1、专题专题 17 17 勾股定理训练勾股定理训练 一选择题 1一直角三角形两直角边长分别为 4 和 3，则斜边长为（ ） A8 B7 C6 D5 解：由勾股定理得，斜边长5， 故选：D 2在 Rt ABC 中，C90 ，且 c4，若 a3，那么 b 的值是（ ） A1 B5 C D 解：在 Rt ABC 中，C90 ， 由勾股定理得，b， 故选：C 3如图，在 ABC 中，ACB90 ，AC8，BC7，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，连接 CE，则 CE 的长为（ ） A15 B16 C17 D18 解：过 E 作 EFAC，交 CA 的延长线于 F， 四边形 ABDE 为正方形， B
2、AE90 ，AEAB， EAF+AEF90 ，EAF+BAC90 ， AEFBAC， 在 AEF 和 BAC 中， ， AEFBAC（AAS）， EFAC8，AFBC7， 在 Rt ECF 中，EF8，FCFA+AC8+715， 根据勾股定理得：CE17 故选：C 4如图， ABC 中，AB4，BC6，BD 是 ABC 的角平分线，DEAB 于点 E，AFBC 于点 F，若 DE 3，则 AF 的长为（ ） A5 B C6 D 解：作 DHBC 于 H， BD 是 ABC 的角平分线，DEAB，DHBC， DHDE3， S ABD+S CBDS ABC， 4 3+ 6 3 6 AF， 解得，A
3、F5， 故选：A 5如图， ABC 中，C90 ，AC3，BC4，M 是 BC 边上的动点，过 M 作 MNAB 交 AC 于点 N， P 是 MN 的中点，当 PA 平分BAC 时，BM（ ） A B C D 解：作 PDAC 于 D，PEAB 于 E，MFAB 于 F， 由勾股定理得，AB5， PA 平分BAC，PDAC，PEAB， PDPE， PEAB，MFAB，MNAB， 四边形 PMFE 为矩形， PEMF， 设 PDPEMF3x， BB，BFMBCA， BMFBAC， ，即， 解得，BM5x， PDBC，P 是 MN 的中点， BC6x+5x11x， 由题意得，11x4， 解得，x
4、， BM5x ， 故选：A 6如图，在 3 3 的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，若 BD 是 ABC 的高， 则 BD 的长为（ ） A B C D 解：由题意可得， ABC 的面积是：3 44， BD 是 ABC 的高，AC2， 4， 解得，BD， 故选：A 7在直角坐标系中，点 P（2，3）到原点的距离是（ ） A B C D2 解：过 P 作 PEx 轴，连接 OP， P（2，3）， PE3，OE2 在 Rt OPE 中，根据勾股定理得：OP2PE2+OE2， OP，则点 P 在原点的距离为 故选：B 8如图，Rt ABC 中，ABC90 ，点 D 为斜
5、边 AC 的中点，AB5，BC12，则 BD 的长（ ） A5 B6 C6.5 D8 解：ABC90 ，AB5，BC12， AC 13， 点 D 为斜边 AC 的中点， BD ， BD6.5， 故选：C 9如图， ABC 和 ECD 都是等腰直角三角形， ABC 的顶点 A 在 ECD 的斜边 DE 上下列结论：其 中正确的有（ ） ACEBCD；DABACE；AE+ACAD；AE2+AD22AC2 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解：ABC 和 ECD 都是等腰直角三角形， CACB，CECD，ACBECD90 ，ECDE45 ，CABCBA45 ， DAB+CABACE+E， DA
6、BACE，故正确； ACE+ACDACD+DCB90 ， ACEDCB， 在 ACE 和 BCD 中， ACEBCD（SAS），故正确； AEBD，CEACDB45 ， ADBCDB+EDC90 ， ADB 是直角三角形， AD2+BD2AB2， AD2+AE2AB2， ABC 是等腰直角三角形， ABAC， AE2+AD22AC2，故正确； 在 AD 上截取 DFAE，连接 CF，如图所示： 在 ACE 和 FCD 中， ACEFCD（SAS）， ACFC， 当CAF60 时， ACF 是等边三角形， 则 ACAF，此时 AE+ACDF+AFAD，故不正确； 故选：C 10如图，正方形 AB
7、CD 的边长为 2，其面积标记为 S1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三 角形的一条直角边为边向外作正方形， 其面积标记为 S2， ， 按照此规律继续下去， 则 S2020的值为 （ ） A B C D 解：观察，发现：S1224，S22，S3 1，S4 ， Sn， S2020 故选：A 二填空题 11已知 Rt ABC 中，C90 ，若 a+b14cm，c12cm，则 Rt ABC 的面积为 解：C90 ， a2+b2c2144， （a+b）22ab144， 1962ab144， ab26， S ABCab13cm2； 故答案为：13cm2 12三个正方形的面积如图，当 SB
8、144，SC169 时，则 SA的值为 解：由题意可得：a2+b2c2， 解得：a225，即 SA的值为 25 故答案为：25 13 如图， 在四边形 ABCD 中， BDCD， 2BAC+ACB90 ， 且BCDBAC， 若 AB5， CD5， 则 AC 的长为 解：延长 BD 到 B，使 BDBD，连接 CB， 作 CBA与 CBA 关于 CB 对称，如图， 设BCDBAC， CBA与 CBA 关于 CB 对称， CBACBA BACBAC，ABAB5，ACAC， DBDB，CDB90 ， CDBCDB， CDCD， CDBCDB（SAS）， BCDBCD， 2BAC+ACB90 ， 2+
9、ACB90 ， ACB90 2， ACBACB90 2， CBA180 ACBBAC90+， CBD+CBA90+90180 ， D、B、A三点共线， BCDBAC，CDBADC， CDBADC， ， 设 DBx，则 ADx+5， ， 化简得，x2+5x500， 解得 x5 或10（舍去）， 经检验，x5 是方程的解， BD5，AD10， 在 Rt ACD 中，AD2+CD2AC2， ， 故答案为： 14如图，以 Rt ABC 的三边为边长分别向外作正方形，若斜边 AB5，则图中阴影部分的面积 S1+S2+S3 解：ABC 是直角三角形， AC2+BC2AB2， 图中阴影部分的面积和2S12
10、5250 故答案为：50 15如图所示，Rt ABC 中，ACB90 ，AC4，BC3，E 为斜边 AB 上一点，连接 CE，若 CE， 则线段 AE 的长为 解：ACB90 ，AC4，BC3， AB5， 过 C 作 CDAB 于 D， CDACDB90 ，CD， AD ， CE ， DE1， AEADDE或 AEAD+DE， 故答案为：或 16如图，四边形 ABCD 中，BDDC 于点 D，DCB45 ，ABDECD，点 F 是 BC 的中点，已知 BD2，则 FE 的长是 解：BDDC，BD2，DCB45 ， DCBDBC45 ， DBDC2， BC4， ABDECD，EGBDGC， GE
11、BGDC90 ， 点 F 为 BC 的中点， EFBC2， 故答案为：2 三解答题 17如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形” （1）如图，在 ABC 中，ABAC，BC4，求证： ABC 是“美丽三角形”； （2）在 Rt ABC 中，C90 ，AC，若 ABC 是“美丽三角形”，求 BC 的长 （1）证明：过点 A 作 ADBC 于 D， ABAC，ADBC， BDBC2， 由勾股定理得，AD4， ADBC，即 ABC 是“美丽三角形”； （2）解：当 AC 边上的中线 BD 等于 AC 时，如图 2， BC6， 当 BC 边上的中线 AE 等于 B
12、C 时， AC2AE2CE2，即 BC2（BC）2（4）2， 解得 BC8 综上所述，BC 的长是 6 或 8 18如图，在 ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，CBE45 ，BE 分别交 AC，AD 于点 E、F （1）如图 1，若 AB13，BC10，求 AF 的长度； （2）如图 2，若 AFBC，求证：BF2+EF2AE2 （1）解：如图 1，ABAC，ADBC， BDCD， BC10， BD5， Rt ABD 中，AB13， AD 12， Rt BDF 中，CBE45 ， BDF 是等腰直角三角形， DFBD5， AFADDF1257； （2）证明：如图 2，在 BF 上取一点
13、 H，使 BHEF，连接 CH， 在 CHB 和 AEF 中， ， CHBAEF（SAS）， AECH，AEFBHC， CEFCHE， CECH， BDCD，FDBC， CFBF， CFDBFD45 ， CFB90 ， EFFH， Rt CFH 中，由勾股定理得：CF2+FH2CH2， BF2+EF2AE2 19我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上的高之差如图，在 ABC 中，CD 为 AB 边上的高，AB 的“线高差”等于 ABCD，记为 h（AB） （1）如图，在 ABC 中，ABAC，ADBC，垂足为 D，AD6，BD4，则 h（BC） ； （2）如图，在 ABC
14、中，C90 ，AC6，BC8，求 h（AB） 解：（1）在 ABC 中，ABAC，ADBC， BC2BD2 48， h（BC）BCAD2， （2）在 ABC 中，C90 ，AC6，BC8， AB ， h（AB）104.85.2， 故答案为：（1）2 20如图，在平面直角坐标系中，点 B 在 x 轴正半轴上，点 A 的坐标为（0，6），点 P 在线段 AB 上，OAB AOP30 （1）求点 P 的坐标； （2）将 AOP 绕点 O 顺时针方向旋转，旋转角度为 （0 180 ），旋转中的三角形记为 A1OP1 （点 A、P 的对应点分别 A1、P1），在旋转过程中，直线 OA1交直线 AB 于点
15、 M，直线 OP1交直线 AB 于 点 N，当 OMN 为等腰三角形时，请直接写出 的值 解：（1）如图 1，过 P 作 PHOB 于 H 点 A 的坐标为（0，6）， OA6， OABAOP30 ， ABOBPO60 ，APOP， OBP 是等边三角形， APOPBP， PHOA， OHBH， PHOA3， Rt AOB 中，BAO30 ， OB2， OH ， P（，3）； （2）如图 2，当 OMON 时， OMNONM， 由旋转得：A1OP1AOP30 ， OMN75 ， BAO30 ， OMNBAO75 30 45 ； 如图 3，当 OMMN 时，90 ； 如图 4，当 OMON 时，
16、AOPA1OP190 ， AOA1POP1， AON180 30 150 ， OMON， NM60 （90 ）150 ， OAPN+AON， 30 2（150 ）， 135 ， 综上，当 OMN 为等腰三角形时， 的值是 45 或 90 或 135 21利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹： 第一步：（计算）尝试满足，使其中 a，b 都为正整数，你取的正整数 a ，b ； 第二步：（画长为的线段）以第一步中你所取的正整数 a，b 为两条直角边长画 Rt OEF，使 O 为 原点，点 E 落在数轴的正半轴上，OEF90 ，则斜边 OF 的长即为 请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法） 第三步： （画表示的点） 在下面的数轴上画出表示的点 M， 并描述第三步的画图步骤： 解：第一步：a4，b2； 第二步：如图，OF 为所作； 第三步：如图，以原点为圆心，OF 为半径画弧交数轴的正半轴于点 M，则点 M 为所作 故答案为 4，2；以原点为圆心，OF 为半径画弧交数轴的正半轴于点 M，则点 M 为所作
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