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    2021年中考数学分类专题突破30 一次函数应用题(含答案解析)

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    2021年中考数学分类专题突破30 一次函数应用题(含答案解析)

    1、专题专题 30 30 一次函数应用题一次函数应用题 1有一科技小组进行了机器人行走性能试验,在试验场地有 PQR 三点顺次在同一条笔直的赛道上,甲、 乙两机器人分别从 P、Q 两点同时同向出发,历时 7 分钟同时到达 R 点,乙机器人始终以 60 米/分的速 度行走,如图是甲、乙两机器人之间的距离 y(米)与他们的行走时间 x(分钟)之间的函数图象,其中 FGx 轴,请结合图象,回答下列问题: ()求甲机器人前 2 分钟的速度 ()若前 3 分钟甲机器人的速度不变,求线段 EF 所在直线的函数解析式 ()直接写出两机器人出发多少分钟时相距 21 千米 解:()由题意可得, 甲的速度为:(70+

    2、60 2) 2(70+120) 2190 295 米/分, 答:甲机器人前 2 分钟的速度是 95 米/分; ()由题意可得, 点 F 对应的纵坐标为:(9560) 135, 点 F 的坐标为(3,35), 设线段 EF 所在直线的函数解析式是 ykx+b, ,解得, 即线段 EF 所在直线的函数解析式是 y35x70; ()设前二分钟 y 与 x 的函数解析式为 ycx+d, ,得, 即前二分钟 y 与 x 的函数解析式为 y35x+70, 令 y21,则 2135x+70,得 x, 将 y21 代入 y35x70,得 x, 设当 4x7 时,y 与 x 的函数解析式为 ymx+n, ,得,

    3、 即当 4x7 时,y 与 x 的函数解析式为 y, 将 y21 代入 y,得 x, 即两机器人出发分钟、分钟或分钟时相距 21 千米 2张师傅开车到某地送货,汽车出发前油箱中有油 50 升,行驶一段时间,张师傅在加油站加油,然后继 续向目的地行驶已知加油前、后汽车都匀速行驶,汽车行驶时每小时的耗油量一定油箱中剩余油量 Q(升)与汽车行驶时间 t(时)之间的函数图象如图所示 (1)张师傅开车行驶 小时后开始加油,本次加油 升 (2)求加油前 Q 与 t 之间的函数关系式 (3)如果加油站距目的地 210 千米,汽车行驶速度为 70 千米/时,张师傅要想到达目的地,油箱中的油 是否够用?请通过计

    4、算说明理由 解:(1)观察函数图象可知:张师傅开车行驶 3 小时后开始加油, 451431(升) 故答案为:3;31 (2)设加油前 Q 与 t 之间的函数关系式为 Qkt+b(k0), 将(0,50)、(3,14)代入 Qkt+b, 得:, 解得:, 加油前 Q 与 t 之间的函数关系式为 Q12t+50(0t3) (3)该车每小时耗油量为:(5014) 312(升), 到达目的地还需耗用 12 (210 70)36(升), 4536, 张师傅要想到达目的地,油箱中的油够用 3如图,在平面直角坐标系中,一次函数 ymx+n(m0)的图象与 x 轴交于点 A(3,0),与 y 轴交 于点 B,

    5、且与正比例函数 y2x 的图象交于点 C(3,6) (1)求一次函数 ymx+n 的解析式; (2)点 P 在 x 轴上,当 PB+PC 最小时,求出点 P 的坐标; (3)若点 E 是直线 AC 上一点,点 F 是平面内一点,以 O、C、E、F 四点为顶点的四边形是矩形,请直 接写出点 F 的坐标 解:(1)一次函数 ymx+n(m0)的图象经过点 A(3,0),点 C(3,6), , 解得, 一次函数的解析式为 yx+3 (2)如图 1 中,作点 P 关于 x 轴的对称点 B,连接 CB交 x 轴于 P,此时 PB+PC 的值最小 B(0,3),C(3,6) B(0,3), 直线 CB的解

    6、析式为 y3x3, 令 y0,得到 x1, P(1,0) (3)如图, 当 OC 为边时,四边形 OCFE 是矩形,此时 EOOC, 直线 OC 的解析式为 y2x, 直线 OE 的解析式为 yx, 由,解得, E(2,1), EOCF,OECF, F(1,7) 当 OC 为对角线时,四边形 OECF是矩形,此时 OEAC, 直线 OE的解析式为 yx, 由,解得, E(,), OECF,OECF, F(,), 综上所述,满足条件的点 F 的坐标为(1.7)或(,) 4如图,在平面直角坐标系中,已知点 A,B 的坐标分别为(8,0),(0,2),C 是 AB 中点,过点 C 作 y 轴的垂线,

    7、垂足为 D动点 P 从点 D 出发,沿 DC 向 C 匀速运动,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 E,连接 BP,EC (1)当 BP 所在直线与 EC 所在直线垂直时,求点 P 的坐标 (2)当 BP 所在直线平分三角形 PEC 面求点 P 的坐标 解:如图:当 BP 所在直线与 EC 所在直线第一次垂直时,设 BP 与 CE 交于点 F,则FCPDBP 点 A、B 的坐标分别为(8,0),(0,2 ) BO2 ,AO8 由 CDBO,C 是 AB 的中点,可得 BDDOBOPE,CDAO4, 设 DPa,则 CP4a 又EPCP,PDBD EPCPDB90 EPCPDB ,即 , 解得

    8、a11,a23 DP1 或 3, 又PE, P(1,)或(3,) (2)如图,当 BP 所在直线 平分三角形 PEC 面积时,EFCF,设 DPa,则 CP4a, PFCFEF, FPCPCFBPD, CPEPDB, , , a2, P(2,) 5如图,直线 AB,AC 交于点 A(3,8),与 x 轴分别交于点 B(3,0),C(7,0),直线 AB 与 y 轴交于点 D,点 Q、E 分别在线段 BC、AC 上,且 QEAB,设点 Q 的坐标为(m,0) (1)用含有 m 的代数式表示点 E 的纵坐标,并求 CEQ 的面积 S 与 m 间的函数关系式; (2)若 CEQ 的面积为 10,求点

    9、 Q 的坐标; (3)如图,连接 DE,在(2)的条件下判断四边形 BQED 的形状,并写明理由 解: (1)B(3,0),C(7,0),A(3,8), BC7(3)10, S ABC 10 840, QEAB, CEQCAB, ()2 Q(m,0), CQ7m, ()2, Sm2m+ ; (2)在 Sm2m+中,令 S10,可得 10m2m+,解得 m2 或 m12, Q 在线段 BC 上, m12 舍去, m2, Q(2,0); (3)四边形 BQED 为菱形,理由如下: 设直线 AB 解析式为 ykx+b, A(3,8),B(3,0), ,解得, 直线 AB 解析式为 yx+4, D(0

    10、,4), QEAB, 可设直线 QE 解析式为 yx+b, Q(2,0), 2+b0,解得 b, 直线 QE 解析式为 yx, 设直线 AC 解析式为 ysx+t, A(3,8),C(7,0), ,解得, 直线 AC 解析式为 y2x+14, 联立直线 AC 和直线 QE 解析式可得,解得, E(5,4), DEBQ,且 QEAB, 四边形 BQED 平行四边形, DE5,BD5, 四边形 BQED 为菱形 6如图,已知直线与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B 两点,点 C 是点 A 关于 y 轴的对称点 (1)试确定直线 BC 的解析式 (2)若动点 P 从 A 点出发沿 AC 向点 C 运

    11、动(不与 A、C 重合),同时动点 Q 从 C 点出发沿 CBA 向点 A 运动(不与 C、A 重合),动点 P 的运动速度是每秒 1 个单位长度,动点 Q 的运动速度是每秒 2 个单 位长度设 APQ 的面积为 S,P 点的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 的函数关系式,并写出自变量的取值范 围 (3)在(2)的条件下,当 APQ 的面积最大时,y 轴上有一点 M,平面内是否存在一点 N,使以 A、Q、 M、N 为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出 N 点的坐标;若不存在,请说明理由 解:(1)直线与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B 两点, A(4,0),B(0,4), 点 C 是点

    12、 A 关于 y 轴的对称点, C(4,0), 设直线 BC 的解析式为 ykx+4, 4k+40, k , 直线 BC 的解析式为 yx+4; (2)A(4,0),B(0,4),C(4,0), ABBC8,AC8, ACABBC, ABC 是等边三角形, OAOCABBC, 动点 P 的运动速度是每秒 1 个单位长度,动点 Q 的运动速度是每秒 2 个单位长度, 点 P 在线段 OA 上时,点 Q 在线段 BC 上,点 P 在线段 OC 上时,点 Q 在线段 AB 上, 如图 1,当 P 点在 AO 上时,作 QHx 轴, , , QHt S APQAPQHttt2(0t4), 当 P 点在

    13、OC 上时,同理可得 S APQt(8t)t2+4t(4t8); (3)存在由(2)知,S APQt2(0t4), 当 t4 时, APQ 的面积最大为 8, 由(2)知,S APQt2+4t (t4)2+8(4t8); 当 t4 时, APQ 的面积取得最大为 8, 当 t4 时, APQ 的面积取得最大值 AO4,BC8,所以此时 Q 点和 B 点重合, 当 AQ 是菱形的边时,如图所示, ()在菱形 AM1N1Q 中, ACOB,点 C 是点 A 的对称点, 点 N1于点 C 重合, N1点的坐标为(4,0), ()在菱形 AQM2N2中,AN2OB,AN2AQ8, N2点的坐标为(4,

    14、8), ()在菱形 AQM3N3中,AN3OB,AN3AB8, N3点的坐标为(4,8), 当 AQ 为菱形的对角线时,如图所示的菱形 AM4QN4, 设菱形的边长为 x,则在 Rt AM4O 中,AM42AO2+M4O2, 即 x242+(4 x)2, 解得 x, 所以 N4(4, ) 综上可得,平面内满足条件的 N 点的坐标为(4,0)或(4,8)或(4,8)或(4,) 7某乡 A,B 两村盛产大蒜,A 村有大蒜 200 吨,B 村有大蒜 300 吨,现将这些大蒜运到 C,D 两个冷藏仓 库已知 C 仓库可储存 240 吨,D 仓库可储存 260 吨,从 A 村运往 C,D 两处的费用分别

    15、为每吨 40 元 和 45 元; 从 B 村运往 C, D 两处的费用分别为每吨 25 元和 32 元 设从 A 村运往 C 仓库的大蒜为 x 吨, A,B 两村运大蒜往两仓库的运输费用分别为 yA元,yB元 (1)请填写下表,并求出 yA,yB与 x 之间的函数关系式; C D 总计 A x 吨 200 吨 B 300 吨 总计 240 吨 260 吨 500 吨 (2)当 x 为何值时,A 村的运费较少? (3)请问怎样调运,才能使两村的运费之和最小?求出最小值 解:(1)设从 A 村运往 C 仓库的大蒜为 x 吨,则从 A 村运往 D 仓库的大蒜为(200 x)吨,从 B 村运往 C 仓

    16、库的大蒜为(240 x)吨,从 B 村运往 D 仓库的大蒜为(60+x)吨, 根据题意得:yA40 x+45(200 x)5x+9000; yB25(240 x)+32(60+x)7x+7920 故答案为:(200 x)吨;(240 x)吨;(60+x)吨 (2)根据题意得:5x+90007x+7920, 解得:x90, 当 90 x200 时,A 村的运费较少 (3)设总运费为 y 元,则 yyA+yB5x+9000+7x+79202x+16920, k20, y 值随 x 值的增大而增大, 当 x0 时,y 取最小值,最小值为 16920 答:当 A 村大蒜运往 C 仓库 0 吨、D 仓库

    17、 200 吨,B 村大蒜运往 C 仓库 240 吨、D 仓库 60 吨时,两村 的运费之和最小,最小值为 16920 元 8已知:如图 1,在平面直角坐标系中,直线 yx+与直线 ykx+2k 分别与 x 轴交于 B、A 两点, 它们交于点 C,且 ABC 的面积为 (1)求 k 的值; (2)如图 2,点 P 在直线 BC 上,过 P 点作 x 轴的垂线交直线 AC 于点 Q,设点 P 的横坐标为 t,线段 PQ 的长为 d,求 d 与 t 的函数关系式并直接写出自变量 t 的取值范围; (3)如图 3,点 P 和点 D 分别为线段 BC 和线段上 AC 上的点,且满足 PBBD,延长 BD

    18、 至 E,使得 PBPE,当BPE4DBA 时,求点 P 的坐标 解:(1)如图 1 中,作 CHAB 于 H,设 C(m,n) 直线 yx+与直线 ykx+2k 分别与 x 轴交于 B、A 两点, A(2,0),B(,0), S ABC, (2+) n, n4, 4m+ , m , C(,4), 点 C 在 ykx+2k 上, 4k+2k, k3 (2)如图 2 中,当 t时, 直线 BC 的解析式为 yx+,直线 AC 的解析式为 y3x+6 P(t,t+),Q(t,3t+6), dPQ3t+6(+)t+ 当 t时,d(t+)(3t+6)t (3)如图 3 中,设直线 BC 交 y 轴于

    19、F(0,),直线 BE 交 y 轴于 K,作 PHAB 于 H BPE4EBA,设EBAx,则BPE4x, PBPE, PBE(180 4x)90 2x, PBE90 KBOBFO, BFOx, OBKBFO,BOKBOF, OBKOFB, OB2OKOF, 可得 OK, 直线 BE 的解析式为 yx+, 由,解得, D(,), BD , BPBD , PHOF, , 可得 PH3,BH, OHBHOB , P(,3) 9如图,矩形 OABC 摆放在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,OA8,OC6 (1)求直线 AC 的表达式; (2)若直线 yx+b 与

    20、矩形 OABC 有公共点,求 b 的取值范围; (3)直线 l:ykx+10 与矩形 OABC 没有公共点,直接写出 k 的取值范围 解: (1)OA8,OC6, A(8,0),C(0,6), 设直线 AC 表达式为 ykx+b, ,解得, 直线 AC 表达式为 yx+6; (2)直线 yx+b 可以看到是由直线 yx 平移得到, 当直线 yx+b 过 A、C 时,直线与矩形 OABC 有一个公共点,如图 1, 当过点 A 时,代入可得 08+b,解得 b8, 当过点 C 时,可得 b6, 直线 yx+b 与矩形 OABC 有公共点时,b 的取值范围为8b6; (3)ykx+10, 直线 l

    21、过 D(0,10),且 B(8,6), 如图 2,直线 l 绕点 D 旋转,当直线过点 B 时,与矩形 OABC 有一个公共点,逆时针旋转到与 y 轴重合 时与矩形 OABC 有公共点, 当过点 B 时,代入可得 68k+10,解得 k, 直线 l:ykx+10 与矩形 OABC 没有公共点时 k 的取值范围为 k 10如图,墙面 OC 与地面 OD 垂直,一架梯子 AB 长 5 米,开始时梯子紧贴墙面,梯子顶端 A 沿墙面匀速 每分钟向下滑动 1 米,x 分钟后点 A 滑动到点 A,梯子底端 B 沿地面向左滑动到点 B,OBy 米,滑动 时梯子长度保持不变 (1)当 x1 时,y 米; (2

    22、)求 y 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)梯子底端 B 沿地面向左滑动的速度是 A匀速 B先加速后减速 C减速 D先减速后加速 (4)研究(2)中函数图象及其性质在所给的坐标系中画出函数图象;观察图象,你发现,它到 的距离都是 个单位 (5)梯子在滑动过程中,它的中点 Q 的运动路径长 解:(1)x1 时,AB514,AB5, O90 , yOB3 故答案为 3; (2)y,(0 x5); (3)如图 2 中,在半径 OQ 上取 ABBC,过 A、B、C 作 x 轴的垂线交圆弧于 D、E、F,作 DMBE, ENCF,延长 DE 交 CF 于 G那么 GNEM, GNFN, EMFN, 即点 A 移动的距离大于点 B 移动的距离, 是减速, 故选 C (4)填表: 图象如图所示: y , y2+(5x)252, 即 PQ2PR2+RQ225, PQ5, P 到点 Q(5,0)的距离是 5 个单位, 故答案为:Q(5,0),5; (5)(4)可知,函数图象是以 Q 为圆心的圆弧, 它的中点 Q 的运动路径长 故答案为:


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