1、辽宁省抚顺市新抚区辽宁省抚顺市新抚区 2020 年年中考数学模拟试卷（四） （二模）中考数学模拟试卷（四） （二模）解析版解析版 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1比2 大 1 的数是（ ） A3 B1 C3 D1 2下列四个运算中，只有一个是正确的这个正确运算的序号是（ ） 30+3 13； ；a8a4a4；（2a2）38a5 A B C D 3如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 4下列事件为必然事件的是（ ） A王华期末考试数学成绩会是 100 分 B某射击运动员射靶一次，正中靶心 C打开电视机，CCTV 第一套节目正在播放新闻 D口袋
2、中装有 2 个红球和一个白球，从中摸出 2 个球，其中必有红球 5不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 6估计1 的值在（ ） A1 到 2 之间 B2 到 3 之间 C3 到 4 之间 D4 到 5 之间 7九年级一班数学老师对全班学生在模拟考试中 A 卷成绩进行统计后，制成如下的统计表，则该班学生 A 卷成绩的众数和中位数分别是（ ） 成绩（分） 80 82 84 86 87 90 人数 8 12 9 3 5 8 A82 分，84 分 B82 分，83 分 C80 分，82 分 D82 分，82 分 8将一块三角板如图放置，ACB90，ABC60，点 B，C 分别在 P
3、Q，MN 上，若 PQMN， ACM42，则ABP 的度数为（ ） A45 B42 C21 D12 9如图，将边长为 10 的正三角形 OAB 放置于平面直角坐标系 xOy 中，C 是 AB 边上的动点（不与端点 A， B 重合） ，作 CDOB 于点 D，若点 C，D 都在双曲线 y上（k0，x0） ，则 k 的值为（ ） A25 B18 C9 D9 10如图，顶点坐标为（1，n）的抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（1，0） ，与 y 轴的交 点在（0，2） ， （0，3）之间（含端点） ，则下列结论：3a+b0；1a；对于任意实数 m， a+bm（am+b）总成立；关于 x 的方程
4、ax2+bx+cn1 有两个不相等的实数根其中结论正确的个 数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11已知一粒大米的质量为 0.000021 千克，把 0.000021 用科学记数法表示为 12分解因式：2a432 13计算 9的结果为 14如图，以ABC 的顶点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交 BC 边于点 D，连接 AD若B40，C 36，则DAC 的大小为 度 15如图是小明在科学实验课中设计的电路图，任意闭合其中两个开关，能使灯泡 L 发光的概率 是 16三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角
5、板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，点 B 在 ED 上，ABCF，FACB90，E45，A60，AC10，则 CD 的长度是 17如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点 C，点 D 在 AB 上，BACDEC 30，AC 与 DE 交于点 F，若 BD2，AD8，则 18如图，四边形 OAA1B1是边长为 1 的正方形，以对角线 OA1为边作第二个正方形 OA1A2B2，连接 AA2， 得到AA1A2；再以对角线 OA2为边作第三个正方形 OA2A3B3，连接 A1A3，得到A1A2A3；再以对角线 OA3为边作第四个正方形 OA3A4B4， 连接 A2A4， 得到
6、A2A3A4， ， 则AnAn+1An+2的面积等于 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 10 分，第分，第 20 题题 12 分，共分，共 22 分）分） 19 （10 分）先化简，再求值：，其中 x1 20 （12 分）某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选 修其中 1 门某班班主任对全班同学的选课情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图（图（1） 和图（2） ） ： （1）请你求出该班的总人数，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数） ； （2）在该班团支部 4 人中，有 1 人选修排球，2 人选修羽毛球，1 人选修乒乓球如果该班
7、班主任要从 他们 4 人中任选 2 人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有 1 人选修排球、1 人选修羽毛球的概 率是多少？ 四、 （每题四、 （每题 12 分，共分，共 24 分）分） 21 （12 分）某校在校园艺术节期间举行学生书画大赛活动，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现 优秀的学生已知购买 2 个甲种文具、1 个乙种文具共需花费 35 元；购买 1 个甲种文具、3 个乙种文具 共需花费 30 元 （1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？ （2）若学校计划购买这两种文具共 120 个，投入资金不少于 955 元又不多于 1000 元，问有多少种购买 方案？ 22
8、（12 分）如图，AB 为O 的直径，BC，AD 为O 的切线，直线 OC 交 DA 延长线于 E，DCDE （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若E60，AE1，求阴影部分的周长 五、 （本题五、 （本题 12 分）分） 23 （12 分） 如图 1 是一把折叠椅子， 图 2 是椅子完全打开支稳后的侧面示意图， AB 表示地面所在的直线， 其中 AD 和 BC 表示两根较粗的钢管， EG 表示座板平面， EGAB， 交 AC 于点 F， 且， AB 长 60cm， DAB60，ABC75，FG 长 24cm，CD 长 24cm， （1）求座板 EG 的长； （2）求此时椅子的最大高度（即
9、点 D 到直线 AB 的距离） （结果保留根号） 六、 （本题六、 （本题 12 分）分） 24 （12 分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做 40 只蛋糕，且每 日做好的蛋糕全部订售一空已知做 x 只蛋糕的成本为 R 元，售价为每只 P 元，且 R、P 与 x 的关系式 为 R500+30 x，P1702x，设她家每日获得的利润为 y 元 （1）销售 x 只蛋糕的总售价为 元（用含 x 的代数式表示） ，并求 y 与 x 的函数关系式； （2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为 1500 元？ （3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润
10、是多少元？ 七、 （本题七、 （本题 12 分）分） 25 （12 分）已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，且ECF45，直线 CE 与 直线 AD 交于点 H，直线 CF 交直线 AB 于点 G，连接 EF，GH （1）如图 1，当 DFBE 时，求证：FC 平分DFE； （2）如图 2，将图 1 中的GCH 绕点 C 逆时针旋转，其他条件不变， （1）的结论是否成立？说明理由； （3）当CGH 是等腰三角形时，直接写出 AG 的长 八、 （本题八、 （本题 14 分）分） 26 （14 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 经过 A（0，4） ，C（1，
11、0）两点，与 x 轴正半轴交于点 B （1）求抛物线的解析式； （2）D 为线段 OB 上一点，过 D 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 E，将线段 DC，DE 绕点 D 逆时针旋转 任意相同的角到 DG，DF 的位置，使点 C，E 的对应点 G，F 都在 x 轴下方，GC 与 FD 交于点 Q，EF 与 x 轴交于点 P当 DP2DQ 时，求点 D 的坐标； （3）M 在抛物线上，N 在坐标平面内，当以 A，B，M，N 为顶点的四边形为矩形时，直接写出点 N 的 坐标 2020 年辽宁省抚顺市新抚区中考数学模拟试卷（四） （二模）年辽宁省抚顺市新抚区中考数学模拟试卷（四） （二模） 参考答案与
12、试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1比2 大 1 的数是（ ） A3 B1 C3 D1 【分析】根据有理数的加法计算解答即可 【解答】解：2+11， 故选：B 【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 2下列四个运算中，只有一个是正确的这个正确运算的序号是（ ） 30+3 13； ；a8a4a4；（2a2）38a5 A B C D 【分析】直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质和整式的除法运算法则、积的乘方运算法则、 二次根式的加减运算法则分别化简得出答案 【解答】解：30+3 11+ ，故此选项错误；
13、 ，不是同类二次根式，无法合并，故此选项错误； a8a4a4，正确； （2a2）38a6，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质、零指数幂的性质和整式的除法运算、积的乘方运算、二 次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 3如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】从左面观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线 【解答】解：图中几何体的左视图如图所示： 故选：D 【点评】本题主要考查的是几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键 4下列事件为必然事件的是（ ） A王华期末考试数学成绩会是 100 分 B某射击运动员射靶一次，正中
14、靶心 C打开电视机，CCTV 第一套节目正在播放新闻 D口袋中装有 2 个红球和一个白球，从中摸出 2 个球，其中必有红球 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可 【解答】解：A王华期末考试数学成绩会是 100 分是随机事件； B某射击运动员射靶一次，正中靶心是随机事件； C打开电视机，CCTV 第一套节目正在播放新闻是随机事件； D口袋中装有 2 个红球和一个白球，从中摸出 2 个球，其中必有红球是必然事件， 故选：D 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生 的事件 不可能事件是指在一定条件下， 一定不发生的事件， 不确定事件
15、即随机事件是指在一定条件下， 可能发生也可能不发生的事件 5不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式用数轴表示即可 【解答】解：， 解得 x1， 解得 x2， 利用数轴表示为： 故选：B 【点评】此题主要考查了解不等式组，以及在数轴上表示解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法： “”空心圆点向右画折线， “”实心圆点向右画折线， “”空心圆点向左画折线， “”实心圆点向 左画折线 6估计1 的值在（ ） A1 到 2 之间 B2 到 3 之间 C3 到 4 之间 D4 到 5 之间 【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出1
16、的范围 【解答】解：23， 112， 故选：A 【点评】此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用 7九年级一班数学老师对全班学生在模拟考试中 A 卷成绩进行统计后，制成如下的统计表，则该班学生 A 卷成绩的众数和中位数分别是（ ） 成绩（分） 80 82 84 86 87 90 人数 8 12 9 3 5 8 A82 分，84 分 B82 分，83 分 C80 分，82 分 D82 分，82 分 【分析】根据众数和中位数的概念求解可得 【解答】解：这组数据的众数为 82 分，中位数为第 23 个数据，即中位数为 84 分， 故选：A 【点评】本题主要考查众
17、数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数 据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排 列， 如果数据的个数是奇数， 则处于中间位置的数就是这组数据的中位数 如果这组数据的个数是偶数， 则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 8将一块三角板如图放置，ACB90，ABC60，点 B，C 分别在 PQ，MN 上，若 PQMN， ACM42，则ABP 的度数为（ ） A45 B42 C21 D12 【分析】直接利用平行线的性质得出ACMQPC42，进而得出ABP 的度数 【解答】解：PQMN， ACMQPC42， PCQ9
18、0， PQC48， ABP604812 故选：D 【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确应用平行线的性质是解题关键 9如图，将边长为 10 的正三角形 OAB 放置于平面直角坐标系 xOy 中，C 是 AB 边上的动点（不与端点 A， B 重合） ，作 CDOB 于点 D，若点 C，D 都在双曲线 y上（k0，x0） ，则 k 的值为（ ） A25 B18 C9 D9 【分析】过点 A 作 AEOB 于点 E，根据正三角形的性质以及三角形的边长可找出点 A、B、E 的坐标， 再由 CDOB，AEOB 可找出 CDAE，即得出，令该比例n，根据比例关系找出点 D、C 的坐标，利用反比例函数图象
19、上点的坐标特征即可得出关于 k、n 的二元一次方程组，解方程组即 可得出结论 【解答】解：过点 A 作 AEOB 于点 E，如图所示 OAB 为边长为 10 的正三角形， 点 A 的坐标为（10，0） 、点 B 的坐标为（5，5） ，点 E 的坐标为（，） CDOB，AEOB， CDAE， 设n（0n1） ， 点 D 的坐标为（，） ，点 C 的坐标为（5+5n，55n） 点 C、D 均在反比例函数 y图象上， ，解得： 方法 2： 过 C 点作 CEOA 交 OB 于 E，过 E 点作 EFOA 于 F，过 D 点作 DGEC 于 G， 设 OFa，则 EC102a， C（10a，a） ，D
20、CEC（102a）（5a） ， DGDC（5a） ，EG（5a） ， D（+a，+a） ， C，D 都在双曲线上， （+a） （+a）（10a）a 解得 a1 或 5，当 a5 时，C 点和 E 点重合，舍去 k（10a）a9 方法 3： 过点 D 作 DEx 轴于点 E，过 C 作 CFx 轴于点 F，如图所示 设 OEa，则 OD2a，DEa， BDOBOD102a，BC2BD204a，ACABBC4a10， AFAC2a5，CFAF（2a5） ，OFOAAF152a， 点 D（a，a） ，点 C（152a，（2a5） ） 点 C、D 都在双曲线 y上（k0，x0） ， aa（152a）（
21、2a5） ， 解得：a3 或 a5 当 a5 时，DOOB，ACAB，点 C、D 与点 B 重合，不符合题意， a5 舍去 点 D（3，3） ， k339 故选：C 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以及等边三角形的性质，解题的关 键是找出点 D、C 的坐标本题属于中档题，稍显繁琐，解决该题型题目时，巧妙的借助了比例来表示 点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组是关键 10如图，顶点坐标为（1，n）的抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（1，0） ，与 y 轴的交 点在（0，2） ， （0，3）之间（含端点） ，则下列结论：3a+b0；1a；对于任意实
22、数 m， a+bm（am+b）总成立；关于 x 的方程 ax2+bx+cn1 有两个不相等的实数根其中结论正确的个 数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴、顶点坐标以及过特殊点时相应的系数 a、b、c 满足的关系进 行综合判断即可 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c 的顶点坐标为（1，n） ，经过点 A（1，0） ，与 y 轴的交点在（0，2） ， （0，3）之间（含端点） ， ab+c0，与 x 轴的另一个交点（3，0） ，1，即 2a+b0，2c3， 2a+b0，a0， 3a+b0，因此不正确； ab+c0，2a+b0，2c3， 23a
23、3，即，1a；因此正确； 当 x1 时，ya+b+c 的值最大，因此正确； 抛物线与 x 轴有两个不同的交点， 结论正确； 综上所述，正确的有， 故选：C 【点评】本题考查二次函数的图象与系数 a、b、c 的关系，掌握抛物线的位置与系数 a、b、c 的关系是 正确判断的前提 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11已知一粒大米的质量为 0.000021 千克，把 0.000021 用科学记数法表示为 2.110 5 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左
24、边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.000021 用科学记数法可表示为 2.110 5 故本题答案为：2.110 5 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10，n 为由原数左边 起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 12分解因式：2a432 2（a2） （a+2） （a2+4） 【分析】首先提取公因式 2，括号里剩下两项，正好符合平方差，再利用平方差公式进行分解即可 【解答】解：2a432， 2（a416） ， 2（a24） （a2+4） ， 2（a2） （a+2） （a2+4） 故答案为：2（a2） （a+2）
25、（a2+4） 【点评】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式，关键是要注意分解要彻底 13计算 9的结果为 【分析】首先化简二次根式，进而计算得出答案 【解答】解：原式92 故答案为： 【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键 14如图，以ABC 的顶点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交 BC 边于点 D，连接 AD若B40，C 36，则DAC 的大小为 34 度 【分析】根据三角形的内角和得出BAC180BC104，根据等腰三角形两底角相等得出 BADADB（180B）270，进而根据角的和差得出DACBACBAD34 【解答】解：B40，C36， BAC1
26、80BC104 ABBD BADADB（180B）270， DACBACBAD34 故答案为：34 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键 15如图是小明在科学实验课中设计的电路图，任意闭合其中两个开关，能使灯泡 L 发光的概率是 【分析】从上到下三个开关分别记为 A、B、C，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结 果数，再根据概率公式计算可得 【解答】解：从上到下三个开关分别记为 A、B、C， 画树状图为： 共有 6 中等可能的结果数，其中使灯泡发光有 AB、AC、BA、CA， 能使灯泡 L 发光的概率是， 故答案为： 【点评】本题考查的是
27、用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识 点为：概率所求情况数与总情况数之比 16三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，点 B 在 ED 上，ABCF，FACB90，E45，A60，AC10，则 CD 的长度是 155 【分析】 过点 B 作 BMFD 于点 M， 根据题意可求出 BC 的长度， 然后在EFD 中可求出EDF45， 进而可得出答案 【解答】解：过点 B 作 BMFD 于点 M， 在ACB 中，ACB90，A60，AC
28、10， ABC30，BC10tan6010 ， ABCF， BMBCsin305， CMBCcos3015， 在EFD 中，F90，E45， EDF45， MDBM5 ， CDCMMD155 故答案是：155 【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建 立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答 17如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点 C，点 D 在 AB 上，BACDEC 30，AC 与 DE 交于点 F，若 BD2，AD8，则 【分析】过 D 点作 DHBC 于 H，如图，利用含 30 度的直角三角形三边的关系计算出 B
29、C5，BH1， DH， 再利用勾股定理计算出CD， 在RtCDE中计算出CE， 然后证明ADFECF， 则利用相似比可得的值 【解答】解：过 D 点作 DHBC 于 H，如图， 在 RtABC 中，A30，ABAD+BD8+210， BCAB5， B60，BD2， BHBD1， DHBH， 在 RtCDH 中，CHCBBH514， CD， 在 RtCDE 中，E30， CECD， AE，AFDEFC， ADFECF， 故答案为 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公 共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是
30、通过作平行线构 造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了含 30 度的直角三角形三边的 关系 18如图，四边形 OAA1B1是边长为 1 的正方形，以对角线 OA1为边作第二个正方形 OA1A2B2，连接 AA2， 得到AA1A2；再以对角线 OA2为边作第三个正方形 OA2A3B3，连接 A1A3，得到A1A2A3；再以对角线 OA3为边作第四个正方形 OA3A4B4， 连接 A2A4， 得到A2A3A4， ， 则AnAn+1An+2的面积等于 2n 1 【分析】首先求出 S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题 【解答】解：设AA1A2、A1A
31、2A3、A2A3A4的面积分别为 S1、S2、S3， 四边形 OAA1B1是正方形， OAAA1A1B11， S1， OAA190， OA1212+122， OA2A2A32， S2， 同理可求：S3，S44， Sn2n 2， AnAn+1An+2的面积 Sn+12n 1， 故答案为：2n 1 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到 Sn的规律 是解题的关键 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 10 分，第分，第 20 题题 12 分，共分，共 22 分）分） 19 （10 分）先化简，再求值：，其中 x1 【分析】根据分式的混合运算顺序和运算
32、法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 【解答】解：原式 ， 当时，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则 20 （12 分）某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选 修其中 1 门某班班主任对全班同学的选课情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图（图（1） 和图（2） ） ： （1）请你求出该班的总人数，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数） ； （2）在该班团支部 4 人中，有 1 人选修排球，2 人选修羽毛球，1 人选修乒乓球如果该班班主任要从 他们 4 人中任选 2 人作为学生会候选人
33、，那么选出的两人中恰好有 1 人选修排球、1 人选修羽毛球的概 率是多少？ 【分析】 （1）用排球组的人数除以它所占的百分比即可得到全班人数，计算出足球组人数，然后补全条 形统计图； （2）先画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出选出的 2 人恰好有 1 人选修排球、1 人选修羽毛 球所占结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）该班的总人数为 1224%50（人） ， 足球科目人数为 5014%7（人） ， 补全图形如下： （2）设排球为 A，羽毛球为 B，乒乓球为 C画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中有 1 人选修排球、1 人选修羽毛球的占 4 种， 所以恰好
34、有 1 人选修排球、1 人选修羽毛球的概率， 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中 选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率也考查条形统计图与扇 形统计图 四、 （每题四、 （每题 12 分，共分，共 24 分）分） 21 （12 分）某校在校园艺术节期间举行学生书画大赛活动，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现 优秀的学生已知购买 2 个甲种文具、1 个乙种文具共需花费 35 元；购买 1 个甲种文具、3 个乙种文具 共需花费 30 元 （1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
35、 （2）若学校计划购买这两种文具共 120 个，投入资金不少于 955 元又不多于 1000 元，问有多少种购买 方案？ 【分析】 （1）设购买一个甲种文具需要 x 元，购买一个乙种文具需要 y 元，根据“购买 2 个甲种文具、1 个乙种文具共需花费 35 元；购买 1 个甲种文具、3 个乙种文具共需花费 30 元” ，即可得出关于 x，y 的 二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买 m 个甲种文具，则购买（120m）个乙种文具，根据总价单价数量结合总价不少于 955 元又不多于 1000 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出 m 的取值范围，再结合 m 为 整数即
36、可得出购买方案的个数 【解答】解： （1）设购买一个甲种文具需要 x 元，购买一个乙种文具需要 y 元， 依题意，得：， 解得： 答：购买一个甲种文具需要 15 元，购买一个乙种文具需要 5 元 （2）设购买 m 个甲种文具，则购买（120m）个乙种文具， 依题意，得：， 解得：35.5m40 m 是整数， m36，37，38，39，40， 有 5 种购买方案 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是： （1）找准等 量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组 22 （12 分）如图，AB 为O 的直径，BC，A
37、D 为O 的切线，直线 OC 交 DA 延长线于 E，DCDE （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若E60，AE1，求阴影部分的周长 【分析】 （1）作 OHCD，垂足为 H，连接 OD，根据切线的性质得到CBOOAE90，根据全 等三角形的性质得到 OCOE，根据角平分线的性质得到 OHOB；于是得到结论； （2）根据全等三角形的性质和弧长的计算公式即可得到结论 【解答】解： （1）作 OHCD，垂足为 H，连接 OD， BC，AD 为O 的切线， CBOOAE90， 又 OBOA，BOCEOA， BOCAOE（ASA） ， OCOE， 又 DCDE， DO 平分ADE， OHOB；
38、CD 是O 的切线； （2）在 RtAEO 中， OA， BOCAOE， OEOC， 又 DEDC， ODCE， DOA90EOAE60， DOH90COH90COB90AOEE60， DHDAOAtan603， 弧 AH 的长是， 阴影部分的周长是 6+ 【点评】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线 是解题的关键 五、 （本题五、 （本题 12 分）分） 23 （12 分） 如图 1 是一把折叠椅子， 图 2 是椅子完全打开支稳后的侧面示意图， AB 表示地面所在的直线， 其中 AD 和 BC 表示两根较粗的钢管， EG 表示座板平面， EGAB
39、， 交 AC 于点 F， 且， AB 长 60cm， DAB60，ABC75，FG 长 24cm，CD 长 24cm， （1）求座板 EG 的长； （2）求此时椅子的最大高度（即点 D 到直线 AB 的距离） （结果保留根号） 【分析】 （1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题； （2）作 BHAC 于 H，DKAB 于 K想办法求出 AH，CH，AD 即可解决问题 【解答】解（1）， ， EGAB， CFECAB， ， EF6015， EGEF+FG15+2439， 答：座板 EG 长 39cm； （2）作 BHAC 于点 H，DMAB 于点 M， 在 RtABH 中，AHABcosCA
40、B6030， BHABsinCAB6030， 在 RtCBH 中，BCH180CABCBA180607545， CH， ADAH+CH+CD30+2454+， 在 RtADM 中，DMADsinDAM（54+）+45， 答：此时椅子的最大高度为（+45）cm 【点评】本题考查解直角三角形及相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三 角形解决问题，属于中考常考题型 六、 （本题六、 （本题 12 分）分） 24 （12 分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做 40 只蛋糕，且每 日做好的蛋糕全部订售一空已知做 x 只蛋糕的成本为 R 元，售价为每
41、只 P 元，且 R、P 与 x 的关系式 为 R500+30 x，P1702x，设她家每日获得的利润为 y 元 （1） 销售 x 只蛋糕的总售价为 （2x2+170 x） 元 （用含 x 的代数式表示） ， 并求 y 与 x 的函数关系式； （2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为 1500 元？ （3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？ 【分析】 （1）利用总售价销售单价销售数量可得，再根据每日利润总售价做 x 只蛋糕的成本可 得 y 关于 x 的解析式； （2）求出 y1500 时 x 的值即可得； （3）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质
42、求解可得 【解答】解： （1）销售 x 只蛋糕的总售价为（1702x）x2x2+170 x（元） ， 根据题意，得：y（2x2+170 x）（500+30 x）2x2+140 x500， 故答案为： （2x2+170 x） ； （2）当 y1500 时，得：2x2+140 x5001500， 解得：x120、x250， x40， x20， 即当每日做 20 只蛋糕时，每日获得的利润为 1500 元； （3）y2x2+140 x5002（x35）2+1950， a20， 当 x35 时，y 取得最大值，最大值为 1950， 答：当每日做 35 只蛋糕时，每日所获得的利润最大，最大日利润是 195
43、0 元 【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握销售问题的数量关系销售收入售价数量的运用，二次函 数的解析式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键 七、 （本题七、 （本题 12 分）分） 25 （12 分）已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，且ECF45，直线 CE 与 直线 AD 交于点 H，直线 CF 交直线 AB 于点 G，连接 EF，GH （1）如图 1，当 DFBE 时，求证：FC 平分DFE； （2）如图 2，将图 1 中的GCH 绕点 C 逆时针旋转，其他条件不变， （1）的结论是否成立？说明理由； （3）当CGH 是等腰三角形时，直
44、接写出 AG 的长 【分析】 （1）由“SAS”可证CDFCBE，可得DCFBCE（90ECF）22.5，CF CE，由等腰三角形的性质可求DFC67.5，可得DFCCFE，可得结论； （2）如图 2，延长 AD 到 M，使 DMBE，由“SAS”可证DMCBEC，可得可得 CMCE，MCD ECB，由“SAS”可证MCFECF，可得MFCEFC，可得结论； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可求解 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， CDCB，BDDCB90， 又 DFBE， CDFCBE（SAS） ， DCFBCE（90ECF）22.5，CFCE，
45、DFC9022.567.5，CFECEF（180ECF）67.5， DFCCFE， FC 平分DFE； （2）成立， 理由如下：如图 2，延长 AD 到 M，使 DMBE， 四边形 ABCD 是正方形， CBCD，CDABDCB90， DCF+ECB90ECF45， CDM180CDA90B， DMCBEC（SAS） ， CMCE，MCDECB， DCF+MCD45， 即MCEECF45 又 CFCF， MCFECF（SAS） ， MFCEFC， FC 平分DFE； （3）若 CGCH，如图 3，连接 AC， CHCG，CDCB， RtCDHRtCBG（HL） ， DHBG， AGAH， 又C
46、GCH，ACAC， CAGCAH（SSS） ， ACGACH22.5， 四边形 ABCD 是正方形， ACCD4，CAB45， CABACG+AGC， AGCACG22.5， ACAG4； 若 CGGH 时，如图 4， CGGH， GCHGHC45， CGH90， CGB+AGH90， 又CGB+BCG90， BCGAGH， 又CGGH，BGAH90， CGBGHA（AAS） ， AGBC4； 若 GHCH 时，如图 5， CHGH， GCHHGC45， CHG90， CHD+AHG90， 又CHD+DCH90， DCHAHG， 又CHGH，DGAH90， CDHHAG（AAS） ， CDAH
47、4，AGDH， AGDHAD+AH8， 综上所述：AE 的长为 4 或或 8 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质， 添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键 八、 （本题八、 （本题 14 分）分） 26 （14 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 经过 A（0，4） ，C（1，0）两点，与 x 轴正半轴交于点 B （1）求抛物线的解析式； （2）D 为线段 OB 上一点，过 D 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 E，将线段 DC，DE 绕点 D 逆时针旋转 任意相同的角到 DG，DF 的位置，使点 C，E 的对应点 G，F 都在 x 轴下方
48、，GC 与 FD 交于点 Q，EF 与 x 轴交于点 P当 DP2DQ 时，求点 D 的坐标； （3）M 在抛物线上，N 在坐标平面内，当以 A，B，M，N 为顶点的四边形为矩形时，直接写出点 N 的 坐标 【分析】 （1）将 A（0，4） ，C（1，0）代入 yx2+bx+c，求出 b，c 即可； （2）先证明EDPGDQ，设 D 点坐标为（x，0） ，根据相似三角形性质和 ED2DC，建立方程求 解即可得到答案； （3）分两种情况：以 AB 为边的矩形和以 AB 为对角线的矩形，分别进行求解即可 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 经过 A（0，4） ，C（1，0）两点， ， 解得：， 抛物线
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