6) 连接 AD,如图: 设 CDx,则 BDBCCD8x,ODCDx, 根据折叠可知 AOAO8,POAPOA90 , 在 Rt ADO中,AD2AO2+DO282+x2x2+

    29、64; 在 Rt ABD 中,AD2BD2+AB2(8x)2+62x216x+100; x2+64x216x+100, 解得:x, CD , D(,6) 13、在等腰梯形 ABCD 中,ADBC,ABDC5,AD6,BC12 (1)梯形 ABCD 的面积等于 (2)如图 1,动点 P 从 D 点出发沿 DC 以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动,动点 Q 从 C 点出发沿 CB 以每秒 2 个单位的速度向 B 点运动 两点同时出发, 当 P 点到达 C 点时, Q 点随之停止运动 当 PQAB 时,P 点离开 D 点多少时间? (3)如图 2,点 K 是线段 AD 上的点,M、 N 为边

    30、BC 上的点, BMCN5, 连接 AN、DM,分别交 BK、 CK 于点 E、F,记 ADG 和 BKC 重叠部分的面积为 S,求 S 的最大值 解:(1)如图 1,作 AEBC 于 E,DFBC 于 F,则 AEDF, ADBC,AEBC, 四边形 ADFE 是矩形, AEDF,ADEF6, 在 Rt ABE 和 Rt DCF 中, , Rt ABERt DCF(HL), BECF, BECF3, 由勾股定理得,AE4, 梯形 ABCD 的面积 (AD+BC) AE (12+6) 436, 故答案为:36; (2)如图 3,过 D 作 DEAB,交 BC 于点 E, ADBC,DEAB,

    31、四边形 ABED 为平行四边形, BEAD6, EC6, 当 PQAB 时,PQDE, CQP CED, ,即, 解得,t; (3) 如图 2, 过 G 作 GHBC, 延长 HG 交 AD 于 I, 过 E 作 EXBC, 延长 XE 交 AD 于 Y, 过 F 作 FUBC 于 U,延长 UF 交 AD 于 W, BMCN5, MN12552, BNCM7, MNAD, MGN DGA, ,即, 解得,HG1, 设 AKx, ADBC, BEN KEA, ,即, 解得,EX, 同理:FU, SS BKCS BENS CFM+S MNG 12 4 7 7+ 2 1 , 当 x3 时,S 的最大值为 255.4


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